第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数

习题

1. (1) 若A 2 = E ，证明A 的特征值为1或-1;

(2) 若A 2 = A ，证明A 的特征值为0或1. 证明（1）2

2A E A =±所以的特征值为1，故A 的特征值为1

（2）

2222

2

,,()0,001

A A A X A X AX X X

X λλλλλλλ===-=-==所以两边同乘的特征向量得即由于特征向量非零，故即或

2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 -1. 证明

1,1

T T T A A A E A A A A A λλλλ

-=∴==±设是正交阵，故有与有相同的特征值，

1

故设的特征值是，有=，即

$

3．求数量矩阵A=aE 的特征值与特征向量. 解

A 设是数量阵，则

000

0000

000000

a

a

A aE a a

a

E A

a

λλλλ⎛⎫ ⎪

⎪== ⎪ ⎪⎝⎭

---=

-

所以：特征值为a (n 重), A 属于a 的特征向量为 k 1(1,0,…,0)T + k 2(0,1,…,0)T + k n (0,0,…,1)T ，(k 1, k 2, …, k n 不全为0)

4．求下列矩阵的特征值与特征向量.

（1）113012002-⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

（2）324202423⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

（3）⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---122212

221 ~

（4）212533102-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭

()11122

212

11(5) , , (0,0)0.

T

T n n n n a a b a a b A b b b a b a a b αβαβαβ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====≠≠= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

其中，且

解（1）

11

3

0120,1,2,002A E AX λλλ

λλλλ

---=-====-0,123求得特征值为:分别代入=求得

A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ，(k ≠0) A 属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T ，(k ≠0)

解（2）

131323249490492222024

234

2

312

349(1)

(1)(8)

2

A E r r c c λ

λλλλλλλλλλ

λλ

λλλλλλλ

-------=

-+-----+---+=-+--按第一列展开

&

231,8λλλ==-=1求得特征值：

将其代入()A E X λ-=0，求得特征向量：

1211211001X k k λ⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=-=+ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭ ⎪

⎝⎭

时，，12,k k 不全为零

11

821X k λ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭

时， 0k ≠

解（3）

12312312

2111111212212(1)21222

12

2

12

2

1011

(1)112(1)(1)(3)0

211,1,3

A E r r r λλλλλλ

λλλλ

λ

λ

λλλλλλλ

λλλ-----=--++--=------------=-+--=-+-+--==-=解得：

代入()A E X λ+=0，求得特征向量：

A 属于特征值-1的全部特征向量为k(1,-1,0)T ，(k ≠0)；A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,-1,1)T ，(k ≠0)；A 属于特征值3的全部特征向量为k(0,1,-1)T ，(k ≠0)

.

解（4）

32

23

212212533503751

21

2(1)[21](1)r r λλλλλλ

λ

λλλλ------⨯+----------=+---=-+直接展开：

特征值为-1，-1，-1；A 属于特征值-1的全部特征向量为k(1,1,-1)T ，(k ≠0)

解（5）

()11112122122

212

12n n n n n n n n a a b a b a b a

a b a b a b A b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪

== ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

【

设λ为A 的任一特征值，A 的属于λ的特征向量为：ξ，则 A ξλξ= 于是 2

2

A A ξλξλξ== 而2

()()0T

T

T

T

T

T

T A αβαβαβαβααββ==== 故 2λξ=0，因为特征向量0ξ≠，所以

0λ=，即矩阵A 的所有特征值为0.

11121111212122221

22211

212

12

0,0

0000000n

n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b A E a b a b a b a b a b a b a b b b b λ

λλλ-⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪- ⎪ ⎪

-=≠≠ ⎪ ⎪

⎪

⎪-⎝⎭⎝⎭

⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

1初等行变换

解得基础解系：

3211112n-1100,,010001n b b b b b b ξξξ⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

--- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

===

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

特征值为0（n 重）；A 属于n 重特征值0的全部特征向量为：

k 12

1100b b ⎛⎫- ⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭+ k 231010b b ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+ … + k n －11001n b b ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

（ k 1，k 2，…，k n －1不全为零）