原函数与导函数的关系
原创§原函数与导函数的关联 ppt课件
法2：因原函数是偶函数，故导函数是奇函数
又因曲线y=f(x)在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f / (1) 1
故曲线y=f(x)在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f /(1)1
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三、单调性及凸凹性间的关联：
1.正用： 一导本身即斜率 增大减小○驻点 二导本身是曲率 大凹小凸○拐点
kf /(x0)yx00
y1 x1
y0 k x0 b
P0 (x0, y0) P1 (x1, y1 )
y0 f (x0)
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导数的几何意义
2.二导：曲线的曲率：二导意义是曲率 大凹小凸○拐点
如果f(x)在[a,b]上连,续 在(a,b)内具有 二阶导,若 数在(a,b)内 (1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是; 凹的 (2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是. 凸的
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(1)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，
则 f /(2015)=_____0____
(2)(2009年北京)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率为1,则该曲线在点 (1, f(1)) 处的切线的 斜率为_________ 法1：令 f ( x) x 2 ,则 f / (x) x ,即 kf/(1)1
【A】
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y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
f(x)递增 y 0
f(x)递增 y 0
o
a f(x)递
减
y
b 0
x
f(x)递减 y 0
数学分析中的微积分基本定理和换元积分法
微积分是数学的一个重要分支，涉及到了两个主要的概念——导数和积分。
而微积分的核心则是微分和积分之间的关系。
在数学分析中，微积分基本定理和换元积分法是两个非常重要的工具，它们为我们解决各种问题提供了便利和灵活性。
微积分基本定理是微积分的核心之一。
它可以追溯到17世纪的牛顿和莱布尼茨，被称为牛顿—莱布尼茨公式。
微积分基本定理分为两个部分：第一部分是关于导函数和原函数的关系，即如果函数F的导函数是f，那么函数f的原函数就是F。
这个定理表明了原函数和导函数之间的一一对应关系。
在实际应用中，我们可以通过求解导函数，再通过求解原函数来得到函数的解析式。
第二部分是关于积分的定义和性质，指出了积分与求解原函数之间的联系。
它表明，对于一个连续函数f在[a, b]上的积分，等于f在[a, b]上的原函数在a和b处的差值。
这个定理为我们求解定积分提供了便利，可以通过求解原函数来得到精确的积分值。
换元积分法是一种常见的求解定积分的方法，利用了微积分基本定理中的原函数和导函数之间的关系。
当积分的被积函数形式复杂或者难以直接求解时，我们可以通过引入一个新的变量替换来简化积分表达式，从而更方便地求解。
例如，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx的积分，我们可以通过令u=g(x)，从而dx =du/g'(x)，将原积分转化为∫f(u)du，从而简化了积分的形式。
通过换元积分法，我们可以将积分转化为更简单的形式，使得我们能够更加容易地求解出积分的值。
微积分基本定理和换元积分法为我们解决各种数学分析问题提供了强大的工具和方法。
在实际应用中，我们可以利用微积分基本定理将复杂的函数转化为简单的函数，从而更容易求解出问题的解析解。
而换元积分法则可以让我们通过变量替换来简化积分表达式，使得我们能够更方便地求解出积分的值。
这两个工具的应用范围非常广泛，在物理、工程等领域都有重要的应用。
总之，微积分基本定理和换元积分法是数学分析中的重要工具。
原函数和导函数的转换常用公式
原函数和导函数的转换常用公式在微积分中，我们经常需要求一个函数的导函数，或者根据已知的导函数求原函数。
这种转换是十分重要的，因为它们可以帮助我们在计算复杂的函数时简化问题，同时也有助于解决最优化问题、物理问题等。
下面是一些常见的原函数和导函数之间转换的公式。
1.常数法则：如果f(x)=k，其中k是常数，那么它的导函数是f'(x)=0。
这是因为常数的导数为零，表示函数的值不会因x的变化而改变。
2.幂法则：a) 若 f(x) = x^n，其中 n 是任何实数，那么它的导函数是 f'(x) = nx^(n-1)。
这可以通过幂函数的定义和导数的定义来推导。
b) 若 f(x) = a^x，其中 a 是常数，那么它的导函数是 f'(x) = (ln a) * a^x。
这是由对数函数和指数函数之间的相关性推导出来的。
3.指数法则：若f(x)=e^g(x)，其中g(x)是一个可导函数，那么它的导函数是f'(x)=(g'(x))*e^g(x)。
这可以通过链式法则来推导。
4.对数法则：a) 若 f(x) = ln(x)，那么它的导函数是 f'(x) = 1/x。
这是对数函数的导数定义。
b) 若 f(x) = log_a(x)，其中 a 是常数，那么它的导函数是 f'(x) = 1/(xln a)。
这是对数函数的导数定义和换底公式的结合。
5.三角函数法则：a) 若 f(x) = sin(x)，那么它的导函数是 f'(x) = cos(x)。
这是三角函数的导数定义。
b) 若 f(x) = cos(x)，那么它的导函数是 f'(x) = -sin(x)。
这也是三角函数的导数定义。
c) 若 f(x) = tan(x)，那么它的导函数是 f'(x) = sec^2(x)。
这是由三角函数的定义和相关性质推导出来的。
6.反函数法则：若y=f(x)和x=f^(-1)(y)是反函数，那么它们的导函数之间满足f'(x)=1/f'^(-1)(y)。
原函数可导,导函数连续吗
原函数可导,导函数连续吗
原函数可导，导函数不一定连续，原函数可导并不能推出导函数连续。
还需要进一步求导才可判断。
原函数连续，并且导数存在，导函数不一定连续。
例如：原函数y=|x|连续，可是其导函数y在x=0处没意义，即不连续。
扩展资料：
连续导数就是说这个函数的导函数是连续的。
函数在各点的导数值不同，因此存在一个该函数的导函数，也就是每一个x对应一个值，这个值就是原函数在该点的导数值，这就是导函数，简称导数。
要弄明白导函数连续的意义首先要搞清楚函数连续的意思，就是说函数的图像是连在一起的，中间没有断开（没有间断点）。
导数表示愿函数在该点的斜率大小，导函数连续说明原函数的斜率是连续变化的，而并没有在某点发生突变。
二阶导数一阶导数原函数之间的关系
二阶导数一阶导数原函数之间的关系
二阶导数是一阶导数的导数。
一阶导数是函数在某一点的斜率，二阶导数则是一阶导数在这一点的变化率。
一阶导数告诉我们函数的变化趋势，而二阶导数告诉我们函数的变化趋势的变化情况。
原函数是函数的积分，即原函数是一阶导数的反函数。
一阶导数告诉我们函数在某一点变化的快慢，原函数则可以算出函数在某一点的值。
而对于二阶导数，由于它描述了一阶导数的变化情况，我们可以通过对一阶导数进行积分来得到二阶导数对应的原函数。
综上所述，二阶导数，一阶导数和原函数之间存在着密切的关系。
导数除以原函数的意义
导数除以原函数的意义一、定义在解释导数除以原函数的意义之前，首先需要明确导数和原函数的定义。
导数的定义对于函数f(x)，在某个点a处的导数可以通过以下极限定义得到：d.f(x) / dx = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，lim表示极限，h→0表示h无限接近于0。
上式的意义是描述函数f(x)在点a处的瞬时变化率。
导数可以理解为函数在某点处的斜率。
原函数的定义原函数指的是一个函数的不定积分。
对于函数f(x)，其原函数被表示为F(x)，满足关系：F’(x) = f(x)其中，F’(x)表示F(x)的导数。
二、导数除以原函数的含义将导数除以原函数的操作可以表示为：d.f(x) / f(x)该操作的含义可以从多个角度进行解释和理解。
1. 增长速率导数除以原函数可以表示函数的增长速度。
当 d.f(x) / f(x) 大于0时，表示函数在该点处正向增长；当 d.f(x) / f(x) 小于0时，表示函数在该点处反向增长；当 d.f(x) / f(x) 等于0时，表示函数在该点处不增长。
2. 变化幅度导数的绝对值可以表示函数在某一点的变化幅度，而导数除以原函数可以表示变化幅度相对于函数本身的大小。
当 d.f(x) / f(x) 的绝对值越大，表示函数在该点的变化幅度越大；而当 d.f(x) / f(x) 的绝对值越小，表示函数在该点的变化幅度越小。
3. 函数特性通过导数除以原函数，可以判断函数的特性。
当 d.f(x) / f(x) 大于0时，表示函数在该点处为增函数；当 d.f(x) / f(x) 小于0时，表示函数在该点处为减函数；当 d.f(x) / f(x) 等于0时，表示函数在该点处为常数函数。
4. 特殊函数的含义对于特定的函数，导数除以原函数的含义有着特殊的解释。
•对数函数：对于f(x) = ln(x)，d.f(x) / f(x) 可以解释为函数的比例增长率。
即 d.f(x) 表示x的增长量，f(x) 表示x的值，d.f(x) / f(x) 表示比例增长率。
导数求原函数
导数求原函数1 什么是导数在数学中，导数是一种用于描述函数变化速率的概念。
简单来说，导数就是函数某个点处的切线斜率。
2 求导数的过程要求一个函数的导数，需要使用一个叫做“导数”的概念来描述函数的增长速度。
导数可以通过求解函数的微分（即函数在某个点的切线的斜率）来得到。
通常情况下，我们可以使用限制性方法计算导数。
这样做的基本思想是将函数的增长速率按照一个小的变化量进行计算。
3 什么是原函数在数学中，原函数指的是某个函数的不定积分。
简单来说，如果函数f(x)的导函数是F(x)，那么F(x)就是f(x)的原函数。
原函数的意义在于，它可以告诉我们原始函数的变化对于某个参考点的影响程度。
4 导数求原函数的过程在求解导数方程时，我们只是单纯地对函数的变化率进行了计算，我们并没有获得原始函数的具体值。
那么，如何求解原函数呢？假设f(x)是某个可微函数，它的导函数为f'(x)，那么可以知道：∫f'(x)dx = f(x)+C其中，C是一个任意的常数。
想要求得f(x)，我们只需反函数微商就可以得到：f(x) = ∫f'(x)dx + C这个公式告诉我们，如果我们能够求出f'(x)的不定积分，那么它就是f(x)的一个原函数了。
5 求解例子假设f(x) = x²，求解f(x)的原函数。
根据公式：f'(x) = 2x那么，f(x)的原函数可以表示为：f(x) = ∫2xdx + Cf(x) = x² + C与f(x) = x² 的导函数f'(x) = 2x 相对应的原函数就是f(x) = (1/3)x³ + C6 总结在数学中，导数与原函数是紧密相关的。
导数可以描述函数变化率，而原函数则可以告诉我们原始函数的具体变化情况。
如果我们要求一个函数的原函数，那么我们只需要找到计算函数导数的方法，然后应用反函数微商即可。
通过这种方法，我们可以非常方便快捷地求出函数的原函数，这是数学求解重要问题的核心思想。
原函数与二阶导函数的关系
原函数与二阶导函数的关系
原函数和它的二阶导函数之间有着密切的关系。
对于函数 y = f(x)，其二阶导函数为 y'' = f''(x)。
当 f''(x) > 0，则函数 y = f(x) 在该点是凹函数，即具有下凹形状。
当 f''(x) < 0，则函数 y = f(x) 在该点是凸函数，即具有上凸形状。
当 f''(x) = 0，则函数 y = f(x) 在该点是平函数，即具有平凡形状。
另外，二阶导函数也可以用来判定函数的单调性，如果二阶导函数在整个定义域内都是正数，那么原函数就是下凹函数，即单调递增，反之就是下凸函数，即单调递减，如果在整个定义域内都是0，则原函数是常函数。
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f
(x)
lim
f (x x)
x0
x
f (x)
lim x0
f
(x) f (x x) x
f
'(x)
所以 y f '(x) 时偶函数
分析 2.用复合函数求导
证明：当 y f (x) 是奇函数时，对定义域中的任意 x 都有 f (x) f (x) 两边对 x 求导得[ f (x)]' [ f (x)]' ，即 f '(x) (1) f '(x) 得 f '(x) f '(x) ，所以 y f '(x) 时偶函数
y
o
x
o
x
f (x) x2
y
y f '(x) x
y
o
x
y
o
x
o
x
导函数的实质是原函数的瞬时变化率，导函数的正负反应了原函数的单调性，导函数的 大小反应了原函数增减的快慢。从图像的整体性质上看，你还有什么发现？
猜想 p : 可导的奇函数的导函数是偶函数， 猜想 q: 可导的偶函数的导函数是奇函数。
问题 2 你能根据图象上解释一下你的猜想吗？ 奇函数关于原点中心对称，它的曲线在原点两侧等距离处升降速度相同，即切线斜率相等； 偶函数关于 y 轴对称，它的曲线在 y 轴两侧等距离处升降速度绝对值相等，即切线斜率互 为相反数。
问题 3 尝试证明你的猜想
P: 已知 y f (x) 是可导的奇函数，求证 y f '(x) 时偶函数
命题 q 同理可证.
思考：看来已知原函数的奇偶性，我们可以确定导函数的奇偶性，那么已知导函数的奇偶性 能否推知原函数的奇偶性呢？命题 p 和 q 的逆命题是否成立呢？
二．探究由导函数的奇偶性能否推出原函数的奇偶性。
问题 4 p 和 q 的逆命题是否成立？
p 的逆命题：若 y f '(x) 是偶函数，则 y f (x) 奇函数 此命题不正确，可举出反例：如 y f '(x) x 是奇函数，而原函数 y f (x) 1 x2 c
2
当 c 不为 0 时，原函数不是偶函数。
这是什么原因造成的呢？因为原函数定了，导函数是唯一确定的，而同一个导函数的原 函数有无穷多个。一个函数向上或向下平移后导函数是不变的，直观理解是切线的斜率不变。 而函数上下平移就不能保证图象关于原点中心对称了。
q 的逆命题：若 y f '(x) 是奇函数，则 y f (x) 偶函数 证明： y f '(x) 是奇函数时
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们加强一下条件，将命题改为“对于在 R 上连续可导的函数，若 y f '(x) 是奇函数，则
y f (x) 偶函数”。
此时 y f (x) 在 x 0 处有定义，则 f (0) f (0) c 0 ，此时可得 f (x) f (x) ，原
函数是偶函数。
三．探究由原函数的对称性能否推出导函数的对称性 对于连续的可导函数，原函数的奇偶性可以推出导函数的奇偶性，而逆命题中当导函数
为奇函数时，原函数是偶函数，但当导函数为偶函数时，原函数不一定是奇函数，那么此时 原函数虽然不是奇函数了，它是不是也有什么性质呢？它的图像应该是中心对称的。能否将 刚才的结论推广一下？
新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图，你能根据原函
数的图像画出导函数的示意图吗？
一． 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。
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问题 1 已知函数 y f (x) 的图像，请尝试画出其导函数的图像示意图。
f (x) x3
y
y f '(x) 3x2
分析 1：欲证 y f '(x) 时偶函数，只需证 f '(x) f '(x)
若将 f '(x) ห้องสมุดไป่ตู้解将 f '(x) 中的 x 替换为 x 得到的函数，可以用导数定义证明。
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证明：当 y f (x) 是奇函数时,对定义域中的任意 x 都有
f
'(x)
lim x0
f (x x) x
函数的性质拓展为关于直线 x a 对称，研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类
比迁移前面的方法。能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成 为真命题。 4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标
在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解； 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力； 3 体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的 过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。
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课题：探究原函数与导函数的关系
首师大附中 数学组 王建华 设计思路
这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一 定的认识的基础上展开教学的。由于这部分容课本上没有，但数学部的联系规律和对称美又 会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资 料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终 登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险， 大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重 要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有 更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现，猜想得命题 p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求 导，比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发 现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于 y 轴对称的性质能够 保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶
[ f (x) f (x)]' f '(x) f '(x)(1) f '(x) f '(x) 0 能否推出 f (x) f (x) 0 ？ 只能推出 f (x) f (x) c ，思考 c 是确定的值吗？能求吗？
问题转化为导函数是 0，原函数是什么？可以举出分段的常数函数 ，为使此命题成立，我