自动控制基本知识根轨迹法
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自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理 根轨迹法
n
i
|
注意
• 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分 必要条件 • 用相角方程绘制根轨迹; • 模值方程主要用来确定已知根轨迹上某 一点的K*值 • 例4-1,4-2
4.2 根轨迹绘制的基本法则
• 法则1: 根轨迹的分支数：根轨迹在[s]平面上的分支数 等于闭环 特征方程的阶数n,也就是分支数与闭环极点的 数目相同。
q
h
f
l
结论：1 零点、 2 极点、3 根轨迹增益
b0 ( s z1 )(s z 2 ) ( s zm ) G( s) H ( s ) K* a0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
• 根轨迹增益：
(s z ) (s p )
• 法则6: 根轨迹的起始角(从极点pk)和终止角(到零点zk) ：
起始角：
例2 证2
m n
pk ( 2k 1) ( pk z j ) ( pk pi )
j 1 i 1 i k
终止角：
zk ( 2k 1) ( z k p i ) ( z k z j )
i
nm
0 ( 1) ( 2) 1 30
a
(2k 1)π π π , , π nm 3 3
d1 0.42, d 2 1.58(舍去)
s j
1 1 1 0 d d 1 d 2
1 G(s)H(s) 0即(s 3 3s 2 2s K * ) j 3 3 2 2 j K * 0
s2
0
常规根轨迹的绘制法则(P138) 终止于开环零点或。 1 根轨迹起始于开环极点或， 根轨迹对称实轴 2 根轨迹的条数为特征根的个数, 3 ∣n-m∣条渐近线对称于实轴,均起于实轴上的σa 点,
自动控制第五章根轨迹法资料
8
绘制根轨迹的基本条件
根轨迹的幅值条件：
n
s pj
j 1
负反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为00根轨迹；
9
绘制根轨迹的基本条件
n
s pi
i 1 m
K1
s zj
j 1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
➢ 根轨迹的幅值条件不仅取决于系统开环零极点的分 布，同时还取决于开环根轨迹的增益K1。
➢ 根轨迹的相角条件仅仅取决于系统开环零极点的分 布，与开环根轨迹的增益K1无关。
2
第一章根轨迹的基本概念
根轨迹的概念的提出 反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解
出闭环系统的根，系统的响应就迎刃而解。但是对于 3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时，求根更困难了。
1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根 的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基 础上，当某些参数变化时确定闭环极点的一种简单的 图解方法。
12
第二节 绘制根轨迹的基本规则
当K1 时，① s z j ( j 1 ~ m) ，上式成立。 z j 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在
利用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应 有的结构和参数。
3
第一节 根轨迹的基本概念
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
自动控制原理第4章根轨迹法精
上式称为根轨迹开环传递函数的标准形式。所以，绘制根轨迹图 时，首先要把开环传递函数改写成这种标准形式。
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
自动控制原理第四章--根轨迹法
G(s)H(s) 1
2.相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)
k 0,1, 2
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：K
g 称为根轨迹增益；
zi ，
p
为开环零极
j
点。
∴ 幅值条件：
m
n
pl (2k 1) ( pl z j ) ( pl pi )
j 1
i 1
m
il
( pl z j ) ——所有开环零点指向极点-pl 矢量的相角之和。
j 1
n
( pl pi )——除-pl 之外的其余开环极点指向极点-pl 矢量
i 1
il
的相角之和。
在复数零点-zl 处的入射角为：
而s2、s3点不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。
Gk (s)
s2(s
K g (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
四、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
n
m
zl (2k 1) (zl pi ) (zl z j )
i 1
j 1
jl
n
(zl pi )
i 1
——所有开环极点指向零点-zl 矢量的相角之和。
m
(zl z j )
j 1 jl
2.相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)
k 0,1, 2
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：K
g 称为根轨迹增益；
zi ，
p
为开环零极
j
点。
∴ 幅值条件：
m
n
pl (2k 1) ( pl z j ) ( pl pi )
j 1
i 1
m
il
( pl z j ) ——所有开环零点指向极点-pl 矢量的相角之和。
j 1
n
( pl pi )——除-pl 之外的其余开环极点指向极点-pl 矢量
i 1
il
的相角之和。
在复数零点-zl 处的入射角为：
而s2、s3点不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。
Gk (s)
s2(s
K g (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
四、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
n
m
zl (2k 1) (zl pi ) (zl z j )
i 1
j 1
jl
n
(zl pi )
i 1
——所有开环极点指向零点-zl 矢量的相角之和。
m
(zl z j )
j 1 jl
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
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J.Z. Xiao, CEIE, HBU
k = 0 , ± 1, ± 2 L
模条件 角条件
5
将根轨迹方程写成零迹、增极益点表示的矢量方程为：
开环增益
m
∏ (τi s 1)
m
(s z i)
G(s) H (s) = K i =1 n
= K * i =1 n
(T js 1)
(s p j )
j =1
j =1
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
15
基于根轨迹的分离点或汇合点实质上都是特征方程式的 重根。设
G(s) H (s) = K N (s) = 1 D(s)
闭环系统特征方程： F ( s ) = D ( s )＋ K * N （ s）＝ 0
F ( s ) = D ( s )＋ K * N （ s）＝ 0 F ( s ) = D ( s )＋ K * N （ s）＝ 0
闭系环即特可征以方画程出的下阶半数s 平n,也面就的是根分轨支迹数部与分 闭环极点的
n
m
*
j =1
i =1
数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零
点)。
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
10
证明：
n
m
(s p j) K * (s z ) =i 0
j =1
i =1
根轨迹的起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹点
s n m（1 an－1 bm 1 ）= K * e j ( 2 k 1)π s
k = 0,1,2,L, n m 1
两侧开(n-m)次方
s（1 a n－1
bm
1
1）n
1 j ( 2 k 1)
m= K * n me n m
s
（1 a n－1
bm
1
1）n
m= 1＋
1
an－1
bm 1
1
s
nm s
2!(n
(1 m) n
！根据根轨迹在实轴上的分布，前者不属于根轨迹，故舍
去。所以后者为根轨迹的分离点。
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
17
法则7: 根轨迹在复极点的出射角和复零点的入射角
m
n
∑ θ pk = ( 2 k 1)π + ∠ ( p k z j )
( p k p i)
j =1
n
∑ θ zk = (2k 1)π + ∠( zk
m
1)(a n－1 s
bm
1
)
2
L
当s->∞时，上式可近似为
（1 a n－1
bm
1
1 ）n
m = 1＋
1
a n－1
bm 1
s
nm s
s＋ a n－1
bm
1 j ( 2 k 1)
1= K * n me n m
nm
m
n
m
（bm 1 = an 1 =
zi
i =1 n
p j）
pj s－ j =1
n
zi
i =1
m
1 j ( 2 k 1)π
= K * n me n m
j =1
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
即得渐近线的坐标与夹角。
14
规则6： 根轨迹的分离点、汇合点与分离角
定义一：两条或两条以上根轨迹分支在 s平面上（通常为 实轴）的交点称为根轨迹的 分离点或汇合点 ；
定义二：分离角定义为进入分离点的切线方向与离开分 离点切线方向之间的夹角。
第四章 根轨迹法
反馈控制系统的运动特征取决于其闭环传递函 数：极点、比例系数、零极点分布等。
1948年，伊凡思（W.R.Evans）根据反馈控制系 统的开环传递函数与其闭环特征方程间的内在 关系，确定闭环特征方程特征根的一种图解方 法——根轨迹法。 将开环系统中的参数与闭环极点间的关系通过
直观的方法确定出来，便于对系统稳定和综合 性能的分析。
R(s)
解：易知闭环系统特征s 1)(s 2)
F (s) = D(s)＋K * N（s）= s(s 1)(s 2) = 0
dF ( s ) = dD ( s ) K dN ( s )
ds
ds
ds
=3s26s2=0
解方程为：
Im 2 1 0 Re
s1 = 1.577
s2 = 0.423
同理：
入射角＝∑[各开环极点指向该零点的矢量的方向角] －∑[其它各开环零点指向本零点的矢量的方向角]＋反向
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
18
法则8: 根轨迹与虚轴的交点
方法一：应用劳斯判据
当特征方程式存在有一对纯虚根时，应令劳斯表第一 列中包含K * 的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点处 的K *值。利用劳斯表中s2 行的系数构成辅助方程，必 可解出纯虚根的数值。这一数值即对应于根轨迹与虚 轴交点处的 值。
β1 − (α1 + α 2 + α 3 ) = (2k 1)π
β1 z1
L2 α1
σ P1
此点处的开环根轨迹增益
L4
K * = s1 s1 p2 s1 p3 = L2 L3 L4
s z1
L1
α3 P3
幅值条件和相角条件图示
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
8
例 利用相角条件绘制图4-1所示系统的根轨迹。系统的 开环传递函数仍为
n
(s p j ) = 0
j =1
根轨迹的终点则是指根轨迹增益K*
s = p j , j = 1,2L n
∞的根轨迹点。
1n
m
* (s p j ) (s zi ) = 0
K j =1
i =1
令
s= 1 q
11
1
1
1
K * ( q p1 )( q p2 )L( pqn ) ( zq1 )(
等式两端同时乘以qn，可得
m
( zi ) K = K * i =1
n
( pj)
j =1
m
K* ( s
j =1
n
zj ) = 1 = e j ( 2 k 1)π (k = 0, ± 1, ± 2, L)
( s pi)
i =1
模值方程和相角方程分别为：
m
K* | s
j =1
n
n
zj|
|s
*
=i 1
=1,K = m
pi | m
系统的闭环传递函数:
R（s） －
G (s) H (s)
C（s）
(s) = G(s) 1 G(s) H (s)
闭环特征方程即根轨迹方程为G(s)H(s)= –1
G(s)H (s) e arg[G ( s ) H ( s )] = 1 e j ( 2 k 1)π
G(s) H (s) = 1
arg[G (s) H ( s)] = (2k 1)
i =1
i =1 i k
m
pi )
j =1
( zk z j )
θ3
jω
S1 P34
设S1在根轨迹上，则
j k P2
θ2
φ1
z1
θ1
P1 0
σ
φ1－（θ1＋θ 2＋θ 3＋θ 4）＝± (2k 1)π
θ4
3＝ 1－（ 1＋ 2＋ 4）m (2k 1) P4
出射角＝∑[各开环零点指向该极点的矢量的方向角] －∑[其它各开环极点指向本极点的矢量的方向角]＋反向
根轨迹是指开环系统某个参数由0变化到∞，闭环特征根在s平面上 移动的轨迹。
（1）系统为结构稳定系统。无论K为何值，其特征根始终位于复 平面的左半平面。
（2）当0<K<0.25时，二阶系统的两个特征根为位于左半面的两个
，
实根，系统处于过阻尼状态。当K>0.25时，两个特征根为位
于左半面的一对共轭复根，系统处于欠阻尼状态。当K=0.25
n
m
p
z
σ = j =1
i =1
nm
ϕ= j
i
k
=
0,1,2(,2L,kn
1)π
m
1
nm
m
(s
* i =1 n
(s
j =1
zi) G(*s) Hs m(s) =bmK1 s m 1 L b1 s=Kb0
p j)
s n an 1 s n 1 L a1 s a0
m
（bm 1 =
zi
i =1
n
an 1 =
p j）
j =1
同除分子 G(s) H (s) =
K*
nm
s (an－1 bm 1 )s n
s
= m 1＋L
sn
K* m (an－1 bm 1 )s n
m1
由根轨迹方程
s n m (a n－1 bm 1 )s n m 1＝－K *
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
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s n m（1 an－1 bm 1 ）= K * s
G(s)H(s)= K s ( s 1)
• 确定实轴上的根轨迹
正实轴 实轴上原点与-1点之间 -1点左边
• 在实轴外任取一点 s1位于（-1， 0）的垂直平分线
• 用模条件确定系数K的值
根轨迹上点 ( 0.5 j 0) 所对应的 K 值 K = 0.5 0.5 1 = 0.25 根轨迹上点 ( 0.5 ± j 0.5)
当需要确定根轨迹上各点的K*值时，才使用幅 值条件。
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
7
例：系统的开环传递函数为