平面向量基本定理基础训练题(含详解)
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
平面向量基本定理习题
平面向量根本定理习题课类型一：平面向量根本定理的应用 1．下面四种说法中，正确的选项是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底12,e e 使12a e e λμ=+成立的实数对一定是唯一的． A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④例2、梯形ABCD 中，N M DC AB ,|,|2||=分别是DC ，AB 的中点，假设,1e AB =,2e AD =用21,e e ，表示MN BC DC ,,变式1如图，平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，,AM c AN d ==，试用,c d 表示,AB AD 。
NMDCBA类型二：直线的向量参数方程的应用例3、设1e 、2e 是平面内的一组基底，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-，求证：A ，B ，D 三点共线。
变式1、在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，求证：ABCD 是梯形。
变式2、非零向量12,e e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值。
A CB DOCBA例4、如图，,,OA a OB b OC c ===且向量,,a b c 满足(),,c a b R λμλμ=+∈，证明：〔1〕假设A 、B 、C 三点共线，那么1λμ+=； 〔2〕假设1λμ+=，那么A 、B 、C 三点共线。
课后练习：1、 设O 是菱形ABCD 的两对角线的交点，以下各组向量：①,AD AB ； ②,DA BC ；③,CA DC ；④,OD OB ，其中可作为这个菱形所在平面表 示它的所有向量基底的是 〔 〕A 、①②B 、③④C 、①③D 、①④ 2、假设12,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作 为一组基底的是 〔 〕 A 、12e e +和12e e - B 、1232e e -和2146e e - C 、123e e +和213e e + D 、2e 和12e e +3、如果12,e e 是平面α内两个不共线向量，那么在以下各命题中是假命题 的有 〔 〕 ①12e e λμ+(),R λμ∈可表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量,a 使12a e e λμ=+的实数,λμ可以有许多对； ③假设向量1112e e λμ+和2122e e λμ+共线，那么有且只有一个实数λ，使 2122e e λμ+=λ〔1112e e λμ+〕； ④假设实数,λμ使12e e λμ+=0，那么0λμ==。
高一数学平面向量基本定理试题答案及解析
高一数学平面向量基本定理试题答案及解析1.（本小题满分14分）在四边形中，已知，，．（1）若四边形是矩形，求的值；（2）若四边形是平行四边形，且，求与夹角的余弦值．【答案】（1）18；（2）【解析】（1）由四边形是矩形知，再通过构造三角形，利用向量加法与减法将，用和表示出来，利用向量数量积的运算法则求出的值；（2）过构造三角形，利用向量加法与减法将，用和表示出来，利用向量数量积的运算法则通过计算的值列出关于与数量积的方程，求出与数量积，再利用向量夹角公式求出与的夹角的余弦值.试题解析：（1）因为四边形是矩形，所以由得：，． 3分∴． 7分（2）由题意，∴10分又，∴，∴．又∴，即．（利用坐标法求解，同样给分） 14分考点:向量的加法运算；向量数量积的运算法则和性质；向量夹角；方程思想；转化与化归思想2.如图，在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图，∵B,P,N三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵，∴，∴②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【考点】1．平面向量的线性运算；2．平面向量基本定理．3.下列命题中，正确的是．①平面向量与的夹角为，，，则；②已知，是平面内两个非零向量，则平面内任一向量都可表示为，其中；③已知，，其中，则；④是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心．【答案】①③④【解析】①：，①正确；②：根据平面基本定理的描述，作为基底的两个向量必须保证不共线才行，②错误；③：∵，，其中，∴，③正确；④：由，又∵，∴平分，即直线一定通过的内心．【考点】1．平面向量基本定理；2．平面向量的线性运算；3．平面向量的数量积．4.如图,在平行四边形中,，，，则（）(用，表示)A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】平面向量的基本定理，三角形法则.5.在平面直角坐标系中，给定，点为的中点，点满足，点满足.（1）求与的值；（2）若三点坐标分别为，求点坐标.【答案】（1）；（2）点的坐标为.【解析】先引入平面向量的基底，如，然后将分别用基底表示，最后得到，而另一方面，再根据平面向量的基本定理得到方程组，求解方程组即可；（2）先确定的坐标，设，再结合，得到，从而得到，求解即可得到点的坐标.试题解析：（1）设则 2分，，故 4分而由平面向量基本定理得，解得 6分（2）、、，由于为中点， 9分设，又由（1）知所以可得，解之得所以点的坐标为 12分.【考点】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理；3.平面向量的坐标运算.6.如图，向量若则【答案】-.【解析】由题,BP=BA,所以BO+OP=(B0+OA),整理得OP=OA-OB+OB, OP=OA+OB,所以x=,y=,x-y=-.【考点】向量.7.若，且，则四边形的形状是________．【答案】等腰梯形【解析】，共线，所以平行且不等，又有，所以四边形为等腰梯形【考点】向量共线点评：若两向量共线，则满足关系式，由向量共线可判定直线平行8.已知,,当＝时，(1) 与垂直；当＝时， (2) 与平行。
高考数学专题训练：平面向量基本定理含详解
高考数学专题训练：平面向量基本定理一、单选题1．在ABCD 中，点N 为对角线AC 上靠近A 点的三等分点，连结BN 并延长交AD 于M ，则MN = （）A ．1136AB AD -+ B ．1136AB AD -C ．1344AB AD-D ．3144AB AD-2．如图，在66⨯的方格中，已知向量,,a b c的起点和终点均在格点，且满足向量(),a xb yc x y R =+∈r r r，那么x y -=（）．A ．0B ．2-C ．1D ．23．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=-，则λμ+=（）A ．43B ．53C ．1D ．24．若a ，b 是两个不共线的向量，已知2MN a b =- ，2PN a kb =+ ，3PQ a b =-，若M ，N ，Q 三点共线，则k =（）A ．1-B ．1C ．32D ．25．如图所示，M ，N 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，且2AM MB = ，2NC AN =，则向量MN =（）．A ．1233AB AC - B ．1233AB AC +C ．1233AC AB-D ．1233AC AB+6．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M 、N ，若12AB AM = ，AC nAN =，则n =（）A ．1B ．32C ．2D ．37．如图所示，在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，25AM AD = ；若AM AB BC λμ=+，则λμ+的值为（）A ．43B ．815C ．23D ．4158．如图，在ABC 中，点M 是AB 上的点且满足3AM MB =，P 是CM 上的点，且15MP MC = ，设,AB a AC b == ，则AP = （）A ．1124a b+ B ．3155a b+ C ．1142a b+ D ．33105a b + 9．如图，ABC 中，D 为AB 上靠近B 的三等分点，点F 在线段CD 上，设AB a = ，AC b =，AF xa yb =+ ，则21x y+的最小值为（）A ．6B ．7C ．4+D ．4+10．在ABC 中，90ACB ∠= ，CB a = ，CA b =，点D 是ABC 的外心，E 是AC 的中点，则CD ＋BE＝（）A ．1122a b- B ．12a b -- C ．123a b- D ．12a b-+ 11．在等边△ABC 中，D 为BC 的中点，点P 为△ACD 内一点（含边界），若14AP AB AC λ→→→=+，则λ的取值（）A ．13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题12．在下列向量组中，可以把向量()3,2a →=表示出来的是（）A ．()()120,0,1,2e e →→==B ．()()121,2,5,2e e →→=-=-C ．()()123,5,6,10e e →→==D ．()()122,3,2,3e e →→=-=13．四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，22AB AD DC ==，3BC EC = ，2AE AF =，则下列表示错误的是（）A ．12CB AB AD=-+B ．1133AF AB AD=+C ．1263CF AB AD =- D ．2133BF AB AD =-+ 14．如图，在OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 上的一点，且4BC BF =，若OC mOE nOF =+uuu r uu u r uu u r，其中m ，n R ∈，则（）A ．107m n +=B ．2-7m n =C ．23m n =D ．32m n=15．如图所示的各个向量中，下列结论不正确的是（）A ．3322PQ a b=+ B ．3322PT a b=--C ．3122PS a b =- D ．32PR a b =+ 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、双空题16．如图，在OCB 中，点A 是BC 的中点，点D 是靠近点B 将OB 分成2:1的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b= （1）用a ，b表示向量DC =u u u r __________；（2）若OE OA λ=，则λ=__________17．如图，在ABC 中，13BD BC =，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ=+ ，则λμ=___________，2λμ-的最小值为___________.18．如图，3AB AD = ，4AC AE = ，BE 与CD 交于P 点，若AP m AB n AC =+，则m =______，n =______．四、填空题19．如图，在ABC 中，13AN NC →→=，P 是BN 上的一点，若311AP AB AC m →→→=+，则实数m 的值为________.20．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+=________.五、解答题21．如图，ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设,BA a BC c ==.（1）用a ，c 表示向量A E；（2）若点F 在AC 上，且1455BF a c =+，求:AF CF .22．如图，在平行四边形ABCD 中，2BE EC = ，3CF FD =，BF 与DE 交于点G ．(1)用AB ，AD 表示EF ；(2)用AB ，AD 表示AG ．23．如图所示，ABC 中，AB a = ，AC b =，D 为AB 的中点，E 为CD 上的一点，且4DC EC =，AE 的延长线与BC 的交点为F .(1)用向量a ，b 表示A E；(2)用向量a ，b 表示AF，并求出:AE EF 和:BF FC 的值.参考答案：1．B 【解析】【分析】把向量,AB AD作为基底，根据题意可得M 为AD 的中点，然后根据向量的加减法法则和平面向量基本定理求解即可【详解】解：因为点N 为对角线AC 上靠近A 点的三等分点，所以2CN AN =，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，所以2BC CNAM AN ==，所以12AM BC =，所以12AM AD =，MN AN AM=- 1132AC AD =- 11()32AB AD AD =+-1136AB AD =-,故选：B2．A 【解析】【分析】先设出水平向右的单位向量m 和水平向上的单位向量n，用单位向量表示题中的,,a b c ，结合(),a xb yc x y R =+∈r r r代入化简后联立方程组求解得到,x y 的值相减即可.【详解】设m 为水平向右的单位向量，n为水平向上的单位向量.则2a m n =- ，22b m n =+ ，24c m n =- .因为a xb yc =+ ，所以()()22224m n x m n y m n -=++- ，即()()22224m n x y m x y n -=++- .所以222241x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以11022x y -=-=.故选:A 3．C 【解析】【分析】根据向量的线性运算和平面向量基本定理得到()1 2AC AB AD λμλμ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭,再与AC AB AD =+对比,得到λμ+=1即可.【详解】因为AC AB AD =+ ，12AM AB BM AB AD =+=+ ， BD AD AB=-所以()()1122AC AM BD AB AD AD AB AB AD λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-=+--=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以λμ+=1.故选:C.4．B 【解析】【分析】利用向量的减法以及向量共线定理即可求解.【详解】由题意知，()1NQ PQ PN a k b =-=-+，因为M ，N ，Q 三点共线，故MN NQ λ=，即()21a b λa k b ⎡⎤-=-+⎣⎦ ，解得1λ=，1k =，5．C 【解析】根据平面向量基本定理，由平面向量的线性运算，利用题中条件直接计算，即可得出结果.【详解】因为2AM MB = ，2NC AN =，所以1233MN AN AM AC AB =-=- .故选：C.6．B 【解析】【分析】根据向量的共线定理可得解.【详解】连接AO ，由点O 是BC 的中点，则1122AO AB AC =+，又12AB AM = ，AC nAN = ，则1112242n AO AB AC AM =+=+ ，又O ，M ，N 三点共线，则1142n+=，解得32n =，故选：B.7．B【分析】根据题意求得1BD =，化简得到22515AM AB BC =+ ，结合AM AB BC λμ=+，求得,λμ的值，即可求解.【详解】在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，可得cos 601BD AB == ，由222122()()5553515AM AD AB BD AB BC AB BC==+=+=+又因为AM AB BC λμ=+ ，所以22,515λμ==，所以815λμ+=.故选：B.8．B 【解析】【分析】先将AP 用AM ，MP 表示，然后AM ，MP 再用,a b表示即可.【详解】3313133()445455AM MB AM AB AP AM MP AB MC AB AC AM AB =⇒==+=+=+-=+，131555AC a b =+.故选：B 9．D 【解析】【分析】由题意,用向量,AD AC 表示出向量AF ,根据点F 在线段CD 上可得到312x y +=，再根据基本不等式即可求得答案.【详解】由于D 为AB 上靠近B 的三等分点，故23AD AB = ,所以32x AF xa yb x AB y AC AD y AC =+=+=+ ,又因为点F 在线段CD 上，所以312x y +=，故2121332()()422x x yy x y x y y x+=++=++，由题意可知0,0x y >>，故2132442x yx y y x+=++≥+当且仅当322x y y x =时，即1132x y -=-=时，等号取得，故选：D.10．D 【解析】【分析】根据题意得点D 是Rt ACB 的斜边AB 的中点，进而根据向量加减法运算求解即可.【详解】解：因为点D 是ABC 的外心，且90ACB ∠= ，所以点D 是Rt ACB 的斜边AB 的中点，所以()111222CD CB CA a b =+=+.又E 是AC 的中点，所以12BE BC CE a b =+=-+，所以12CD BE a b +=-+ .故选：D.11．D 【解析】【分析】过AB 靠近A 的四等分点作AC 的平行线分别交AD ，BC 于点E ，F ，过E ，F 分别作AB 的平行线交AC 于M ，N ，求出min 14λ=，max 34λ=，即得解.【详解】解；过AB 靠近A 的四等分点作AC 的平行线分别交AD ，BC 于点E ，F ，由题意知，点P 在线段EF 上，过E ，F 分别作AB 的平行线交AC 于M ，N （如图所示），由题得13,44AM AC AN AC →→→→==，即min 14λ=，max 34λ=.所以1344λ≤≤.故选：D.12．BD 【解析】【分析】根据12a e e λμ→→→=+，选项A ：无解，故选项A 不能；选项B ：解得2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：无解，故选项C 不能．选项D ：解得513==1212λμ，，故选项D 能．【详解】解：根据12a e e λμ→→→=+，选项A ：(3，2)(0λ=，0)(1μ+，2)，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项B ：(3，2)(1λ=-，2)(5μ+，2)-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：(3，2)(3λ=，5)(6μ+，10)，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项D ：(3，2)(2λ=，3)(2μ-+，3)，则322λμ=+，233λμ=-+，解得513==1212λμ，，故选项D 能．故选：BD 13．AC 【解析】【分析】利用向量的线性运算将CB ,,,AF CF BF 用基底AB 和AD表示，与选项比较即可得正确选项.【详解】对于选项A ：1122CB CD DA AB AB DA AB AB DA =++=-++=+，故选项A 不正确；()11121122112223223333AF AE AB BE AB AB DA AB DA AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=-+=-=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项B 正确；1111223363CF CD DA AF AB AD AB AD AB AD =++=--++=--，故选项C 不正确，11213333BF AF AB AB AD AB AB AD =-=+-=-+，故选项D 正确；故选：AC.14．ABC 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则及平面向量的基本定理，可得12OE OA OB =+ ，14OF OB OA =+，又OC OA OB =+，根据题意，化简计算，可得m ，n 的值，逐一分析选项，即可得答案.【详解】在平行四边形中OA BC = ，OB AC = ，OC OA OB =+，因为E 是AC 中点，所以1122AE AC OB ==，所以12OE OA AE OA OB =+=+ ，因为4BC BF =，所以11 44BF BC OA == ，所以14OF OB BF OB OA =+=+ ，因为OC mOE nOF =+uuu r uu u r uuu r ，所以1142OC m n OA m n OB ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以114112m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6747m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以107m n +=，27m n -=，23m n =，故选：ABC ．15．BD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，可得向量(1,1),(1,1)a b ==- ,由此以向量(1,1),(1,1)a b ==-为基底分别表示PQ ，,,PT PS PR，由向量的坐标运算判断选项A,B,C,D,可得正确答案.【详解】如图，建立空间直角坐标系：则(1,1),(1,1)a b ==-，故3333(0,3)(1,1)(1,1)2222PQ a b ==+-=+，A 选项正确，3333(3,0)(1,1)(1,1)2222PT a b ==--=-，B 选项错误，3131(2,1)(1,1)(1,1)2222PS a b ==--=-，C 选项正确，3131(1,2)(1,1)(1,1)2222PR a b ==+-=+，D 选项错误，故选：BD.16．523a b-r r 45【解析】（1）由22=-=- OC OA OB a b ，2233OD ==，再结合DC OC OD =- ，即可得出答案；（2）由C ，E ，D 三点共线，可知存在实数μ，使得EC DC μ=，进而由又()2EC OC OE a b a λ=-=-- ，523=- DC a b ，可建立等式关系，从而得22513λμμ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解即可.【详解】（1）因为点A 是BC 的中点，所以()12OA OB OC =+，所以22=-=- OC OA OB a b ，又点D 是靠近点B 将OB 分成2:1的一个分点，所以23OD OB = ，所以()252233DC OC OD a b b a b =-=--=- .（2）因为C ，E ，D 三点共线，所以存在实数μ，使得EC DC μ=，又()()22EC OC OE a b a a b λλ=-=--=-- ，523=-DC a b ，所以()5223a b a b λμ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ，又a ，b不共线，则22513λμμ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得45λ=.故答案为：（1）523a b -r r ；（2）45.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题.17．2116-【解析】【分析】先得出2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，设出(01)AE x AD x =<<得出233x x AE AB AC =+ ，则2=,33x xλμ=，两问分别代入计算即可.【详解】因为在ABC 中，13BD BC =，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,即2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r .因为点E 在线段AD 上移动（不含端点），所以设(01)AE x AD x =<<.所以233x x AE AB AC =+ ，对比AE AB AC λμ=+ 可得2=,33x x λμ=.代入2=,33x x λμ=，得2323xx λμ==；代入2=,33x x λμ=可得22224=33(0931)x x x x x λμ⎛⎫--=- <⎝<⎪⎭，根据二次函数性质知当1334829x -=-=⨯时，()22min 43131=983816λμ⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为：12;16-18．311211【解析】【分析】通过向量三点共线定理，以及基底转化的方法，将AP 用,AB AC表示，根据平面向量基本定理，可以得到,m n 的值【详解】设1BP BE λ= ，2CP CD λ= ，可得()1114AP AB AC λλ=-+ ，()2213AP AC AB λλ=-+，所以2113λλ-=且2214λλ=-，可得1811λ=，2911λ=，代入上式从而可得()13111m λ=-=，12411n λ==．另外，也可用梅涅劳斯定理．由梅涅劳斯定理可知1CE AB DP EA BD PC⋅⋅=，因为3CE EA =，32=AB BD ，所以，29DP PC =，则923211111111AP AD AC AB AC =+=+ ，故311m =，211n =．故答案为;311，211．19．211【解析】【分析】解法1：先根据13AN NC →→=得到4AC AN →→=，从而可得3411AP AB N m A →→→=+，再根据三点共线定理，即可得到m 的值.解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底AB AC →→，去表示AP →，根据图形可得：AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，通过向量线性运算可得：()14AP AB AC λλ→→→=-+，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得m 的值.【详解】解法1：因为13AN NC →→=，所以4AC AN →→=，又311AP AB AC m →→→=+，所以3411AP AB N m A →→→=+因为点,,P B N 三点共线，所以3+4111m =，解得：211m =.解法2：因为AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，所以AP AB BN λ→→→=+，因为13AN NC →→=，所以14AN AC →→=，又BN AN AB →→→=-，所以14BN AC AB →→→=-，所以()=4141AP AB AC AB AB AC λλλ→→→→→→⎛⎫=+-+ ⎝-⎪⎭，又311AP AB AC m →→→=+，所以31114m λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：8=11211m λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以211m =.故答案为：211.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.20．43【解析】【分析】设,AB a AD b ==，根据题意得到11,22AE a b AF a b =+=+ ，得到2()3AC AE AF =+ ，进而得到23λμ==，即可求解.【详解】设,AB a AD b ==，因为E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，可得11,22AE a b AF a b =+=+,又因为AC a b =+，所以2()3AC AE AF =+ ，因为AC AE AF λμ=+ ，所以23λμ==，所以43λμ+=.故答案为：43.21．（1）1344AE c a =-；（2）:4:1AF CF =.【解析】【分析】（1）由于点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，所以12AD AC = ，1()2AE AB AD =+，而AC BC BA c a =-=-，从而可求得结果，（2）设AF AC λ= ，从而可得BF BA AF BA AC λ=+=+ ，再用a ，c表示，然后结合1455BF a c =+，可求得λ的值，从而可求得:AF CF 的值【详解】（1）因为AC BC BA c a =-=-，点D 是AC 的中点，所以11()22AD AC c a ==- ，因为点E 是BD 的中点，所以1111113()()2222444AE AB AD AB AD a c a c a =+=+=-+-=-.（2）设AF AC λ=，所以()(1)BF BA AF BA AC a c a a c λλλλ=+=+=+-=-+ .又1455BF a c =+ ，所以45λ=，所以45AF AC =，所以:4:1AF CF =.22．(1)3143EF AB AD =-+ (2)1839AG AB AD=+ 【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可，（2）过E 作EH ∥BF ，交CD 于H ，则由平行线分线段成比例结合已知条件可得3FB HE =，13FG HE = ，从而可得83GB HE = ，再将HE 用AB ，AD表示，代入化简可得结果(1)因为在平行四边形ABCD 中，2BE EC = ，3CF FD =，所以1133CE CB AD ==- ，3344CF CD AB ==- ，所以3143EF CF CE AB AD=-=-+(2)过E 作EH ∥BF ，交CD 于H ，因为2BE EC = ，所以12CH FH =，因为3CF FD = ，所以3CFFD=,所以::1:2:1DF FH HC =,因为EH ∥BF ，2BE EC =，所以13EH CE FB CB ==，所以3FB HE = 因为12DF FH =,EH ∥BF ，所以13FG DF HE DH ==，所以13FG HE = ，所以18333GB FB FG HE HE HE =-=-= ,因为11113434HE CE CH CB CD AD AB =-=-=-+ ，所以8118233493GB AD AB AD AB ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，所以28183939AG AB BG AB GB AB AB AD AB AD=+=-=-+=+ 23．(1)1384AE a b=+(2)1677AF a b =+，7，6【解析】【分析】（1）由已知得()4AC AD AC AE -=- ，3144AE AC AD =+，D 为AB 的中点，可得答案；（2）设BF t BC =，得()1AF tb t a =+- ，设AF AE λ= ，可得1384AE a b =+ ，即384AF a b λλ=+ ，由a ，b不共线和平面向量基本定理求得λ、t ，可得答案.(1)答案第15页，共15页根据题意因为：4DC EC = ，所以()4AC AD AC AE -=- ，所以3144AE AC AD =+ ，D 为AB 的中点，AB a = ，AC b = ，所以12AD a = ，1384AE a b =+ .(2)因为B ，F ，C 三点共线，设BF t BC = ，所以()1AF t AB t AC =-+ ，即()1AF tb t a =+- ，A ，F ，E 三点共线，设AF AE λ=，由（1）可知1384AE a b =+ ，即384AF a b λλ=+ ，a ，b 不共线，由平面向量基本定理，所以1834t t λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以87λ=，67t =，所以87AF AE = ，67BF BC = ，则:AE EF 的值为7，:BF FC 的值为6.。
高一数学平面向量基本定理试题答案及解析
高一数学平面向量基本定理试题答案及解析1.已知矩形中ABCD，,（1）若,求（2）求与夹角的余弦值．【答案】(1);(2)【解析】（1），;(2)设与的夹角为，由=,因此向量与的夹角的余弦值为.试题解析：（1），（2）设与的夹角为，由=与的夹角的余弦值为【考点】向量的运算及性质2.设与是不共线向量，，若且，则实数的值为（）A．0B．1C．D．【答案】C【解析】因为，易知，所以存在唯一实数使得即，也就是，因为与是不共线向量，由平面向量的基本定理可知，解得或，当时，，不符合题意，所以，故选C．【考点】1．共线定理；2．平面向量的基本定理．3.已知中，边上的中线AO长为2，若动点满足，则的最小值是 .【答案】【解析】若三点共线，则,反之也成立.由得三点共线且. 等于【考点】向量共线，基本不等式.4.若平面向量与向量平行，且，则( )A．B．C．D．或【答案】D【解析】根据题意，由于平面向量与向量平行，且=（2，），因为就，则可知5，故可知或，故选D.【考点】向量共线点评：主要是考查了向量共线的坐标运算，属于基础题。
5.下列命题正确的是（）A．若·=·，则=B．若，则·="0"C．若//，//，则//D．【答案】B【解析】根据题意，对于选项A,由于向量不能约分，故错误，，对于B，由于向量等式两边平方可知成立。
，对于C，由于，为零向量不一定成立，对于D，向量不满足于结合律，故错误，故选B.【考点】向量的共线点评：主要是考查了向量的共线与向量的数量积的运用，属于基础题。
6.已知,,当＝时，(1) 与垂直；当＝时， (2) 与平行。
【答案】（1）19（2）【解析】（1）根据题意，由于,,，则可知与垂直；）=0得k=19；(2) 同理对于与，则有平行的向量的坐标关系式可知，由(k-3)(-4)=(2k+2)*10得故答案为19，【考点】向量的共线与垂直点评：主要是考查了向量的共线以及向量垂直的坐标关系式的运用，属于基础题。
2021秋高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理练习(含解析)新人教A版必修4
2.3.1 平面向量根本定理A 级 根底稳固一、选择题1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，那么以下四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2解析：B 中，因为6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， 所以(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，所以3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 答案：B2．在菱形ABCD 中，∠A ＝π3，那么AB →与AC →的夹角为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析：由题意知AC 平分∠BAD ，所以AB →与AC →的夹角为π6.答案：A3．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →＝2DC →，设AB →＝a ，AC →＝b ，那么AD →可用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：因为BD →＝2DC →， 所以BD →＝23BC →.所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .答案：C4．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝3PA →，那么( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：由BP →＝3PA →，得OP →－OB →＝3(OA →－OP →)，整理，得OP →＝34OA →＋14OB →，故x ＝34，y ＝14.答案：D5．(2021·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 答案：A 二、填空题6．假设OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，那么OP →＝________．解析：因为OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， 所以(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→.所以OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .答案：11＋λa ＋λ1＋λb 7．|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，那么a 与b 的夹角为________．解析：如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，那么BA →＝a －b .由，得OA ＝1，OB ＝2，OA ⊥AB ，所以△OAB 为等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以a 与b 的夹角为45°.答案：45°8．如果3e 1＋4e 2＝a ，2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为向量，那么e 1＝________，e 2＝________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3e 1＋4e 2，b ＝2e 1＋3e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝3a －4b ，e 2＝3b －2a .答案：3a －4b 3b －2a 三、解答题9．如下图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，假设OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．解：如下图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，那么OC →＝OD →＋OE →.在直角△OCD 中，因为|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，所以|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.10．如下图，▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE ，BF 的交点，假设AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →，CG →.解：DE →＝AE →－AD →＝AB →＋BE →－AD →＝a ＋12b －b ＝a －12b .BF →＝AF →－AB →＝AD →＋DF →－AB →＝b ＋12a －a ＝b －12a .如下图，连接DB ，延长CG ，交BD 于点O ，点G 是△CBD 的重心，故CG →＝CE →＋EG →＝12CB →＋EG →＝12CB →＋13ED →＝－12b －13⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－13a －13b .B 级 能力提升1．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么以下说法中不正确的选项是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③假设向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，那么有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④假设存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，那么λ＝μ＝0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②解析：由平面向量根本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量根本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．答案：B2．如图，向量BP →＝14BA →，假设OP →＝xOA →＋yOB →，那么x －y ＝________．解析：因为OP →＝OB →＋BP →＝OB →＋14BA →＝OB →＋14(BO →＋OA →)＝14OA →＋34OB →，所以x ＝14，y ＝34.所以x －y ＝－12.答案：－123．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)假设4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．(1)证明：假设a ，b 共线，那么存在λ∈R ，使a ＝λb ， 那么e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线得，⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23. 所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)解：设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，得3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)解：由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
平面向量最全面基础题(含详解答案)
平面向量最全面基础题一、填空题1．下列命题中正确的有________.(填序号)①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若 =a b r r ，则a b =r r ；③若AB DC =u u u r u u u r ，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；④在▱ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ；⑤若a b =r r ，b c =r r ，则a c =r r； ⑥若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r ；2．已知点A(1,3)，B(4,−1)，则与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量的坐标为____________. 3．在等边三角形ABC 中，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则CE AF ⋅=u u u r u u u r __________．4．已知矩形ABCD 的边长为2AB =，3BC =，E 为BC 边上靠近点B 的三等分点，则AE AC →→⋅=__________．5．如图，在平行四边形ABCD 中，AO a →→=，DO b →→=，用向量,a b →→表示向量CB →=______.6．已知|a r |＝3，|b r |＝4，求|a b -r r |的取值范围_____．7．设向量,a b v v 不平行,向量2a b λ-r r 与2a b +rr 平行,则实数λ=___________. 8．已知向量(),12OA k =u u u v ，()4,5OB =u u u v ，(),10OC k =-u u u v ，且A 、B 、C 三点共线，则k =_______9．已知向量()2,6a =-v ，()3,b m =v ，若a b a b +=-v v v v，则m =______. 10．如图，在ABC ∆中，13AD AB =u u u r u u u r ，点E 为CD 的中点.设CA a =u u r r ，CB b =u u u r r ，则AE =u u u r ______（用a r ，b r 表示）.11．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量a r 、b r 、c r 满足(2)0a tb c +⋅=r r r ，则实数t 的值为_______．12．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒，2a =r ，3b =r ，则32a b -=r r __________.13．已知(2,1)a =r ，(3,4)b =r ，则a r 在b r 的方向上的投影为________．14．已知5,3a b ==r r ，且12a b ⋅=-r r ，则向量a r 在向量b r 上的投影等于______二、解答题15．已知向量()2,0a =r ，()1,4b =r .（1）若向量ka b +r r 与2a b +r r 垂直，求k 的值；（2）若向量ka b +r r 与2a b +r r 的夹角为锐角，求k 的取值范围； （3）求a b +r r 和2a b -r r夹角的余弦值. 16．已知向量()3,2a =v ，(1,3)b =v －，()5,2c =v ．(1)求62a b c v v v ＋－；(2)求满足a mb nc v v v＝＋的实数m ，n ； (3)若()//(2)a kc b a v v v v ＋－，求实数k .17．在平面直角坐标系中，已知向量2a =r ，3b =r ，且326a b -=r r .（1）求向量,a b r r 的夹角θ；（2）求()()22a b a b +⋅-r r r r 的值.。
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平面向量基本定理基础训练题（含详解)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在ABC 中，E 是AC 的中点，3BC BF =，若AB a =，AC b =，则EF =（ ）
A ．
21
36
a b - B ．1
133
a b +
C ．
1124
a b D ．1133
a b -
2．如图，已知AB a =，AC b =，3BD DC =，用a 、b 表示AD ，则AD 等于（ ）
A ．3
4a b + B ．
31
44a b + C ．1144
a b +
D ．1344
a b +
3．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是( ) A ．12
33
OA AB BC =+ B ．21
33OA AB BC =
+ C ．12
33
OA AB BC =
- D ．21
33
OA AB BC =-
- 4．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若
(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则
31
m n
+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11
D ．12
5．在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB DC =，E 为BC 的中点，则（ ）
A ．3142AE A
B AD →→→
=+
B ．3122AE AB AD →
→→
=+
C ．1142
AE AB AD →→→
=+
D ．3144
AE AB AD →→→
=+
6．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =，则BE =（ ）
A ．4
5
AB AD -
+ B ．
4
5
AB AD - C ．4
5
AB AD -+
D ．3
4
AB AD -
+
二、填空题
7．在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM AN λμ=+，则实数λμ+=_______.
8．已知ABC ，若点D 满足34
AB AC
AD +=
，且()BD CD λλ=∈R ，则λ=________．
参考答案
1．A 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则计算得到答案. 【详解】
1223EF EC CF AC CB =+=
+()
12212336AC AB AC AB AC =+-=-2136
a b =-. 故选：A . 【点睛】
本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 2．D 【解析】
分析：用向量的加法法则表示出AD ，再由数乘与减法运算可得． 详解：由题意
34AD AB BD a BC =+=+
3()4a AC AB =+-3()4a b a =+-13
44
a b =+， 故选D ．
点睛：本题考查平面向量基本定理，考查平面向量的线性运算，解题时抓住向量线性运算的运算法则（加法、减法、数乘等）就可以把任一向量用基底表示出来． 3．D 【解析】 【分析】
由0OA OB OC ++=可知，所以O 为ABC ∆的重心，运用向量的加法运算，
21()32OA AB AC →→
→
=-⨯+,整理后可求结果.
【详解】
因为0OA OB OC ++=，所以O 为ABC ∆的重心，
所以211121()()()323333
OA AB AC AB AC AB AB BC AB BC →→→→→
→→→→→
=-⨯+=-+=-++=--.
故选:D. 【点睛】
本题考查了向量加法的运算,考查了向量的线性表示,考查了平面向量的基本定理,属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】
由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，
,,A B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：
()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当11
,26m n ==时等号成立. 综上可得：31
m n
+的最小值是12.
本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．A 【解析】 【分析】
根据题意，选基底AB →
，AD →
表示向量AE →
即可求解. 【详解】
由等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，E 为BC 的中点可知，
AE AB BE →→→
=+,①
12
AE AD DC CE AD AB CE
→
→
→
→
→
→→=++=++②
①+②得：322
AE AD AB →
→
→
=+,
即3142
AE AB AD →→→
=+，
故选：A 【点睛】
本题主要考查了向量的加法，向量的基底，属于容易题. 6．A 【解析】 【分析】
由4,CE ED =得4
5
CE CD =，在BEC △中，利用向量加法可得. 【详解】
4
4,,5
CE ED CE CD =∴=
44
55
BE BC CE AD CD AB AD ∴=+=+=-+
故选：A. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算. 用已知向量表示某一向量的两个关键点:
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． 7．
4
3
【解析】 【分析】
由题意结合平面向量线性运算法则可得22AC AB AB A A D D μλλμ⎛⎫⎛
⎫=+++= ⎪ ⎪⎝+⎭⎝
⎭，由
平面向量基本定理可得12
12μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，即可得解.
【详解】
由题意画出图形，如图所示：
由题意可得()()
AC AB BM A AM AN D DN λμλμ=++++=
11112222AB BC AD DC AB AD AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
22AB AD μλλμ⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
又AC AB AD =+，所以12
12μλλμ⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，
从而3
()22λμ+=，即43
λμ+=. 故答案为：4
3
.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算法则、平面向量基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8．13
-
【解析】
【分析】
根据题意，利用平面向量的基本定理，化简即可得到结论. 【详解】
由
3
4
AB AC
AD
+
=，可得43
AD AB AC
=+，
所以，33
AD AD AB AC
+=+，即
()
3AD AB AC AD
-=-，
所以，3BD DC
=，故
1
3
BD CD
=-．
故答案为：
1 3 -.
【点睛】
本题考查平面向量的基本定理，属于基础题．。