必修四第一章三角函数 知识点及练习 讲义
(word完整版)高中数学必修4三角函数知识点总结归纳,文档
高中数学必修 4 知识点总结第一章三角函数正角 : 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角2、象限角：角的极点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，那么称为第几象限角．第一象限角的会集为k 360o k 360o90o , k第二象限角的会集为k 360o90o k360o180o, k第三象限角的会集为k 360o 180o k360o270o , k第四象限角的会集为k 360o270o k360o360o, k终边在 x 轴上的角的会集为k 180o , k终边在 y 轴上的角的会集为k180o90o , k终边在坐标轴上的角的会集为k 90o, k3、终边相等的角：与角终边相同的角的会集为k 360o, k4、是第几象限角，确定n*所在象限的方法：先把各象限均分 n 等n份，再从 x 轴的正半轴的上方起，依次将各地域标上一、二、三、四，那么原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的地域．n例 4．设角属于第二象限，且cos2cos2，那么角属于〔〕2A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解.C 2k22k,( k Z ), k4k,( k Z ),22当 k2n,( n Z)时，在第一象限；当 k2n1,(n Z ) 时，在第三象限；22而 cos cos cos20，在第三象限；2225、1 弧度：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．- 1 -6、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，那么角的弧度数的绝对值是l ．ro7、弧度制与角度制的换算公式：2360o ， 1o， 1180o．1808、假设扇形的圆心角为为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ， 那么弧长l r ，周长 C 2r l ，面积 S 1 lr 1 r 2 ．2 2 9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是 x, y ，它与原点的距离是 r r x 2y 20 ，那么 siny， cosx， tany x 0 ． r r x10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线： sin ， cos ， tan ． y例 7．设 MP 和 OM 分别是角17的正弦线和余弦线，那么给出的以下P T18不等式： ① MP OM 0；②OM 0 MP ； ③OMMP 0 ；OM Ax④ MP0 OM ，其中正确的选项是_____________________________ 。
高一数学人教A版必修4第一章(三角函数)本章小结课件
1-(-
5 5
)2
=
-
2
5 5
.
6. 用 cosa 表示 sin4a-sin2a+cos2a.
解: sin4a-sin2a+cos2a = sin2a(sin2a-1)+cos2a = sin2a(-cos2a)+cos2a = cos2a(1-sin2a) = cos4a.
7. 求证:
(1) 2(1-sina)(1+cosa) = (1-sina+cosa)2; (2) sin2a+sin2b-sin2a·sin2b+cos2a·cos2b =1.
6. 终边位置确定三角函数值的正负
y
y
y
++ -o - x
-+
ox
-+
-+
ox
+-
sina
cosa
tana
正弦上正下负, 余弦右正左负, 正切一三正二四负.
7. 同角三角函数的关系
sin2a+cos2a=1,
sina cosa
=
tana
.
常用的变形:
sin2a=1-cos2a. cos2a=1-sin2a.
解: 由已知得 sin2x=4cos2x, 1-cos2x=4cos2x,
解得 cos x =
5 5
.
又由已知得 tanx =2,
则 x 是第一、第三象限角.
当 x 是第一象限角时,
cos x =
5 5
,
sin x =
1-(
5 5
)2=
2
5 5
;
当 x 是第三象限角时,
必修四第一章三角函数知识点、例题、练习
在 2 k , 2 k k 上是增函数；在
在 k , k
2 2
调 k 上是增函 性 数；在
2 k , 2 k
k 上是减函数．
k 上是增函
数．
9
3 2 k , 2 k 2 2
10、三角函数线： sin ， cos ， tan A ． 11、同角三角函数的基本关系式：
1 sin 2 cos 2 1 sin 2 1 cos 2 , cos 2 1 sin 2 ； 2
sin sin tan cos , cos ． tan
180 o 6、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 ， 1 ，1 5
o
． 7、若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 l r ， C 2r l ， S lr r 2 ． 例 2、 已知扇形的圆心角是 ，所在圆的半径是 R . （1）若 60 , R 10cm, 求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面 积。 （2）若扇形的周长是一定值 C (C 0), 当 为多少弧度时，该扇形 有最大面积？
ymax 1 ；当 x 2k
R
时， ymax 1 ；当
x 2 k
2
k 时， ymin 1 ．
既无最大值也无最 小值
k 时， ymin 1
．
周 期 奇 偶 单
2
2
奇函数
偶函数
奇函数
在 2 k , 2 k
【精品】高中数学 必修4_三角函数的诱导公式_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】 要点一：诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解． 【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具． 举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1． 例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】 求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】 已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=． 两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=． 类型二：利用诱导公式化简 例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三： 【变式1】化简 （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】 常见的一些关于参数k 的结论： （1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈； （2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈； （3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈； （4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈． 类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】 证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立． 举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】 【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=； （3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证． （2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证． （3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证． 【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-． 证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证． 类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值． 【解析】 （1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=． （3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-． 【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三： 【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（ ）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（ ）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（ ） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是 ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。
高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.3知识点总结含同步练习及答案
4π ． 3
解：（1）sin 585 ∘ = sin(360 ∘ + 225 ∘ ) = sin(180 ∘ + 45∘ ) = − sin(45∘ ) = − （2）
√2 ； 2
已知 sin(α − A．
解：B． 因为 选B．
1 3
π 1 π ） ) = ，则 cos( + α) 的值为（ 3 3 6 1 2√3 2√3 B．− C． D．− 3 3 3
π π π π π π π 1 + α = + (α − ) ，所以 cos( + α) = cos[ + (α − )] = − sin(α − ) = − ，故 6 2 3 6 2 3 3 3
高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式
一、学习任务
π 理解正弦、余弦、正切的诱导公式（2kπ + α(k ∈ Z) ，−α，π ± α ， ± α），能运用这些诱导公式 2 π 将任意角的三角函数化为 [0, ] 内的角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求 2 值及恒等式证明．
13π π π = tan(4π + ) = tan = √3； 3 3 3
√2 ； 2 13π
π 13π )；（2）cos(−420 ∘ )；（3）tan(− )． 4 6 π π √2 解：（1）sin(− ) = − sin( ) = − ； 4 4 2 1 （2）cos(−420 ∘ ) = cos(420 ∘ ) = cos(60∘ + 360 ∘ ) = cos 60∘ = ； 2 13π 13π π π √3 （3）tan(− ． ) = − tan = − tan( + 2π) = − tan = − 6 6 6 6 3
高中数学必修四三角函数知识点总结,附真题讲解!
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2、象限角角a的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，
则称a为第几象限角．3、
的象限已知a是第几象限角，确定所在象限的
方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则a原来是第几象限对应的标
号即为终边所落在的区域．4、弧度制⑴ 1弧度的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．⑵ 弧长公式 半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，则角a的弧度数的绝对值是
．⑶弧度制与角度制的换算公式：，，
．⑷若扇形的圆心角为a（a位弧度制），半径为
r，弧长为l，周长为C，面积为S，则，，
．
【答案】。
北师大版数学必修四：第一章《三角函数》章节归纳梳理ppt课件
2sin 2 sin 2sin cos cos 2sin 2 sin 2sin 1 cos 1 2sin 1 sin tan
若 17 ，
6 1 1 则 f ( 17 ) 17 6 tan( ) tan(3 ) 6 6 1 1 3. 3 tan 6 3
三角函数的图像
对三角函数的图像的几点认识 本章在必修一学习基本初等函数图像画法的基础上,进一 步学习了三角函数图像的画法，完善了函数图像的画法理论，
主要包括以下内容.
(1)描点法.用列表、描点、连线的方式研究未知函数的图像 特征. (2)利用性质画简图,对于熟悉的函数可直接根据特殊点、线 画简图.如“五点法”“三点二线法”等.
【审题指导】解答本题的关键是利用诱导公式和因式分解的 方法化简求值.
【规范解答】f 2sin cos cos
2sin 2 sin( )
2sin cos cos
正弦、余弦、正切函数的诱导公式 对正弦、余弦、正切函数的诱导公式的理解
和应用
(1)理解方法：借助单位圆，根据角终边的对称性和三角函数 的定义理解. (2)记忆方法：奇变偶不变，符号看象限
(3)应用方法：用诱导公式一方面可化任意角为0°～90°的 角，另一方面可实现正弦与余弦之间的互化.因此在应用诱导 公式时，要根据题目的要求恰当选择公式.
4
小的θ 值是( (A)
3 4
) (B)
4
(C)
4
(D)
3 4
(2)已知角α 的终边与角-330°的终边关于原点对称，则其中 绝对值最小的角α 是_______. 【审题指导】(1)解答的关键是判断出θ与
必修4 第一章 三角函数 全章解析
必修4 第一章三角函数一、本章知识结构：应用二: 本章公式网络结构tan tan tan 2212ααααβ=-=←−−−←相除三: 要点概述1. 求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。
2. 角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如()()()()2ααβαβααββαββ=++-=+-=-+，α3是23α的半角，α2是α4的倍角3. 求值的类型： ①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。
②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。
③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。
4. 灵活运用角和公式的变形，如：()()2ααβαβ=++-，()()tan tan tan tan tan αβαβαβ+=+-1等，5. 化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。
6. 证明三角恒等式时，所用方法较多，一般有以下几种证明方法： ①从一边到另一边，②两边等于同一个式子，③作差法。
(7) 两角和与差的正、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ±=±=± tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=⋅7. 二倍角的正、余弦、正切公式sin 22sin cos ;2222cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 2.(21tan ααααααααααα==-=-=-=-注：倍角具有相对性) 8. 辅助角公式：sin cos );sin a b αααϕϕϕ±=±==其中9. 万能公式：22222tan 1tan 2tan sin 2;cos 2;tan 21tan 1tan 1tan ααααααααα-===++- 10. 三角函数的图像与性质。
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__________________________________________________高一数学下必修四第一章三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．__________________________________________________6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．__________________________________________________()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：__________________________________________________①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当()2x k k π=∈Z 时， 既无最大值也无最小值函 数 性质____________________________________________________________________________________________________第一章《三角函数》综合练习一、选择题1.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为（ ）A.54-B.53C.54D.53- 2.半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（）A .3πcm B .23πcm C .23πcm D .223πcm__________________________________________________3.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（） A .3π，2-，4πB .3π，2，12πC .6π，2，12πD .6π，2，4π4.sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（ ）A .1sin()26y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .sin(2)3y x π=-D .1sin()23y x π=-5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( ) A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称6.如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |7．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41D ．68．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12__________________________________________________9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象 如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B10.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（）A .13B .13-C.3D.3-11.已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ） A.βα<; B.βαsin sin >；C.βαtan tan >；D.以上都不对12.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于( ) A. 1B.2C. 0D.2-二、填空题13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是______________ 14．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α的值是_____________.__________________________________________________15、函数])32,6[)(6cos(πππ∈+=x x y 的值域是． 16．函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________. 三、解答题17.已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α； （2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值．18.已知tan 3α=，求下列各式的值： （1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ ；（2）212sin cos cos ααα+．19．（1）画出函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 在一个周期的函数图像；（2）求出函数的对称中心和对称轴方程．__________________________________________________20．已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)判断其奇偶性．(2)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最大值，并求取得最大值时的x ；21．已知函数45)62sin(21++=πx y (1)求函数的单调递增区间； (2)写出y=sinx 图象如何变换到15sin(2)264y x π=++的图象__________________________________________________第一章《三角函数》综合练习答案一、选择题1-5 CDCBB 6-10 CBBCA 11-12 BB二、填空题13、5[2,2],33k k k Z ππππ++∈14、31015、1[]22-16、13k << 17. 解析：（1）sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-==---；（2）若31sin()23πα-=-，则有1cos 3α=-，所以()f α=3。