2020南充二诊数学(理)试题
四川省南充市2019-2020学年中考二诊数学试题含解析
四川省南充市2019-2020学年中考二诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ，若AB=8，CD=2，则cos ∠ECB 为（ ）A ．35B ．313C ．23D ．213 2．二次函数y=x 2+bx –1的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二次方程x 2–2x –1–t=0（t 为实数）在–1<x<4的范围内有实数解，则t 的取值范围是A ．t≥–2B ．–2≤t<7C ．–2≤t<2D ．2<t<73．如图，在Y ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，DEF ABF S S 425∆∆=：：，则DE ：EC=（ ）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：24．某城2014年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，到2016年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意所列方程正确的是（ ）．A ．300(1)363x +=B ．2300(1)363x +=C ．300(12)363x +=D ．2300(1)363x -= 5．下列运算正确的是（ ）A ．（a 2）4=a 6B ．a 2•a 3=a 6C 236=D 235=6．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y=a x与一次函数y=bx ﹣c 在同一坐标系内的图象大致是( )A．B．C．D．7．如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（）A．9πB．10πC．11πD．12π8．反比例函数y＝mx的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若点A(﹣1，h)，B(2，k)在图象上，则h＜k；④若点P(x，y)在上，则点P′(﹣x，﹣y)也在图象．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．49．如右图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看几何体得到的图形是（）A．B．C ．D ．10．某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利20%，则这种商品每件的进价为（ ） A ．180元 B ．200元 C ．225元 D ．259.2元11．下列计算正确的是（ ）A ．a 4+a 5=a 9B ．（2a 2b 3）2=4a 4b 6C ．﹣2a （a+3）=﹣2a 2+6aD ．（2a ﹣b ）2=4a 2﹣b 212．下列各式正确的是( )A ．0.360.6±=±B ．93=±C ．33(3)3-=D ．2(2)2-=-二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知关于X 的一元二次方程()2m 2x 2x 10-++=有实数根，则m 的取值范围是____________________14．边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放,则图中阴影部分的面积为_________.15．如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD=5，AE=2，AF=1．如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是______．16．若实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则代数式|b ﹣a|+2a 化简为_____．17．如图，△ABC ∽△ADE ，∠BAC=∠DAE=90°，AB=6，AC=8，F 为DE 中点，若点D 在直线BC 上运动，连接CF ，则在点D 运动过程中，线段CF 的最小值是_____．18．如图所示是一组有规律的图案，第l 个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个图案中的基础图形个数为_______ （用含n 的式子表示）．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）反比例函数k y x =在第一象限的图象如图所示，过点A （2，0）作x 轴的垂线，交反比例函数k y x=的图象于点M ，△AOM 的面积为2． 求反比例函数的解析式；设点B 的坐标为（t ，0），其中t ＞2．若以AB 为一边的正方形有一个顶点在反比例函数k y x=的图象上，求t 的值． 20．（6分）如图，AB 为半圆O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 为»BC的中点，作DE ⊥AC ，交AB 的延长线于点F ，连接DA ．求证：EF 为半圆O 的切线；若DA ＝DF ＝63，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）21．（6分）解方程组：222232()x y x y x y ⎧-=⎨-=+⎩. 22．（8分）如图，在ABC ∆中，AB AC =,以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作DE AB ⊥于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F .求证：EF是⊙O的切线；若,且,求⊙O的半径与线段的长.23．（8分）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）24．（10分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．求y关于x的函数关系式；该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．25．（10分）菏泽市牡丹区中学生运动会即将举行，各个学校都在积极地做准备，某校为奖励在运动会上取得好成绩的学生，计划购买甲、乙两种奖品共100件，已知甲种奖品的单价是30元，乙种奖品的单价是20元．（1）若购买这批奖品共用2800元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件？（2）若购买这批奖品的总费用不超过2900元，则最多购买甲种奖品多少件？26．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD、CD．（1）求证：AD＝CD；（2）若AB＝10，OE＝3，求tan∠DBC的值．27．（12分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为m．（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】连接EB，设圆O半径为r，根据勾股定理可求出半径r=4，从而可求出EB的长度，最后勾股定理即可求出CE的长度．利用锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：连接EB，由圆周角定理可知：∠B=90°，设⊙O 的半径为r ，由垂径定理可知：AC=BC=4，∵CD=2，∴OC=r-2，∴由勾股定理可知：r 2=（r-2）2+42，∴r=5，BCE 中，由勾股定理可知：13∴cos ∠ECB=CB CE =1313， 故选D ．【点睛】本题考查垂径定理，涉及勾股定理，垂直定理，解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型． 2．B【解析】【分析】利用对称性方程求出b 得到抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2），再计算当﹣1＜x ＜4时对应的函数值的范围为﹣2≤y ＜7，由于关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣1﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数解可看作二次函数y=x 2﹣2x ﹣1与直线y=t 有交点，然后利用函数图象可得到t 的范围．【详解】抛物线的对称轴为直线x=﹣2b =1，解得b=﹣2， ∴抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2），当x=﹣1时，y=x 2﹣2x ﹣1=2；当x=4时，y=x 2﹣2x ﹣1=7，当﹣1＜x ＜4时，﹣2≤y ＜7，而关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣1﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数解可看作二次函数y=x 2﹣2x ﹣1与直线y=t 有交点，∴﹣2≤t ＜7，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程，把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程是解题的关键. 3．B【解析】【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD∴∠EAB=∠DEF ，∠AFB=∠DFE∴△DEF ∽△BAF∴()2DEF ABF S S DE AB ∆∆=：： ∵DEF ABF S S 425∆∆=：：， ∴DE ：AB=2：5∵AB=CD ，∴DE ：EC=2：3故选B4．B【解析】【分析】先用含有x 的式子表示2015年的绿化面积，进而用含有x 的式子表示2016年的绿化面积，根据等式关系列方程即可.【详解】由题意得，绿化面积平均每年的增长率为x ，则2015年的绿化面积为300（1＋x ），2016年的绿化面积为300（1＋x ）（1＋x ），经过两年的增长，绿化面积由300公顷变为363公顷.可列出方程：300（1＋x ）2＝363.故选B.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找准其中的等式关系式解答此题的关键.5．C【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法计算即可.【详解】A 、原式=a 8，所以A 选项错误；B 、原式=a 5，所以B 选项错误；C 、原式= ==C 选项正确；D D 选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键.6．C【解析】【分析】根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．【详解】解：观察二次函数图象可知：开口向上，a ＞1；对称轴大于1，2b a-＞1，b ＜1；二次函数图象与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞1． ∵反比例函数中k ＝﹣a ＜1，∴反比例函数图象在第二、四象限内；∵一次函数y ＝bx ﹣c 中，b ＜1，﹣c ＜1，∴一次函数图象经过第二、三、四象限．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象、反比例函数的图象以及一次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论．7．B【解析】【分析】由三视图可判断出几何体的形状，进而利用圆锥的侧面积公式求出答案．【详解】由题意可得此几何体是圆锥，底面圆的半径为：2，母线长为：5，故这个几何体的侧面积为：π×2×5=10π，故选B ．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法，正确得出几何体的形状是解题关键．8．B【解析】【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．【详解】解：∵反比例函数的图象位于一三象限，∴m ＞0故①错误；当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故②错误；将A(﹣1，h)，B(2，k)代入y ＝x m ，得到h ＝﹣m ，2k ＝m ， ∵m ＞0∴h ＜k故③正确；将P(x ，y)代入y ＝x m 得到m ＝xy ，将P′(﹣x ，﹣y)代入y ＝xm 得到m ＝xy ， 故P(x ，y)在图象上，则P′(﹣x ，﹣y)也在图象上故④正确，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键． 9．B【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有从正面看到的棱都应表现在主视图中.【详解】解：从正面看该几何体，有3列正方形，分别有：2个，2个，2个，如图.故选B ．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看到的视图，属于基础题型.10．A【解析】【分析】设这种商品每件进价为x 元，根据题中的等量关系列方程求解.【详解】设这种商品每件进价为x 元，则根据题意可列方程270×0.8－x ＝0.2x ，解得x ＝180.故选A. 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是确定未知数，根据题中的等量关系列出正确的方程. 11．B【解析】分析：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算．详解：A 、a 4与a 5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、（2a 2b 3）2=4a 4b 6，故本选项正确；C 、-2a （a+3）=-2a 2-6a ，故本选项错误；D 、（2a-b ）2=4a 2-4ab+b 2，故本选项错误；故选：B ．点睛：本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．12．A【解析】3=，则B 3=-，则C 2=，则D 错，故选A ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．m≤3且m≠2【解析】试题解析：∵一元二次方程()22210m x x -++=有实数根 ∴4-4（m-2）≥0且m-2≠0解得：m≤3且m≠2.14．1a 1．【解析】【分析】结合图形，发现：阴影部分的面积=大正方形的面积的+小正方形的面积-直角三角形的面积．【详解】阴影部分的面积=大正方形的面积+小正方形的面积-直角三角形的面积=（1a ）1+a 1-12×1a×3a =4a 1+a 1-3a 1=1a 1．故答案为：1a 1．此题考查了整式的混合运算，关键是列出求阴影部分面积的式子．15．105105r -<<+ 【解析】 【分析】因为以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，则圆D 与圆O 相交，圆心距满足关系式：|R-r|<d<R+r ，求得圆D 与圆O 的半径代入计算即可.【详解】连接OA 、OD ，过O 点作ON ⊥AE ，OM ⊥AF.AN=12AE=1，AM=12AF=2，MD=AD-AM=3 ∵四边形ABCD 是矩形∴∠BAD=∠ANO=∠AMO=90°，∴四边形OMAN 是矩形∴OM=AN=1∴OA=22215+=,OD=221310+=∵以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，则圆D 与圆O 相交∴105105r -<<+【点睛】本题考查了圆与圆相交的条件，熟记圆与圆相交时圆的半径与圆心距的关系是关键.16．2a ﹣b ．【解析】【分析】直接利用数轴上a ，b 的位置进而得出b ﹣a ＜0，a ＞0，再化简得出答案．【详解】解：由数轴可得：b ﹣a ＜0，a ＞0，则|b ﹣2a=2a﹣b．故答案为2a﹣b．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．17．1【解析】试题分析：当点A、点C和点F三点共线的时候，线段CF的长度最小，点F在AC的中点，则CF=1．18．3n+1【解析】试题分析：由图可知每个图案一次增加3个基本图形，第一个图案有4个基本图形，则第n个图案的基础图形有4+3(n-1)=3n+1个考点：规律型三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（2）6yx（2）7或2.【解析】试题分析：（2）根据反比例函数k的几何意义得到12|k|=2，可得到满足条件的k=6，于是得到反比例函数解析式为y=6x；（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y=6x的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（2，6），则AB=AM=6，所以t=2+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=6x的图象上，根据正方形的性质得AB=BC=t-2，则C点坐标为（t，t-2），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t-2）=6，再解方程得到满足条件的t的值．试题解析：（2）∵△AOM的面积为2，∴12|k|=2，而k＞0，∴k=6，∴反比例函数解析式为y=6x；（2）当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y=6x的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，把x=2代入y=6x得y=6，∴M点坐标为（2，6），∴AB=AM=6，∴t=2+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=6x的图象上，则AB=BC=t-2，∴C点坐标为（t，t-2），∴t（t-2）=6，整理为t2-t-6=0，解得t2=2，t2=-2（舍去），∴t=2，∴以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=kx的图象上时，t的值为7或2．考点：反比例函数综合题．20．（1）证明见解析（2﹣6π【解析】【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；（2）直接利用得出S△ACD＝S△COD，再利用S阴影＝S△AED﹣S扇形COD，求出答案．【详解】（1）证明：连接OD，∵D为弧BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；（2）解：连接OC与CD，∵DA＝DF，∴∠BAD ＝∠F ，∴∠BAD ＝∠F ＝∠CAD ，又∵∠BAD+∠CAD+∠F ＝90°，∴∠F ＝30°，∠BAC ＝60°，∵OC ＝OA ，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∠COB ＝120°，∵OD ⊥EF ，∠F ＝30°，∴∠DOF ＝60°，在Rt △ODF 中，DF ＝63， ∴OD ＝DF•tan30°＝6，在Rt △AED 中，DA ＝63，∠CAD ＝30°，∴DE ＝DA •sin30°＝33，EA ＝DA•cos30°＝9，∵∠COD ＝180°﹣∠AOC ﹣∠DOF ＝60°，由CO ＝DO ，∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD ＝60°，∴∠DCO ＝∠AOC ＝60°，∴CD ∥AB ，故S △ACD ＝S △COD ，∴S 阴影＝S △AED ﹣S 扇形COD ＝216093362360π⨯⨯-⨯＝27362π-．【点睛】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S △ACD ＝S △COD 是解题关键．21．111,1x y =⎧⎨=-⎩；223232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；331252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】分析：把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次，转化为两个一次方程，再分别和第一方程组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解.详解：由方程222()x y x y -=+可得，0x y +=，2x y -=；则原方程组转化为223,0.x y x y ⎧-=⎨+=⎩（Ⅰ）或 223,2.x y x y ⎧-=⎨-=⎩ （Ⅱ）， 解方程组（Ⅰ）得21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩， 解方程组（Ⅱ）得43341,1,21;5.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩， ∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩ 331,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法，解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第1个方程组合成两个新的方程组；（2）将两个新的方程组消去y ，即可得到关于x 的一元二次方程.22．（1）证明参见解析；（2）半径长为154，AE =6. 【解析】【分析】（1）已知点D 在圆上，要连半径证垂直，连结OD ，则OC OD =，所以ODC OCD ∠=∠，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .由DE AB ⊥得出OD EF ⊥，于是得出结论；（2）由35OD AE OF AF ==得到35OD AE OF AF ==，设3OD x =，则5OF x =.26AB AC OD x ===，358AF x x x =+=，362AE x =-，由363285x x -=，解得x 值，进而求出圆的半径及AE 长. 【详解】解：（1）已知点D 在圆上，要连半径证垂直，如图2所示，连结OD ，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠.∵OC OD =，∴ODC OCD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .∵DE AB ⊥，∴OD EF ⊥.∴EF 是⊙O 的切线；（2）在Rt ODF ∆和Rt AEF ∆中，∵35OD AE OF AF ==，∴35 OD AEOF AF==. 设3OD x=，则5OF x=.∴26AB AC OD x===，358AF x x x=+=.∵32EB=，∴362AE x=-.∴363285xx-=，解得x=54，则3x=154,AE=6×54-32=6,∴⊙O的半径长为154，AE=6.【点睛】1.圆的切线的判定；2.锐角三角函数的应用.23．（1）甲型号的产品有10万只，则乙型号的产品有10万只；（2）安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只，可获得最大利润91万元．【解析】【分析】（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据销售收入为300万元可列方程18x+12（20﹣x）=300，解方程即可；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元列出不等式，求出不等式的解集确定出y的范围，再根据利润=售价﹣成本列出W与y的一次函数，根据y的范围确定出W的最大值即可．【详解】（1）设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有（20﹣x）万只，根据题意得：18x+12（20﹣x）=300，解得：x=10，则20﹣x=20﹣10=10，则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；（2）设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产（20﹣y）万只，根据题意得：13y+8.8（20﹣y）≤239，解得：y≤15，根据题意得：利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y）=1.8y+64，当y=15时，W最大，最大值为91万元．所以安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只时，可获得最大利润为91万元.考点：一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用.24．(1) =﹣100x+50000；(2) 该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；(3)见解析.【解析】【分析】（1）根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．【详解】（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；（2）∵100﹣x≤2x，∴x≥1003，∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正数，∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，3313≤x≤60，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，∴当x=34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②a=100时，a﹣100=0，y=50000，即商店购进A型电脑数量满足3313≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，∴当x=60时，y取得最大值．即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．【点睛】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，弄清题意，找出题中的数量关系列出函数关系式、找出不等关系列出不等式是解题的关键.25．（1）甲80件，乙20件；（2）x≤90【解析】【分析】（1）甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，利用共用2800元，列出方程后求解即可；(2) 设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，根据购买这批奖品的总费用不超过2900元列不等式求解即可.【详解】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，根据题意得30x+20（100﹣x）=2800，解得x=80，则100﹣x=20，答：甲种奖品购买了80件，乙种奖品购买了20件；（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（100﹣x）件，根据题意得：30x+20（100﹣x）≤2900，解得：x≤90，【点睛】本题主要考查一元一次方程与一元一次不等式的应用，根据已知条件正确列出方程与不等式是解题的关键.26．（1）见解析；（2）tan∠DBC＝12．【解析】【分析】（1）先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再利用平行线的性质得∠AEO＝90°，则根据垂径定理得到¼¼AD DC=，从而有AD＝CD；（2）先在Rt△OAE中利用勾股定理计算出AE，则根据正切的定义得到tan∠DAE的值，然后根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC，从而可确定tan∠DBC的值．【详解】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，∴OE⊥AC，∴¼¼AD DC=，∴AD＝CD；（2）解：∵AB＝10，∴OA＝OD＝5，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，在Rt△OAE中，AE＝225-3＝4，∴tan∠DAE＝2142 DEAE==，∵∠DAC＝∠DBC，∴tan∠DBC＝12．【点睛】垂径定理及圆周角定理是本题的考点，熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键. 27．（1）11.4；（2）19.5m.【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠BAC=64°，AC=5m，∴AB=5÷0.4411.4 （m）；故答案为：11.4；（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，在Rt△ADE中，∵AD=20m，∠DAE=64°，EH=1.5m，∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形.。
四川省南充市2020届高三诊断性测试数学(理)试题 Word版含解析
四川省2017级高中毕业班诊断性测试理科数学一、选择题1.设i 是虚数单位，若2ia i-+为纯虚数，则实数a 的值为( ) A. 2- B. 12-C.12D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义计算即可. 【详解】解：()()()()()222122=1i a i a a ii a i a i a i a -⋅---+⋅-=++⋅-+为纯虚数 2101,202a a a -=⎧=⎨+≠⎩故选：C【点睛】考查纯虚数的定义及复数的运算，基础题.2.设全集U =R ，集合{}2log 1A x x =<，{}21B x x =≥，则将韦恩图（Venn ）图中的阴影部分表示成区间是( )A. ()0,1B. ()1,1-C. ()1,2D. ()1,2-【答案】A 【解析】 【分析】先求{}2log 1A x x =<，再求()1,1UB =-，最后求UAB .【详解】解：{}{}2log 102A x x x x =<=<<{}(][)()21,11,,1,1U B x x B =≥=-∞-⋃+∞=- (){}{}()02110,1U A B x x x x ⋂=<<⋂-<<=故选：A【点睛】考查补集及交集的运算，基础题.3.在63x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为( ) A. 20 B. 15 C. 15-D. 20-【答案】D 【解析】 【分析】先求通项，再令x 的指数为2，最后求系数【详解】解：184631663(1 )rrr r r r r T C x C x x --+⎛=-=- ⎪⎝⎭ 令1842,33r r -==，2x 项的系数为633()201C -=- 故选：D【点睛】考查求二项式中指定项的系数，基础题.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 21πB. 24πC. 27πD. 30π【答案】B 【解析】 【分析】该几何题上面是圆锥，下面是半球，半球的半径为3，圆锥的高为2，分别求其体积，再求和. 【详解】解：该几何题上面是圆锥，下面是半球，半球的半径为3，圆锥的高为2231 2 11432+3=24323V V V πππ=+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯故选：B【点睛】考查由三视图还原为几何体、再求几何体体积的求法，基础题. 5.设sin 24a =︒，tan38b =︒，cos52c =︒则( ) A. a b c << B. b a c << C. c a b << D. a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】cos52=sin38c ︒=︒，利用sin 38cos52ta =sin 38co n 38s38c b ︒==︒=︒︒<︒和11sin 30,sin 24cos5=sin 38222a c ︒<︒=︒︒>==可比较.【详解】解：cos52=sin38c ︒=︒ sin y x ∴=在()0,90︒单调递增11sin 30,sin 24cos5=sin 38222a c ︒<︒=︒︒>==又()0,90,sin tan x x x x ︒∈<<sin 38cos52ta =sin 38co n 38s38c b ︒==︒=︒︒<︒所以a c b << 故选：D【点睛】考查利用三角函数的性质比较大小，基础题.6.已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()1xf x e =-，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( ) A. 10ex y -+= B. 10ex y +-= C. 10ex y --= D. 10ex y ++=【答案】A 【解析】 【分析】先求切点，再求自变量小于零时解析式，再求导数和斜率，最后求方程.【详解】解：()()()1111f f e e-=-=--=-0x<，0,()1x x f x e-->∴-=-，()e1x f x-=-+(),(1)x f x e f e-''=-=切线方程为：()11y e x e=⋅++-，即10ex y-+=，故选：A 【点睛】考查求曲线上一点的切线方程的求法，基础题. 7.设O、F分别是抛物线24y x=的顶点和焦点，点P在抛物线上，若10OP FP⋅=，则FP =( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】【分析】设2,4y P y⎛⎫ ⎪⎝⎭，由10OP FP ⋅=，求出点P 的坐标，最后求FP 【详解】解：()1,0F，设2,4y P y⎛⎫ ⎪⎝⎭()22,1,01,44y y FP P y F y⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为10OP FP⋅=22,1,1044y y y y⎛⎫⎛⎫⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭42121600,y y+-=28,y y==±(21,1,4y FP y⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭，3FP=故选：B【点睛】结合抛物线求向量的模，基础题. 8.已知0a b >>，则0c >是“a a c b b c+>+的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】0c >时，()()0a b ca a cb bc b b c -⋅+-=>+⋅+；取特殊值3,2,3a b c ===-，验证即可. 【详解】解：()()a b c a a c b b c b b c -⋅+-=+⋅+， 因为0a b >>，所以0c >时，()()0a b c a a c b b c b b c -⋅+-=>+⋅+，即0c >⇒a a cb b c+>+，取3,2,3,a b c ===-302a a c b b c +=>=+，即a a cb bc +>⇒/+0c >. 因此，“0c >”是“a a cb b c+>+”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，同时也考查了不等式的基本性质，考查推理能力，属于基础题.9.北魏大数学家张邱建对等差数列问题的研究精深，在其著述《算经》中有如下问题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者.亦依等次更给.问未到三人复应得金几何?”则该问题的答案约为( )（结果精确到0.1斤） A. 3.0 B. 3.2C. 3.4D. 3.6【答案】B 【解析】 【分析】设这十等人所得金的重量从大到小依次组成公差为d 的等差数列{}n a ，根据等差数列的性质求公差，最后代入可得.【详解】解：设这十等人所得金的重量从大到小依次组成公差为d 的等差数列{}n a ，则1237891043a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，2894332a a a ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即222433672a a d a d ⎧=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩，778d =-， 456123783949 3.27826a a a a a a d ⎛⎫++=+++=+⨯-=≈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】考查等差数列的性质及其运算，基础题.10.设向量a ，b 满足2a b -=，且()()3a b a b -⊥+，则()2a b b -⋅=( ) A. 1- B. 1C. 3D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】把()()3a b a b -⊥+，(3)()0a b a b -⋅+=和2a b -=结合整理即可【详解】解：()()3a b a b -⊥+，(3)()0a b a b -⋅+=()0321a a a b b b +⋅-⋅=⋅2,a b -=()2+=42a a a b b b ⋅-⋅⋅由()()12、得2=3a b b b ⋅-⋅-，即()23a b b -⋅=-故选：D【点睛】考查向量模、垂直、数量积的有关计算，基础题. 11.已知函数()()()cos 20πf x x ϕϕ=+<<关于直线π6x =对称，函数()()sin 2g x x ϕ=-，则下列四个命题中，真命题有( )①()y g x =的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称；②若对x R ∀∈，都有()()()12g x g x g x ≤≤，则12x x -的最小值为π；③将()y g x =的图象向左平移5π12个单位，可以得到()y f x =的图象；④0x R ∃∈，使()()0012f xg x -=. A. ①③ B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】根据()()()cos 20πf x x ϕϕ=+<<关于直线π6x =对称，确定23ϕπ=，再根据选项依次判断，结合排除法可得出合适的选项.【详解】解：()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<关于直线π6x =对称，则()3k k Z πϕπ+=∈， 可得()3k k Z πϕπ=-∈，0ϕπ<<，23πϕ∴=. 所以()2cos 2sin 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2sin 2sin 23g x x x πϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 对于①，22sin 0333g πππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，正确； 对于②，若对x R ∀∈，都有()()()12g x g x g x ≤≤，则12x x -的最小值为()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的半个周期4π，故错误； 对于③，将()y g x =的图象向左平移5π12个单位得到sin 26x ，故错误.对于④， ()()2sin 2sin 263f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin 2cos 2sin 20,42x x x π⎡⎛⎫=-=-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，因为2211622324⎛⎫-⎛⎫=<=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1620,22⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 0x R ∃∈，使()()0012f xg x -=，故正确. 故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数和余弦型函数的有关性质，同时考查学生的运算求解能力和逻辑推理能力，基础题.12.已知三条射线OA ，OB ，OC 两两所成的角都是60°.点M 在OA 上，点N 在BOC ∠内运动，63MN OM ==，则点N 的轨迹长度为( ) A. 2π B. 3πC. 4πD. 5π【答案】C 【解析】 【分析】利用三余弦公式求出3cos MOD ∠=，再求6OD =，确定点N 在平面BOC 内的轨迹是以D 为圆心，6为半径的圆在BOC ∠内的圆弧FPG ，再求弧长即可 【详解】解：如图，过M 作MD ⊥平面BOC 于D ，则D 点在BOC ∠的平分线上，30BOD ∠=︒ 在平面BOC 内，作DE ⊥BO 于E ，连结ME ， 根据三垂线定理，则ME ⊥BOcos cos cos cos 60cos cos30cos MOE MOD BOD MOD MOD ∠=∠⋅∠︒=∠⋅︒∠=MN OM ==，cos 6OD OM MOD =⋅∠==， 点N 的轨迹是以D 为圆心，6为半径的圆在BOC ∠内的圆弧FPG ，120FDG ∠=︒ 圆弧FPG 的长度为：120122643603r πππ⨯=⨯⨯= 故选：C【点睛】考查三垂线定理、三余弦公式以及圆的定义的应用，基础题. 二、填空题13.双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为__________．【答案】【解析】 【分析】由双曲线的性质得出右焦点坐标以及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求解即可.【详解】4c ==故双曲线的右焦点为(4,0)F0y -=则右焦点到渐近线的距离为：d ==故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题. 14.已知数列{}n a 的前n 项和()232N n n S a n n *=-∈，若{}n a λ+成等比数列，则实数λ=______.【答案】1 【解析】 【分析】根据232n n S a n =-，再写一式，两式相减，即可证明{}1n a +为等比数列 【详解】解：232n n S a n =-()11232(1),2n n S a n n --=--≥1122332n n n n S S a a --∴-=--， 132n n a a -=+上式两边同时加上1得，()1131n n a a -+=+，()113,21n n a n a -+=≥+，所以1λ=故答案为：1【点睛】已知n a 与n S 的关系，再写一个式子，一般是用上()1,2n n n S a S n -=-≥，再构造新数列，基础题.15.已知函数()322,021,0ax x f x x ax x -≤⎧=⎨-+>⎩，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[)0,3 【解析】 【分析】若()0f x >恒成立，必须函数的最小值大于零，结合取特殊值，分段讨论函数的最小值即可. 【详解】解：()0f x >恒成立，所以()0,2011,3f a a >-+><（1）0x ≤时，()2f x ax =-必须是有最小值，所以0a ≥，此时()()min 020f x f ==>（2）()()3220,21,62x f x x ax f x x ax '>=-+=-()2126200,3f x x ax ax x '=-===()()0,0,,0,3a a x f x f x ⎛⎫'>∈< ⎪⎝⎭递减，()(),,0,3a x f x f x ⎛⎫'∈+∞> ⎪⎝⎭递增()3min10327a a f x f ⎛⎫∴==-+> ⎪⎝⎭所以3a <综合(1)、(2) 有03a ≤<， 故答案为：[)0,3【点睛】不等式恒成立求参数的取值范围，一般是转化为求函数的最值，基础题. 16.为弘扬新时代的中国女排精神.甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局则获胜，比赛随即结束）.若两队的竞技水平和比赛状态相当，且每局比赛相互独立，则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是______. 【答案】338【解析】 【分析】设比赛结束时已经进行的比赛局数为ξ，=3ξ时，表示甲连赢三局或乙连赢三局，比赛结束.=4ξ时，有两种情况：前三局中甲赢2局输1局，第四局甲赢；前三局中乙赢2局输1局，第四局乙赢. =5ξ时，有两种情况：前四局中甲赢2局输2局，第五局甲赢；前四局中乙赢2局输2局，第五局乙赢.【详解】解：因为两队的竞技水平和比赛状态相当，所以每场比赛甲赢或乙赢的概率都是0.5 设比赛结束时已经进行的比赛局数为ξ，则的可能取值为3，4，53303331(3)0.5(0.5)4P C C ξ==⨯+=2222333(4)0.50.50.50.50.50.58P C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=()22243(5)(0.5)(0.5)0.50.5=8P C ξ==⨯⨯⨯+ξ的分布列为：13333()3454888E ξ=⨯+⨯+⨯=13333()3454888E ξ=⨯+⨯+⨯=故答案为：338【点睛】考查求离散型随机变量的数学期望，求随机变量的取值时可能包含多种情况，注意做到不能重复也不能遗漏，基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知tan b A ，tan c B ，tan b B 成等差数列. （1）求A 的大小：（2）设2a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3π；（2【解析】 【分析】（1）tan b A ，tan c B ，tan b B 成等差数列，把正切化成弦，结合正弦定理化简整理. （2）利用余弦定理和基本不等式，求bc 的范围.【详解】解：（1）由tan b A ，tan c B ，tan b B 成等差数列， 得()tan tan 2tan b A B c B +=.因为sin sin sin cos cossin tan tan cos cos cos cos A B A B BA B A B A B++=+= ()sin sin cos cos cos cos A B CA B A B+==. 又sin tan cos BB B=， 所以sin 2sin cos cos cos b C c BA B B=，即sin 2sin cos b C c B A =. 由正弦定理，得sin sin 2sin sin cos B CC B A=，又sin sin 0B C ≠，所以1cos 2A =. 因为0πA <<，所以π3A =. （2）由余弦定理，得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-. 又222b c bc +≥，所以2a bc ≥.又因为2a =，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立， 故13sin 32ABC S bc A bc ==≤△， 于是ABC 面积的最大值为3.【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式在三角形中的应用，中档题. 18.如图所示，菱形ABCD 与正方形CDEF 所在平面相交于CD .（1）求作平面ACE 与平面BCF 的交线l ，并说明理由； （2）若BD 与CF 垂直且相等，求二面角D AE C --的余弦值. 【答案】（1）过点C 作BF 的平行线l ，理由见解析；（215【解析】 【分析】（1）过点C 作BF 的平行线l ，然后证明l 与AE 平行，证明四边形ABFE 为平行四边形即可；（2）取CD 的中点O ，以其为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量坐标法求解即可. 【详解】解：（1）过点C 作BF 的平行线l 即可，下面予以证明. 由已知易得，AB 和EF 都与CD 平行且相等，即AB 与EF 平行且相等. 所以四边形ABFE 是平行四边形，于是//AE BF .又BF ⊄平面ACE ，且AE ⊂平面ACE ，//BF ∴平面ACE . 又BF ⊂平面BCF ，且ACE平面BCF l =，//BF l ∴.（2）由CF BD ⊥，CF CD ⊥且BD CD D ⋂=，得CF ⊥平面ABCD . 由BD CF =可得，BCD是正三角形.取CD 的中点O ，则BO CD ⊥. 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.设2AB =，则()0,1,0D -，)3,2,0A-，()0,1,2E -，()0,1,0C .()3,1,0AD ∴=-，()3,1,2AE =-，()0,2,2EC =-.设平面DAE 的一个法向量(),,m x y z =00m AE m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即32030x y z x y --=-=， 令1x =，则3,0y z ==，得平面ADE 的一个法向量()1,3,0m = 设平面ACE 的一个法向量(),,n i j k =00n AE n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200j k j k --=-=⎪⎩，令1j =，则1,k i ==，得平面ACE 的一个法向量()3,1,1n =.所以23cos ,2m n m n m n⋅===⋅⋅故二面角D AE C --【点睛】考查：过两个平面的一个公共点作与一个平面内的直线平行的直线，然后证明所作的直线与另一个平面内的直线平行，这是找两个平面交线的常用方法；用坐标向量法求二面角的平面角是求二面角的常用方法.19.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>经过点()0,1A -，且离心率为2，（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()2,1P 的直线与椭圆E 交于不同两点B 、C .求证：直线AB 和AC 的斜率之和为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用a b c 、、的关系直接求解即可；（2）设出BC 的方程为()()210y k x k =-+>，联立椭圆方程，再表示出AB 和AC 的斜率，最后说明之和为定值.【详解】解：（1）由椭圆E 经过点()0,1A -得，1b =.设半焦距为c c a =又因为222a b c =+，所以22314a a =+，解得2a =故椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）因为直线BC 过点()2,1P 且与轨迹E 有两个不同交点 所以直线BC 的斜率一定存在且大于零.于是可设直线BC 的方程为()()210y k x k =-+>.代入2244x y +=并整理得()()()22418211610k x k k x k k +--+-=.()()()222=8124141616640k k k k k k ∆--+-=>⎡⎤⎣⎦设()11,B x y ，()22,C x y ，则()12282141k k x x k -+=+，()12216141k k x x k -=+. 设直线AB 和AC 的斜率分别为1k 和2k ，则()()1212121212222211k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+ ()()()()()1212211612122161k x x k k k k k x x k k -+--=-=--()2211k k =--=为定值，此题得证.【点睛】考查椭圆方程的求法以及根据直线和椭圆的位置关系求两条直线的斜率之和为定值.直线和椭圆相交时，采用设交点坐标而不求出的方法，一定注意判别式大于零，同时用上韦达定理，可使解题简单；难题.20.随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力.相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均GDP 与人均垃圾清运量的统计数据如下表：（1）已知变量y 与x 之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程；（2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200千瓦时，如图是光明社区年内家庭人均GDP 的频率分布直方图，请补全[]15,18的缺失部分，并利用（1）的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网电量.参考公式]回归方程y bx a =+，()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nxy x x y y b xnx x x ====---==--∑∑∑∑【答案】（1）()0.0321y x =+；（2）见解析，63.58410⨯千瓦. 【解析】 【分析】（1）利用公式直接求b a 、；（2）频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，求出2a =，再绘图，取各组中点求出人均GDP ，代入回归直线方程求出垃圾清运量，再换算成电量.【详解】解：（1）由表格数据得，()5315925x ⨯+==⨯，0.130.230.310.410.520.325y ++++==.()521369093690i i x x=-=++++=∑，()()()()()()()5160.1930.0900.0130.0960.20iin x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯∑()60.190.090.2060.48 2.88=⨯++=⨯=.所以()()()515212.88ˆ0.03290iii i i x x y y bx x==--===-∑∑ 于是ˆˆ0.320.03290.032ay b x =-⋅=-⨯=. 故变量y 与x 之间的回归直线方程为0.0320.032y x =+. （2）由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1.得()1124653160a +++++⨯=. 解得2a =，故最右边小矩形的高度为216030=，如图，由频率分布直方图可得，光明社区的人均GDP 为()31 1.52 4.547.5610.5513.5216.510.260x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元/人）. 由（1）的结论知，光明社区的人均垃圾清运量约为()0.03210.21⨯+（吨/人）. 于是光明社区年内垃圾清运总量为()50.03210.21 1.792⨯⨯+=（万吨）. 由题意，整个光明耻区布内垃圾可折算成的总上网电量估计为 617920200 3.58410⨯=⨯（千瓦时），即为所求.【点睛】考查求回归直线方程，频率分布直方图的应用，中档题. 21.已知函数()()21ln x f x x x a-=-+.其中0a >.（1）求()f x 的单调区间；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个极值点，求证：()()()121211f x f x ax x a a --<-+.【答案】（1）()f x在(0,1和()1+∞内单调递减，在(1内单调递增；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）求导，对参数进行讨论（2）1x ，2x 是()f x 的两个极值点，则1x ，2x 是()f x '的两个零点，找到122x x +=，212x x a =，化简整理()()1212f x f x x x --，通过构造新函数，研究函数单调性达到证明的目的.【详解】解：（1）求导，得()()()()22222112a x x x a f x x a x x a +-+-'=-=++（其中0x >）. ①当1a ≥时，()()()()22221210x x x f x x x a x x a ---+-'≤=≤++恒成立，所以()f x 在区间()0,∞+内单调递减，无单调递增区间；②当01a <<时，由2220x x a -+->，解得11x << 由2220x x a -+-<，解得01x <<1x >故()f x在区间(0,1和()1++∞内单调递减，在区间(1内单调递增.（2）因为()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（1）知，01a <<且122x x +=，212x x a =.()()()()()121212122121ln ln x x f x f x x x x ax a --⎡⎤-=---⎢⎥++⎣⎦()()()()()()()12211212211ln ln x x a x x a x x x a x a -+--+⎡⎤⎣⎦=--++()()()1212212122(1)ln ln a x x x x x x a x x a +-=--+++所以()()()121212212121221ln ln ln ln 122f x f x a x x x x x x a a x x a x x -+--=-=--+--.设函数()()()21ln 011t g t t t t -=-<<+，则()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++. 故()g t 在区间()0,1内单调递增，于是()()10g t g <=，即()()21ln 011t t t t -<<<+. 不妨设12x x <，令()0,1t =，则121ln 2x x <即124ln ln x x-<.于是()12212ln ln 442221x x x xa a ->===-++.从而()()()121212111f x f x ax x a a a a --<-=-++.【点睛】考查含参数的函数的单调性和构造函数证明不等式，难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选－－题作答.如果多做，则按所做的 第一题计分.选修4－4：极坐标与参数方程22.在中面直角坐标系xOy 中，已知1C ：6x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数），2C ：2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（其中θ为参数）.以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）.（1）求1C 和2C 的极坐标方程；（2）设以O 为端点、倾斜角为α的射线l 与1C 和2C 分别交于A ，B 两点，求OAOB 的最小值.【答案】（1）πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭4sin ρθ=；（2【解析】【分析】 （1）两个方程都消去参数化成直角坐标方程，再把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直角坐标中化成极坐标方程；（2）根据极径的几何意义，把OA OB 转化成三角函数求最值.【详解】解：（1）在6x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩中，消去参数t，得)6y x =-0y +-=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得)sin ρθθ+=， 所以1C的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（未化成这种形式可不扣分） 在2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩中，消去参数θ，得()2224x y +-=，即2240x y y +-=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得24sin 0ρρθ-=，即4sin ρθ=.（2）射线l 的极坐标方程为θα=，则OA =，4sin OB α=.所以OAOB ==12sin 26α=+- ⎪⎝⎭故OA OB 当且仅当πsin 216α⎛⎫-= ⎪⎝⎭即π3α=时取得. 【点睛】考查把参数方程化成极坐标方程和利用极径的几何意义求最值，中档题.选修4-5：不等式选讲23.设函数()221f x x x =--+的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若a b m +=.【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】（1）分段讨论去掉函数的绝对值号即可（2）把转化成1=，然后利用柯西不等式即可详解】解：（1）函数()4,12213,124,2x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=--<<⎨⎪--≥⎩， 所以()f x 在区间(],1-∞-内单调递增，在区间[)1,-+∞内单调递减.故()f x 的最大值()13m f =-=；（2）由柯西不等式，得 1=. 由己知3a b +=≤故所求最大值为1a =，2b =取得）. 【点睛】考查求含两个绝对值号的不等式的最值求法和用柯西不等式求最值，中档题.。
2020届四川省南充市高三第二次高考适应性考试(理科)数学试题含答案
南充市高2020届第二次高考适应性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1i i +=（ ）A. 2i -B. 12iC. 0D. 2i 2.已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A 0 B. 0或3 C. 1D. 1或33.已知1tan 2α=-，2παπ<<，则sin α=（ ）B.C.4.如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.85.已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 成立，则2414a a a +++=L （ ）A. 0B. 5C. 7D. 136.过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． .A. 440x y --=B. 440x y +-=C. 440x y ++=D. 440x y -+= 7.定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A. (11,53) B. 1(,)(5,)3-∞⋃+∞ C. (1,53) D. (,3)-∞8.一个空间几何体的正视图是长为4的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3B.C. 3D. 9.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ） A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π 10.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A. 4πB. 16πC. 163πD. 323π 11.设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ） A. 3215 B.6415 C. 5 D. 6 12.已知函数()x a f x x e -=+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A. ln21--B. 1ln2-+C. ln 2-D. ln 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b r r 满足(2)()6a b a b +⋅-=-r r r r ，且||1,||2a b ==r r ，则cos ,a b <>=r r _________．14.函数()cos f x x =[0,)+∞的零点个数为_________.15.已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，则a b +=_______．16.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B D 为C 上互相不重合的三点，且||AF uuu r 、||BF uuu r 、||DF uuu r 成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，则B 的坐标为_______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.等差数列{}n a 中，1631,2a a a ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，记n S 为数列{}n b 前n 项和，若62m S =，求m ．18.为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米． 的（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m ；（2）根据茎叶图数据，完成下面的列联表： （3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点. 的..（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）设F 是直线BC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值.20.设点()1,0F c -，()2,0F c 分别是椭圆()222:11x C y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12•PF PF u u u v u u u u v 的最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．21.已知函数21()ln 2f x x mx x =++. （1）若函数()f x 不存在单调递减区间，求实数m 的取值范围；（2）若函数()y f x =的两个极值点为()1212x x x x <，2m ≤-，求()()12f x f x -的最小值. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρθ=.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P坐标为，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．23.设函数()()1f x x x a a R =-+-∈.（1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.B3.D4.B5.D6.A7.C8.B9.C10.D11.A12.A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 1214. 115. 316. (1,2)或(1,2)-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题设得1(1)n a n d =+-因为632a a =，所以1(61)2[1(31)]d d +-=+-解得1d =，故n a n =．（2）由（1）得2nn b =．所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以11222212n n n S ++-==--， 由62m S =得12262m +-=，解得5m =．18.解：（1）1901901902m +==． （2）（3）由于2245(1516410)7.287 6.63519262520k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．19.（1）证明：取BC 中点M ，连接,PM AM ，因为四边形ABCD 为菱形且120BAD ∠=︒.所以AM BC ⊥，因为PB PC =，所以PM BC ⊥，又AM PM M =I ，所以BC ⊥平面PAM ，因为PA ⊂平面PAM ，所以PA BC ⊥.同理可证PA DC ⊥，因为DC BC C =I ，所以PA ⊥平面ABCD .（2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAF ⊥平面ABCD ，平面PAF ⋂平面ABCD AF =.所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离.过B 作AF 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为2AB =，此时AF 必过DC 的中点， 因为E 为PB 中点，所以此时，点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1. 以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(0,1,1),(0,2,0)A C E B所以(0,1,1),(0,2,0)AC AE AB ===u u u r u u u r u u u r平面PAF 的一个法向量为(0,2,0)AB =u u u r ，设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r， 则0,0,AC n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r即0,0,y y z +=+=⎪⎩取1y =，则(1)3n =--r ，cos ,7||||n AB n AB n AB ⋅<>==⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，所以sin ,n AB <>==u u u r r ， 所以面PAF 与面EAC. 20. （1）设(),P x y ，则()1,F P x c y =+u u u v ，()2,F P x c y =-u u u u v ，2222221221•1a PF PF x y c x c au u u v u u u u v -∴=+-=+-，[],x a a ∈-，由题意得，221012c c a -=⇒=⇒=，∴椭圆C 的方程为22x y 12+=； （2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2222x y +=中，得()222214220k x kmx m +++-=．由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，()()222216421220k m k m ∆=-+-=， 化简得：2221m k =+．设11d F M ==，22d F M ==，当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，121=MN d d k∴⋅-， ()12122211=21m S d d d d k k ∴⨯⋅-⋅+=+， 2221m k =+Q ，22244=111mmS k m m m ∴==+++∴当0k ≠时，1m >，12m m+>， 2S <∴．当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，2S =．所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为2．21.（1）由函数()21ln 2f x x mx x =++有意义，则()0,0+x ∞>即定义域为， 由()1,f x x m x=++'且()f x 不存在单调递减区间，则()0f x '≥在()0,+∞上恒成立， ()1x m 0,x∞∴+≥-+在上恒成立1x 0,x 2,x 12x>+≥==Q 当且仅当时取到最小值 m 2m 2∴-≤≥-恒成立，解得[)m 2+∞∴-的取值范围为，（2）由()1知()()()1f x 0,,f x x m x∞+='++定义域为， 令()2110x mx f x x m x x++=++=='，即210x mx ++= 由()f x 有两个极值点1212,(0)x x x x <<故12,x x 为方程210x mx ++=的两根，1212,1x x m x x ∴+=-=，∴ ()12m x x =-+，22121221,x x x x x x == 则()()221211122211ln ln 22f x f x x mx x x mx x ⎛⎫-=++-++ ⎪⎝⎭ ()()221121221ln 2x x x m x x x =-+-+ ()()22221121221ln 2x x x x x x =---+ ()2211221ln 2x x x x =--1122211ln 2x x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由()1122110,,ln ,01,2x x x t g t t t t x t ⎛⎫<<==--<< ⎪⎝⎭令则 由()211122g x t t =-+' ()22102t t -=-<，则()()0,1g t 在上单调递减2m ≤-Q 又，即()122x x -+≤-122x x ∴+≥ ()2221212121221192222x x x x x x x x t x x t ∴+=++=++=++≥ 15 2t t ∴+≥ 122t t ∴≥≤或 由01t <<知102t <≤ ()11113 ln 2ln222224g x g ⎛⎫⎛⎫∴≥=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 综上所述，()()12f x f x -的最小值为3ln24-. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5； （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得（3﹣t ）2+（t ）2=5，即t 2﹣3t+4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根，所以t 1+t 2=3又直线l 过点P ，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3． 23.（1）145x x -+-≥等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：0x ≤或5x ≥.故不等式()5f x ≥的解集为{|0x x ≤或5}x ≥.（2）因为：()()()111f x x x a x x a a =-+-≥---=- 所以()min 1f x a =-，由题意得：14a -≥，解得3a ≤-或5a ≥.。
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数1−i1+2i=()A. −15−35i B. 25−i C. −1+i D. 15+35i2.设集合A={1,3，4}，B={2,3，6}，则A∪B等于()A. {3}B. {1,2，3，4}C. {1,2，3，6}D. {1,2，3，4，6}3.已知α∈[π,3π2]，sinα=−35，则tanα=()A. −43B. 43C. −34D. 344.在ΔABC中，AB=3，BC=√13，AC=4，则边AC上的高为()A. 3√22B. 32C. 3√32D. 3√35.设(3x−1)8=a0+a1x+⋯+a7x7+a8x8，则a1+a2+⋯+a7+a8等于()A. 122B. 144C. 255D. 3366.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M(1,0)的切线方程是()A. x=1B. y=1C. x+y=1D. x−y=17.已知定义在R上的函数f(x)满足f(−3)=f(5)=1，f′(x)为f(x)的导函数，且导函数y=f′(x)的图象如图所示．则不等式f(x)<1的解集是()A. (−3,0)B. (−3,5)C. (0,5)D. (−∞,−3)∪(5,+∞)8. 如图，某简单几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且其体积为π4，则该几何体的俯视图可以是 ( )A.B.C.D.9. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2√2,A =30∘,C =105∘，则a =( )A. 1B. √2C. 2D. √310. 已知正三棱柱ABC −A 1B1C1(底面是正三角形，且侧棱垂直于底面)的底面边长为4，侧棱长为2√3，则该正三棱柱外接球的表面积为( )A.253πB.1003π C. 25π D. 100π11. 双曲线x 29−y 216=1的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线l ，则点A 到直线l 的距离为( )A. 815B. 325C. 3215D. 8512. 已知函数f(x)=xe x ，g(x)=e 2x−4a −2e x−2a ，若存在实数x 0使f(x 0)+g(x 0)=−1e −1成立，则实数a 的值为( )A. −1B. −12C. 12D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =2，则向量(2a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =______．14. 设函数f(x)={x 2, x ≤0f(x −1), x >0，则函数g(x)=f(x)−x 的零点的个数为______ ．15. 已知函数f(x)=lnx +x ，则函数y =f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程为______． 16. 已知抛物线y 2=2px 的准线方程为x =−1，焦点为F ，A 、B 、C 为该抛物线上不同的三点，|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，且点B 在x 轴下方，若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则直线AC 的方程为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在等差数列{a n }中，a 2+a 3=7，a 4+a 5+a 6=18．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求1S 3+1S 6+⋯+1S 3n．18.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(1)在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；(2)由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．P(K2≥k0)0.4000.2500.1500.1000.0500.025k00.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024(n=a+b+c+d)参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=4，PC=PD=AD=2√2，E为PB中点．(1)求证：CE⊥平面PBD；(2)求平面PAC和平面PCD所成二面角的大小．20.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若点P是椭圆C上异于A，B的一点，直线AP和BP分别与y轴交于M，N两点，求△AOM 与△BON面积之和的最小值．21.已知函数．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)⩾0在内恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2−2y=0，倾斜角为π的直线l过点M(−2,0)，以原6点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(1)求C1和C2交点的直角坐标；(2)若直线l与C1交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|x−2a|．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)≤3的解集；(Ⅱ)当x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：【试题解析】本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题．分子和分母同时乘以分母的共轭复数，利用复数的乘法法则计算即可．解：因为1−i1+2i =(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−1−3i5=−15−35i故选A．2.答案：D解析：解：由已知集合A={1,3，4}，B={2,3，6}，则A∪B={1,2，3，4，6}；故选D．找出两个集合的公共元素组成的集合．本题考查了集合的并集运算；属于基础题．3.答案：D解析：由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．解：∵已知α∈[π,3π2]，sinα=−35，∴cosα=√1−sin2α=−45，则tanα=sinαcosα=34，故选：D．4.答案：C解析：本题考查了解三角形的应用.由点B向AC作垂线，交点为D，设AD=x，则CD=4−x，利用勾股定理可知BD=√AB2−AD2=√BC2−CD2，进而解得x的值，再利用勾股定理求得BD．解：由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4−x，∴BD=√9−x2=√13−(4−x)2，解得x=3，2√3．因此BD=2=32故选C．5.答案：C解析：解：令x=0可得a0=1，令x=1可得a0+a1+a2+⋯+a8=28=256，所以a1+a2+⋯+a8=255．故选：C．利用赋值法，分别令x=0，x=1，的到所求结果．本题考查二项式定理，利用特殊值法求解，属于一般基础题．6.答案：A解析：由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，然后求出经过圆上一点M(1,0)的切线方程．此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，掌握两直线垂直时所满足的关系，是一道基础题．解：由圆x2+y2=1，得到圆心A的坐标为(0,0)，圆的半径r=1，则圆上一点M(1,0)与(0,0)连线的方程为y=0，∴经过圆上一点M(1,0)的切线方程是x=1，故选：A．7.答案：B解析：本题考查导函数图象与函数单调性的关系，属于基础题．由图象可以判断出f(x)的单调性情况，由f(−3)与f(5)的取值，即可得出答案． 解：由f′(x)的图象可得，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， 又由题意可得，f(−3)=f(5)=1， ∴f(x)<1的解集是(−3,5)， 故选B ．8.答案：D解析：本题考查三视图及空间几何体的体积的计算，属基础题． 结合选项逐一分析求解即可．解：当俯视图是A 时，该几何体是正方体，体积为1，所以A 错误;当俯视图是B 时，该几何体是半圆柱，体积V =12×π×(12)2×1=π8，所以B 错误； 当俯视是C 时，该几何体是直三棱柱，体积V =12×1×1×1=12，所以 C 错误; 当俯视图是D 时，该几何体是14圆柱，体积是V =14×π×12×1=π4，所以D 正确． 故选D ．9.答案：C解析：本题考查正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用正弦定理即可得出． 解：∵A =30∘,C =105∘， ∴B =45°，∵asinA =bsinB ，∴a =bsinA sinB =2√2sin30∘sin45∘=2，故选C ．10.答案：B解析：如图，取ΔABC 的重心E ，ΔA 1B1C1的重心E 1，取AC 中点D ， 则EE 1的中点O 是该正三棱柱外接球的球心，OA 为球半径， ∵正三棱柱ABC −A 1B1C1的底面边长为4，侧棱长为2√3， ∴OE =√3,AE =BE =23BD =23√42−22=4√33， ∴R =OA =√(√3)2+(4√33)2=√253，∴该正三棱柱外接球的表面积： S =4πR 2=4π×(√253)2=100π3．故选：B ．11.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．求得双曲线的a ，b ，c ，求得A ，F 的坐标和渐近线方程，设出过F 于渐近线平行的直线，运用点到直线的距离公式，可得所求值． 解：双曲线x 29−y 216=1的a =3，b =4，c =√9+16=5，可得A(−3,0)，F(5,0)，双曲线的渐近线方程为y=±43x，可设过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l为y=43(x−5)，即4x−3y−20=0，则A到直线l的距离为d=√16+9=325．故选：B．12.答案：B解析：解：由题意可得：f′(x)=e x(x+1)，则函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增，当x=−1时，函数f(x)取得最小值f(−1)=−1e，令t=e x−2a(t>0)，可知g(x)=e2x−4a−2e x−2a=t2−2t=(t−1)2−1，所以当t=1时取得最小值−1，要满足存在实数x0使f(x0)+g(x0)=−1e−1成立，则当x=−1时，t=e−1−2a=1，即−1−2a=0,解得a=−12，故选B．由题意首先确定函数f(x)，g(x)的最小值，然后结合题意求解实数a的值即可．本题主要考查导函数研究函数的最值，复合函数求最值的方法等知识，属于中等题．13.答案：3解析：本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用属于容易试题．直接利用向量数量积的性质进行求解即可．解：∵|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =2，则向量(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=4−1=3．故答案为3．14.答案：2解析：解：函数g(x)=f(x)−x的零点的个数即函数y=f(x)的图象与直线y=x的交点个数，如图所示：由于函数y=f(x)的图象与直线y=x只有2个交点，故答案为2．函数g(x)=f(x)−x的零点的个数即函数y=f(x)的图象与直线y=x的交点个数，数形结合可得答案．本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，抽象函数的应用，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．15.答案：y=2x−1解析：本题考查利用导数计算函数的切线方程，注意导数的几何意义，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出其导数，计算可得f(1)与f′(1)的值，由直线的点斜式方程可得切线的方程，变形即可得答案．+1，解：根据题意，f(x)=lnx+x，则f′(x)=1x+1=2，则f(1)=ln1+1=1，f′(1)=11则切线的方程为y−1=2(x−1)，即y=2x−1；故答案为：y=2x−1．16.答案：2x −y −1=0解析：本题主要考查抛物线的性质与几何意义，根据条件求出直线AC 的斜率和AC 的中点坐标是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．根据抛物线的准线方程求出p ，设A ，B ，C 的坐标，根据|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，且点B 在x 轴下方，FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求出x 1+x 3=2，x 2=1，然后求出直线AC 的斜率和A ，C 的中点坐标，进行求解即可．解：抛物线的准线方程是x =−p2=−1，∴p =2， 即抛物线方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)， ∵|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列， ∴|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 即x 1+1+x 3+1=2(x 2+1)， 即x 1+x 3=2x 2， ∵FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴x 1+x 2+x 3=3，y 1+y 2+y 3=0， 则x 1+x 3=2，x 2=1，由y 22=4x 2=4，则y 2=−2或2(舍)，则y 1+y 3=2， 则AC 的中点坐标为(x 1+x 32,y 1+y 32)，即(1,1)，AC 的斜率k =y 1−y3x 1−x 3=y 1−y 3y 124−y 324=4y1+y 3=42=2，则直线AC 的方程为y −1=2(x −1)， 即2x −y −1=0， 故答案为：2x −y −1=0．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，{a 1+d +a 1+2d =7a 1+3d +a 1+4d +a 1+5d =18，解得a 1=2，d =1， ∴a n =2+(n −1)×1=n +1(2)S 3n =3n(a 1+a 3n )2=3n(2+3n+1)2=9n(n+1)2，∴1S 3n =29n(n +1)=29(1n −1n +1) ∴1S 3+1S 6+⋯+1S 3n =29[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)]=2n 9(n +1)解析：本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式，考查裂项法，考查转化与分析运算的能力，属于中档题．(1)由等差数列{a n }中的a 2+a 3=7，a 4+a 5+a 6=18，即可求得其首项与公差，从而可得数列{a n }的通项公式；(2)可先求得S 3n ，再用裂项法即可求得答案．18.答案：解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，记该事件为A ，根据等可能事件的概率得到P(A)=C 52C 62=1015=23；-----------------(4分)(2)由已知数据，填写列联表得----------------------(6分)根据列联表中的数据，计算得随机变量K 2的观测值为 k =40×(1×15−5×19)220×20×6×34≈3.137，-----------------------(9分)由于3.137>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩优秀”与教学方式有关．-----------------------(10分)解析：(1)由题意根据等可能事件的概率计算即可； (2)由已知数据填写列联表，计算得K 2的观测值， 对照临界值得出结论．本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：证明：(1)因为PC =BC ，所以CE ⊥PB ，又因为平面ABCD ⊥平面PCD ，平面ABCD ∩平面PCD =CD ，BC ⊥CD ，所以BC ⊥平面PCD ，即BC ⊥PD ，PD ⊥PC ，PC ∩BC =C ，所以PD ⊥平面PBC ，即PD ⊥CE 又因为PD ∩PB =P ， 即证CE ⊥平面PBD ．(2)取CD 中点O ，连结PO.因为△PCD 是等腰三角形， O 为CD 的中点，所以PO ⊥CD.又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD.取AB 中点G ，连结OG ，由题设知四边形ABCD 所以PO ⊥OG ，OG ⊥DC ，如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(2√2,−2,0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)，D(0,−2√2,0)，O(0,0，0)， G(2√2,0，0)．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,4,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)， 设平面PAC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√2x +4y =0n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2z =0，令z =1，得n ⃗ =(√2,1,1).平面PCD 的法向量为OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,0,0)， 设n ⃗ ，OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，所以cosα=|n ⃗⃗ ⋅OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22， 由图可知二面角A −PC −D 为锐角，所以平面PAC 与平面PCD 所成二面角的大小为45°．解析：本题主要考查线面垂直的判断二面角的求法，属中档题．(1)由面面垂直的性质易得BC ⊥平面PCD ，进一步可证PD ⊥平面PBC ，即可证得； (2)先证PO ⊥平面ABCD ，再建立空间直角坐标系利用空间向量求二面角．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得{a =2ca =√32a 2=b 2+c 2.解得b =1．所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，则k AP =yx 0+2，所以直线AP的方程为y=y0x0+2(x+2)．令x=0，可得y=2y0x0+2．同理可解得直线BP与y轴的交点N的纵坐标y N=−2y0x0−2．因为P(x0,y0)在椭圆上，所以x024+y02=1，即4y024−x02=1，所以S△AOM+S△BON=12|AO|⋅|OM|+12|BO|⋅|ON|=|OM|+|ON|≥2√|OM|⋅|ON|=2√|y M⋅y N|=2√2y0x0+2×−2y0x0−2=2√4y024−x02=2，当且仅当x0=0时等号成立．所以，当且仅当点P在短轴端点时，△AOM与△BOM面积之和的最小值为2．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．(Ⅰ)利用已知条件列出方程组，求出短轴长，然后求解椭圆C的方程．(Ⅱ)设点P(x0,y0)，求出直线AP的方程为y=y0x0+2(x+2).求解M，N的坐标，表示出三角形的面积，利用基本不等式求解面积的最小值即可．21.答案：解：(Ⅰ)∵f′(x)=ax +x−(1+a)=x2−(1+a)x+ax=(x−1)(x−a)x，①当a≤0时，由x>0，若f′(x)<0，则0<x<1，故函数f(x)的单调减区间是(0,1)，函数f(x)的增区间是(1,+∞)．②当0<a<1时，若f′(x)<0，则a<x<1，故函数f(x)的单调减区间是(a,1)；单调增区间是(0,a)，(1,+∞)．③当a=1时，则f′(x)=(x−1)2x≥0，故函数f(x)的单调增区间是(0,+∞)；④当a>1时，若f′(x)<0，则1<x<a，函数f(x)的单调递减区间是(1,a)；函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，(a,+∞)．(Ⅱ)由于f(1)=−12−a ， 当a >0时，f(1)<0，此时f(x)≥0对定义域内的任意x 不是恒成立的．当a ≤0时，由(1)得f(x)在区间(0,+∞)上的极小值，也是最小值为f(1)=−12−a ， 此时，f(1)≥0，解得a ≤−12， 故实数a 的取值范围是(−∞,−12]. 解析：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题． (Ⅰ)先求出函数f(x)的导数，通过讨论a 的范围，从而求出函数的单调区间；(Ⅱ)先求出f(1)=−12−a ，通过讨论a 的范围，结合函数的单调性，从而求出a 的范围．22.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0， 联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0， 解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)．(2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t代入x 2+y 2−2y =0，得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0，即t 2−(2√3+1)t +4=0， 设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4． 易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外，所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题． (1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．23.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，由f(x)≤3，可得|2x −1|+|x −2|≤3，∴①{x <121−2x +2−x ≤3，或②{12≤x <22x −1+2−x ≤3，或③{x ≥22x −1+x −2≤3．解①求得0≤x <12；解②求得12≤x <2；解③求得x =2． 综上可得，0≤x ≤2，即不等式的解集为[0,2]． (Ⅱ)∵当x ∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立， 即|x −2a|≤3−|2x −1|=4−2x ，故2x −4≤2a −x ≤4−2x ，即3x −4≤2a ≤4−x ．再根据3x −4的最大值为6−4=2，4−x 的最小值为4−2=2， ∴2a =2，∴a =1， 即a 的范围为{1}．解析：(Ⅰ)当a =1时，由f(x)≤3，可得①{x <121−2x +2−x ≤3，或②{12≤x <22x −1+2−x ≤3，或③{x ≥22x −1+x −2≤3.分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当x ∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，即|x −2a|≤3−|2x −1|=4−2x ，化简得3x −4≤2a ≤4−x.再根据3x −4的最大值为2，4−x 的最小值2，可得2a =2，从而得到a 的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
四川省南充市高2020届第二次高考适应性考试理科数学答案
南充市高2020届第二次高考适应性考试
数学试题(理科)参考答案及评分意见
一㊁选择题:
1.C
2.B
3.D
4.A
5.D
6.A
7.C
8.B
9.C 10.D 11.A 12.B 二㊁填空题:
13.12 14.1 15.3 16.(1,2)或(1,-2)
三㊁解答题:
17.解:(1)设{a n}的公差为d,由题设得
a n=1+(n-1)d 2分
因为a6=2a3,
所以1+(6-1)d=2[1+(3-1)d] 4分
解得d=1,
故a n=n. 6分
(2)由(1)得b n=2n.
所以数列{b n}是以2为首项,2为公比的等比数列, 8分
所以S n=2-2n+11-2=2n+1-2, 10分
由S m=62得2m+1-2=62,
解得m=5. 12分18.解:(1)m=190+1902=190. 4分
(2)抗倒伏易倒伏
8分矮茎154
高茎1016
(3)由于k2=45×(15×16-4×10)2
19×26×25×20≐7.287>6.635,因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关. 12分19.(1)证明:取BC中点M,连接PM,AM,
因为四边形ABCD为菱形且∠BAD=120°.
所以AM⊥BC,
因为PB=PC,所以PM⊥BC, 2分又AM∩PM=M,
所以BC⊥平面PAM,因为PA⊂平面PAM,
所以PA⊥BC. 4分同理可证PA⊥DC,
因为DC∩BC=C,
高三数学(理科)二诊答案 第1 页(共4页)。
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(理科)(有答案解析)
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数i+1i=()A. −2iB. 0C. 12i D. 2i2.已知集合A={1,3，√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=()A. 0或√3B. 0或3C. 1或√3D. 1或33.已知tanα=−12,π2<α<π，则sinα=()A. 2√55B. −√55C. −2√55D. √554.如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈=10尺)，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？()A. 4.55尺B. 5.45尺C. 4.2尺D. 5.8尺5.已知等式(1−x+x2)3⋅(1−2x2)4=a0+a1x+a2x2+⋯+a14x14成立，则a2+a4+⋯+a14=()A. 0B. 5C. 7D. 146.过圆x2+y2=4外一点M(4,−1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是()A. 4x−y−4=0B. 4x+y−4=0C. 4x+y+4=0D. 4x−y+4=07.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y=f′(x)的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a+b)<1,则b+1a+1的取值范围是()A. (15,13) B. (−∞,13)∪(5,+∞)C. (13,5) D. (−∞,3)8.一个空间几何体的正视图是长为4，宽为√3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 4√33B. 4√3 C. 2√33D.2√39.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(2a−b)cosC=ccosB，则内角C=()A. π6B. π4C. π3D. π210.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60°角，则正三棱锥的外接球的体积为()A. 4πB. 16πC.16π3D.32π311. 设双曲线C ：x 29−y 216=1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C交于点B ，则△AFB 的面积为( )A. 15B. 3215C. 1532 D. 641512. 已知函数f(x)=x +e x−a ，g(x)=ln(x +2)−4e a−x ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使f(x 0)−g(x 0)=3成立，则实数a 的值为( ) A. −ln2−1 B. −1+ln2 C. −ln2 D. ln2 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−6，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则cos <a ⃗ ，b ⃗ >=______．14. 函数f(x)=cosx −√x 在[0,+∞)的零点个数为______．15. 已知函数f(x)=alnx −bx 2图象上一点(2,f(2))处的切线方程为y =−3x +2ln2+2，则a +b =______．16. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，A ，B ，D 为C 上互相不重合的三点，且|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|DF⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于E(3,0)，则B 的坐标为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 等差数列{a n }中，a 1=1，a 6=2a 3．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =2a n ，记S n 为数列{b n }前n 项的和，若S m =62，求m ．18. 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米． (1)求出易倒伏玉米茎高的中位数m ；的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，19. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =120°，PA =2，PB =PC =PD ，E 是PB 的中点． (1)证明：PA ⊥平面ABCD ； (2)设F 是直线BC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值．20. 设点F 1(−c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为0．(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y =kx +m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l ，求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．21. 已知函数f(x)=12x 2+mx +lnx ．(1)若函数f(x)不存在单调递减区间，求实数m 的取值范围； (2)若y =f(x)的两个极值点为x 1，x 2(x 1<x 2)，m ≤−3√22，求f(x 1)−f(x 2)的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22ty =√5+√22t(t 为参数).在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为ρ=2√5sinθ． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若点P 坐标为(3,√5)，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．23. 设函数f(x)=|x −1|+|x −a|，a ∈R ．(1)当a =4时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：i +1i =i +ii⋅i =i −i =0故选：B ．直接对复数的分母、分子同乘i ，然后化简即可求出所求．本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解题的关键i 2=−1，属于容易题． 2.答案：B解析：解：A ∪B =A ⇔B ⊆A ． ∴{1,m}⊆{1,3，√m}，∴m =3或m =√m ，解得m =0或m =1(与集合中元素的互异性矛盾，舍去)． 综上所述，m =0或m =3． 故选：B ．由两集合的并集为A ，得到B 为A 的子集，转化为集合间的基本关系，再利用子集的定义，转化为元素与集合，元素与元素的关系．此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基础题． 3.答案：D解析：解：已知tanα=−12，∴cos 2α=11+tan 2α=45，∴sin 2α=15．又π2<α<π，∴sinα=√55，故选：D ．利用同角三角函数的基本关系，求出cos 2α 和sin 2α的值，再由π2<α<π，求出sinα的值． 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是一道基础题． 4.答案：A解析：解：如图，已知AC +AB =10(尺)，BC =3(尺)，AB 2−AC 2=BC 2=9，所以(AB +AC)(AB −AC)=9，解得AB −AC =0.9， 因此{AB +AC =10AB −AC =0.9，解得{AB =5.45AC =4.55，故折断后的竹干高为4.55尺， 故选：A ．由题意可得AC +AB =10(尺)，BC =3(尺)，运用勾股定理和解方程可得AB ，AC ，即可得到所求值．本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 5.答案：D解析：解：由(1−x+x2)3⋅(1−2x2)4=a0+a1x+a2x2+⋯+a14x14成立，令x=1，代入得1=a0+a1+a2+⋯+a14，令x=−1，代入得27=a0−a1+a2−⋯+a14，相加得28=2(a2+a4+⋯+a14)，则a2+a4+⋯+a14=14故选：D．先令x=1，x=−1，联立可得．本题考查二项式赋值及其系数之间的关系，属于基础题．6.答案：A解析：解：设切点是P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则以P为切点的切线方程是：x1x+y1y=4，以Q为切点的切线方程是：x2x+y2y=4，∵点M(4,−1)在两条切线上，则4x1−y1=4，4x2−y2=4∴点P、Q的坐标满足方程：4x−y=4∴过两切点P、Q的直线方程是：4x−y−4=0．故选：A．设切点是P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则以P为切点的切线方程是：x1x+y1y=4，以Q为切点的切线方程是：x2x+y2y=4，由此能求出过两切点P、Q的直线方程．本题考查经过两个切点的直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的切线方程的性质的合理运用．7.答案：C解析：解：由图可知，当x>0时，导函数f′(x)>0，原函数单调递增∵两正数a，b满足f(2a+b)<1，∴0<2a+b<4，∴b<4−2a，由0<b<4−2a，可得0<a<2，画出可行域如图．k=b+1表示点Q(−1,−1)与点P(x,y)连线的斜率，a+1；当P点在A(2,0)时，k最小，最小值为：13当P点在B(0,4)时，k最大，最大值为：5．取值范围是C．故选C．先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．8.答案：B解析：解：由题意可知，三视图复原的几何体是放倒的正三棱柱，如图所示：，正三角形的边长为2，高为√3，正三棱柱的高为4，所以正三棱柱的体积为：12×2×√3×4=4√3，故选：B．通过三视图复原的几何体的特征，结合三视图的数据，求出几何体的体积即可．本题主要考查了根据三视图还原实物图，考查了几何体体积的求法，是基础题．9.答案：C解析：解：由正弦定理得：2sinAcosC−sinBcosC=sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，即2sinAcosC=sin(B+C)=sinA，由于sinA≠0，故cosC=12，又0<C<π，所以C=π3．故选：C．由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2sinAcosC=sinA，结合sinA≠0，可求cos C，根据范围0<C<π，可求C的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．10.答案：D解析：解：如图所示，过A作AE⊥平面BCD，垂足为E，则E为三角形BCD的外心，由题意可知，BE=√3，因为侧棱与底面成60°角，即∠ABE=60°，所以AE=3，Rt△OBE中，R2=3+(3−R)2，解可得R=2，则正三棱锥的外接球的体积V=4πR33=32π3．故选：D．由已知及线面角可求BE，AE，然后结合球的性质可求R，结合球体积公式可求．本题主要考查了三棱锥的外接球的体积的求解，解题的关键是球心的确定，属于中档试题．11.答案：B解析：解：a2=9，b2=16，故c=5，∴A(3,0)，F(5,0)，渐近线方程为y=±43x，不妨设BF的方程为y=43(x−5)，代入双曲线x29−y216=1，解得：B(175,−3215).∴S△AFB=12|AF|⋅|y B|=12×2×3215=3215．故选：B．根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=43(x−5)，代入双曲线方程解得B的坐标，计算可得答案．本题考查双曲线方程的运用，注意关键在求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．12.答案：A解析：解：令f(x)−g(x)=x+e x−a−1n(x+2)+4e a−x，令y=x−ln(x+2)，y′=1−1x+2=x+1x+2，故y=x−ln(x+2)在(−2,−1)上是减函数，(−1,+∞)上是增函数，故当x=−1时，y有最小值−1−0=−1，而e x−a+4e a−x≥4，(当且仅当e x−a=4e a−x，即x=a+ln2时，等号成立)；故f(x)−g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时，等号成立)；故x=a+ln2=−1，即a=−1−ln2．故选：A．令f(x)−g(x)=x+e x−a−1n(x+2)+4e a−x，运用导数求出y=x−ln(x+2)的最小值；运用基本不等式可得e x−a+4e a−x≥4，从而可证明f(x)−g(x)≥3，由等号成立的条件，从而解得a．本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．13.答案：12解析：解：根据题意，向量a⃗,b⃗ 满足(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=−6，且|a⃗|=1，|b⃗ |=2，则有(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=−7+2cos<a⃗，b⃗ >=−6，解可得：cos<a⃗，b⃗ >=12；故答案为：12根据题意，由数量积的计算公式可得(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=−7+2cos <a ⃗ ，b ⃗>=−6，变形分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题． 14.答案：1解析：解：函数f(x)=cosx −√x 在[0,+∞)的零点的个数，即函数y =cosx 的图象(红线部分)和函数y =√x 的图象(蓝线部分)的交点个数， 如图所示：显然，函数y =cosx 的图象(红线部分)和函数y =√x 的图象(蓝线部分)在[0,+∞)的交点个数为1， 故答案为：1．方程转化为2个函数的图象的交点个数，数形结合可得结论．本题主要考查函数的两点个数的判断方法，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题． 15.答案：3解析：解：将x =2代入切线得f(2)=2ln2−4． 所以2ln2−4=aln2−4b①， 又f′(x)=ax −2bx ， ∴f′(2)=a 2−4b =−3②，联立①②解得a =2，b =1． 所以a +b =3． 故答案为：3．将(2,f(2))代入切线求出f(2)，再将切点坐标代入f(x)得方程①，再对原函数求导，进一步求出切点处导数并令其为−3，得方程②，联立①②求出a ，b 即可解决问题．本题考查了导数的几何意义，本题的关键在于利用切点满足曲线与切线方程，切点处的导数等于切线斜率列方程求解，注意计算要准确．属于基础题． 16.答案：(1,2)或(1,−2)解析：解：由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，准线方程为：x =−1设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 3)，|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，|DF|=x 3+1， 由|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列可得2(x 2+1)=x 1+x 3+2，所以x 2=x 1+x 32，所以线段AD 的中点的坐标(x 1+x 32,y 1+y 32)，因为线段AD 的垂直平分线与x 轴交于E(3,0)， 所以线段AD 的垂直平分线的斜率为k =y 1+y 32x 1+x 22−3=y 1+y 3x 1+x 3−6，又k AD =y 3−y1x 3−x 1， 所以y 3−y 1x 3−x 1⋅y 1+y 3x 1+x 3−6=−1，即4x 3−4x 1(x3−x 1)2−6(x 3−x 1)=−1，因为x 1≠x 3，所以可得x 1+x 3=2，所以x 2=x 1+x 32=1，B 在抛物线上，代入抛物线的方程可得y 22=4×1，焦点y 2=±2，所以B 的坐标为：(1,2)或(1,−2)． 故答案为：(1,−2)或(1,2)．设A ，B ，D 的坐标，由|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列可得三者的坐标之间的关系，进而可得线段AD 的中点坐标，由题意求出线段AD 的中垂线的斜率即AD 的斜率，由斜率之积为−1可得B 的横坐标代入抛物线的方程可得B 的纵坐标．本题考查等差数列的性质及抛物线的性质，属于中档题． 17.答案：解：(1)由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则 a n =1+(n −1)d ， ∵a 6=2a 3，∴1+5d =2(1+2d)， 解得d =1，∴a n =n ，n ∈N ∗．(2)由(1)知，b n =2n =2⋅2n−1，∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴S n =2−2n+11−2=2n+1−2，由S m =62，可得2m+1−2=62， 解得m =5．解析：本题第(1)题先设等差数列{a n }的公差为d ，然后根据等差数列的通项公式代入a 6=2a 3，可得关于公差d 的方程，解出d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n }的通项公式，可发现数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式可得S n 的表达式，代入S m =62进行计算可得m 的值．本题主要考查等差数列和等比数列基本量的计算．考查了转化思想，方程思想，指数的运算，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：解：(1)m =190+1902=190；(3)由于k 2=45×(15×16−4×10)219×26×25×20=7.287>6.635，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．解析：(1)根据茎叶图可求易倒伏玉米茎高的中位数； (2)根据茎叶图的数据，即可完成列联表：(3)计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题主要考查了中位数的求法，考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．19.答案：(1)证明：取BC 中点M ，连接PM ，AM ， 因为四边形ABCD 为菱形且∠BAD =120°． 所以AM ⊥BC ，因为PB =PC ，所以PM ⊥BC ， 又AM ∩PM =M ，所以BC ⊥平面PAM ，因为PA ⊂平面PAM ， 所以PA ⊥BC ．同理可证PA ⊥DC ， 因为DC ∩BC =C ， 所以PA ⊥平面ABCD ．(2)解：由(1)得PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAF ⊥平面ABCD ，平面PAF ∩平面ABCD =AF ． 所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离．过B 作AF 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为AB =2，此时AF 必过DC 的中点， 因为E 为PB 中点，所以此时，点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1．以A 为坐标原点，直线AF ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ． 则A(0,0,0),C(√3,1,0),E(0,1,1),B(0,2,0)，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)， 平面PAF 的一个法向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，设平面AEC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3x +y =0AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =y +z =0， 取y =1，则n ⃗ =(−√33,1,−1)，cos <n ⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√217， 所以sin <n ⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√77，所以面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值为2√77．解析：(1)先证明BC ⊥平面PAM ，可得PA ⊥BC ，同理可证PA ⊥DC ，进而可证PA ⊥平面ABCD ； (2)依题意，以A 为坐标原点，直线AF ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式即可得解．本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查推理能力及计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)设P(x,y)，则F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +c,y)，F 2P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −c,y)，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−c 2=a 2−1a 2x 2+1−c 2，x ∈[−a,a]，由题意得，1−c 2=0⇒c =1⇒a 2=2， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(2)将直线l 的方程y =kx +m 代入椭圆C 的方程x 2+2y 2=2中，得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0. 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=16k 2m 2−4(2k 2+1)(2m 2−2)=0，化简得：m 2=2k 2+1. 设d 1=|F 1M|=√k 2+1，d 2=|F 2N|=√k 2+1， 当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1−d 2|=|MN|×|tanθ|， ∴|MN|=1|k|⋅|d 1−d 2|， ∴S =12⋅1|k|⋅d 1−d 2|⋅(d 1+d 2)=2|m|k 2+1=4|m|m 2+1=4|m|+1|m|，∵m 2=2k 2+1，∴当k ≠0时，|m|>1，|m|+1|m|>2， ∴S <2．当k =0时，四边形F 1MNF 2是矩形，S =2. 所以四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2．解析：(1)利用PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为0，可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−c 2=a 2−1a 2x 2+1−c 2，x ∈[−a,a]，即可求椭圆C 的方程；(2)将直线l 的方程y =kx +m 代入椭圆C 的方程中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d 1=|F 1M|，d 2=|F 2N|.当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1−d 2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四边形F 1MNF 2面积S 的表达式，利用基本不等式的性质，结合当k =0时，四边形F 1MNF 2是矩形，即可得出S 的最大值．本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21.答案：解：(1)依题意，x >0，且f′(x)=x +m +1x =x 2+mx+1x，记g(x)=x 2+mx +1，①若△=m 2−4≤0，即−2≤m ≤2，则g(x)≥0恒成立，f′(x)≥0恒成立，符合题意； ②若△=m 2−4>0，即m >2或m <−2，当m >2时，x 2+mx +1=0有两个不等的负根，符合题意， 当m <−2时，x 2+mx +1=0有两个不等的正根， 则在两根之间函数f(x)单调递减，不符合题意． 综上可得m ≥−2．(2)由题意得x 1，x 2为g(x)=x 2+mx +1的两个零点，由(1)得x 1+x 2=−m ，x 1x 2=1，则f(x 1)−f(x 2)=12x 12+mx 1+ln x 1−(12x 22+mx 2+ln x 2) =12(x 12−x 22)+m(x 1−x 2)+ln x 1−ln x 2 =12(x 12−x 22)−(x 1+x 2)(x 1−x 2)+ln x 1−ln x 2 =lnx 1x 2−12(x 12−x 22) =ln x 1x 2−12⋅x 12⋅x 22x 1x 2 =ln x 1x 2−12(x 1x 2−x 2x 1).记x 1x 2=t ，由x 1<x 2且m ≤−3√22，知0<t <1，且f(x 1)−f(x 2)=ln t −12(t −1t )， 记φ(t)=ln t −12(t −1t )， 则φ′(t)=2t−t 2−12t 2=−(t−1)22t 2<0，故φ(t)在(0,1)上单调递减． 由m ≤−3√22，知(x 1+x 2)2≥92，从而x 12+x 22≥52，即x 12+x 22x1x 2≥52，故t +1t ≥52，结合0<t <1，解得0<t ≤12，从而φ(t)的最小值为φ(12)=34−ln2，即f(x 1)−f(x 2)的最小值为34−ln 2．解析：(1)先求出导数，再利用导数性质对m 分情况讨论来求解；(2)可先对f(x 1)−f(x 2)进行变形，再将问题转化为单变量函数问题来解决．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、极值，导数在研究函数性质中的应用，正确求导，确定函数的最值是关键，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 22.答案：解：(Ⅰ)由{x =3−√22ty =√5+√22t 得直线l 的普通方程为x +y −3−√5=0--------2分 又由ρ=2√5sinθ得ρ2=2√5ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+(y −√5)2=5；---------5分 (Ⅱ)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3−√22t)2+(√22t)2=5，即t 2−3√2t +4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根，所以t 1+t 2=3√2又直线l 过点P(3,√5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3√2.------------------10分．解析：(Ⅰ)先利用两方程相加，消去参数t 即可得到l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程．(Ⅱ)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值． 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 23.答案：解：(1)当a =4时，不等式f(x)≥5，即|x −1|+|x −4|≥5， 等价于{x <1−2x +5≥5，或{1≤x ≤43≥5，或 {x >42x −5≥5，解得：x ≤0或x ≥5．故不等式f(x)≥5的解集为{x|x ≤0，或x ≥5 }. …(5分)(2)因为f(x)=|x −1|+|x −a|≥|(x −1)−(x −a)|=|a −1|.(当x =1时等号成立) 所以：f(x)min =|a −1|.…(8分) 由题意得：|a −1|≥4，解得 a ≤−3，或a ≥5. …(10分)解析：(1)不等式即|x −1|+|x −4|≥5，等价于{x <1−2x +5≥5，或{1≤x ≤43≥5，或 {x >42x −5≥5，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．(2)因为f(x)=|x −1|+|x −a|≥|a −1|，由题意可得|a −1|≥4，与偶此解得 a 的值． 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题。
南充市高2020届第二次高考适应性考试 数学试题(理科) 参考答案及评分标准
点,
因为 E 为 PB 中点,所以此时,点 E 到平面 PAF 的距离最大,最大值为 1.
………………8 分
以 A 为坐标原点,直线 AF,AB,AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz.
则 A(0,0,0) ,C( 3 ,1,0) ,E(0,1,1) ,B(0,2,0)
所以 A寅C = ( 3 ,1,0) ,A寅E = (0,1,1) ,A寅B = (0,2,0)
=
-(
t-1) 2 2t
<0,
故 渍(t) 在(0,1) 上单调递减.
因为
m臆-322
,所以( x1
+x2 )2 逸
9 2
,所以
x21
+x22 逸
5 2
即xx211+xx222 逸
5 2
,故
t+
1 t
逸
5 2
,( 0 <t <1 )
所以
0<t臆
1 2
,
所以渍 (Biblioteka t)的最小值为渍(
1 2
)
=
3 4
-ln2,即
此时,F 为 DC 的中点,即 AF = 3 ,
所以
S吟PAF
=
1 2
PA·AF
=
1 2
伊2伊
3=
3,
所以
VP-AFE
= VE-PAF
=
1 3
伊
3 伊1 =
3 3
.
20. 解:(1) 设 P( x,y) ,则PF寅1 = ( -c-x,-y) ,PF寅2 = ( c-x,-y) ,
所以PF寅1 ·PF寅2
所以 f( x) min = | a-1 | 要使 f( x) 逸4 对 a沂R 恒成立,则 | a-1 | 逸4 即可,
2020年四川省大数据精准教学高考数学第二次监测试卷(理科) (解析版)
2020年高考数学第二次监测试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．87．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．18．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD ＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．解：由x2﹣4x+3＞0解得x＜1或x＞3，则A＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），所以（∁U A）∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i【分析】由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z＝1+2i，得．故选：B．3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出4（1+λ）﹣2×3＝0，然后解出λ即可．解：∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得．故选：C．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．【分析】法一：结合诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解；法二：由已知结合两角差的余弦公式展开后，利用同角平方关系即可求解．解：法一：根据已知，有．法二：由得，两边平方得，所以，即．故选：A．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可知f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；再对比选项C和D，比较f（x）与x的大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；当x＞0时，，排除选项C．故选：D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160求得实数a的值．解：二项式（2x+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•a r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，可得r＝3；故二项式展开式的常数项为，解得a＝1．故选：A．7．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．1【分析】由已知可得点P在圆C上，且圆心C在直线l上，求得PC＝2．画出图形，利用勾股定理求得半弦长，则直线l'被圆C截得的弦长可求．解：由题意知，点P在圆C上，且圆心C在直线l上，∴PC＝2．如图，设l'与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，，故直线l'被圆C截得的弦长．故选：B．8．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关【分析】如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，可得SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理可得R．解：如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，则SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．易知SO＝3，．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得（3﹣R）2+＝R2，解得R ＝2．故球面面积为4πR2＝16π．故选：C．9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可得每位学生选择三个锻炼项目有种，则总的选择方式有种，其中甲、乙的选择方式有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为或．解：法一：每位学生选择三个锻炼项目有种，则4人总的选择方式共有种，其中甲、乙的选择方式有种，其余两人仍有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．法二：只考虑甲、乙的选择，不加限制均为3种，受到限制后均为2种，而甲乙的选择相互独立，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．故选：B．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．【分析】作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，结合图象求出△MNP 为等腰直角三角形，即可求解结论．解：作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P．根据正弦函数图象的对称性，易知△MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高PQ＝2A，所以斜边MN＝4A，则y＝A sinωx周期T＝4A．由，有，所以．故选：D．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：由题知f（x）的定义域为（﹣1，1），且，所以f（﹣x）＝ln＝﹣ln+x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f（2a）+f（a﹣1）＞0，可知f（2a）＞﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），于是有，解得．故选：C．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．【分析】画出图形，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），通过，推出直线OB的斜率的表达式，利用基本不等式求解即可．解：如图，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），依题意，四边形OABC为矩形，则，即x1x2+y1y2＝0，所以，即x1x2＝﹣16，从而，直线OB的斜率＝，．当且仅当，即时等号成立，故．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为3．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解真假，得到目标函数的最小值即可．解：不等式组表示的可行域是以（2，0），A（1，1），（3，1）为顶点的三角形及其内部，如图：当目标函数z＝2x+y过点A（1，1）时，目标函数在y轴是的的截距取得最小值，此时z取得最小值，z取得最小值3．故答案为：3．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是①②④．【分析】利用直线与平面的位置关系结合图形、逐个判断，即可得出答案．解：设平面α∩β＝a，①存在b⊂平面β，且b∥a，所以a∥平面α，故正确，②存在c⊂平面β，且c⊥a，所以c⊥平面α，故正确，③若l与两平面的交线相交，则平面β内不存在直线与直线l平行，则③错误；④由以上图可知存在平面β内一定存在直线与直线l异面．故④正确，故答案：①②④．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．解：由已知，不妨设b＝2a，由，，解得a＝1，则b＝2，据余弦定理有，所以．故答案为：16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是e．【分析】由不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，且x＞0，可化为．设，求导可得f'（x）＝，令f'（x）＝0可得x＝e2，可得在（0，e2）和（e2，+∞）函数f（x）的单调性，求出函数f（x）的最大值．结合图象可得f（x）在的图象的下面恒成立，则的图象与函数f（x）的图象相切时，ab取到最大值，进而求出ab的最大值．解：由a≠0，x＞0，原不等式可化为恒成立，设，则，当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减．所以，f（x）在x＝e2处取得极大值，且为最大值；且x＞e时，f（x）＞0．结合图象可知，的图象恒在f（x）的图象的上方，显然a＜0不符题意；当a＞0时，ab为直线的横截距，其最大值为f（x）的横截距，再令f（x）＝0，可得x＝e，所以ab取得最大值为e．此时a＝e2，，直线与f（x）在点（e，0）处相切，ab的最大值为e．故答案为：e．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．【分析】（1）对于数列{a n}：当n＝1时，由题设条件求出a1，再由当n≥2时，由S n ＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，进而说明数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，从而求得a n；对于数列{b n}：先设出等差数列{b n}的公差d，再由题设条件求出d，即可求得b n．（2）先由（1）求得c n，再求出T10即可．解：（1）对于数列{a n}，当n＝1时，由S n＝2a n﹣2得a1＝2；当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，所以数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式．设等差数列{b n}的公差为d，则b3﹣b1＝16﹣20＝4＝2d，解得d＝﹣2，所以数列{b n}的通项公式b n＝22﹣2n．综合以上知：a n＝2n，b n＝22﹣2n；（2）由（1）知：c n＝a n*b n＝＝，所以T10＝a1+a2+a3+b4+b5+b6+…+b10＝＝．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．【分析】（1）根据表中数据求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算x＝28时的值；（2）根据残差图中对应点分布情况判断该回归方程的拟合效果．解：（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为，计算，所以，所以y关于x的线性回归方程为；当x＝28时，＝1.05×28﹣6.63＝22.77（cm），所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm．（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，所以该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）法一：在线段PB上取靠近点P的四等分点G，可得，由此证明四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG，进而得证；法二：在线段BC上取靠近点B的四等分点H，可得HF∥PB，由此证明HF∥平面PBE，再证明四边形DEBH为平行四边形，可得DH∥平面PBE，综合可得平面DFH∥平面PBE，再利用面面平行的性质定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBE及平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式直接求解即可．解：（1）法一：依题意得BE＝2，BC＝4，．…………………………（1分）如图，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，因为，所以．所以．……………………………………所以四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG．…………………………又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，．………………………………所以DF∥平面PBE．………………………………法二：如图，在线段BC上取靠近点B的四等分点H，连接FH，DH，因为，所以HF∥PB．又HF⊄平面PBE，PB⊂平面PBE，所以HF∥平面PBE．……………………………………依题意得BE＝2，BC＝4，，而，所以．所以四边形DEBH为平行四边形．所以DH∥EB．又DH⊄平面PBE，EB⊂平面PBE，所以DH∥平面PBE．………………………………而DH⊂平面DFH，FH⊂平面DFH，DH∩FH＝H，所以平面DFH∥平面PBE．因为DF⊂平面DFH，所以DF∥平面PBE．………………………………（2）由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．又因为平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，所以EC⊥平面PBE．……………………………………以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系E﹣xyz，则E（0，0，0），，，B（2，0，0），由，得．…………………………………………则，．设平面PCD的法向量为，则，令y＝1，则，故可取．………………………………又EC⊥平面PBE，可取平面PBE的一个法向量为，．…………………………则＝．所以，平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．………………………………20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．【分析】（1）利用，求解轨迹方程即可．（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，通过直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．转化求解即可．解：（1）由，得4y2＝4﹣x2，即．故轨迹C的方程为：．（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，直线BN的方程为②，所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．而＝，因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．所以，探究发现的结论是正确的．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f'（﹣1）＝ea﹣1由已知列式求得a值，求出导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，关键导函数在本题区间段内的符号，可得原函数的单调性；（2）当a＞0时，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．结合f（﹣1）＞0，f （﹣2）＜0，可得f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，利用导数研究其单调性可知f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，利用导数求其极小值，根据极小值大于0，可得f（x）最多只有一个零点，不符合题意．当a＜0时，利用导数证明f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f （﹣x），再求导数证明f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，即x1+x2＞0．解：（1）由题，则f'（﹣1）＝ea﹣1＝e﹣1，得a＝1，此时，由f'（x）＝0，得x＝0．则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f'（0）＝0，所以f（x）为R上的增函数；证明：（2）①当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝0或x＝lna，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．由，f（﹣2）＝﹣e2+2＜0，∴f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，则x＜lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；lna＜x＜0时，f'（x）＜0，f （x）为减函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．而f（x）极小＝f（0）＝a＞0，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，得，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．②当a＜0时，由f'（x）＝0，得x＝0，由x≤0，得f'（x）≤0，f（x）为减函数，由x＞0，得f'（x）＞0，f（x）为增函数，则f（x）极小＝f（0）＝a＜0．又x→﹣∞时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）＞0，∴当a＜0时，f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x），∴，由于x＞0时，e x﹣e﹣x＞0，又a＜0，则F'（x）＝ax（e x﹣e﹣x）＜0恒成立，∴F（x）为（0，+∞）的减函数，则F（x）＜F（0）＝f（0）﹣f（0）＝0，即f（x）＜f（﹣x），故有f（x2）＜f（﹣x2）．又x1，x2是f（x）的两个零点，则f（x1）＝f（x2），∴f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，∴x1+x2＞0，且a的取值范围是（﹣∞，0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）消去参数t，得曲线C1的直角坐标方程为，则曲线C1的极坐标方程为．消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（2）射线的极坐标方程为，．联立，得，所以；由，得ρB＝2cosα，则|OB|＝2cosα，因此＝．由，得．所以，当，即时，．故的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．【分析】（1）化分段函数，求出每段的值域即可求出函数f（x）的值域；（2）根据（1）求出M＝3，再根据基本不等式即可证明．解：（1）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣2x＝﹣3x﹣3，此时f（x）∈（6，+∞）；当﹣3≤x≤0时，f（x）＝x+3﹣2x＝﹣x+3，此时f（x）∈[3，6]；．当x＞0时，f（x）＝x+3+2x＝3x+3，此时f（x）∈（3，+∞），综上，函数f（x）的值域为[3，+∞）．（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为3，则M＝3，即a+b+c＝3．因为≥36．其中，当且仅当，b＝1，取“＝”．又因为a+b+c＝3，所以．。