三角函数诱导公式的应用教案

三角函数诱导公式的应用教案
耿 丽 静
教学目标：
1. 了解借助三角函数线推导诱导公式的过程。

2. 掌握并会运用诱导公式求值、化简、证明三角函数式。

3. 通过诱导公式的应用，提高三角恒等变形能力，培养学生化归转化的能力。

教学重点：应用诱导公式求值、化简、证明
教学难点：诱导公式的合理选择与灵活应用
教学过程：
一、
复习诱导公式（幻灯片展示）及公式的作用、记忆方法。

二、
解读本节课的学习目标。

三、 问题展示：
题型一、求值
例1、（1）=-∙-)3
19sin()617cos(ππ （2）=+++5
4cos 53cos 52cos 5cos ππππ 学生口答，并解释方法。

教师点评：（1）中角可以化为特殊角，（2）中角不可以化为非特殊角，要考虑消元求值。

例2、（1）已知51)25sin(-=-πα，求)sin()2
tan()2cos()sin(απαπαπαπ--∙--∙-的值 用投影仪展示学生的作法，让学生点评找错误。

教师总结并给出规范解答。

解：由条件得51cos =α，所以5
62sin ±=α )sin()2
tan()
2cos()sin(απαπαπαπ--∙--∙-
αααπααsin )2cos()2sin(cos sin ∙--∙=
αα
αααsin sin cos cos sin ∙∙= αsin =
5
62±= （2）已知21)3sin(=-απ，求)3
2sin()6cos(απαπ+∙+的值。

用投影仪展示两位学生的作法，让学生对比点评找错误。

学生作法1： 解：由条件21)3sin(
=-απ得36ππα-= 所以6πα=
， 所以)32sin()6cos(
απαπ+∙+=51cos sin 364ππ∙= 学生点评：
角α求解不全面。

由条件2
1)3sin(=-απ
得 236k π
π
απ-=+或5236
k π
παπ-=+ 所以26k π
απ=-或22
k π
απ=--，再代入求值。

学生作法2：利用已知角与待求角的互余、互补关系。

解： )3
2sin()6cos(απαπ
+∙+ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=)3(sin )3(2cos αππαππ )3sin()3sin(
απαπ-∙-=
41= 学生点评：两种方法的优劣，教师指出一般用第二种方法。

总结：三角函数式求值方法:
给角求值问题：一般是化任意角为特殊角, 或化为正负相消的项,或化分子分母使之进行约分求值。

给式求值问题：一般先把条件和结论化简再求值，关键在于变角，使角相同或具有某种关系。

要善于利用角的变换的思想方法解题。

常见的互余关系的角：απ
-3与απ+6；απ+3与απ-6；απ-4与απ+4 常见的互补关系的角：απ+3与απ-32；απ-4与απ+43 题型2、利用诱导公式化简
例3、（1）化简：)65tan(115cos 65cos 425cos 295sin 21︒︒︒︒︒-∙-+∙+ 用投影仪展示学生的作法，让学生点评找错误并分析原因。

规范解答： 解：)65tan(115cos 65cos 425cos 295sin 21︒︒︒︒︒-∙-+∙+
)65tan()65180cos(65cos )65360cos()65360sin(21︒--︒-︒-︒+︒+︒∙︒-︒+= ︒∙︒-︒+︒∙︒-=65tan 65cos 65cos 65cos 65sin 21
︒
︒∙
︒-︒+︒︒-︒+︒=65cos 65sin 65cos 65cos 65cos 65sin 265cos 65sin 22 ︒-︒+︒-︒=65sin 65cos 65cos 65sin
0= 教师点评：①分析角之间的关系，都统一用65︒的三角函数表示
②易错点：开方的符号
（2）化简： )2cos()23sin()27cos()2sin()23sin()sin()3tan(απαππααπαπαπαπ++-
∙-+--- 展示学生的作法，让学生点评找错误并分析原因。

学生错误：用诱导公式时符号出错。

解：原式α
ααααααcos cos )sin (sin )cos (sin tan ∙---+--= α
αα222cos sin cos 1-= α
α22cos sin 1-=
α
α22cos cos = 1=
总结：三角函数式化简方法: 异角化同角，异名化同名
题型3、利用诱导公式证明三角恒等式
例4、求证
ααπαπααπαπtan )2
cos()23sin()cos()2sin()2tan(=+∙+-∙--∙- 学生口答，说明做法。

证明：左边)
sin ()cos (cos )sin ()tan (ααααα-∙-∙-∙-= αtan =
=右边
四、课堂检测（留给学生10分钟）
（1）、)6
13sin(π-
的值为 （2）、)3
4c o s ()322s i n (ππππ+∙+n n （)Z n ∈的值为 （3）、已知31)6cos(=-απ，则)32sin()65cos(απαπ-∙+= （4）、化简：︒
+︒︒∙︒+800cos 260sin 440cos 280sin 21 五、课堂小结:（学生总结本节课题型与方法，教师补充。

）
三角函数式求值化简过程是一个化异为同，化未知为已知的过程，体现的是化归的数学思想。

在分析过程中，一般遵循以下原则：
先看角（互补、互余、和、差、倍、半）
后看函（公式的正用、逆用、变形用）
切化弦（一般情况）
六、课后作业：
（1）已知53)15cos(=+αo
，a 为锐角，求)105sin()195cos()165sin()435tan(0000αααα+∙+-+-的值
（2）已知α为第三象限角，)sin()tan()tan()23cos()2sin()(παπααπαππαα-----+-
=
f ①化简)(αf ； ②若5
1)23cos(=-
πα，求)(αf 的值。

评委点评：
1、 本节课教学目标定位准确，符合教材要求和学生实际，题型归
类总结全面，重点突出。

2、 课堂结构设计合理，完整，讲练时间安排得当，符合三阶八步
教学要求。

既有变式训练，又有课堂检测，使学生的知识得以强化，能力得以提升。

3、 例题的选择紧紧围绕教学目标，典型，有代表性，类型全面。

特别是例2、例3的选择，，例2先给出21)3sin(=-απ
，学生一看是
特殊值，自然想到先求角，再代入求值，但是求角容易漏解，而且若给出非特殊值，无法求角，自然引出方法2，分析已知角与待求角之间的关系，利用角的变换的思想解题，计算量较小，并分析两种方法的优劣，指出一般采用第二种方法。

例3的选择包含了同角三角函数关系式及诱导公式，涵盖了学生的易错点、易混点，充分暴露学生的错误。

4、 突出了学生的主体地位，充分展示学生的做法，通过讨论发现
问题，纠正错误，教师适当点拨。

5、 例题的讲解注重基本方法、基本技能，又体现了过程、方法、
态度与价值观，教会学生用联系的观点看问题。

同时又注重学生解题的规范性。

6、 充分利用多媒体、投影仪现代化教学手段，增大了课堂容量。

建议：
1、 在学生暴露问题的同时，让学生多讨论发现错误，教师点评稍
多。

2、 每种题型的方法尽量让学生总结，找出每种题型的特点，适合
用什么方法。

教学反思：
本节课目标明确（三种题型），其中证明题也是化简的过程，所以教学重点放在求值与化简两类题型上，能做到重点突出。

例题的选择比较典型，注重对学生基本技能的训练。

本节课目标之一要让学生学会用角的变换的思想分析问题，所以例题的讲解放在例2（2）和例3上。

充分利用多媒体、投影仪展示学生的作法，充分暴露学生的错误，也增大了课堂容量。

课堂检测针对求值、化简题型，以及学生的易错点重点练习，提升学生的能力。

其中例1（2）=+++5
4cos 53cos 52cos 5cos ππππ
，讲解过于简单，此题要让学生认识到条件给出的是非特殊角，也化不出特殊角，要利用消元求值。

通过例1给角求值题让学生认识到此类题要么化特殊角，要么消元求值。

另外在学生暴露问题的同时，让学生通过讨论发现问题，没有充分调动学生，教师点评过多。