根轨迹方法控制系统校正
控制系统的根轨迹分析与校正
MATLAB与控制系统仿真实践， 北京航空航天大学出版社，2009.8.
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13.1 控制系统的根轨迹法分析
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13.1.1 根轨迹及根轨迹法概述
以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解 法是获得系统根轨迹是很实用的工程方 法。通过根轨迹可以清楚地反映如下的 信息：
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zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s p j )
j 1
系统的闭环传递函数为
(s)
G(s)
1 G(s)H (s)
系统的闭环特征方程为1 G(s)H (s) 0
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13.1.2 MATLAB根轨迹分析的相关函数
MATLAB中提供了 rlocus()函数， 可以直接用于系统的根轨迹绘制。 还允许用户交互式地选取根轨迹上 的值。其用法见表13.1。更详细的 用法可见帮助文档
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临界稳定时的开环增益；闭环特征
根进入复平面时的临界增益；选定
开环增益后，系统闭环特征根在根
平面上的分布情况；参数变化时，
系统闭环特征根在根平面上的变化 趋势等。
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例2：若单位反馈控制系统的开环传递函 数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹 判定系统的稳定性。
控制系统的校正
1 Ts 1 Ts
essv=0.01;x=-12.5;z1=0;p1=0;p2=25; zeta=0.54;acos(zeta);ta=tan(acos(zeta));%zeta=cosθ y1=x*ta;y=abs(y1);s1=x+y*i; Kr=abs(s1+p1)*abs(s1+p2); K=Kr/(p1+p2);K0=1/essv; beta=K0/K;T=1/((1/20)*abs(x));%beta为误差系数所需增加的倍数 betat=beta*T; Gc=tf((1/beta)*[1 1/T],[1 1/betat])
程序运行后，得到结果为：
kc = 49.1667
Gc = s + 3.875 --------s + 9.292 Continuous-time transfer function. 即校正器传递函数为： G c (s) K c 校正后的系统传递函数为：
sa s 3.875 49.1667 (s b) s 9.292
用 Bode 图设计方法对系统进行超前串联校正设计，使之满足： （1）在斜坡信号 r (t) v0t 作用下，系统的稳定误差 （2）系统校正后，相角稳定裕度有： 48 。 （3）剪切频率 c 170.0s 。
1
ess 0.001v0 ；
解： （1） 、求串联校正补偿器的传递函数 G(s) 1 Ts
运行程序后，可得到下图所示的系统阶跃响应曲线：
由阶跃响应曲线可知，系统阶跃响应超调量接近 50%，不满足题目超调量的要求。 由期望极点位置确定校正器传递函数 （3） 、为求校正器传递函数，需确定期望闭环主导极点位置，用以下语句求ζ。
自动控制原理习题答案6
n
m
n−m
=
(0 − 0.001 − 4 − 5) − (−0.03) ≈ −2.99 4−3
渐近线与实轴的夹角
θ=
± (2k + 1)π ± (2k + 1)π = = ±60o ,180o n−m 4 −1 (k = 0,1)
系统的根轨迹如图 6.2(b)所示。
引入开环偶极子的滞后校正对根轨迹不产生显著影响，既能保证系统瞬态特性又 满足了稳态性能指标。 K 题 6.5 单位负反馈系统的对象传递函数为 G p ( s) = ，设计相位超前校正， s ( s + 4) 使校正后系统的超调量不大于10% ，上升时间不大于 2 秒，单位斜坡函数的稳态误差 不大于 0.5 。 解：采用根轨迹校正方法。 (1) 根据期望动态性能指标确定闭环主导极点的位置。为使 δ % ≤ 10% 并留有余 2 地(以确保在其他极点的作用下性能指标仍能得到满足) ，选阻尼比 ξ = 。由于 2 ξ = cos θ ， 主导极点应位于如图 6.3 所示的θ = 45o 的射线上。 再运用二阶系统调节时 3 间的近似公式 ts = ，可选择ωn = 3 ，以保证 ts ≤ 2s 并留有余地。因此主导极点为
ww
w. 课后 kh 答案 da 网 w. co m
p1 p3
× ×
Im
×
×
Re
p2
图 6.2 题 6.4 用图
ξωn
3 2 3 2 ±j 。 2 2 (2) 画出未校正系统的根轨迹图，如图 6.3 中的实线所示。由图可见，根轨迹不 通过期望主导极点，因此不能通过调节开环放大系数来满足动态性能指标。 − p1,2 = −ξωn ± jωn 1 − ξ 2 = −
第23讲根轨迹法串联校正
L(ω)
认为 0.1c1 1 0.01c1 1 50
GG c
G
在穿越频率处 ，有
20 0
Magnitude (dB)
100 1 c1 (0.1 c1 )
-20
Gc
-50
a) 0
-45 φ(ω)
Gc
-90
G
Phase (deg)
解得 c1 31.6
-135
GG c
-180
校正前的相位裕度为
-225 -270
1)
采用串联滞后校正，使校正后的 k v ≥100，≥45
解: 选择的有源滞后网络应具有如下形式的传递函数
G
c
(s)
K c(T2s 1) (T1s 1)
K c(T2s 1) (hT2s 1)
h T1 2 1 T2 1
取 K c 5 ，则提高增益后的开环传递函数为
G(s)
K
cG
1(s)
s(0.1s
99.5
校正后系统的相位裕度为
180 arctan( 46.3) 90 arctan(0.1 46.3) arctan(46.3) 52.2
21.6
99.5
满足要求。
自动控制原理 5
第六章 自动控制系统的校正
二、串联滞后校正
例6－2
已知开环传递函数为
G1(s)
s(0.1s
20 1)(0.01s
a)
b b)
自动控制原理 2
第六章 自动控制系统的校正
例6－1 已知某控制系统的固有开环传递函数为
G
1(s)
20 s(0.1s
1)
要求校正后满足，k v ≥100 ≥50 试确定校正网络的传递 函数。
三阶系统的分析与校正
三阶系统的分析与校正引言：在控制系统中，三阶系统是一种常见且重要的系统。
它具有更高的阶数，因此对于控制系统的性能和稳定性有着更高的要求。
因此，对于三阶系统的分析和校正具有一定的复杂性。
本文将围绕三阶系统的分析和校正展开讨论，并介绍常见的校正方法。
一、三阶系统的基本特点和模型表示三阶系统是一个具有三个自由度的系统，可以用如下的传递函数表示：G(s)=K/(s^3+a*s^2+b*s+c)其中，K为传递函数的增益，a、b、c分别为系统的阻尼、震荡频率和系统自然频率。
二、三阶系统的稳定性分析稳定性是控制系统设计和校正的基本要求。
对于三阶系统的稳定性分析可以采用Bode图和Nyquist图等方法。
1. Bode图分析通过绘制传递函数的幅频响应和相频响应曲线，可以得到系统的幅度余弦曲线和相位余弦曲线。
根据Bode图的特点，可以确定系统的稳定性。
2. Nyquist图分析Nyquist图是对传递函数的极坐标表示。
通过绘制传递函数的Nyquist图，可以分析系统的稳定性。
以上两种方法都可以用来评估系统的稳定性。
如果系统的Bode图和Nyquist图图像均在单位圆内，则系统是稳定的。
三、三阶系统的校正方法校正是为了使控制系统具有所需的性能指标，通过调整系统中的参数和控制器等手段实现。
1.PID控制器的设计PID控制器是最常用的控制器之一，具有简单、稳定、易于实现等特点。
PID控制器由比例控制、积分控制和微分控制三部分组成。
通过调整PID控制器中的三个参数，可以实现对三阶系统的控制。
2.根轨迹法根轨迹法是一种经典的校正方法，通过分析系统的根轨迹来设计合适的校正器。
根轨迹是描述系统根位置随参数变化而变化的曲线。
通过调整参数，可以使根轨迹满足设计要求，进而实现对系统的校正。
3.频率响应方法频率响应方法基于传递函数的幅频响应和相频响应特性进行校正。
根据系统的特性，通过调整增益和相位等参数，可以实现对系统的校正。
以上是常见的三阶系统的校正方法，可以根据实际需求选择合适的方法进行校正。
自动控制原理6 第五节根轨迹法设计校正网络
-6
5
4.画出校正以后系统根轨迹，求出 A1 点根轨迹增益
Kr
A1 A1 2 A1 9.6 A1 4
50.4
速度误差系数
Kv
K
Kr
2
4 9.6
10.51(
1
s
)
校正系统的开环传函为：
KcGc
(s)G(s)
50.4(s 4) s(s 2)(s 9.6)
6
用根轨迹法设计相位滞后校正网路
b
、b 0.2
；
（5）选 Zc和
Pc
：
1 bT
2.5，及
1 T
0.5
，zC
Pc
5
1 b
s+2.5 1 0.4s
Gc (s) 0.2 s+0.5 1 2s
校正后系统的开环传函
Gc G
2500k 0.2 (s 2.5) s(s 25)(s 0.5)
13
（6）画出校正后系统的根迹，除原点外，形状与原系统相似；
用根轨迹法设计相位超前校正网络 当品质指标以时域指标提出时，用根轨迹设计系统较方便。当
期望闭环主导极点位于未校正系统根轨迹的左边时，就可使用超前 校正。
在不考虑稳态指标时设计步骤如下：
1.根据所需要的动态品质指标要求，确定闭环主导极点A的位置；
2.画出未校正系统的根轨迹，求出使根轨迹通过A点所需要的补偿
（8）校验指标；
（9）求出网络参数 R,C ；
10
例：有一单位反馈控制系统的开环传函为 G(s) 2500k ，要求满
s(s 25)
足下列性能指标；
（1）当输入是一个1rad s的单位速度函数时，输出的速度函数
与输入速度函数的最终稳态误差不大于0.01rad； （2）单位阶跃响应的最大超调量 p 12% ，试设计一个相位滞
第13章 控制系统的根轨迹分析与校正
rlocus(G) rlocus(G1,G2,...) rlocus(G,k) [r,k] = rlocus(G) r = rlocus(G,k)
绘制指定系统的根轨迹 绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于同 一图上 绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益向 量 返回根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r有 length(k)列，每列对应增益的闭环根 返回指定增益k的根轨迹参数。r为复根位 置矩阵。r有length(k)列，每列对应增 益的闭环根 MATLAB与控制系统仿真实践，
*
(s z )
i i 1 j
m
(s p
j 1
n
)
系统的闭环传递函数为
G(s) ( s) 1 G( s) H ( s)
系统的闭环特征方程为 1 G( s) H ( s) 即 G( s) H ( s)
K * (s zi )
i 1 m
0
(s p
j 1
例2：若单位反馈控制系统的开环传递函 数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹 判定系统的稳定性。
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num=[1 3]; den=conv([1 1],[1 2 0]); G=tf(num,den); rlocus(G) figure(2) %新开一个图形窗口 Kg=4; G0=feedback(tf(Kg*num,den),1); step(G0)
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图13.6 例3系统时的阶跃响 应
例4:若单位反馈控制系统的开环传递函数为
Gk ( s)
Kg s( s 2)
根轨迹校正实验报告
根轨迹校正实验报告一、实验目的本实验旨在通过观察系统的根轨迹，对系统进行校正，以达到控制系统的稳定性、快速性和精确性要求。
二、实验原理1. 根轨迹根轨迹是指在极坐标系下，由系统特征方程的根在复平面内的运动轨迹。
2. 根轨迹的性质- 当系统的开环传递函数中，理论上根轨迹的起点是传递函数零点的位置。
- 根轨迹对称于实轴。
- 根轨迹总是从系统的零点出发，逐渐趋向于系统的极点。
3. 根轨迹设计的基本要求- 所有根轨迹应该位于左半平面。
- 根轨迹的密度越大，系统的稳定性越好。
- 根轨迹与虚轴的交点个数为系统开环传递函数的极点数与零点数之差。
- 根轨迹经过的区域越小，系统的快速性越好。
三、实验步骤本次实验使用了MATLAB软件进行根轨迹校正实验，具体步骤如下：1. 给定开环控制系统的传递函数，并画出其对应的零极点分布图。
通过观察零极点的位置，确定系统的初始根轨迹起点。
2. 使用MATLAB的rlocus函数，绘制出开环根轨迹。
通过该函数，我们可以根据系统传递函数的特点，得到根轨迹的形状。
3. 根据根轨迹的形状和性质，校正系统。
可以通过调整控制器的参数或改变系统的结构等方式，来使根轨迹满足系统的要求。
4. 经过多次调整和校正，得到符合要求的根轨迹。
通过观察根轨迹的形状和分布，判断系统是否稳定、快速和准确。
四、实验结果与分析经过根轨迹校正，我们得到了一条符合要求的根轨迹。
通过分析根轨迹的形状和性质，我们可以得出以下结论：1. 系统的稳定性由于根轨迹位于左半平面，且大部分根轨迹较为密集，因此系统的稳定性较好。
没有根轨迹位于右半平面，避免了系统的不稳定性。
2. 系统的快速性根轨迹的起点与旁边的极点较近，根轨迹与虚轴的交点附近也没有极点，因此根轨迹经过的区域较小。
这意味着系统的快速性较好，能够快速响应输入变化。
3. 系统的准确性根轨迹与实轴的交点个数与系统的极点数与零点数之差相符，说明系统的准确性较好。
这样的根轨迹设计使得系统能够准确响应输入信号，实现精确控制。