工程流体力学-第三章
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流体力学-第三章
空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒 定流。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
工程流体力学第3章-运动学2013.
3.4 连续性方程 — 质量守恒定律在流动中的体现 （1）物理意义：在流体运动中，流体质量不生不灭。
（2）不可压定常流流束和总流的连续性方程
1v1dA 1 2 v2 dA2
A1
v dA v dA
1 1 1 2 2 A2
2
1V1A1 2 V2 A 2
2018/10/7
基 本 概 念
3.3 迹线、流线、流管、流量等
（1）迹线：是拉格朗日观点下描述流动的曲线， 是一段时间内给定质点在空间走过的轨迹。
当速度场u,v,w给定时，迹线微分方程可写为：
dx dy dz u, v, w, 其中 t是自变量 dt dt dt
上式对时间 t 积分后可得迹线的参数方程。
ay
v v v v 1 1 y u v w 0 y 0 t x y z 2 2 4
w w w w y xy u v w x 2 y 2 y x 0 x 2 y3 t x y z 2 2
az
2018/10/7
（3）流面，流管，流束；流束的极限是流线。 （4）流量：体积流量和质量流量
QV (V .n)dA Vn dA V cos dA
A A A
平均速度： V
（5）其它概念：
QV / A
V cos dA
A
A
有效截面、湿周、水力半径、当量直径
2018/10/7
连续性方程
2018/10/7
三
流体运动学
3.1 流场及描述方法 （1）流场：流体质点运动的全部空间。 （2）描述流体运动的参数，如速度、加速度等， 均为所选坐标的连续函数 。 （3）流体运动的描述方法：Lagrange法和 Euler法
（2）不可压定常流流束和总流的连续性方程
1v1dA 1 2 v2 dA2
A1
v dA v dA
1 1 1 2 2 A2
2
1V1A1 2 V2 A 2
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基 本 概 念
3.3 迹线、流线、流管、流量等
（1）迹线：是拉格朗日观点下描述流动的曲线， 是一段时间内给定质点在空间走过的轨迹。
当速度场u,v,w给定时，迹线微分方程可写为：
dx dy dz u, v, w, 其中 t是自变量 dt dt dt
上式对时间 t 积分后可得迹线的参数方程。
ay
v v v v 1 1 y u v w 0 y 0 t x y z 2 2 4
w w w w y xy u v w x 2 y 2 y x 0 x 2 y3 t x y z 2 2
az
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（3）流面，流管，流束；流束的极限是流线。 （4）流量：体积流量和质量流量
QV (V .n)dA Vn dA V cos dA
A A A
平均速度： V
（5）其它概念：
QV / A
V cos dA
A
A
有效截面、湿周、水力半径、当量直径
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连续性方程
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三
流体运动学
3.1 流场及描述方法 （1）流场：流体质点运动的全部空间。 （2）描述流体运动的参数，如速度、加速度等， 均为所选坐标的连续函数 。 （3）流体运动的描述方法：Lagrange法和 Euler法
《工程流体力学》第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程
截面1-1和2-2：垂直于流动方向，为什么? 侧面1-2：平行于流动方向，为什么？
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
工程流体力学 - 第3章 - M
2 、 水力半径 Rh ：在总流的过流断面上与流
体相接触的固体边壁周长称为湿周，用χ表 示。总流过流断面面积与湿周χ之比称为水 力半径R，即
R
A
3、当量直径de=4Rh
五、流量与平均流速
1、流量
单位时间内通过过流断面的流体量称为流量。 流体量可以用体积、质量和重量表示，其相应的流量 分别是体积流量qv (m3/s)、质量流量qm (kg/s)和重量 流量Qg(N/s)。
v1 A1 v 2 A 2 q v
上式为一维流动连续性方程。
§3.6理想流体一维稳定流动的伯努里方程 一、欧拉方程
如图,在微元流管中 取一圆柱流体微团, 考察理想流体在重 力场中的一维流动。
轴向长度：δs,
端面面积：δA,
端面⊥轴线,
侧面∥轴线。
流体微团受力分析： 方向：垂直向下
质量力：重力，大小：ρgδAδs 表面力：
一.拉格朗日方法
拉格朗日方法着眼于流体质点，跟踪每个 流体质点的运动全过程及描述运动过程中各质 点、各物理量随时间变化的规律。又称轨迹法。 设t=t0时，流体质点的坐标值是（a，b，c）。 流体质点的空间位置、密度、压强和温度 可表示为： r r a，b，c，t ＝ a，b，c，t p p a，b，c，t T T a，b，c，t
第三章 流体动力学
流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动 规律，是流体力学的一个组成部分。 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉
法），结合迹线，流线，流体线等显示流动特性 的曲线图谱研究流动特性。
掌握流体动力学的基本方程，即质量守恒方程， 能量守恒方程动量定理，动量矩定理，重点是关 于控制体的欧拉型方程。
第三章 管流和边界层-工程流体力学
•
早在19世纪初，水力学家发现：由于液体具 有粘性，在不同的条件下，液体的断面流速分布 不同，液流的能量损失的规律也不相同。
图2 不同条件下的圆管流速分布图
1883年，英国科学家雷诺(Osborne Reynolds)做了著名 的雷诺实验，试图找到流动中由于粘性存在而产生的能量损 失规律。 ——雷诺实验（Reynolds experiment ）
水力光滑和水力粗糙管
•
• 水力光滑壁面（管）（hydraulic smooth wall）：
•
雷诺 生平简介
•
雷诺（O.Reynolds，1842－1912）： 英国力学家、 理学家和工程师，1842年8月23日生 于爱尔兰，1867年毕业于剑桥大学王后 学院，1868年出任曼彻斯特欧文学院 （后改名为维多利亚大学）首席工程学教 授，1877年当选为皇家学会会员，1888 年获皇家勋章。雷诺于1883年发表了一 篇经典性论文—《决定水流为直线或曲线 运动的条件以及在平行水槽中的阻力定律 的探讨》。这篇文章用实验说明水流分为 层流与紊流两种形态，并提出以无量纲数 Re作为判别两种流态的标准。雷诺于 1886年提出轴承的润滑理论，1895年在 湍流中引入应力的概念。他的成果曾汇编 成《雷诺力学和物理学课题论文集》两卷。
v x (r)
x
边界条件 r r0
x r
，
x
0
2
r
2
ro 4
d dx
p
gh
速度分布
r 0 处
x m ax
ro
2
d
4 dx
p gh
最大速度
阻力的计算方法
hf p 8 l U r g
工程流体力学第三章
物理量
比起流体质点本身， 比起流体质点本身，工程上我们更关心某一 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 速度、压强、温度、电流等。 速度、压强、温度、电流等。 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 流体具有的特征参量 流动参数。 也成为流动参数 量，也成为流动参数。 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 同空间位置上随时间的变化规律。 同空间位置上随时间的变化规律。
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
L M’ M
V (M , t ) V ( M ' , t + ∆t )
3.1.3随体导数 随体导数
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt 对速度的简单导数
L M’ M
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
速度的变化有两方面的原因:
一方面的原因, 质点由M 点运动至M 点时,
'
时间过去了∆t,由于场的时间非定常性引 起速度的变化
另一方面, 质点由M 点运动至M '点时, 位置 发生了变化,由于场的空间不均匀性引起 速度的变化
3.1.3随体导数 随体导数
按照时间和空间引起速度变化,把极限分为两部分
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
工程流体力学-第三章
四、有效断面、流量和平均流速
1. 有效断面 流束中处处与速度方向相垂直的横截面称为该流束的有效断面， 又称过流断面。 说明：
（1）所有流体质点的
速度矢量都与有效断面 相垂直，沿有效断面切
向的流速为0。
（2）有效断面可能是 平面，也可能是曲面。
2. 流量
(1) 定义：单位时间内通过某一过流断面的流体量称为流量。
压强的拉格朗日描述是：p=p(a,b,c,t)
密度的格朗日描述是：
(a, b, c, t)
二、欧拉法（Euler）
1. 欧拉法：以数学场论为基础，着眼于任何时刻物理量在场上 的分布规律的流体运动描述方法。 2. 欧拉坐标（欧拉变数）：欧拉法中用来表达流场中流体运动 规律的质点空间坐标(x,y,z)与时间t变量称为欧拉坐标或欧拉变 数。
（1）x,y,z固定t改变时， 各函数代表空间中某固
定点上各物理量随时间
的变化规律； （2）当t固定x,y,z改变 时，它代表的是某一时 刻各物理量在空间中的 分布规律。
密度场
压力场
( x, y , z , t )
p p ( x, y , z , t ) T T ( x, y , z , t )
u y du z du z ( x, y , z , t ) u z u z u z az ux uy uz dt dt t t t t du u a (u )u dt t
在同一空间上由于流动的不稳定性引起的加速度，称 为当地加速度或时变加速度。 在同一时刻由于流动的不均匀性引起的加 速度，称为迁移加速度或位变加速度。
一元流动
按照描述流动所需的空间坐标数目划分
二元流动
三元流动
工程流体力学第三章
3.2.3 等压面
压强相等的空间点构成的平面或曲面称为等压面。等压面上，dp=0。又，式
（3-6）中ρ≠0，
故
Xdx Ydy Zdz 0
(3-9)
式中，dx、dy、dz可设想为流体质点在等压面上任一微小位移ds在相应坐标轴
上的投影。因此，式（3-9）表示，当流体质点沿等压面移动距离ds时，质量力所
A
p lim P
（3-2)
A0 A
3.1 静止流体的应力特性
3.1.2 静止流体的应力特性
① 静压强的方向与受压面垂直，并与作用面的 内法线方向相同。
这一特性可由反证法给予证明：假设在静止流体中，流体 静压强方向不与作用面相垂直，而与作用面的切线方向成α角， 如图所示。那么静压强p可以分解成两个分力，即切向压强pt和 法向压强pn。由于切向压强是一个剪切力，由第2章可知，流 体具有流动性，受任何微小剪切力作用都将连续变形，即流体 要流动，这显然与我们假设的静止流体相矛盾。流体要保持静 止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面内法 线方向的压强。
g
和称为总势能。 流体静力学基本方程式的物理意义是：在重力作用下，静止的均质不可压缩流
体中，各点单位质量流体的总势能保持不变。
3.3 流体静压强的分布规律
3.3.2 流体静压强基本方程式的意义
2. 几何意义
z
p
g
C 表明，在同一种流体相互连通的静止流体中，任意点上的
z
p
g具
有相同的数值。
式中各项单位为m，即可以用液柱高度来表示，称为水头。z为某一点的位置相 p
h
z0 z
y
3.3 流体静压强的分布规律
3.3.1 流体静压强的基本方程式
高等工程流体力学-纳维—斯托克斯方程的解
r0 r
1 2
r03 r3
v
U
sin
1
3 4
r0 r
1 4
r03 r3
（3-29）
p
p
3 2
Ur0 r2
cos
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第四节 低雷诺数流动
沿球面积分压强和切应力，可得总
阻力FD为
FD 6r0U
（3-30）
阻力系数
FD
CD
A 1 2
U 2
（3-31）
CD
二维楔形区域内的流动如图3-14所示。 流动由扩张角为2α的两壁面所限制，在
原点处的点源引起渐扩流动（点汇则引
起渐缩流动），
采用极坐标系，
则有
1 r
r
rvr
0
点源或点汇
O
r, vr
r
（参见附录C）（3-43） 图3-14 二维楔形流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第五节 楔形区域的流动
设相似速度剖面为
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
29
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动 如图3-16所示，流体以速度U平行流过一
无限长的多孔平壁面，由于流体黏性的作用， 在近壁面区域形成了较大速度梯度的薄层。
作业：p49 3-6
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
38
r02
FD 1 U 2 2
24
Ud0
24 Re
（3-32）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
工程流体力学 第三章 流体静力学(孔珑 第三版)
两侧压差：
Δp pA pB 2 gh 1 gh2 1 gh1 2 1 gh
如果被测流体为气体：
21
1 gh 0
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
4.倾斜微压计
玻璃管倾斜角
，截面积 A1
宽广容器截面积 A2
微压计存在压差 p2 p1
F mg pe 13263 Pa 2 d 4
液柱显示的压强：
pe gH h
联立方程，解得：
H 0.8524 m
24
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
P30例题3-2 如图所示，为测压装置。假设容器 A 中水面上的计 h 示压强 pe 2.45 104 Pa ， h 500 mm ，h1 200mm ， 2 100mm 3 3 h3 300mm ，水的密度 1 1000kg m ，酒精的密度 2 800kg m B 中气体的计示压强。 水银的密度 3 13600kg m3 ，试求容器
16
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
三、绝对压强 计示压强 p26 绝对压强：以真空为基准计量的压强。
p pa gh pa ——大气压强
计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强。
pe p pa gh （测压计显示压强）
真空：绝对压强小于当地大气压
pV pa p pe （又称负压）
1 p fx 0 x
同理：
1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
——流体平衡方程式（欧拉方程）
5
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
Δp pA pB 2 gh 1 gh2 1 gh1 2 1 gh
如果被测流体为气体：
21
1 gh 0
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
4.倾斜微压计
玻璃管倾斜角
，截面积 A1
宽广容器截面积 A2
微压计存在压差 p2 p1
F mg pe 13263 Pa 2 d 4
液柱显示的压强：
pe gH h
联立方程，解得：
H 0.8524 m
24
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
P30例题3-2 如图所示，为测压装置。假设容器 A 中水面上的计 h 示压强 pe 2.45 104 Pa ， h 500 mm ，h1 200mm ， 2 100mm 3 3 h3 300mm ，水的密度 1 1000kg m ，酒精的密度 2 800kg m B 中气体的计示压强。 水银的密度 3 13600kg m3 ，试求容器
16
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
三、绝对压强 计示压强 p26 绝对压强：以真空为基准计量的压强。
p pa gh pa ——大气压强
计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强。
pe p pa gh （测压计显示压强）
真空：绝对压强小于当地大气压
pV pa p pe （又称负压）
1 p fx 0 x
同理：
1 p fy 0 y 1 p fz 0 z
——流体平衡方程式（欧拉方程）
5
2013年9月21日
《工程流体力学》 樊小朝 电气学院
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第三章 流体运动学
•流体的运动要素：凡表征流体运动的各种物理量， 如质量、表面力、速度、加速度、密度、动量、能 量等，都称为流体的运动要素。
•流体运动学：研究流体运动的规律（不涉及作用力 ），极其在工程中的应用；研究运动要素随时间和 空间的变化，并建立它们之间的关系式。
第一节描述流体流动的两种方法
（4）
（5）
将（4）式代入（5）式积分，可得 （6） x=F1(c1,c2,c3,t) c1,c2,c3是积分 y= F2(c1,c2,c3,t) 积出的常数 z= F3(c1,c2,c3,t) 据拉格朗日法，当t＝t0时，x=a，y=b，z=c，则： a=F1(c1,c2,c3,t0) （7） b= F2(c1,c2,c3,t0) c= F3(c1,c2,c3,t0) 所以 c1=Φ1(a,b,c,t0) c2= Φ2(a,b,c,t0) （8） c3= Φ3(a,b,c,t0)
u x a, b, c, t 2 xa, b, c, t ax t t 2 u y a, b, c, t 2 y a, b, c, t ay t t 2 u z a, b, c, t 2 z a, b, c, t az t t 2
y y a, b, c, t
取 t=t0 时，以每个质点的空间坐标位置为 （a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
速度和加速度
xa, b, c, t ux t y a, b, c, t uy t z a, b, c, t uz t
则：
dx dy dz ux u y uz
——证毕。
流线的绘制方法：
采用微元长切线方法
例1： 已知一平面流场，其分速度为：
ky ux 2 x y2
求流线形状。 解：流线微分方程
uy
kx x2 y 2
uz 0
dx dy ux u y
将速度方程代入微分方程:
dx dy y x
解得:
x2 y 2 C
例2：
已知一拉格朗日描述：
x ae t y be t
求 (1) 迹线 （2）速度和加速度的欧拉描述； （3）流线方程。 解：（1）消去参数t，可得迹线方程
将速度方程代入微分方程:
xy ab
解得:
x2 y 2 C
（2）依据速度的定义
a A1e t0 t 0 1 b A2 e t0 t 0 1 c A3
则：
a t0 1 e t0 b t0 1 A2 e t0 A3 C A1
代入
x A1e t t 1 y A2 e t t 1 z A3
得：
x ux aet t y uy bet t
x ae t t y be
由速度可得加速度的表达式
u x aet t u y ay bet t ax
上述式中消去a，b,可得速度和加速度得欧拉描述:
u x aet x u y bet y
P’点流体速度为: u p' u x dx, y dy, z dz , t dt 流体速度差为: du u x dx, y dy , z dz , t dt u x, y , z , t
u u u u dt dx dy dz t x y z
各分量：
ax
u x u u u ux x u y x uz x t x y z
u y t ux u y x uy u y y uz u y z
ay
az
u z u u u ux z u y z uz z t x y z
——这就是迹线微分方程式。
例：设有一流场，其表达式为：
dx xt dt dy y t dt dz 0 dt
求此流场的迹线方程。 解：首先对以上三式积分(换元法)：
x A1e t t 1 y A2 e t t 1 z A3
t＝t0 时 x＝a y＝b z＝c
四、有效断面、流量和平均流速 1、有效断面：流束或总流上，垂直于流线的断面。 2、流量：单位时间内流过有效断面的流体量。
Q udA
A
（1）
（2）
G dG udA
A A
G Q
（3）
3、断面平均流速V
vA udA Q
A
udA Q v
A
A
A
（4） 单位：m/s
将（8）式代入（6）式就可得到拉格朗日表达式
x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
由此看来，两种方法具有互换性。因此，都可采用。 采用欧拉法便于直接运用场论分析问题,对加速度，在欧 拉法中它是流速的一阶导数，在拉格朗日法中，是轨迹的 二阶导数，数学处理上欧拉法较方便。所以，采用欧拉法 研究问题。
1、dt 时间内流出与流入微元 体的质量之差Δm
a x aet x a y bet y
（3）流线方程为
dx dy x y
积分可得流线方程：
xy C
[例3]不定常流场的迹线与流线
已知：给定的二元流动速度场为：
ux x t,
uy y t
求： （1）t = 1时过（1,1）点的质点的迹线； （2）过（1,1）点的流线方程。
du u dt u dx u dy u dz dt t dt x dt y dt z dt u u u u ux uy uz t x y z
加速度定义:
因为质点在流场内是连续的，则加速度
du u a (u )u dt t
过（1,1）点有 流线方程：
c1 (1 t ) 2
( x t )(y t ) (1 t )2
三、流管、流束、总流
图 3－8 流管
流管
流束和总流
图 3－9 流束和总流
1、流管：由许多流线围成的管子 2、流束：充满在流管内的流体 3、总流：流束的总和 4、微小流束：断面为无穷小的流束 5、流管的特性： 流管内外无流体质点交换 稳定流时，其形状不随时变而变
1 Au1dt 2 A2u2dt 1
可压缩流体沿微小流束稳定流的连 续性方程。
1u1dA1 2u2dA2
总流的连续性方程
图 3－9 流束和总流
A1
1u1dA1
A2
2 u 2 dA21V1 A1Fra bibliotek 2V2 A2
三、空间运动的连续性方程
介绍直角坐标中的连续性方程。
第四节 连续性方程
一、系统与控制体 1.流体质点的变化 2.形状和位置随时间的变化 3.作用力、能量和质量交换 流体的连续性方程是质量守恒定律的一个特殊形式 dt时间内流入与流出控制体的质量之差等于其内部的质量增加 量（变化量） 增量＝流入质量－流出质量
二、一元流动连续性方程
假设：流体的运动是连续的一元流动
第二节 流动的分类
（1）按流动介质分： （2）按流动状态分：
（3）按流动空间坐标数分：
一、稳定流动和不稳定流动 即定常流场内的流动和非定常流场内的流动。
二、一元、二元和三元流动（自学）
第三节 流体运动学的基本概念
1、迹线：某质点在一段时间内所经过的路线。 迹线特点：每个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是 一簇曲线，且只随质点不同而异，与时间无关。 迹线方程：可由“欧拉法”与“拉格朗日法”互换求出。
解： (1) 迹线方程组为
dx x t, dt
由上两式分别积分可得
dy y t dt
x c1et t 1,
t=1时，过质点（1,1）可得，
y c2e t t 1
3 c1 , e
c2 e
（2）流线方程为
积分可得
dx dy t 1 1
( x t )(y t ) c1
a t0 1 t e t 1 t0 e b t 0 1 t y e t 1 t0 e z C x
——这就是流场中的迹线方程簇。
2、流线
某一瞬时流场中的一条曲线，其上各质点 的运动方向均与曲线相切。 流线的特性： （1）不稳定流时，流线的空间方位形状随 时间变化；
拉格朗日方法的优点：
描述各个质点在不同时间参量变化，流体运动轨迹上各
流动参量的变化。
拉格朗日方法的缺点：
不便于研究整个流场的特性。
拉格朗日方法的适用情况： 流体的振动、波动和多相流问题。
二、欧拉法Eulerian method 研究整个流场内不同位置上的流体质点的流动参量
随时间的变化。
欧拉法又称流场法。 空间坐标（x，y，z）称为欧拉变数。 速度表达式为：
（3）
把（2）式代入（3）式就可得到欧拉法表示的流动 参量表达式。
欧拉法
拉格朗日法
由欧拉法： ux=ux（x,y,z,t）
uy=uy（x,y,z,t）
uz=uz（x,y,z,t） 而由拉格朗日法：
xa, b, c, t x ux t t y a, b, c, t y uy t t u z a, b, c, t z z t t
迹线求法： 拉格朗日法： 欧拉法： x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
ux=ux（x,y,z,t）
uy=uy（x,y,z,t）
uz=uz（x,y,z,t） 但
dx ux dt
uy
dy dt
uz
dz dt
则
dx dy dz dt ux u y uz
•流体的运动要素：凡表征流体运动的各种物理量， 如质量、表面力、速度、加速度、密度、动量、能 量等，都称为流体的运动要素。
•流体运动学：研究流体运动的规律（不涉及作用力 ），极其在工程中的应用；研究运动要素随时间和 空间的变化，并建立它们之间的关系式。
第一节描述流体流动的两种方法
（4）
（5）
将（4）式代入（5）式积分，可得 （6） x=F1(c1,c2,c3,t) c1,c2,c3是积分 y= F2(c1,c2,c3,t) 积出的常数 z= F3(c1,c2,c3,t) 据拉格朗日法，当t＝t0时，x=a，y=b，z=c，则： a=F1(c1,c2,c3,t0) （7） b= F2(c1,c2,c3,t0) c= F3(c1,c2,c3,t0) 所以 c1=Φ1(a,b,c,t0) c2= Φ2(a,b,c,t0) （8） c3= Φ3(a,b,c,t0)
u x a, b, c, t 2 xa, b, c, t ax t t 2 u y a, b, c, t 2 y a, b, c, t ay t t 2 u z a, b, c, t 2 z a, b, c, t az t t 2
y y a, b, c, t
取 t=t0 时，以每个质点的空间坐标位置为 （a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
速度和加速度
xa, b, c, t ux t y a, b, c, t uy t z a, b, c, t uz t
则：
dx dy dz ux u y uz
——证毕。
流线的绘制方法：
采用微元长切线方法
例1： 已知一平面流场，其分速度为：
ky ux 2 x y2
求流线形状。 解：流线微分方程
uy
kx x2 y 2
uz 0
dx dy ux u y
将速度方程代入微分方程:
dx dy y x
解得:
x2 y 2 C
例2：
已知一拉格朗日描述：
x ae t y be t
求 (1) 迹线 （2）速度和加速度的欧拉描述； （3）流线方程。 解：（1）消去参数t，可得迹线方程
将速度方程代入微分方程:
xy ab
解得:
x2 y 2 C
（2）依据速度的定义
a A1e t0 t 0 1 b A2 e t0 t 0 1 c A3
则：
a t0 1 e t0 b t0 1 A2 e t0 A3 C A1
代入
x A1e t t 1 y A2 e t t 1 z A3
得：
x ux aet t y uy bet t
x ae t t y be
由速度可得加速度的表达式
u x aet t u y ay bet t ax
上述式中消去a，b,可得速度和加速度得欧拉描述:
u x aet x u y bet y
P’点流体速度为: u p' u x dx, y dy, z dz , t dt 流体速度差为: du u x dx, y dy , z dz , t dt u x, y , z , t
u u u u dt dx dy dz t x y z
各分量：
ax
u x u u u ux x u y x uz x t x y z
u y t ux u y x uy u y y uz u y z
ay
az
u z u u u ux z u y z uz z t x y z
——这就是迹线微分方程式。
例：设有一流场，其表达式为：
dx xt dt dy y t dt dz 0 dt
求此流场的迹线方程。 解：首先对以上三式积分(换元法)：
x A1e t t 1 y A2 e t t 1 z A3
t＝t0 时 x＝a y＝b z＝c
四、有效断面、流量和平均流速 1、有效断面：流束或总流上，垂直于流线的断面。 2、流量：单位时间内流过有效断面的流体量。
Q udA
A
（1）
（2）
G dG udA
A A
G Q
（3）
3、断面平均流速V
vA udA Q
A
udA Q v
A
A
A
（4） 单位：m/s
将（8）式代入（6）式就可得到拉格朗日表达式
x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
由此看来，两种方法具有互换性。因此，都可采用。 采用欧拉法便于直接运用场论分析问题,对加速度，在欧 拉法中它是流速的一阶导数，在拉格朗日法中，是轨迹的 二阶导数，数学处理上欧拉法较方便。所以，采用欧拉法 研究问题。
1、dt 时间内流出与流入微元 体的质量之差Δm
a x aet x a y bet y
（3）流线方程为
dx dy x y
积分可得流线方程：
xy C
[例3]不定常流场的迹线与流线
已知：给定的二元流动速度场为：
ux x t,
uy y t
求： （1）t = 1时过（1,1）点的质点的迹线； （2）过（1,1）点的流线方程。
du u dt u dx u dy u dz dt t dt x dt y dt z dt u u u u ux uy uz t x y z
加速度定义:
因为质点在流场内是连续的，则加速度
du u a (u )u dt t
过（1,1）点有 流线方程：
c1 (1 t ) 2
( x t )(y t ) (1 t )2
三、流管、流束、总流
图 3－8 流管
流管
流束和总流
图 3－9 流束和总流
1、流管：由许多流线围成的管子 2、流束：充满在流管内的流体 3、总流：流束的总和 4、微小流束：断面为无穷小的流束 5、流管的特性： 流管内外无流体质点交换 稳定流时，其形状不随时变而变
1 Au1dt 2 A2u2dt 1
可压缩流体沿微小流束稳定流的连 续性方程。
1u1dA1 2u2dA2
总流的连续性方程
图 3－9 流束和总流
A1
1u1dA1
A2
2 u 2 dA21V1 A1Fra bibliotek 2V2 A2
三、空间运动的连续性方程
介绍直角坐标中的连续性方程。
第四节 连续性方程
一、系统与控制体 1.流体质点的变化 2.形状和位置随时间的变化 3.作用力、能量和质量交换 流体的连续性方程是质量守恒定律的一个特殊形式 dt时间内流入与流出控制体的质量之差等于其内部的质量增加 量（变化量） 增量＝流入质量－流出质量
二、一元流动连续性方程
假设：流体的运动是连续的一元流动
第二节 流动的分类
（1）按流动介质分： （2）按流动状态分：
（3）按流动空间坐标数分：
一、稳定流动和不稳定流动 即定常流场内的流动和非定常流场内的流动。
二、一元、二元和三元流动（自学）
第三节 流体运动学的基本概念
1、迹线：某质点在一段时间内所经过的路线。 迹线特点：每个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是 一簇曲线，且只随质点不同而异，与时间无关。 迹线方程：可由“欧拉法”与“拉格朗日法”互换求出。
解： (1) 迹线方程组为
dx x t, dt
由上两式分别积分可得
dy y t dt
x c1et t 1,
t=1时，过质点（1,1）可得，
y c2e t t 1
3 c1 , e
c2 e
（2）流线方程为
积分可得
dx dy t 1 1
( x t )(y t ) c1
a t0 1 t e t 1 t0 e b t 0 1 t y e t 1 t0 e z C x
——这就是流场中的迹线方程簇。
2、流线
某一瞬时流场中的一条曲线，其上各质点 的运动方向均与曲线相切。 流线的特性： （1）不稳定流时，流线的空间方位形状随 时间变化；
拉格朗日方法的优点：
描述各个质点在不同时间参量变化，流体运动轨迹上各
流动参量的变化。
拉格朗日方法的缺点：
不便于研究整个流场的特性。
拉格朗日方法的适用情况： 流体的振动、波动和多相流问题。
二、欧拉法Eulerian method 研究整个流场内不同位置上的流体质点的流动参量
随时间的变化。
欧拉法又称流场法。 空间坐标（x，y，z）称为欧拉变数。 速度表达式为：
（3）
把（2）式代入（3）式就可得到欧拉法表示的流动 参量表达式。
欧拉法
拉格朗日法
由欧拉法： ux=ux（x,y,z,t）
uy=uy（x,y,z,t）
uz=uz（x,y,z,t） 而由拉格朗日法：
xa, b, c, t x ux t t y a, b, c, t y uy t t u z a, b, c, t z z t t
迹线求法： 拉格朗日法： 欧拉法： x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
ux=ux（x,y,z,t）
uy=uy（x,y,z,t）
uz=uz（x,y,z,t） 但
dx ux dt
uy
dy dt
uz
dz dt
则
dx dy dz dt ux u y uz