奥数-因式分解-1上海师
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
徐九经说，当官要当管人的官，切莫当被人管的官；当官难，难当官，要劝世人莫当官，人们往往只看到当官的荣耀，却看不到当官背后的辛苦。当然，除了那树大根深与那种坐着三百两、站着也 三百两的官。夏花走一处地方办事，我就在那一方门卫坐着等一处，等到她好不容易把原定规则要办的事情办完，刚好下班的时间也到了。我想，砍一根树枝能需要多大时间，下班去她家办事正好，又 不占用上班时间，再说现在太阳落山也晚，时间应该充足。不料，等她从政府大夏楼上下来，还不等她跟我打招呼，跟她一起下楼的一位女领导，就忙着喊她一起走，看样子是一起去办什么事。这样子， 她连忙对我吩咐了两声，叫我打的回家，说已经跟我叫好了一部的士，然后，匆匆地上了女领导的小车走了。bwin正规吗 www.frswห้องสมุดไป่ตู้
沪教版 (上海)七年级第一学期《因式分解之公式法与十字相乘》知识点与练习(有答案)
一、公式法进阶. 乘法公式进阶版，现将其反向使用.(a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)；(a -b )(a 2+ab +b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)．a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =(a +b +c )2；a 3+b 3+c 3-3abc =(a +b +c )(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca )；【例1】分解下列因式：（1）44827x y xy - （2）523972x x y -（3）()()33x y x y x y -+-（4）66x y + （5）66x y -因式分解进阶 例题讲解模块一：公式法进阶【例2】（1）已知3330,0a b c a b c ++=++=，求151515a b c ++的值。
（2）若正数a ，b ，c 为三角形的三边，且满足444222222a b c a b b c c a ++=++，试确定三角形的形状.二、十字相乘法（1）第一类十字相乘：二次项系数为1【口诀：尾项分拆，凑中间项】形如： 2()x p q x pq +++（其中p 、q 为常数）可以因式分解为()()x p x q ++（2）第二类十字相乘：二次项系数不为1【口诀：首尾分拆，十字相乘，凑中间项】形如： 2kx mx n ++（其中k 、m 、n 为常数），若k ac =，n bd =且ac bd m +=时，原式可以转化为：2()()()acx ad bc x bd ax b cx d +++=++【例3】因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x +-模块二：十字相乘法例题讲解（3）2109x x ++ （4）2310x x --【例4】因式分解：（1）2212x xy y --（2）22712x y xy -+（3）42536x x -- （4）2214425x y xy +-（5）分解因式：()()25______4x x x x ++=++（6）若()()2431x x x a x ++=-+，则___a =。
沪教版(五四学制)八上：1一元二次方程的解法——因式分解法课件
课堂小结
1.通过因式分解，把一元二次方程化成两个一 次因式的积等于零的情势，从而把解一元二次 方程的问题转化为解一元一次方程的问题，像 这样解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2.当一个一元二次方程的一边是零，而另一边 的二次式易于分解成两个一次因式时，可用因 式分解法解这个一元二次方程.
练习1（口答）说出下列方程的根
（1）x(x 7) 0
（2）(x 3)( x 2) 0
（3）(5x 1)(2x 2) 0
x1
1 5
,
x2
2 2
（4）(x a)(x b) 0
x1 a, x2 b
通过因式分解，把一元二次方程 化成两个一次因式的积等于零的 情势，从而把解一元二次方程的 问题转化为解一元一次方程的问 题，像这样解一元二次方程的方 法叫做因式分解法.
拓展研究 （1）试一试，请写出一个一元二次 方程，使它的两根为3，-2.
（2）利用因式分解法解方程 7x(x 3) 2(x ）/1、2(1)-(6)
练习2 解下列方程
解 ：
练习3 用因式分解法解下列方程： （1）x2 8x 12 0
（2）x2 6x 9 0
在什么情况下，可采用因式分解法解一元二次方程？
当一个一元二次方程的一边是零，而另一边的二次 式易于分解成两个一次因式时，可用因式分解法解这 个一元二次方程.
练习4 用因式分解法解下列方程：
17.2（2）特殊的一元二次方程的解法
----因式分解法
试一试 通过视察，你能直接得出下列方程的根吗?
你能运用数学知识来说明你的答案的正确性吗？
如果两个数的积等于零，那么这两个 数中至少有一个是零；
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
观察：等式的左边是什么样的式 子？右边又是什么形式？
20x2+60x = 20x(x+3) a2-b2 = (a+b)(a-b) a2-2ab+b2= (a-b) 2
13.5 因式分解
什么是因式分解呢？
把一个多项式化成几个整式的 积的形式叫做因式分解，也叫分解 因式。
特点：由和差形式（多项式） 转化为整式的积的形式。
【解】 原式＝an－1(an＋1－a2－1)．Fra bibliotek1、概念.
2、几点注意：
（1）在多项式中找公因式应对系数和字母分 别考虑，公因式的系数是各项系数 的最大公约 数，字母是各项相同的字母 ，字母的指数取最 低的.
（2）提取公因式的依据是乘法分配律的变形.
（3）提取公因式要一次提尽.
注：因式分解要注意以下几点:
1 、分解的对象必须是多项式. 2 、分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. ※3 、要分解到不能分解为止.
例：下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由:
(1) am＋bm－1＝m(a＋b)－1 ( × ) 【理由】等式的两边虽恒等，但右边不是几
(1)若x=－3,则20x2+60x=＿0＿＿＿＿
原式=20x(x+3)=20×(-3)(-3+3)=0
(2)若a=99,b=－1,则a2-2ab+b2=＿＿100＿00 ＿＿
原式=(a-b) 2 = (99+1) 2 =10000
(3)若a=101,b=99,则a2-b2=＿＿40＿0 ＿＿
原式=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400
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上海中考数学因式分解
上海中考数学因式分解数学中考因式分解在中考数学中，因式分解是一个非常重要的知识点。
掌握了因式分解，我们可以将复杂的数学表达式化简为简单的乘积形式，提高解题的效率和准确性。
下面，我们来学习一下关于上海中考数学因式分解的相关内容。
因式分解是指将一个多项式表达式写成若干个乘积的形式。
在因式分解过程中，我们需要将表达式中的公因式进行提取，同时应用一些特定的分解公式。
下面，我们将介绍几种常见的因式分解方法。
第一种方法是提公因式。
当一个多项式中的每一项都可以被一个相同的数或代数式整除时，我们可以将这个公因式提取出来，从而实现因式分解。
例如，对于多项式2x+4y，其中的公因式为2，我们可以将其分解为2(x+2y)。
第二种方法是提取代数式公因式。
当一个多项式中的每一项都可以被一个相同的代数式整除时，我们可以将这个代数式公因式提取出来，从而进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+2x，其中的公因式为x，我们可以将其分解为x(x+2)。
第三种方法是利用分解公式。
在因式分解中，我们经常利用一些特定的分解公式来实现分解。
这些分解公式包括二次差分公式、完全平方公式、差平方公式等等。
例如，对于多项式x^2-4，我们可以利用差平方公式将其分解为(x-2)(x+2)。
通过掌握以上几种因式分解方法，我们可以更加灵活地处理各种类型的多项式表达式。
在中考中，因式分解不仅仅用于求解方程，还可以用于简化表达式、化简算式等等。
因此，对于上海中考数学来说，掌握因式分解是非常重要的。
最后，我们需要在解题过程中注意准确度和规范性。
在进行因式分解时，一定要仔细审题，确保分解的正确性。
同时，我们还需要注意表达的简洁性和逻辑性，通过合理地使用语言和符号，使分解过程更加清晰和易懂。
总之，上海中考数学因式分解是一个必备的知识点，通过掌握提公因式、提取代数式公因式和利用分解公式等方法，我们可以有效地解决各种与因式分解相关的数学问题。
在解题过程中，我们应该注重准确性和规范性，并且通过简洁明了的语言和符号，使分解过程清晰易懂。
沪教版(上海)初中数学七年级第一学期 9.13 因式分解 教案
(3 ) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2
)；
(4 ) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．
下面再补充两个常用的公式：
(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例.已知是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，
则ABC ∆的形状是（ ）
A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++
222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：bn bm an am +++
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++
=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
)。
上海市七年级上学期因式分解精炼
上海市七年级数学因式分解精炼一、用提公因式法把多项式进行因式分解1、.-+--+++ax abx acx ax m m m m 2213 2、.a a b a b a ab b a ()()()-+---322223、.不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
4、.证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。
5、. 已知：xbx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。
课堂小练1. 分解因式：（1）-+-41222332mn m n mn （2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a ab a b a ab b a ()()()-+---322222 （4）322x x x ()()--- （6）412132q p p ()()-+-2. 计算：()()-+-221110的结果是______________3. 已知x 、y 都是正整数，且x xy y y x ()()---=12，求x 、y 。
4. 证明：812797913--能被45整除。
2、运用公式法进行因式分1、已知多项式232xx m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
2、已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足ab c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。
3、两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
4、 已知：am b m c m =+=+=+121122123，，，求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。
5、. 若xy x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。
6、 分解因式（1）()()aa +--23122 （2 ）x x y x y x 5222()()-+-（3）3223288xy x y xy ++ (4)a a b b 2222+--7、. 已知：xx +=-13，求x x 441+的值。
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第 讲 因式分解1 知识点睛
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式。
分解因式最基本方法有：
（1）提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面。
（2）运用公式法：
平方差：22
()()a b a b a b -=+-
完全平方：2222()a ab b a b ±+=±
立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+
立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ 2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++
3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---
（3）分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法。
（4）十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成
12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解
系数a ，b ，c ，使得： 12a a a =
12c c c =
1221a c a c b +=
分解因式的步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其他方法。
分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，结果一定是乘积的形式，每一个因式都是整式，相同的因式的积要写成幂的形式。
经典例题
【例 1】 提取公因数法
1．
2． 3．
4．
5． 6．
7．
8． 9．
10．
11． 12．
13．
14． 15．
16． 17． 18．
【例 2】 平方差公式、立方和、差公式
1．
2． 3． 4． 5． 6．
7．441664x y 8．
9． 10．
11． 12． 13． 14．
【例 3】 完全平方公式
1．
2． 3． 4．
5． 6． 7． 8．
【例 4】 十字相乘法
1．
2． 3． 4． 5．
6．7．8．9．10. 11．12．13．14．15．16．17．18．
19．20．
【例 5】分组分解法
1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15.
16．17．
18．19．
【例 6】因式分解综合
1．2．3．4．5．
6．7．
8．9．
10．。