-2017立体几何全国卷高考真题
2015-2017立体几何高考真题
1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16
3
r =，所以米堆的体积为211163()5433????=320
9
，故堆放的米约为
320
9
÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221
42222
r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.
考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；
（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG ⊥AC ，通过计算可证EG ⊥FG ，根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂
直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r
的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r
为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，利用向量法可求出异面直线
AE 与CF 所成角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=3. 由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ， 又∵AE ⊥EC ，∴EG=3，EG ⊥AC ，
在Rt △EBG 中，可得BE=2，故DF=
2
2
. 在Rt △FDG 中，可得FG=
62
. 在直角梯形BDFE 中，由BD=2，BE=2，DF=22可得EF=322
， ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC∩FG=G，∴EG ⊥平面AFC ，
∵EG ?面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.
（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r
为单位长
度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0
0），E （
），F （－
1,0
），C （0
0），∴AE u u u r =（1
），CF uuu r =（-1，
） (10)
分
故cos ,3||||
AE CF AE CF AE CF ?<>==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
所以直线AE 与CF
. 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力
4、（2015年2卷6题）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A ．
81 B ．71 C ．61 D ．5
1 【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，
设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=
?=，故剩余几何体体积为33315
66
a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5
1
，故选D ．
考点：三视图．
A
1
5、（2015年2卷9题）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球
O 的表面积为（
） A
．36π B．64π C．144π D．256π
【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最
大，设球O 的半径为R ，此时23111
36326
O ABC C AOB V V R R R --==??==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ． 考点：外接球表面积和椎体的体积．
6、（2015年2卷19题）（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，
=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平
面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：
（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是226MH EH EM =
-=，所以10AH =．以D
为坐标原点，DA u u u r
的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =u u u r ，(0,6,8)HE =-u u u r
．设(,,)n x y z =r
是平面EHGF 的法向量，则
0,
0,n FE n HE ??=???=??r u u u r r u u u r 即100,680,x y z =??
-+=?所以可取(0,4,3)n =r ．又(10,4,8)AF =-u u u r ，故45
cos ,15n AF n AF n AF
?<>==
?r u u u r r u u u r r u u u r ．所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为45
15
．
A 1
A
B 1B
D 1D
C 1
C
F E H G
M
考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．
D D C
A
E F
A B C
B
7、（2016年1卷6题）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
283
π
,则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π
【解析】
试题分析： 该几何体直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的1
8,设球的半径为R ,则37428V R 833
ππ=?=,解得R 2=,所以它
的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271
=42+32=1784
S πππ????故选A ．
考点：三视图及球的表面积与体积
8、（2016年1卷11题）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为
(B (D)13
试题分析：如图,设平面11CB D I 平面ABCD ='m ,平面11CB D I 平面11ABB A ='n ,因为
//α平面11CB D ,所以//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1
D 作11//D
E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B
F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则
','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60?,故,m n ,选A. 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.
【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.
9、（2016年1卷18题）如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,
90AFD ∠=o ,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o ．
（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．
试题解析：（I ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．
（II ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．
以G 为坐标原点,GF u u u r 的方向为x 轴正方向,GF u u u r
为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标
系G xyz -．
由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =o ,则DF 2=,DG 3=,可得
()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D 3．
由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ．
C
A
B
D
E
F
又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．
由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,
C F 60∠E =o ．从而可得()
C 2,0,3-．
所以()C 1,0,3E =u u u r ,()0,4,0EB =u u u r ,()
C 3,4,3A =--u u u r
,()4,0,0AB =-u u u r ．
设(),,n x y z =r
是平面C B E 的法向量,则
C 00n n ??E =???EB =??u u u r r u u u r r ,即30
40x z y ?+=??
=?
?, 所以可取()
3,0,3n =-r
．
设m r 是平面CD AB 的法向量,则C 0
m m ??A =???AB =??u u u
r r u u u r
r , 同理可取()
0,3,4m =r
．则219cos ,19
n m n m n m ?==-r r r r r r ．
故二面角C E -B -A 的余弦值为21919
-
．
考点：垂直问题的证明及空间向量的应用
【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决.
10、（2016年2卷6题）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．
由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：()
2
2223
4l =+=，
21
π2
S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，
故选C ．
11、（2016年2卷14题）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：
①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α?，那么m β∥．
④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号） 【解析】②③④
12（2016年2卷19题）（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，5
4AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置
10OD '=.
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
【解析】⑴证明：∵5
4AE CF ==
，∴AE CF AD CD
=，∴EF AC ∥． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，
∴EF DH
'⊥．∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥， ∴4OB =，∴1AE OH OD AO
=
?=，∴3DH D H '==，∴222
'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ．
⑵建立如图坐标系H xyz -．
()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，， ()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur ，，，()060AC =uuu r
，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r
，
由1100n AB n AD ??=??'?=??u u r u u u r u u r u u u u r 得430330
x y x y z +=??-++=?，取345x y z =??=-??=?
， ∴()1345n =-u r ，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r
，，
，
∴121295
75cos 255210
n n n n θ?+==
=?u r u u r
u r u u r ，∴295
sin 25θ=． 13、（2016年3卷9题）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的
三视图，则该多面体的表面积为（ ）
（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81 【答案】B
考点：空间几何体的三视图及表面积．
【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解． 14、（2016年3卷10题）在封闭的直三棱柱
111
ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若
AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）
（A ）4π （B ）92π
（C ）6π （D ）323π
【答案】B
试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下
底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439
()3322R πππ
==，故选B ．
考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．
【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解． 15、（2016年3卷19题）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC P ，3AB AD AC ===，
4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．
（I ）证明MN P 平面PAB ；
（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）85．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以A 为坐标原点，以
,AD AP 所在直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平
面PMN 法向量的夹角来处理AN 与平面PMN 所成角．
试题解析：（Ⅰ）由已知得
2
32
==
AD AM ，取BP 的中点T ，连接
TN AT ,，由N 为PC
中点知BC TN //，221
==
BC TN .
又BC AD //，故
TN AM
P ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.
因为?AT 平面PAB ，?MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .
设(,,)n x y z =r 为平面PMN 的法向量，则?????=?=?00PN n PM n ，即?????=-+=-02250
42z y x z x ，可取
(0,2,1)n =r
，
于是
||85
|cos ,|||||n AN n AN n AN ?<>==r u u u r
r u u u r r u u u
r .
考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积． 【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离
常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理． 16、（2017年1卷7题）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
【答案】B
【解析】由三视图可画出立体图
该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 ()24226S =+?÷=梯
6212S =?=全梯 故选B
17、（2017年1卷16题）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 为元O 上的点，DBC △，ECA △，FAB △分别是一BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当ABC △的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为_______．
【答案】415【解析】由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥
3
OG =
，即OG 的长度与BC 的长度或成正比 设OG x =，则23BC x =，5DG x =-
三棱锥的高22225102510h DG OG x x x x --+--
21
233332
ABC S x x =??
=△ 则21
325103
ABC V S h x x =?=?-△45=32510x x ?-
令()452510f x x x =-，5
(0,)2
x ∈，()3410050f x x x '=-
令()0f x '>，即4320x x -<，2x <
则()()280f x f =≤ 则38045V ?=≤
∴体积最大值为3415cm
18、（2017年1卷18题）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=?．
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=?，求二面角A PB C --的余弦值． 【解析】（1）证明：∵90BAP CDP ∠=∠=?
∴PA AB ⊥，PD CD ⊥ 又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥
又∵PD PA P =I ，PD 、PA ?平面PAD ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ?平面PAB ∴平面PAB ⊥平面PAD
（2）取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ∵AB CD
∴四边形ABCD 为平行四边形 ∴OE
AB
由（1）知，AB ⊥平面PAD
∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ?平面PAD ∴OE PO ⊥，OE AD ⊥ 又∵PA PD =，∴PO AD ⊥ ∴PO 、OE 、AD 两两垂直
∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -
设2
PA=，∴()00
2
D-，，、()
2
20
B，，
、(
)
02
P，，、()
20
2
C-，，，∴()
22
PD=--
u u u r
，，、()
2
22
PB=-
u u u r
，，、()
2200
BC=-
u u u r
，，
设()
n x y z
=
r
,,为平面PBC的法向量
由
n PB
n BC
??=
?
?
?=
??
r u u u r
r u u u r，得
2220
220
x y z
x
?+-=
?
?
-=
??
令1
y=，则2
z=，0
x=，可得平面PBC的一个法向量()
012
n=
r
,,
∵90
APD
∠=?，∴PD PA
⊥
又知AB⊥平面PAD，PD?平面PAD
∴PD AB
⊥，又PA AB A
=
I
∴PD⊥平面PAB
即PD
u u u r是平面PAB的一个法向量，()
22
PD=--
u u u r
,,
∴
3
cos
23
PD n
PD n
PD n
?
===-
?
u u u r r
u u u r r
u u u r r
,
由图知二面角A PB C
--为钝角，所以它的余弦值为3
-
19、(2017年2卷4题)如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几
何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）【解析】A．90πB．63πC．42πD．36π
【解析】【命题意图】本题主要考查简单几何体三视图及体积，以考查考生的空间想象能力为主目的.
【解析】【解析】解法一：常规解法
【解析】从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具体图像如下：
切割前圆柱 切割中 切割后几何体
【解析】
从上图可以清晰的可出剩余几何体形状，该几何体的体积分成两部分，部分图如下：
从左图可知：剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体 积为V Sh =，3r =，4h =，∴ 136V π=；上面阴影的体积2V 是上 面部分体积3V 的一半，即231
2
V V =，3V 与1V 的比为高的比（同底），
即3132
V V =，213
274V V π==，故总体积02163V V V π=+=.
第二种体积求法：354V Sh π==，其余同上，故总体积 02163V V V π=+=.
20、(2017年2卷10题)已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，
1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）
A ．
32 B ．155 C ．10
5
D ．33 【命题意图】本题考查立体几何中的异面直线角度的求解，意在考查考生的空间想象能力 【解析】解法一：常规解法
在边1BB ﹑11B C ﹑11A B ﹑AB 上分别取中点E ﹑
F ﹑
G ﹑
H ，并相互连接.
由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面 直线1AB 和1BC 所成的夹角为FEG ∠或其补角， 通过几何关系求得22EF =，5
2
FG =， 11
2
FH =
，利用余弦定理可求得异面直线 1AB 和1BC 所成的夹角余弦值为
105
. 21、(2017年2卷19题) 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45 ，求二面角M -AB -D 的余
弦值
【命题意图】线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面角、二面角的求解 【标准答案】（1）证明略；（2）
105
【基本解法1】
（1）证明：取PA 中点为F ，连接EF 、AF 因为90BAD ABC ∠=∠=?，1
2BC AD =所以BC 1
2
AD 因为E 是PD 的中点，所以EF
1
2
AD ，所以EF BC 所以四边形EFBC 为平行四边形，所以//EC BF 因为BF ?平面PAB ，EC ?平面PAB 所以直线//CE 平面PAB
（2）取AD 中点为O ，连接OC OP 、
因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥AD
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PO ?平面PAD 所以PO ⊥平面ABCD
因为AO BC ，所以四边形OABC 为平行四边形，所以//AB OC 所以OC AD ⊥
以,,OC OD OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图
设1BC =，则3),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0)P A B C --，所以(1,0,3)PC =u u u r
设(,,)M x y z ，则(,,3)PM x y z =u u u r ，(1,0,0)AB =u u u r
因为点M 在棱PC 上，所以(01)PM PC λλ=≤≤u u u u r u u u r
，即(,,3)(1,0,3)x y z λ=
所以(33)M λλ，所以(33)BM λλ=-u u u u r
平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n =r
因为直线BM 与底面ABCD 所成角为45?，
所以222|||33|2
|sin 45||cos ,|||||(1)1(33)1BM n BM n BM n λλλ?-?=<>===-++-?u u u u r r
u u u u r r u u u u r r 解得212λ=-，所以26
(22
BM =-
-u u u u r
设平面MAB 的法向量为(,,)m x y z =u r
，则0
02AB m x BM m x y z ??==?
??=-
+=??u u u r u r
u u u u r u r 令1z =
，则m =u r
所以cos ,5m n <>==
u r r
u r r 所以求二面角M AB D --
的余弦值5
22、（2017年3卷8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A ．π
B ．3π4
C ．π２
D ．π
4
【答案】B
【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r =
则圆柱体体积2
3ππ4V r h ==，故选B.
23、（2017年3卷16题）为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC
所在直线与
，都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与成60?角时，AB 与成30?角； ②当直线AB 与成60?角时，AB 与成60?角； ③直线AB 与所成角的最小值为45?； ④直线AB 与所成角的最大值为60?．
其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③
【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =
，AB =
斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．
以C 为坐标原点，以CD u u u r 为轴正方向，CB u u u r
为轴正方向，
CA u u u r
为轴正方向建立空间直角坐标系．
则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，
直线的方向单位向量(0,1,0)a =r ，||1a =r
．
B 点起始坐标为(0,1,0)，
直线的方向单位向量(1,0,0)b =r
，||1b =r ． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'，
其中为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．
那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--u u u r ，||2AB '=u u u r ．
设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2
α∈，
则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22
cos |sin |[0,]a AB θθαθ--?==∈'r u u u r ． 故ππ
[,]42α∈，所以③正确，④错误．
设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2
β∈，
cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2
|cos |AB b
b AB b AB βθθθ'?='
-?='=
u u u r r r u u u r
r u u u r .
当AB 'u u u r 与夹角为60?时，即π3α=，
12
sin 2cos 2cos 232πθα====
． ∵22cos sin 1θθ+=，
∴2|cos |θ=
． ∴21
cos |cos |2βθ==．
∵π
[0,]2
β∈．
∴π
=3
β，此时AB 'u u u r 与夹角为60?．
∴②正确，①错误．
24、（2017年3卷19题）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角
形．ABD CBD ∠=∠，AB BD =．
（1）证明：平面ACD ^平面ABC ；
（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．
D
B
C E
【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ；
ABC ?Q 为等边三角形
∴BO AC ⊥∴AB BC =
AB BC BD BD
ABD DBC =??
=??∠=∠?
ABD CBD ∴???. ∴AD CD =,即ACD ?为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点
∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====易得
：OD =
，
OB =∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥
OD AC OD OB
AC OB O AC ABC OB ABC
⊥??⊥??
=???????I 平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ?平面
由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等
即E 为BD 中点
以O 为原点，OA u u u r 为轴正方向，OB u u u r 为轴正方向，OD u u u r
为轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，
则()0,0,0O ，,0,02a A ?? ???，0,0,2a D ?
? ???
，,0B ?? ? ???
，,4a E ?? ? ???
易得：,24a a AE ??=- ? ???
u u u r ，,0,22a a AD ??=- ???u u u r ，,0,02a OA ??
= ???u u u r 设平面AED 的法向量为1n u u r ，平面AEC 的法向量为2n u u r
，
则1100AE n AD n ??=???=??u u u r u u r u u u r u u r
，解得1n =u u r 22
00AE n OA n ??=???=??u u u r u u r u u u r u u r
，解得(20,1,n =u u r 若二面角D AE C --为，易知为锐角，
则1212
cos n n n n θ?=?u u r u u r u
u r u u r
主要考点：
1、 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视
D
B
C E
O
图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图 .
2、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 .
3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题
4、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
5、掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线
与垂直.
6、理解直线的方向向量与平面的法向量.
7、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,
了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
近三年高考全国卷理科立体几何真题精编版
新课标卷高考真题 1、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．
2、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ， 5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5 4 AE CF == ，EF 交BD 于点H ．将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置，10OD '=． （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．
3【2015高考新课标1，理18】 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
4、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)证明：PB∥平面AEC； (2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积． 图1-3
5、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5，三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面BB1C1C 为菱形，AB⊥B1C. 图1-5 (1)证明：AC＝AB1； (2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A -A1B1-C1的余弦值．
2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
15-17年全国高考立体几何真题及答案详解
近三年立体几何高考真题几详解 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=3209，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
(完整版)非常好高考立体几何专题复习
立体几何综合习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3 ．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. B
1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。
2017年高考语文高考试卷全国二卷(含答案)
2017年普通高等学校全国统一考试（新课标II） 语文 注意事项： 1．本试卷分第I卷（阅读题）和第II卷（表达题）两部分。 2．考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 3．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷阅读题 一、现代文阅读（35分） （一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分） 阅读下面的文字，完成1-3题。 青花瓷发展的黄金时代是明朝永乐、宣德时期，与郑和下西洋在时间上重合，这不能不使我们思考：航海与瓷器同时达到鼎盛，仅仅是历史的偶然吗？从历史事实来看，郑和下西洋为青花瓷的迅速崛起提供了历史契机。近三十年的航海历程推动了作为商品的青花瓷的大量生产与外销，不仅促进技术创新，使青花瓷达到瓷器新工艺的顶峰，而且改变了中国瓷器发展的走向，带来了人们审美观念的更新。这也就意味着，如果没有郑和远航带来活跃的对外贸易，青花瓷也许会像在元代一样，只是中国瓷器的诸多品种之一，而不会成为主流，更不会成为中国瓷器的代表。由此可见，青花瓷崛起是郑和航海时代技术创新与文化交融的硕果，中外交往的繁盛在推动文明大交融的同时，也推动了生产技术与文化艺术的创新发展。 作为中外文明交融的结晶，青花瓷真正成为中国瓷器的主流，则是因为成化年间原料本土化带来了民窑青花瓷的崛起。民窑遍地开花，进入商业化模式之后，几乎形成了青花瓷一统天下的局面。一种海外流行的时尚由此成为中国本土的时尚，中国传统的人物、花鸟、山水，与外来的伊斯兰风格融为一体，青花瓷成为中国瓷器的代表，进而走向世界，最终万里同风，成为世界时尚。 一般来说，一个时代有一个时代的文化，而时尚兴盛则是社会快速变化的标志。因此，瓷器的演变之所以引人注目，还在于它与中国传统社会从单一向多元社会的转型同步。瓷器的演变与社会变迁有着千丝万缕的联系，这使我们对明代有了新的思考和认识。如果说以往人们所了解的明初是一个复兴传统的时代，其文化特征是回归传统，明初往往被认为是保守的，那么青花瓷的例子，则可以使人们对明初文化的兼容性有一个新的认识。事实上，与明代中外文明的交流高峰密切相关，明代中国正是通过与海外交流而走向开放和进步的，青花瓷的两次外销高峰就反映了这一点。第一次在亚非掀起了中国风，第二次则兴起了XX的中国风。 可见，明代不仅是中国陶瓷史上的一个重大转折时期，也是中国传统社会的重要转型时期。正是中外文明的交融，成功推动了中国瓷器从单色走向多彩的转型，青花瓷以独特方式昭示了明代文化的演变过程，成为中国传统社会从单一走向多元的例证。 （摘编自万明《明代青花瓷崛起的轨迹》） 1.下列关于原文内容的理解和分析，正确的一项是（3分）（）
2017年高考全国卷一文科数学试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷一文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ? ?
2017的年的高考立体几何大题(理科).doc
2017年高考立体几何大题（理科）1、（2017新课标Ⅰ理数）（12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90 BAP CDP o. （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； APD o，求二面角A-PB-C的余弦值. （2）若PA=PD=AB=DC，90
2、（2017新课标Ⅱ理）（12分） 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直 于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D 的余弦值．
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4． 6 （I）求证：M为PB的中点； （II）求二面角B-PD-A的大小； （III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
5、（2017山东理）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是?DF的中点. （Ⅰ）设P是?CE上的一点，且AP BE，求CBP的大小； AD，求二面角E AG C的大小. AB，2 （Ⅱ）当3
2017年高考立体几何大题
2017年高考立体几何大题（文科） 1、（2017新课标Ⅰ文数）（12分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,且四棱锥P-ABCD 的体积为 83 ，求该四棱锥的侧面积.
如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2 AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=? （1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积.
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （Ⅰ）求证：PA⊥BD； （Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC； （Ⅲ）当PA∥平面BD E时，求三棱锥E–BCD的体积．
由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD. A O∥平面B1CD1; （Ⅰ）证明： 1 （Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.
如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC．
历年高考立体几何大题试题(卷)
2015年高考立体几何大题试卷 1. 【2015高考新课标2，理19】 如图，长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=16, BC=10, AA = 8，点E , F 分别在AB , C1D1上，A1E =4 .过点E , F的平面:-与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （1题图） （I ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （n ）求直线AF与平面〉所成角的正弦值. 2. 【2015江苏高考，16】如图，在直三棱柱ABC—中，已知AC丄BC ,
BC =CC 1，设 AB 1 的中点为 D , BQ BC^ E .求证：（1） DE // 平面 AA 1C 1C ; (2) BC 1 _ AB 1 . （2题图） （3题图） C C 第的题图
3. 【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体 AEDQCBA ，四边形AABB , ADD 1A 1 ,ABCD 均为正方形，E 为Bp 的中点，过 A,D,E 的平面交CD ,于F. (I)证明：EF //BQ ； (□)求二面角E - A ,D - B i 余弦值. 4. 【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知PA _平面ABCD ，且 四边形 ABCD 为直角梯 形，.ABC =/BAD = —,PA 二 AD =2,AB 二 BC =1 2 (1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值； (2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线 CQ 与DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 (4题图) 5 .【2015高考福建，理17】如图，在几何体 ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB A 平面BEC , BE A EC , AB=BE=EC=2 , G , F 分别是线段 BE , DC 的中点. (I 求证：GF //平面ADE ; (^)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值. 6. 【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱 AB^A 1B 1C 1-中，.BAC =90；, AB = AC=2 , AA = 4 , A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点. (5题图) D
2013-2017年浙江高考理科数学历年真题之立体几何大题 学生版
(第20题图) M 2013-2017年浙江高考理科数学历年真题之立体几何大题 （学生版） 1、（2013年）如图，在四面体A BCD -中，,AD BCD ⊥平面 ,2,BC CD AD ⊥=BD M AD =是的中点，P BM 是的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =. (Ⅰ)证明：PQ BCD //平面； ⅠⅠ()若二面角C BM D --的大小为60 ，求BDC ∠的大小. 2、（2014年）如图，在四棱锥BCDE A -中，平面⊥ABC 平面 ======∠=∠AC BE DE CD AB BED CDE BCDE ,1,2,90,02. (Ⅰ)证明：⊥DE 平面ACD ; ⅠⅠ ()求二面角E AD B --的大小
3、（2015年）如图, 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, ∠BAC =90°, AB =AC =2, A 1A =4, A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点, D 为B 1C 1的中点. (I)证明: A 1D ⊥平面A 1BC ; (II)求二面角 A 1-BD - B 1的平面角的余弦值 4、（2016年）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面 ,ABC =90ACB ∠ ，1,2, 3.BE EF FC BC AC ===== (1)求证：BF ⊥平面ACFD ； (2)求二面角B AD F --的平面角的余弦值. A C D A 1 B 1 C 1 A D C B E F
5、(2017年)如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点． （1）证明：CE∥平面PAB； （2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． P A B C D E
立体几何高考真题大题
立体几何咼考真题大题 1. （2016高考新课标1 卷）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方 形,AF=2FD, NAFD =90：且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60： （I ）证明：平面 ABEF 丄平面EFDC （n ）求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（n ） -2蜃 19 【解析】 试题分析：（I ）先证明AF 丄平面E FDC ,结合直F U 平面AB E F ,可得平面ABE F 丄 平面E FDC . （n ）建立空间坐标系，分别求出平面E C E 的法向量m 及平面E C E 的法 试题解析：（I ）由已知可得 A F 丄DF, A F 丄F E|,所以A F 丄平面E FDC . 又A F U 平面 AE E F ,故平面AEE F 丄平面|E F D C . _ （n ）过D 作DG 丄E F ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面［A E 百F . 以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直 角坐标系G —xyz . 由（I ）知N DF E 为二面角D -A F -E 的平面角，故N DF E =60：贝U DF = 2 , DG|=3,可得九(1,4,0 ), B(—3,4,0 ), E(—3,0,0 ), D (0,0, 73 ). 由已知，AE //E F ,所以AE //平面E FDC . 又平面 A ECD n 平面 |E FDC = DC ,故〕AB //CD , CD//EF . 由EE //A F ,可得EE 丄平面I E F DC ,所以N C E F |为二面角C —EE —F 的平面角， 向量n ,再利用cos （n,m ） 求二面角. n ||m |
2017年高考新课标全国3卷文科数学
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ） 文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A?B中元素的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至 2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图 . 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知 4 sin cos 3 αα -=，则sin2α= A． 7 9 -B． 2 9 -C． 2 9 D． 7 9 5．设x，y满足约束条件 3260 x y x y +-≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? ，则z=x-y的取值范围是 A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]
6．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x ?6π )的最大值为 A ．6 5 B ．1 C ．35 D ．15 7．函数y =1+x +2sin x x 的部分图像大致为 A ． B ． C ． D ． 8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ． 3π4 C ． π2 D ． π4
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10
5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．
高考立体几何大题20题汇总
(2012省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体CDEFG 的体积。 2012，(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 201220．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面 的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 （2010）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C
2010文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。 2012（18）(本小题满分12分) 如图，直三棱柱/ / / ABC A B C -，90BAC ∠=， 2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的 中点。 (Ⅰ)证明：MN ∥平面/ / A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥/ A MNC -的体积。 （椎体体积公式V= 1 3 Sh,其中S 为地面面积，h 为高） 2012，（16）（本小题共14分） 如图1，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，D ，E 分别为 AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ? 沿DE 折起到1A DE ?的位置，使1A F CD ⊥，如图2． D F D E B C A 1 F E C B A
2017高考立体几何大题(理科)
2017年高考立体几何大题 1、( 2017新课标I 理数)(12分) 如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且 BAP (1)证明：平面PAB 丄平面PAD ； (2)若 PA=PD=AB=DC ， APD 90° ，求二面角（理科） A-PB-C 的余弦值.
(2017新课标U理)(12分) 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂 1 直于底面ABCD，AB BC AD, BAD ABC 90°, 2 E是PD的中点. (1)证明：直线CE//平面PAB; (2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角 为45°,求二面角M AB D的余弦值. 3、( 2017新课标川理数)(12分) 如图，四面体ABCD中，△ ABC是正三角形,△ ACD是直角三角形，/
ABD=ZCBD ， AB=BD . (1)证明：平面ACD 丄平面ABC ; (2)过AC 的平面交BD 于点E,若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等 的两部分，求二面角D -\E-C 的余弦值. B
4、（2017北京理）（本小题14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD丄平面ABCD,点M 在线段PB 上, PD// 平面MAC，PA= PD=二，AB=4 .
(I) 求证：M为PB的中点； (II)求二面角B-PD-A的大小; (III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 门
5、（2017山东理）如图，几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD （及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是D F的中点. （I）设P是CE上的一点，且AP BE，求CBP的大小； (H)当AB 3，AD 2，求二面角E AG C的大小.
-2017立体几何全国卷高考真题
2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=320 9 ，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
(完整版)高考理科-立体几何高考真题(小题)
1、（2016—6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是 （A ）π20 （B ）π18 （C ）π17 （D ）π28 2、（2016—11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，// α平面11D CB ，I α平面m ABCD =，I α平面n A ABB =11，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）3 3 （B ） 2 2 （C ） 2 3 （D ） 3 1 3、（2015—6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体 积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 4、（2015—11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为π2016+，则=r （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 正视图 2r r r 2r
5、（2014—12）如图，网格纸上小正方形的边长为1， 粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（） （A ） （B ）（C）6（D）4 6、（2013—6 ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高cm 8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为cm 6，如果不计容器的厚度，则球的体积为（） A.3 3 500 cm π B.3 3 866 cm π C.3 3 1372 cm π D.3 3 2048 cm π 7、（2013—8）某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（） A. 168π + B. 88π + C. 1616π + D. 816π + 俯视图 侧视图
2017高考全国3卷理科数学试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国） 理科数学 （试题及答案解析） 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合{} 22 (,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合， 故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B. 2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（） A ．1 2 B ． 2 C ．2 D ．2 【答案】C 【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2 z -+= ===+++-，则22112z =+=，故选C. 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A. 4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（） A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80 【答案】C 【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为 ()()()()2 3 3 2 233355C 2C 240x x y y x y x y ?-+?-=，则33x y 的系数为40，故选C. 5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5 y x =，且与椭圆 22 1123 x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y - = B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22 143 x y -= 【答案】B 【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y x =，则5 b a = ① 又∵椭圆22 1123 x y + =与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22 145 x y - =，故选B. 6．设函数π ()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x = D ．()f x 在π (,π)2 单调递减 【答案】D 【解析】函数()πcos 3f x x ? ?=+ ?? ?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到， 如图可知，()f x 在π,π2?? ???上先递减后递增，D 选项错误，故选D. π23π53 -π36 π x y O 7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
立体几何 高考真题全国卷
（2018 文 I ）在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． ⑴证明：平面ACD ⊥平面ABC ； ⑵Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP - 的体积．（2018 文 I I ）如图，在三棱锥P ABC - 中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．
A B C P O M （2018 文 III ）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． ABCD A CD M A CD C D ⑴证明：平面平面； AMD⊥BMC ⑵在线段上是否存在点，使得平面？说明理由． AM P MC∥PBD
（2017 文 I ）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90 BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB⊥平面PAD ； （2）若PA=PD=AB=DC,,且四棱锥P-ABCD 的体积为，求该四棱锥的侧面积. 90APD ∠= 8 3（2017 文 II ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面, P ABCD -PAD ABCD 1 ,2AB BC AD BAD == ∠90. ABC =∠=?
（1）证明：直线平面; BC ∥PAD （2）若△的面积为，求四棱锥的体积. PCD P ABCD （2017 文 III ）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD ．（1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
2017年全国高考文科数学试题及答案-全国卷1
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1） 数学（文史类） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ??的最小偶数n ，那么在和两个空白框 中，可以分别填入 A ．A >1000和n =n +1 B ．A >1000和n =n +2
2015-2017近三年高考理科立体几何高考题汇编
2015-2017高考立体几何题汇编 2017(三)16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°； 其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号） 2017(三)19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值． 2017(二)4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 2017(二)10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=?，2AB =， 11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A ． 32 B ． 155 C ． 105 D ． 33 2017(二)19．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且 垂直于底 面ABCD ，o 1 ,90,2 AB BC AD BAD ABC == ∠=∠= E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值． 2017(一)7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为