胡广书《现代信号处理教程》第二章PPT课件

Real part
Signal in time
0.5 0
-0.5
|STFT|2, Lh=0, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
0.4 0.3 0.2 0.1
0 167 84 0
Frequency [Hz]
20
40
60
80 100 120
Time [s]
例5 设 x ( t由) 两个时频“原子”构成, 一个时间中心在
21
X()G*()ej()td
所以：
S T F T x (t, ) e j t2 1 X ()G * ( )e jtd
STFT的频域表达式
对 x ( ) 在时域加窗 g( t) 对 X ( v ) 在频域加窗 G(v )
等效
有了时－频定位功能，下面再关心其时－频分辨率。
时—频分辨率
由于
||g()||1
所以
Sx(t,)dt dEx
谱图是信号能量的分布。
STFT和谱图的性质
若 y(t)x(t)ej0，t 则
S T F T y(t, ) S T F T x(t, 0 )
Sy(t, )Sx(t, 0)
若 y(t)x(tt0) ， 则
S T F T y (t, ) S T F T x (t t0 , )e j t0 Sy(t, )Sx(tt0, )
的频谱的形状取决于 G ( v ) ，接近于有限支撑的。
而频率中心由 e j 来决定， 这样，利用STFT可实 现对 x ( t ) 时－频定位的功能。
G t, ()g( t)ej ejd ej( )t g(t)ej( )td tG ( )ej( )t
由于 x(t),gt,()21X(),Gt,()
0.4
Frequency [Hz]
0.3
0.2
0.1
0
4091 2045 0
20 40 60 80 100 120
Time [s]
窗函数的宽度为13
概念：
“谱图（spectrogram）”
S T F T x ( t, )2x ()g ( t) e j d2 S x ( t, )
谱图是恒正的，且是实的。
第2章 短时傅立叶变换与 Gabor变换
2.1 连续信号的短时傅立叶变换 2.2 短时傅立叶反变换 2.3 离散信号的短时傅立叶变换 2.4 Gabor变换的基本概念
2.5 临界抽样时连续信号展开系数的计算 2.6 过抽样情况下连续信号展开系数的计算
2．1 连续信号的短时傅立叶变换
（Short Time Fourier Transform，STFT）
时间中心 0 由 g ( ) 的中心位置所决定 ，即
t1,t2, ,tn
频率中心 v 由0 G(v)的中心决定，即
1,2, ,n
时宽：2 2|g()|2d
与时移 t
带宽：2 21
2|G()|2d
与频移
无关 无关
思考： 各与什 么有关
STFT的基函数
gtk, l()g(tk)ej l
0.4 0.3 0.2 0.1
0 168 84 0
Frequency [Hz]
20
40
60
80
100 120
Time [s]
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例4 令 g()()，则 S T F T x(t, )x(t)ej t
可准确地实现时域定位，但无法实现频域定位。
Energy spectral density
Linear scale
0.4 0.3 0.2 0.1
0 4091 2045 0
Frequency [Hz]
20
40
60
80 100 120
Time [s]
窗函数的宽度为55
Energy spectral density
Linear scale
Real part
Signal in time 1 0.5 0 -0.5
|STFT|2, Lh=6, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
t1 5 0 处，时宽是32，另一个时间中心在 t2 9 0
处时宽也是32，调制信号的归一化频率都是0.25 。
选择 g( )为Hanning窗
Energy spectral density
Linear scale
Real part
Signal in time 1 0.5 0 -0.5
|STFT|2, Lh=27, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
概念：
式中
x(t)L2(R) 其STFT定义为:
S T F T x ( t, ) x () g t * , () d x () ,g t, ()
gt,()g(t)ej 窗函数应取
||g()||1
对称函数。
STFTx(t,) x()g*(t)ejd
x(),g(t)ej
x(τ)
x()g(t1)x()g(t2) x()g(t3)
0
t1
t2
t3
τ
Ω
FT
FT
FT
0
t1
t2
t3
t
由于g ( ) 是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的;
同理，gt,()g(t)ej 在时域也是有限支撑的;
由于 e j 在频域是线谱，所以STFT的基函数
g t, () g ( t)ej G t, (v )
定位信息。其实，由于 g( ) 为无限宽的矩形窗，故
等于没有对信号作截短。
高斯Chirp调制信号
Linear scale
Real part
Signal in time
0.5 0
-0.5
|STFT|2, Lh=63, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
Energy spectral density
t 时间中心在 处 k
频率中心在 l 处
分辨“细胞”为 v
Ω2
Gt, (v)
Gt, (v)
Ω1
v
g t, ( )
t1
v
g t, ( )
t2
分辨“细胞”和t k
l 无关，即不
论 tk 和 l 处
在何处，分辨细
胞的形状都保持
不变。这是STFT 的特点。
例1
令 x()(0)，可以求出其
STFTx(t, )(0)g(t)ej d
g(0t)ej 0
该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数 g( ) 的
宽度而决定。
例2 若 x()ej0 ，则
STFTx(t,) ej0g(t)ejd
G(0)ej(0)t
STFT的频率分辨率由 g( ) 频谱的宽度来决定。
例3 若 g() 1 ，则 ，
G()() STFTx(t, )X( )
这时，STFT减为简单的FT，这将给不出任何的时间