2019中考数学知识点：直线坐标系和直角坐标系
苏州市2019年中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导
利“刃”在手亿“折”成“直”—例析坐标系中三角形周长最小值问题在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考.1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点例1 (2019年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ∆的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.分析 存在.理由:易求抛物线的解析式为2188y x =-+.设21(,8)8P m m -+(80)m -≤≤，则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2PD PF =+, PDE ∆的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++.如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时，EP PF +的值最小，此时214,(4)868P E P x x y ==-=-⨯-+=，所以PDE ∆周长最小时点P 的坐标为(-4,6).点评 本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ∆的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置.例2 (2019年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM ∆的周长最小，求出M 点的坐标.分析 易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D -，故4,10AB AC ===，直线AC 的解析式为33y x =+.如图4，作点B 关于直线AC 的对称点B '，连接B D ',交AC 于点M ，则BDM ∆即为符合题意的周长最小的三角形.(证明如下:不妨在直线AC 上取异于点M 的任一点M '，连接,,B M DM BM ''''.由对称性可知:,BM B M BM B M ''''==，于是BDM ∆的周长=B M '+,DM BD BDM '+∆的周长=B M DM BD '''++.而在B DM ''∆中，B M DM B D ''''+>，即B M DM B M DM ''''+>+，所以BDM '∆的周长大于BDM ∆的周长.)若BB '交AC 于点E ，则90,22cos 2cos ABE CAO ACO BB BE AB ABE AB ACO '∠=︒-∠=∠==⋅∠=⋅∠24=⨯=过B '点作B F x '⊥轴于点F ，则362133cos 355B x BF BB ABE ''=-=-⋅∠=-=-，12sin sin 5B y B F BB ABE BB ACO ''''==⋅∠=⋅∠==，故2112(,)55B '-, 易求直线B D '的解析式为4481313y x =+. 联立解方程组448131333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，得93513235x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 点的坐标为9132(,)3535. 点评 本例三角形的三个顶点中，点M 为动点，点B 、D 均为定点，且均位于动点M 所在直线AC 的同一侧.通过寻找定点B 关于动点M 所在直线AC 的对称点B ' ,将问题转化为“求定直线AC 上一动点M 与直线异侧两定点B ',B 的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决(当B '、M 、D 三点共线，即点M 为直线B D '与直线AC 的交点时，DM BM +的值最小，此时BDM ∆的周长最小).2.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点例 3 (2019年湖南张家界，有改动)如图5，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,1)C ，顶点为(2,3)Q ，点D 在x 轴正半轴上，且OD OC =.将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问:在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.分析 存在.理由:如图6，分别作点C 关于直线,QE x 轴的对称点,C C '''，连接C C '''，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则PCF ∆即为符合题意的周长最小的三角形，此时PCF ∆的周长等于线段C C '''的长.(证明如下:不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F '，在线段QE 上取异于点P 的任一点P '，连接,,,,CF CP F P F C P C '''''''''.由轴对称的性质可知P CF ''∆的周长=F C F P P C '''''''++，而F C F P P C '''''''++的值为折线段C P F C '''''---的长，由两点之间线段最短可知F C F P P C C C ''''''''''++>，即P CF ''∆的周长大于PCF ∆的周长.)如图6，过点Q 作QG y ⊥轴于点G ，过点C '作C H y '⊥轴于点H ，则CGO CHC '∆∆:，可得12CG QG CQ CH C H CC ===''，即2212CH C H =='.所以4,CH C H '==6C H CH CC ''''=+=.在Rt C HC '''∆中，C C '''===所以，在P 点和F 点移动过程中，PCF ∆的周长存在最小值，最小值为 点评 本例三角形的三个顶点中，点C 为定点，点P 、F 均为动点，且分别在定直线QE 、QD 上，通过寻找定点C 关于两个动点所在直线的对称点C '、C ''，就得到由三条与PCF ∆三边分别相等的线段组成的折线，然后借助“两点之间线段最短”化“折”成“直”(当C '、P 、F 、C ''四点共线，即点P 、F 分别为直线QE 、QD 与直线C C '''的交点时，PCF ∆的周长最小).3.三角形的三个顶点都是动点例4 (2019年辽宁沈阳，有改动)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A .若点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合)，点Q 是线段AB 上的动点(点Q 不与点A 、B 重合)点R 是线段AC 上的动点(点R 不与点A 、C 重合)，请直接写出PQR ∆周长的最小值.分析 易求(0,2),(3,0),(1,0)A B C -，故AB AC ====如图8，过点B 作BH AC ⊥于点H ，则BC OA BH BH BAC AC BA ⋅==∠==如图9，分别作点P 关于直线,AB AC 的对称点,P P '''，连接P P '''，交AB 于点Q ，交AC 于点R ，则PQR ∆是过点P 的ABC ∆的内接三角形中周长最小的三角形，且PQR ∆的周长等于线段P P '''的长. 若PP '交AB 于点,D PP ''交AC 于点E ，连接DE ，则90,ADP AEP DP ∠=∠=︒,DP EP EP '''==，故2P P DE '''=.连接AP ，取AP 的中点F ，连接EF ，则12DF EF AP ==，所以⊙F 为ADP ∆的外接圆，且点E 在⊙F 上.延长DF 交⊙F 于点G ，连接GE ，则90,DEG BAC DGE ∠=︒∠=∠，所以PQR ∆的周长22sin 2sin 2sin P P DE DG DGE AP BAC AO BAC '''===⋅∠=⋅∠≥⋅∠22=⨯=.如图10，当点P 与点O 重合时，PQR ∆. 点评 本例三角形的三个顶点均为动点，应采取“以退为进”的策略，即:先假设P 点的位置已经确定(即视点P 为一定点)，容易得出结论:待求三角形周长最小时，其周长等于线段P P '''的长，然后继续探究点P 的位置后，发现线段P P '''长度的最小值即为点A 到x 轴的距离.因为,2AP AP AP P AP BAC ''''''==∠=∠，所以AP P '''∆为等腰三角形，且其顶角P AP '''∠为定值.由于本例对解答过程不作要求，也可以根据“顶角为定值的等腰三角形底边长的最小值由腰长的最小值来确定”这一经验来判定点P 的位置.然而，对该例的思考却不止于此，我们还可以再进一步探索BR 和,AC CQ 和AB 的位置关系.参考本例分析问题的方法，我们可以得出这样的结论: ,,AP BR CQ 为锐角三角形ABC 的三条高，以,,P Q R 三个垂足为顶点的三角形即为周长最小的内接三角形证明留待读者自行完成.通过上述问题的探究，我们可以发现，解决此类问题通常可以采取的策略是:把已知问题转化成容易解决的问题，即关联我们熟知的几何基本模型，构造一条以动点为转折点的折线，从而为性质的运用创造条件.如:解答例1时，需分析点在运动的过程中保持不变的关系，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外一定点的距离的最小值”问题，然后利用“垂线段最短”把折线化“折”成“直”.解答例2，例3时，则需牢牢抓住图形的几何特征，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”问题，借助轴对称变换使两定点与定直线的位置关系发生改变，即化“同”为“异”，最后利用“三角形任意两边之和大于第三边”或“两点之间线段最短”把折线化“折”成“直”.例4题目的背景看似复杂，但图形上似乎可以捕捉到上述两个几何基本模型的“影子”，认清了这一点，便能使复杂问题简单化，迅速找到问题的突破口.在平面几何的教学中，教师要重视几何基本模型的提炼，帮助学生深刻领悟模型的本质特征，鼓励学生尝试从不同角度拓展模型，并在应用中彰显其魅力，从而促进学生解题经验的积累和思维水平的提升，真正提高学生的数学素养和解决问题的能力.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，若四边形OABC 是菱形，则图中阴影部分的面积为( )A.π－B.π－C.π－D.π－2．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ．动点D 从点C 出发，沿线段CB 以2cm/s 的速度向点B 运动，同时动点O 从点B 出发，沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t （s ），以点O 为圆心，OB 长为半径的⊙O 与BA 交于另一点E ，连接ED ．当直线DE 与⊙O 相切时，t 的取值是（ ）A. B. C. D. 3．已知反比例函数(为常数，)的图象经过点，则当-3<x<-2时，函数值的取值范围是( )A.B.C. D. 4．如图，将ABC △绕点C 顺时针旋转，点B 的对应点为点E ，点A 的对应点为点D ，当点E 恰好落在边AC 上时，连接AD ，36ACB ∠=︒，AB BC =，2AC =，则AB 的长度是（ ）A 1B ．1CD ．325．下面的统计图表示某体校射击队甲、乙两名队员射击比赛的成绩，根据统计图中的信息，下列结论正确的是（ ）A ．甲队员成绩的平均数比乙队员的大B ．乙队员成绩的平均数比甲队员的大C ．甲队员成绩的中位数比乙队员的大D ．甲队员成绩的方差比乙队员的大6．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕一逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( )A ．1463π-B ．33π+C ．3338π-D ．259π 7．如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．53B ．52C ．4D ．58．下面四个立体图形，从正面、左面、上面对空都不可能看到长方形的是( )A ．B ．C ．D ．9．下列事件属于必然事件的是（ ）A ．抛掷两枚硬币，结果一正一反B ．取一个实数x ，x 0的值为1C ．取一个实数x ，分式11x x -+有意义 D ．角平分线上的点到角的两边的距离相等10．如图，AB 是⊙O 的直径，△ACD 内接于⊙O ，延长AB ，CD 相交于点E,若∠CAD ＝35°，∠CDA ＝40°，则∠E 的度数是（ ）A.20°B.25°C.30°D.35° 11．已知a 2﹣b 2＝6，a+b ＝2，则a ﹣b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ．AD ＝1，AC ＝2，△ADC 的面积为S ，则△BCD 的面积为（ ）A ．SB ．2SC ．3SD ．4S二、填空题 13．若分式11x - 有意义，则x 的取值范围是_______________ .14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC sin 2A ＝_____． 15．如图，边长不等的正方形依次排列，第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长是第一个正方形边长的2倍，第三个正方形的边长是第二个正方形边长的2倍，依此类推，…．若阴影三角形的面积从左向右依次记为S 1、S 2、S 3、…、S n ，则S 4的值为_____．16．如图，∠APB=30°，圆心在PB 上的⊙O 的半径为1cm ，OP=3cm ，若⊙O 沿BP 方向平移，当⊙O 与PA 相切时，圆心O 平移的距离为_____cm ．17．8-的立方根是__________．18．利用标杆测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆的高为米，测得米，米,则建筑物的高为__米．三、解答题19．某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的．从凌晨4点到早8点只进水不出水，8点到12点既进水又出水，14点到次日凌晨只出水不进水．下图是某日水塔中贮水量y（立方米）与x （时）的函数图象．（1）求每小时的进水量；（2）当8≤x≤12时，求y与x之间的函数关系式；（3）从该日凌晨4点到次日凌晨，当水塔中的贮水量不小于28立方米时，直接写出x的取值范围．20．现在A、B两组卡片共5张，A组中三张分别写有数字2、4、6，B组中两张分别写有3、5，他们除数字外完全一样。
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第一节 平面直角坐标系
1．在平面直角坐标系中，点 P(－3，2 021)在第________象限 ( B ) A．一 B．二 C．三 D．四
2．如果点 P(a，b)在第一象限，那么点 Q(－a，－b)所在的象限是( C ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．(2021·兰州模拟)已知点 P(a＋5，a－1)在第四象限，且到 x 轴的距
是
( D)
A．(3，－2) B．(－3，2) C．(3，－4) D．(－3，4)
6．(2020·天水模拟)如图是小丁画的一张脸的示意图，如果用(0，2)表
示靠左边的眼睛，用(2，2)表示靠右边的眼睛，那么嘴的位置可以表示
成
(A)
A．(1，0)
B．(－1，0)
C．(－1，1)
D．(1，－1)
7．(2020·扬州)在平面直角坐标系中，点 P(x2＋2，－3)所在的象限是 ( D)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．(2020·滨州)在平面直角坐标系的第四象限内有一点 M，到 x 轴的距
离为 4，到 y 轴的距离为 5，则点 M 的坐标为
( D)
A．(－4，5) B．(－5，4) C．(4，－5) D．(5，－4)
9．(2021·贺州)在平面直角坐标系中，点 A(3，2)关于原点对称的点的
离为 2，则点 P 的坐标为
( A)
A．(4，－2) B．(－4，2) C．(－2，4) D．(2，－4)
4．在平面直角坐标系中点 B(－2，0)在
A．x 轴的正半轴上
B．x 轴的负半轴上
C．y 轴的正半轴上
D．y 轴的负半轴上
( B)
2019年中考数学专题复习10——平面直角坐标系(含答案解析)
2019年中考数学专题复习10——平面直角坐标系（含答案解析）一、选择题（共10小题；共50分）1. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点向右平移个单位长度后得到A. B. C. D.2. 在平面直角坐标系中，点关于A. C.3. 已知平面直角坐标系中，点A. C. D.4. 第六届北京农业嘉年华在昌平区兴寿镇草莓博览园举办，某校数学兴趣小组的同学根据数学知识将草莓博览园的游览线路进行了精简．如图，分别以正东、正北方向为轴、轴建立平面直角坐，表示科技生活馆的点的坐标为，则表A. B.5. “单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图描述了某次单词复习中，，，四位同学的单词记忆效率与复习的单词个数A. B. C. D.6. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它渊远流长，趣味浓厚．如图，在某平面直角坐标系中，所在位置的坐标为，所在位置的坐标为，那么，所在位置的A. B. D.7. 如图，点在观测点的北偏东方向，且与观测点的距离为千米，将点的位置记作，用同样的方法将点，点的位置分别记作，，则观测点的位A. B. C. D.8. 如图，将北京市地铁部分线路图置于正方形网格中，若设定崇文门站的坐标为，雍和宫站的坐标为A. B. C. D.9. 如图，直线，在某平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的，则点A. C.10. 雷达二维平面定位的主要原理是：测量目标的两个信息——距离和角度，目标的表示方法为，其中：表示目标与探测器的距离；表示以正东为始边，逆时针旋转的角度．如图，雷达探测器显示在点，，处有目标出现，其中目标的位置表示为，目标的位置表示为．用这种方法表示目标B. C. D.二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为，表示慕田峪长，则表示雁栖湖的点的坐标为．12. 某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标的位置为，目标的位置为，目标的位置为，则图中目标的位置可记为．13. 如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学的知识找到破译的“钥匙”，目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”，若“今”所处的位置为，你找到的密码钥匙是，破译“正做数学”的真实意思是．14. 如图，每个小正方格都是边长为个单位长度的正方形，如果用表示点的位置，用表示点的位置，那么点的位置可表示为．15. 已知，，若白棋飞挂后，黑棋尖顶．黑棋的坐标为．16. 如图所示的象棋盘上，若帅位于点上，相位于点上，则炮所在点的坐标是．17. 在平面直角坐标系中，点绕坐标原点顺时针旋转后，恰好落在如图中阴影区域（包括边界）内，则的取值范围是．18. 如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移，轴对称，旋转）得到的，写出一种由得到的过程：．19. 如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为个单位长，，，，，均在格点上，其顺序按图中“”方向排列，如：，，，，，根据这个规律，点的坐标为．20. 如图在坐标系中放置一菱形，已知，．先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，，则的坐标为．三、解答题（共10小题；共130分）21. 如图，写出的各顶点坐标，并画出关于轴对称的，写出关于轴对称的的各点坐标．22. 如图，在平面直角坐标系中，，，．（1）求出的面积．（2）在图中作出关于轴的对称图形．（3）写出点，，的坐标．23. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，．线段的端点坐标是，．（1）试说明如何平移线段，使其与线段重合；（2）将绕坐标原点逆时针旋转，使的对应边为，请直接写出点的对应点的坐标；（3）画出（）中的，并和同时绕坐标原点逆时针旋转．画出旋转后的图形．24. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）画出关于轴对称的图形，并直接写出点坐标；（2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；（3）如果点在线段上，请直接写出经过（2）的变化后点的对应点的坐标．25. 如图所示，写出各顶点的坐标以及关于轴对称的的各顶点坐标，并画出关于对称的．并求的面积．26. 如图，正方形网格中，为格点三角形（顶点都是格点），个单位长度的小正方形．（1）先画出关于轴对称的图形；（2）再画出绕原点顺时针旋转后得到的图形；（3）直接写出的长．27. 如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，，把绕点逆时针旋转后得到．（1）画出，直接写出点，的坐标；（2）求在旋转过程中，所扫过的面积．28. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为，和的顶点都在格点上，回答下列问题：（1）可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到的过程：；（2）画出绕点逆时针旋转的图形；（3）在（）中，点所形成的路径的长度为．29. 如图，在坐标系中，已知，，过点分别作，垂直于轴、轴，垂足分别为，两点．动点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒．（1）当为何值时，；（2）当为何值时，；（3）以点为圆心，的长为半径的随点的运动而变化，当与的边（或边所在的直线）相切时，求的值．30. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，，为小正方形边的中点，，为格点，为，的延长线的交点．（1）的长等于；（2）若点在线段上，点在线段上，且满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）．答案第一部分1. D2. A 【解析】点关于轴的对称点的坐标是．3. C4. C5. C6. D7. A8. D9. C10. C第二部分11.12.13. 对应文字横坐标加，纵坐标加，祝你成功【解析】已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”，“今”所处的位置为，所对应的文字的位置是，找到的密码钥匙是：对应文字横坐标加，纵坐标加．“正”的位置为对应文字位置是即为“祝”，“做”的位置为对应文字位置是即为“你”，“数”的位置为对应文字位置是即为“成”，“学”的位置为对应文字位置是即为“功”，“正做数学”的真实意思是：祝你成功．14.17.18. 答案不唯一，如：将沿轴向下翻折，在沿轴向左平移个单位长度得到19.20.【解析】连接，可得是等边三角形，画出第次、第次、第次翻转后的图形，由图可知：每翻转次，图形向右平移．因，故点向右平移（即）到点．由图可得，所以．第三部分21. 的各顶点的坐标分别为：，，；所画图形如下所示，的各点坐标分别为：，，．22. （1）（平方单位）．（2）如图．（3），，．23. （1）将线段先向右平移个单位，再向下平移个单位（答案不唯一）．（2）．（3）它们旋转后的图形分别是和．24. （1）如图所示：，即为所求，点坐标为：；（2）如图所示：，即为所求，点坐标为：；（3）如果点在线段上，经过（2）的变化后的对应点的坐标为：．25. 各顶点的坐标以及关于轴对称的的各顶点坐标：，，，，，，如图所示：，即为所求．26. （1）（2）（3）．27. （1）所求作如图所示：由，可建立如图所示坐标系，则点的坐标为，点的坐标为；（2），在旋转过程中，所扫过的面积为：28. （1）答案不唯一．例如：先沿轴翻折，再向右平移个单位，向下平移个单位【解析】先向左平移个单位，向下平移个单位，再沿轴翻折．（2）如图所示．（3）29. （1），，四边形是平行四边形．，．当时，．（2），，，解得．（3）①与相切时，如图所示：显然时，与相切；②与相切时，如图所示：过点作垂直于的延长线于点，则，所以，即，解得；③与相切时，如图所示：过点作垂直于的延长线于点，则，所以，即，解得．30. （1）【解析】．（2）如图，与网格线相交，得点，取格点，连接并延长与交于点，连接，则线段即为所求．。
河南省2019年中考数学专题复习专题一在坐标系中求解相关量训练
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3 B． (0 ， )
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C． (0 ， 5 ) D． (0 ， 3) 类型二 平面直角坐标系中图形的规律探索
如图，动点 P 从 (0 ， 3) 出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等 于入射角．当点 P 第 2 018 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为 ( )
D． (4 035 ，－ 1)
4．( 2018· 阜新改编 ) 如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方
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2．( 2018· 河南说明与检测 ) 如图，在平面直角坐标中，函数 y＝ 2x 和 y＝－ x 的图象分别为直线 l 1， l 2，过点 (1 ，0) 作 x 轴的垂线交 l 1 于点 A1，过点 A1 作 y 轴的垂线交 l 2于点 A2，过点 A2 作 x 轴的垂线交 l 1 于点 A3，过点 A3 作 y 轴的垂线交 l 2 于点 A4，…，依次进行下去，则点 A2 018 的坐标为 ( )
A． (1 ， 4) B． (5 ， 0) C． (7 ， 4) D． (8 ， 3) 【分析】 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每 6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
6 次反弹为一个循环组依次循环，用 2018 除以
【自主解答】 如解图，经过 6 次反弹后动点回到出发点 (0 ，3) ，∵ 2 018 ÷6＝336…… 2，∴当点 P 第 2 018 次碰到矩形的边时为第 337 个循环组的第 2 次反弹，点 P 的坐标为 (7 ， 4) ．
A． ( － 1， 2) B ． ( － 3， 1) C ． ( － 1， 3) D ． ( －2， 1) 4．在平面直角坐标系中， Rt△AOB 的两条直角边 OA、 OB分别在 x 轴和 y 轴上， OA＝ 3，OB＝ 4. 把△ AOB 绕点 A 顺时针旋转 120°，得到△ ADC.边 OB上的一点 M旋转后的对应点为 M′. 当 AM′＋ DM取得最小值 时，点 M的坐标为 ( )
初中数学坐标系知识点归纳
初中数学坐标系知识点归纳坐标系是数学中非常重要的基础概念之一，它在初中数学中扮演着重要的角色。
通过了解和掌握坐标系的相关知识，学生可以更好地理解和应用数学，为后续的学习打下坚实的基础。
本文将对初中数学中的坐标系知识点进行归纳和总结，以帮助初中生更好地理解和掌握这一重要概念。
一、直角坐标系直角坐标系是最基础的坐标系，由两条互相垂直的坐标轴组成。
其中一条为横轴，通常表示为x轴；另一条为纵轴，通常表示为y轴。
坐标轴的交点被称为原点，记作O。
整个平面被划分成四个象限：第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
在直角坐标系中，每个点都可以通过一对坐标（x，y）来表示。
横坐标x表示点在x轴上的位置，纵坐标y表示点在y轴上的位置。
二、点的坐标在直角坐标系中，任何一个点的坐标可以通过其与横轴和纵轴的交点位置来确定。
对于一些特殊的点，它们有固定的坐标：1. 原点O的坐标为(0,0)2. x轴上的点的纵坐标为0，例如点A(-3, 0)表示该点在x轴上距原点3个单位长度的负方向。
3. y轴上的点的横坐标为0，例如点B(0, 5)表示该点在y轴上距原点5个单位长度的正方向。
三、点的对称性在坐标系中，点的对称性是一个重要的概念。
点关于坐标轴的对称点具有相同的横纵坐标，只是符号相反。
1. 对称轴为x轴的点的对称点：如果一个点的坐标是(x, y)，那么它关于x轴的对称点的坐标是(x, -y)。
例如点C(2, 3)关于x轴的对称点是D(2, -3)。
2. 对称轴为y轴的点的对称点：如果一个点的坐标是(x, y)，那么它关于y轴的对称点的坐标是(-x, y)。
例如点E(4, -2)关于y轴的对称点是F(-4, -2)。
注：原点O关于坐标轴的对称点仍然是原点O本身。
四、坐标系的应用坐标系在初中数学中有着广泛的应用，特别是在图形的表示和分析中。
1. 图形的表示：通过坐标系，我们可以利用坐标来表示和描述各种图形。
例如线段、直线、多边形等都可以通过坐标表示，这样可以使我们更直观地理解和分析图形的性质。
初中直角坐标系知识点
初中直角坐标系知识点直角坐标系是平面几何中常用的坐标系统，用于描述点在平面上的位置。
它由两条相互垂直的坐标轴组成，分别称为x轴和y轴。
下面是初中直角坐标系的一些基本知识点：1.坐标轴：直角坐标系中的两条垂直的线段称为坐标轴。
x 轴水平向右延伸，y轴垂直向上延伸。
2.坐标原点：直角坐标系中的交点称为坐标原点，通常表示为O。
3.坐标：在直角坐标系中，每个点都可以用一对有序数来表示，称为坐标。
横坐标表示点在x轴上的位置，纵坐标表示点在y轴上的位置。
4.坐标表示方式：通常用一个有序数对(x,y)来表示一个点的坐标，其中x是横坐标，y是纵坐标。
5.平行于坐标轴的直线：直角坐标系中，平行于x轴的直线的方程为y=常数，平行于y轴的直线的方程为x=常数。
6.点的位置关系：在直角坐标系中，可以通过比较两个点的坐标来确定它们的位置关系。
例如，如果一个点的横坐标大于另一个点的横坐标，那么它在x轴上的位置更靠右。
7.距离公式：在直角坐标系中，可以使用距离公式来计算两点之间的距离。
对于两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离可以用以下公式表示：d=√((x2x1)²+(y2y1)²)。
8.镜像和对称：直角坐标系中的镜像和对称可以通过坐标的变化来实现。
例如，点P(x,y)关于x轴对称的点是P'(x,y)，关于y轴对称的点是P'(x,y)，关于原点对称的点是P'(x,y)。
9.坐标轴上的点：在直角坐标系中，x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。
坐标轴上的点与坐标原点之间的距离被称为绝对值。
10.直角坐标系的拓展应用：直角坐标系广泛应用于几何、代数、物理等学科中。
例如，在几何中，可以使用直角坐标系来描述平面内的图形；在代数中，可以使用直角坐标系来表示方程的解；在物理中，直角坐标系常用于描述物体的运动和力的作用方向。
这些是初中直角坐标系的基本知识点。
通过学习和理解这些知识，我们可以更好地理解和运用直角坐标系来描述平面上的点和图形。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第三章 函数 第一节 平面直角坐标系
1．在平面直角坐标系中，A 点坐标为(3，4)，将 A 点绕原点 O 顺时针旋
转 180°得到 A′，则点 A′的坐标是
( B)
A．(－4，3)
B．(－3，－4)
C．(－4，－3)
D．(－3，4)
2．(RJ 八上 P71 练习 T2 改编)如图，△ABO 关于 x 轴对称，点 A 的坐标 为(1，－2)，写出点 B 的坐标是(1(1，，22))．
类型二 点的坐标变换
3．(2020·兰州第 8 题 4 分)若点 A(－4，m－3)，B(2n，1)关于 x 轴对称，
则
( B)
A．m＝2，n＝0 B．m＝2，n＝－2
C．m＝4，n＝2 D．m＝4，n＝－2
4．(2021·兰州第 6 题 3 分)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－2，4)关
3．(RJ 七下 P69 习题 T4 改编)在平面直角坐标系中，已知点 P 到 x 轴的
距离为 2，到 y 轴的距离为 3.
(1)若点 P 在第二象限，则其坐标为__(－－33，，2)_2_)，关于原点的对称点 P′ 坐标为__((33，，－－2)2__)；若将点 P 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，其对应点的坐标为(－(1－1，，11))．
命题点：平面直角坐标系中点的坐标特征(省卷近 5 年考查 4 次，兰州近
5 年考查 2 次)
类型一 点的坐标位置
1．(2016·省卷第 5 题 3 分)已知点 P(0，m)在 y 轴的负半轴上，则点 M(－
m，－m＋1)在
( A)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2019·省卷第 11 题 4 分改编)中国象棋是中华民族的 文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋 棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0，－2)， “马”位于点(4，－2)，则“兵”位于点 _(__－_ 1，1) ．
2019中考数学狙击重难点系列专题5----规律探究之探究图形的规律求点的坐标(含答案)
根据图形的规律求坐标1. 如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A. （0，64）B. （0，128）C. （0，256）D. （0，512）2. 如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1B，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为( )A. (16,0)B. (12,0)C. (8,0)D. (32,0)3. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为(，0)，那么点B2018的坐标为( )A. (1，1)B.C. (﹣1，1)D.4. 如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，-1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2013的坐标为（)A. （2，1006）B. （1008，0）C. （-1006，0）D. （1，-1007）5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）．A. （2010，2）B. （2010，-2）C. （2012，-2）D. （0，2）6. 我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A. （﹣6，24）B. （﹣6，25）C. （﹣5，24）D. （﹣5，25）7. 如图，一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第24秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A. （0，3）B. （4，0）C. （0，4）D. （4，4）8. 在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形A n B n C n C n﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是________．9. 如图，在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形OABC，边OA，OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，…，照此规律作下去，则点B6的坐标为________．10.如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y= x于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线y= x于点B3，…，按照此规律进行下去，则点A n的横坐标为________．11. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是________．12. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上．若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2017个等腰直角三角形A2017B2016B2017顶点B2017的横坐标为________．13. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1，对角线A1 M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2，对角线A1 M2和A3B3交于点M3；……，依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为M n________．14. 如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y= （x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为________．15. 如图，等边三角形△OAB1的一边OA在x 轴上，且OA=1，当△OAB1沿直线l滚动，使一边与直线l 重合得到△B1A1B2，△B2A2B3，......则点A2017的坐标是________．16. 如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°．当n=2017时，顶点A的坐标为________．17. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2017的坐标是________．18. 如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为________．19.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2015次运动后，动点P的坐标是________．20. 如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y 轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B．BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y 轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1．B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则C n的坐标是________．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【分析】本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OA n=4n，求出OA4的长等于44，即可求出A4的坐标．【解答】∵点A的坐标是（0，1)，∴OA=1，∵点B在直线y=x上，∴OB=2，∴OA1=4，∴OA2=16，得出OA3=64，∴OA4=256，∴A4的坐标是（0，256)．故选C．【点评】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．2.【答案】A【解析】【分析】根据题意即可求出B1点的坐标，进而找到A2点的坐标，逐个解答便可发现规律，进而求得点A5的坐标．【解答】∵直线，点A1坐标为（1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，∴B1点的坐标为（)，∵以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，∴∴点A2的坐标为（2，0)，∴B2的坐标为（)，同理：点A3的坐标为（4，0)，∴以此类推便可求出点A n的坐标为（2n-1，0)．∴当n=5时，点A5的坐标为：（24，0)，即点A5的坐标为（16，0)．故选A．【点评】本题主要考查了一次函数的综合应用，考查了勾股定理、圆的性质以及点与直线的关系等知识．．此题属于规律性题目，难度适中，在解题时注意数形结合思想的运用．3.【答案】B【解析】【解答】解：过点A1作A1D⊥OA于点D，∵A的坐标为(，0)，∴OA=,∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴∠AOA1=45°,OA=OA1=,∴OD=A1D,根据勾股定理得：OD=A1D=1，∴A1（1，1），∵将正方形OA1B1C1绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA2B2C2，则A2点落在y轴的正半轴上，∴A2(0,),∵将正方形OA2B2C2绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA3B3C3，则A3点落在第二象限的角平分线上，∴A3(-1，1),∵将正方形OA3B3C3绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA4B4C4，则A4点落在x轴的负半轴上，∴A4(-,0),…正方形OABC旋转8次则可以回到起点的位置，即A8的坐标与A点的坐标一样（，0），252×8+2=2018，所以A2016的坐标与A的坐标一样，A2018的坐标就应该与A2一样，从而得出A2018的坐标为(0,),故答案为C。
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2019中考数学知识点：直线坐标系和直角坐标系
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新一轮复习备考周期正式开始，为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩!下面是《数学知识点：直线坐标系和直角坐标系》，仅供参考!
直线坐标系和直角坐标系
直线坐标系，也就是数轴，它有三个要素：原点、度量单位和方向.如果让一个实数与数轴上坐标为的点对应，那么就可以在实数集与数轴上的点集之间建立一一对应关系.
点与实数对应，则称点的坐标为，记作，如点坐标为，则记作;点坐标为，则记为.
直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，两条数轴的度量单位一般相同，但有时也可以不同，两个数轴的交点是直角坐标系的原点.在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内的点集具有一一对应关系.
一个点的坐标是这样求得的，由点向轴及轴作垂线，在两坐标轴上形成正投影，在轴上的正投影所对应的值为点的横坐标，在轴上的正投影所对应的值为点的纵坐标.
在学习这两种坐标系时，要注意用类比的方法.例如，平面直角坐标系是二维坐标系，它有两个坐标轴，每个点的坐标需用两个实数来表示，而直线坐标系是一维坐标系，它只有一个坐标轴，每个点的坐标只需用一个实数来表示。
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