如何判断一个数是不是完全平方数
数论第11讲_平方数(教师版)A4
数论第11讲_平方数一．完全平方数的概念一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数．例如：0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400、441、484……二．完全平方数的性质1．完全平方数的末位数只能是0、1、4、5、6、9．2．奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．3．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．4．如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数．5．如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数．6．偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．7．奇数的平方是81n+型；偶数的平方为8n或84n+型．8．平方数的形式必为下列两种之一：3k、31k+．9．不能被5整除的数的平方为51k±型，能被5整除的数的平方为5k型．10．平方数的形式具有下列形式之一：16m、161m+．m+、169m+、16411．在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数．12．一个正整数n是完全平方数当且仅当n有奇数个因子(包括1和n本身)．三．重要结论1．个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数．2．个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数．3．个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数．4．形如32n+型的整数一定不是完全平方数．5．形如42n+和43n+型的整数一定不是完全平方数．6．形如52n±型的整数一定不是完全平方数．7．形如82n +，83n +，85n +，86n +，87n +型的整数一定不是完全平方数．重难点：平方数的性质，平方数与平方差公式以及平方数的综合应用．题模一：平方数的性质例1.1.1从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【答案】31【解析】完全平方数，所有质因数必成对出现．327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，共31个．例1.1.2整数aabb 是完全平方数 则a = ；b = ．【答案】7a =、4b = 【解析】根据位置原理11100aabb a b =⨯⨯+（）所以100a b ⨯+（）为一个平方数和11的乘积1164704⨯= 所以7,4a b ==．例1.1.3两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一个数的约数个数多1．那么这两个数分别是多少？【答案】16、175【解析】这两个数约数个数为一奇一偶，故有一个为完全平方数．422800257=⨯⨯，这样完全平方数可能为1、22、42、25、2225⨯、4225⨯．经检验，只有4216=符合要求，此时另一个数为257175⨯=有6个约数，16有5个约数．例1.1.4从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，这个完全平方数是__________．【答案】6084【解析】首先个位只能是4（为0需要两个0，为6需要十位数字为奇数），其次，不用的数字只能为2（为0或6则被3除余2，为8则被3整除而不被9整除）．这样，只有6084、6804、8064、8604四种可能，经尝试，只有6084符合，是78的平方．例1.1.5自然数N 是一个三位数，它是一个完全平方数，且它的三个数位上的数都为完全平方数，这样的自然数有几个？【答案】5【解析】0至9中只有0、1、4、9为完全平方数，故N 由0、1、4、9构成，百位只能为1、4或9．逐一试验10、11、12、13、14、20、21、22、30、31的平方，只有210100=、212144=、220400=、221441=、230900=符合要求，共5个．例1.1.6有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为_____．【答案】1123【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧．设中间数是x ,则它们的和为5x , 中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =⨯,则25x a =．2231535x a a ==⨯⨯是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个, 2a 至少是225,中间的数至少是1125．最小数的最小值为1123．例1.1.7用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？【答案】不可能【解析】用300个2和若干个0组成的数的数字和是600，为3的倍数，则这个数是3的倍数，又此数为完全平方数，所以这个数应该是9的倍数，其数字和是9的倍数，矛盾．【主知识点】例1.1.8已知2381444=，像1444这样能表示为某个自然数的平方，并且末3位数字为不等于0的相同数字，我们就定义为“好数”．（1）请再找出一个“好数”．（2）讨论所有“好数”的个位数字可能是多少？（3）如果有一个好数的末4位数字都相等，我们就称之为“超好数”，请找出一个“超好数”，或者证明不存在“超好数”．【答案】（1）21038（2）4（3）不存在超好数【解析】（1）因为2381444=，所以210381077444=．（2）平方数的性质可知，完全平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考虑．末尾数是5的平方尾数一定是25，故不可能是5；对于1，设()2101a +满足X 111；而()()2101=20511a a a +⨯++；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；对于9，设()2103a +满足X 999；而()()210320519a a a +=⨯++，倒数第二位一定是偶数，不符合题意；又设()2107a +满足X 999；而()()210720571a a a +=⨯++；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；对于6，设()2104a +满足X 666；而()()210410080106a a a +=+++，倒数第二位一定是奇数，不符合题意；设()2106a +满足X 666；而()()2210610101236a a a +=⨯+++；倒数第二位一定是奇数，不符合题意；所以好数的个位数字只能是4．（3）假设存在超好数，设其为()()210381n n ++≥则()()2222111038=100001076001014441000107610444n n n n n ++-+⨯+⨯+=⨯+⨯+．而()2111076101n n +-+⨯+不能被4整除，也就是倒数第四位不可能为4，故假设不成立，不存在超好数．题模二：平方数的运算例1.2.1能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【答案】找不到【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.例1.2.2把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（ ）位数字．【答案】157【解析】1-3的平方只有一位数，共3个数字； 4-9的平方有两位数字，共2×6=12个数字； 10-31的平方有三位数字，共有3×22=66个数字； 32-50的平方有四位数字，共有4×19=76个数字； 合计：3+12+66+76=157个数字．例 1.2.3把自然数中的平方数去掉后得到数列2，3，5，6，7，8，10，11，……，其中第2011项是__________．【答案】2056【解析】与2011比较接近的平方数为2452025=，故2025排在第2025-45=1980个，还差31个数，第2011个数为2025312056+=．例1.2.4一串连续正整数的平方12，22，32，……，1234567892的和的个位数是________．【答案】5【解析】因为平方数的个位数是（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1）即个位数为5×8＋5．例1.2.5如果一个自然数能表示成两个完全平方数的差，则把这个自然数称为“智慧数”，如：16259=-，所以称16为智慧数．则在自然数列中，从1数起，第2012个智慧数是哪个数？【答案】2683【解析】任取一奇数21k +，有()()()()22211111k k k k k k k k k +=++=+++-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因此奇数均为智慧数；任取一4的倍数4k ，有()()()()4221111k k k k k k =⨯=++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2211k k =+--，因此4的倍数均为智慧数；而完全平方数被4除的余数为0或1，故两个完全平方数的差不可能为2，因此被4除余2的均不是完全平方数．综上，一个数是智慧数当且仅当其被4除不余2，从1开始每4个数有3个是智慧数．201236702÷=，故从1数起，第2012个智慧数是467032683⨯+=．例1.2.6一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数．【答案】1981【解析】()()22a b a b a b -=+⨯-，45+44=89，89是质数，只能是189⨯，所以89a b +=，1a b -=，所以45a =，这个数为245441981-=．题模三：平方数的综合应用例1.3.1某小学为了庆祝“六一”儿童节排练学生团体操，要求全体参加排练的学生恰好能排成一个正方形队列，也能变换成一个正三角形队列．参加排练团体操的学生至少要有__________人．【答案】36【解析】“能排成一个正方形队列”说明人数是平方数，“能变换成一个正三角形队列”说明人数能表示成从1开始的连续自然数之和．那么综合起来考虑，稍加尝试发现，满足条件的最小人数为：23661+2+3+4+5+6+7+8==．例1.3.2将100个灯泡编成100个号，即：1，2，3，……，100．现有100个人去拉开关，第一个人把1的倍数的灯号开关都拉一下，第2个人把2的倍数的灯号开关都拉一下，直到第100个人将100号灯泡拉一下．假定开始时，灯泡全不亮，试问：这100个人全拉完后，哪些编号的灯泡是亮的？【答案】1、4、9、16、25、36、49、64、81、100【解析】某个灯泡被拉的次数即为其编号的约数个数，最终亮的灯泡被拉了奇数次，故其编号有奇数个约数，即为完全平方数．因此，亮的编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100．例1.3.3某个家庭有4个成员，他们的年龄各不相同，4人年龄的和是129岁．其中有3人的年龄是平方数，如果倒退15年，这4人中仍有3人的年龄是平方数．请问，他们4人中年龄最大的现在的年龄是___________岁．【答案】64【解析】由于有3人十五年前为平方数，故必有两个人现在和十五年前同时为平方数，设现在的年龄2a ，十五年前年龄2b ，()()2215a b a b a b -==+-，则8a =或2；7b =或1；则年龄最大的64．例1.3.4在时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数．他们把所得的钱买回了一群羊，每只羊10文钱，钱的零头又买了一只小羊．他们平分了这些羊，结果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊．为了公平，第一个人应补给第二人____________文钱．【答案】2【解析】根据题意可知，牛群的总价是一个完全平方数，大羊的只数是个奇数．因为每只大羊10文钱，所以大羊总价个位为0，十位是一个奇数．小羊的价钱是一个小于10的整数，且牛群与羊群的总价相等，所以牛群总价是完全平方数且十位数字是奇数．根据平方数的特征，如果一个数为某数的平方，且十位数字为奇数，那么它的个位数字一定是6．所以小羊价钱为6文钱，第一个人应补给第二人()10622-÷=文钱．随练1.1如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是________.【答案】1，2，5，6，7，0【解析】平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9．随练1.2有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数（注：平方数可以写成两个相同的自然数的乘积，立方数可以写成三个相同的自然数的乘积）．如：111111=⨯=⨯⨯，6488444=⨯=⨯⨯．那么，1000以内的自然数，这样的数共有__________个．【答案】3【解析】既是完全平方数又是立方数的数所含相同质因数的个数至少是6个或6的倍数，满足条件的数有：611=，6264=，63729=，6440961000=>，66231000⨯>，所以满足条件的数只有3个．随练1.3一个两位数乘以7，所得到的积的各数位上的数字相加和是18，并且这个两位数的约数有奇数个，那么这个两位数是 ．【答案】81【解析】易知乘积既为7的倍数，又为9的倍数，即为63的倍数，且最大为9976311⨯=⨯．经试验，63的2至11倍中，只有189、567、693的数字和为18，而其中只有45677813÷==的约数个数为奇数个．随练1.4n 减58是完全平方数，n 加31也是完全平方数，求n ．【答案】1994【解析】()()22a b a b a b -=+⨯-，58+31=89，89是质数，只能是189⨯，所以89a b +=，1a b -=，所以45a =，这个数为245311994-=．随练1.546305乘以一个自然数a ，积是一个完全平方数，则最小的a 是多少？【答案】105【解析】46305=5×3×3×3×7×7×7，所以a 最小是5×3×7=105．随练1.64800000有______个因数是立方数．【答案】8【解析】立方数要求每种质因数的个数都为3的倍数．954800000235=⨯⨯，质因数可2可以取0个、3个、6个、9个共4种方法，质因数5可以取0个或3个共两种方法．所以4800000有428⨯=个因数是立方数．作业1同时满足以下条件的数是（）．①所有因数的和为31；②是5的倍数；③有奇数个因数．A ．30B ．27C ．25D ．20【答案】【解析】数论知识，有奇数个因数一定是平方数，C 正确．作业21016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是______．【答案】254【解析】310162127=⨯，故a 最小为2127254⨯=．作业3在1——200的200个正整数中，所有只有3个约数的正整数的和为__________．【答案】377【解析】由求约数个数的公式可知，只有质数的平方有3个约数．221320017<<，由此易知满足条件的数有4、9、25、49、121、169，总和为377．作业4已知两个不同的正整数a 、b 满足：a b +和a b -都是完全平方数，那么a 的最小值是__________．【答案】5【解析】a b +和a b -同奇同偶，且()()22a b a b a b +-=-也是平方数，即222a b c -=，a 、b 、c 为勾股数组，a 最小为5．作业5两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是__________．【答案】170【解析】（1）两个数均为平方数，则它们的乘积仍为平方数，这种情况和最大为8164145+=．（2）两个数均不是平方数，则这两个数为2a m ⨯，2a n ⨯（其中m 不等于n ）．对可能的情况进行讨论：当2a =时，这两个数最大是227⨯，226⨯，和为9872170+=．当3a =时，这两个数最大是325⨯，316⨯，和为7548123+=．当5a =时，这两个数最大是516⨯，59⨯，和为8045125+=．当6a =时，这两个数最大是616⨯，69⨯，和为9654150+=．……经讨论，和最大为170．作业6有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是 （请写出所有可能的答案）．【答案】(43,57)、(18,32)、(68,82)【解析】设这两个数分别是a 和14a +，则2a 与()214a +两个数的末两位相同，即2a 与()228196a a ++的末两位相同，所以()28196a +是100的倍数，a 个位只能是3或8．先设103a k =+，则28196280280a k +=+，当4k =，9时满足条件，但9k =时较大的两位数大于100不合题意．再设108a k =+，可求得1k =，6时满足条件．所以一共有(43,57)、(18,32)、(68,82)三组答案．作业7一个三位数去掉中间的一个数字得到一个新的两位数，如235去掉中间的3后得到25，如果原来的三位数是新两位数的平方，那么这样的三位数共有_______个．【答案】2【解析】若两位数的平方为三位数，可得其最大值为31，且易知15及以上的数其平方的百位大于原数的十位，故只可能为10至14．经验证，只有10、11符合要求．作业8甲、乙两人合养了n 头羊，而每头羊的卖价又恰为n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该补给乙多少元？【答案】2【解析】n 头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数．如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6．所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元．作业9请从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数．【答案】1986、1998【解析】()()22a b a b a b -=+⨯-，我们还可以知道这两个数的奇偶性是相同的，19861198629936331=⨯=⨯=⨯；198911989=⨯；19922996=⨯；199511995=⨯，199811998299936666333=⨯=⨯=⨯=⨯=……，从上面我们发现1986和1998不能写成两个奇偶性相同的数的乘积，所以1986和1998不能写成两个自然数平方差的形式．作业10志诚小学三六年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人？(请写出最现实的答案)【答案】1981【解析】五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为2A ，一二年级的学生人数为2B ，则()()153A B A B =+-，而1533317=⨯⨯，所以，()A B +与()A B -可能为153和1；17和9；51和3，由这三个答案得到的A 和B 的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实，所以27A =，24B =为最佳结果.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三六年级的学生人数为676，学校的总人数为7295766761981++=人.作业11求满足下列条件的所有自然数：(1)它是四位数． (2)被22除余数为5． (3)它是完全平方数．【答案】1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025【解析】解设2225n N +=其中，n ，N 为自然数，可知N 为奇数()2161121N n -=-得到()()()441121N N n -⨯+=-，11|411|4N N -+或者()21114N k ⇒=-⨯+227N k ⇒=-或者2215(1,2,3,4)N k k =-=……，k =1时227,4915,225N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩舍去， k =2时2229,84137,1369N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩舍去，k =3时2251,260115,3481N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩，k =4时2273,532981,6561N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩， k =5时2295,9025103,10609N N N N ⎧==⎪⎨==⎪⎩舍去所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025．。
初二完全平方数讲解
初二完全平方数讲解完全平方数是指一个正整数可以被一个正整数平方后得到的数，常见的完全平方数有1、4、9、16、25、36、49等。
在《九章算术》中就有关于完全平方的讲解，当今学校的数学教材中也有关于完全平方的介绍。
在初二的数学教学中，完全平方这个概念很重要。
它可以帮助学生们更深入地理解数学的定义和表达，例如数学表达式中的分母或分子可以用完全平方数表示。
学生们还可以学习如何用完全平方数分解数及求平方根。
首先，学生们要学会如何判断一个数是否为完全平方数。
最简单的方法是判断这个数是否可以表示成一个整数的平方形式，例如9=3^2，所以9是完全平方数。
另一种方法是用一个算法，来判断一个正整数n是否为完全平方数，它的原理是：如果n=a^2，则a=√n，化简后得到：a^2-n=0，即为一个二次方程，求解这个二次方程，如果只有一个实数解，则n就是完全平方数。
其次，学生们要学习如何分解完全平方数，也就是将一个完全平方数分解为两个数的乘积，常用的分解完全平方数的方法如下：t1.完全平方数分解为正整数的乘积：n=a*b，其中a、b均为正整数。
t2. 使用数学公式：n=a^2*b^2，其中a、b均为正整数。
t3.完全平方数分解为两个完全平方数的乘积，例如：n=a^2*b^2，其中a、b均为完全平方数。
最后，学生们要学习如何用完全平方数计算乘法，这样可以让学生们更快地理解乘法的定义。
我们可以将乘法表示为完全平方数的乘积，例如：a*b=a^2*b^2/2。
显然，这种方法可以极大地减少学生们计算乘法的负担。
以上就是完全平方数的相关知识，希望学生们能从中获益，获得更多的知识。
学习完全平方数，能让学生们更加深入地理解数学的概念，让学生们在学习数学的同时，能得到更多的乐趣。
如何判断一个数是不是完全平方数
如何判断一个数是不是完全平方数下面是一些关于完全平方数的数学性质，对排除完全平方数有一定的加速作用。
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
证明这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1(2k)=4性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
证明在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
完全平方考点总结
完全平方考点总结1. 完全平方定义在数学中，完全平方是指某个数的平方根是一个整数。
换句话说，完全平方是一个非负整数的平方。
数学表达式为：n=m2，其中n是完全平方数，m是整数。
完全平方数的例子有：0，1，4，9，16等。
2. 完全平方的性质完全平方数具有一些特殊的性质，可以帮助我们更好地理解和应用它们。
2.1 完全平方数的性质一：连续奇数和对于任意一个完全平方数n，它可以表示为连续奇数的和。
例如，9可以表示为4+5，16可以表示为7+9，25可以表示为12+13。
2.2 完全平方数的性质二：公式推导完全平方数有一个简单的公式推导，可以帮助我们更方便地计算完全平方数。
数学表达式为：n=2a+1，其中a是非负整数。
根据这个公式，我们可以列举一些完全平方数的例子：•当a = 0时，n = 2*0 + 1 = 1，得到完全平方数1；•当a = 1时，n = 2*1 + 1 = 3，得到非完全平方数3；•当a = 2时，n = 2*2 + 1 = 5，得到非完全平方数5；•当a = 3时，n = 2*3 + 1 = 7，得到非完全平方数7；•当a = 4时，n = 2*4 + 1 = 9，得到完全平方数9；可以发现，当a为完全平方数时，得到的n也是完全平方数。
2.3 完全平方数的性质三：奇数完全平方数所有的完全平方数都是奇数。
通过上面的公式推导可以看出，完全平方数的表达式是2a + 1，其中a是非负整数，所以n一定是奇数。
这一性质对于判断某个数是否为完全平方数很有用。
如果一个数是奇数，那么它一定不是完全平方数。
但是，如果一个数是偶数，它可能是完全平方数，我们需要进一步进行判断。
3. 完全平方数的应用完全平方数在数学以及其它领域都有广泛的应用。
3.1 完全平方数的应用一：素数判断在素数判断问题中，完全平方数有一个重要的作用。
首先，我们知道，除了2以外的所有素数一定是奇数。
如果一个数是完全平方数，并且大于2，那么它的平方根肯定是一个奇数。
完全平方公式课件
可以使用完全平方公式计算风险、定价等相关指标。
医疗行业
可以使用完全平方公式计算器械大小、管路长度等相关参数。
完全平方的历史发展
1
古希腊
毕达哥拉斯学派曾经在探索平方问题时提出完全平方的概念。
2
印度数学
印度的数学家们在完全平方的研究上有着重要的贡献。
3
近现代数学
完全平方公式的研究在近代数学中得到进一步的发展和运用。
完全平方公式与勾股定理的关系
勾股定理公式
a²+b²=c²，其中 c 为斜边，a 和 b 为两个直角 边。
完全平方公式的应用
可以将勾股定理问题转化为完全平方公式问题。
如何利用完全平方公式求解方程
1
转化
将一些无法直接求解的方程，转化为完
运算
2
全平方公式的形式。
将方程中变量的平方与常数合并起来，
运用完全平方公式进行相关计算。
完全平方公式的简化公式
a²+b²=(a+b)²-2ab
完全平方子序列问题
定义
在一个数列中，如果某一子序列的每一个数都是完 全平方，那么这个子序列就是完全平方子序列。
应用
完全平方子序列问题在组合数学、计算机科学等领 域均有重要应用。
完全平方函数及其性质
1 定义
形如f(x)=ax²+bx+c的函数称为完全平方函数。
=
(a+b+c)²
=
(a+b)²-a*b*2 (a+b)(a-b) a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
完全平方公式的例子
建筑中的应用
可以使用完全平方公式计算不规 则形状的空间面积。
完全平方数
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 若 则
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 综上所述， 不可能是完全平方数。
另证
由
为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数
的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而 十位上的数字为1，所以 不是完全平方数。
[例4]：试证数列49,4489,444889, 是完全平方数。 证明 = = =4× =4 × ( =36 ×( =(6 × 即 + +8 × )(9 × )2+12 × +1)2 为完全平方数。 +1 +1 +1)+8 × +1 +1
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还 可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数 字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把 13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字 的和。 下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位 数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数 字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
完全平方数
(一)完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平 方，那么我们就称这个数为完全平方数， 也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169, 196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的 个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位 数字为偶数。
完全平方数奥数题目
完全平方数奥数题目摘要：一、完全平方数的定义和性质1.完全平方数的定义2.完全平方数的性质二、完全平方数的应用1.求解完全平方数2.完全平方数与勾股定理3.完全平方数与概率论三、完全平方数的奥数题目1.判断一个数是否为完全平方数2.求一个数的平方根3.求两个完全平方数的和正文：完全平方数是一个数学概念，它指的是一个数可以表示为某个整数的平方。
例如，4、9、16 等都是完全平方数，因为它们可以表示为2^2、3^2、4^2 的形式。
完全平方数具有一些有趣的性质，例如，如果一个数是完全平方数，那么它的因数一定是成对出现的。
在数学中，完全平方数有着广泛的应用。
例如，在求解完全平方数时，我们可以使用公式：如果一个数的平方根是整数，那么这个数就是完全平方数。
此外，完全平方数还与勾股定理有着密切的关系。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，如果一个数是完全平方数，那么它一定可以表示为两个整数的平方和。
在概率论中，完全平方数也有着重要的应用。
例如，假设有一个袋子，里面有若干个红球和白球，我们想要取出一个红球。
如果我们随机地从袋子中取出一个球，那么取出红球的概率就等于红球的个数除以球的总数。
如果我们想要计算这个概率的平方，那么我们就需要计算所有可能的取球方式的概率，这些概率可以表示为完全平方数。
在奥数比赛中，完全平方数也是一个常见的考点。
例如，可能会给出一个数，要求我们判断它是否为完全平方数。
或者，可能会给出两个数，要求我们求它们的平方和。
对于这类题目，我们需要熟悉完全平方数的性质，并且能够灵活运用它们来解决问题。
总的来说，完全平方数是一个有趣的数学概念，它在数学和概率论中都有着广泛的应用。
五年级奥数春季班第8讲 完全平方数
第八讲完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；例1．（1）写出12、22、32、……、202的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什（2）根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗？为什么？（3）进一步判断1000是平方数吗？1004000呢？解：（1）如果完全平方数末位是0，那么它从个位开始，连续的0的个数一定是偶数个。
例2．（1）10001到11000之间存在哪些数的平方？写出这些数；（2）非零自然数的平方按大小排列成14916253649……，则第92个位置的数字是。
解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。
（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字，100、121、……、直到312=961，一共有22×3=66个数字，前面共有66+15=81个数字，从322=1024开始，每个平方数有4个数字，32、33、34、35，它们的平方都有4个数字，81+11=92，所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.模块二、偶指奇因性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N因数的个数为奇数；性质4：自然数N为完全平方数⇔自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。
例3．240乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是；b的最小值是。
解：240=24×3×5，乘a是一个完全平方数，a的最小值是3×5=15，同样240÷15也是一个完全平方数，b的最小值是15.例4．（1）从1到100这100个自然数中，有奇数个因数的自然数有；（2）从1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有；解：（1）1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个；（2）1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49，共4个。
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如何判断一个数是不是完全平方数
下面是一些关于完全平方数的数学性质，对排除完全平方数有一定的加速作用。
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后，得
(10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
证明这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
证明在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
证明因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。
平方后，分别得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
拓展除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。
例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。
如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。
下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。
我们可以
得到下面的命题：
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对于n位数，也可以仿此法予以证明。
关于完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
证明由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即
若n^2 < k^2 < (n+1)^2则k一定不是完全平方数。
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。
总结起来，判断一个数是不是完全平方数须具有以下性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。