多元函数值向量的积分(重积分)chap7.3

n ( M i ) − − 有向曲面 Σ 在 M i 处指定侧的单位法向量
1≤ i ≤ n
作和式
若当 d → 0 时，无论 Σ 的分法及点 M i 的取法如何， 的取法如何， v 上述和式有同一极限， 上述和式有同一极限， 则称此极限为 F (M) 在有
i =1
∑ F (M i ) ⋅ n (M i )∆ Ai .
则 ∫∫ Q(x, y, z)dz ∧ dx = ± ∫∫ Q(x, y(x, z)dzdx
Dxz
"+"号: ∑ 取 右侧 即 , 法向量 y 轴正 与 向夹角β ≤
π
"−"号: ∑ 取左侧 即法向量与 y 轴正向夹角β ≥ ,
π
2
2
例 1 计算
∫∫ z dx ∧ dy
∑
(1) ∑ 为锥面 z = x 2 + y 2 在 0 ≤ z ≤ 1 部分的下侧,
( y 2 + xz)dx ∧ dy = 0 + 0 + 0 + 0 + ∫∫ ( y 2 + xa)dxdy − ∫∫ y 2dxdy ∫∫ D D ∑ xy xy z 4 adx aaxdy = a , = ∫∫ xadxdy = ∫ a 0 ∫0 2 D xy ∑5
∑2
a a 4 ∴I = +0+ =a 2 2
∑
设 ∑ : z = z ( x , y ) , 指定一侧 ( 上侧或下侧 D xy − − ∑ 在 xy 面上的投影域 .
n ∑ i =1
)
∫∫ R ( x , y , z ) dx ∧ dy = lim0 ∑ R (ξ i ,η i , ζ i ) cos γ i ∆ Ai d→
点(ξ i ,ηi , ζ i )在∑ 上 ⇒ ζ i = z (ξ i ,ηi ) (∆σ i ) xy − − ∆Ai 在 xy 平面上投影域 ,同时也表示 投影域 的面积, 则 ( ∆σ i ) xy ∑ 取上侧, cos γ i ∆Ai ≈ ( ∆Ai ) xy = − (∆σ i ) xy ∑ 取下侧. d ′ = max {( ∆ σ i ) xy 的直径 }, 则当 d → 0时 , d ′ → 0, 故
n
上的第二型（ , 向曲面∑ 上的第二型（对坐标 )曲面积分记为 的 v v
, ∫∫ F(M) ⋅ n(M) dA 即
∑
∑
v n v v v i ∫∫ F(M) ⋅ n (M)dA = l m ∑ F(Mi ) ⋅ n(Mi )∆A i
d → i= 0 1
r 注 (1).当 F ( M ) = { P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z )} 在 ∑ 上连续时 , 第二型曲面积分存在 .
例 2计算 : I = ∫∫ y( x − z)dy ∧ dz + x dz ∧ dx + ( y + xz)dx ∧ dy
2 2 ∑
. ∑: 正六面体表面的外侧
解 ∑ =∑1+∑2 +∑3 +∑4 +∑5 +∑6
的前侧； 1 x x z a ( 0≤ dz ∫∫Σy(：− =)dy ∧ y ≤ a , 0≤ z ≤ a ) 的前侧；
第3节 第二型(对坐标的)曲面积分 第二型(对坐标的)
一. 曲面侧的概念: 双侧曲面:设 ∑ 是一光滑曲面 , 过 ∑ 上任一点 P 作曲面的法向
量, 选定一个记为 n.当点 P 在∑ 上不越过 ∑ 的边界而任意连 续变化又回到原来的位 置时, 相应的法向量也回到原 来的 n. 对于双侧曲面, 可以通过曲面上的法向 量的指向来 区分曲面的两侧 , 取定了法向量即选取了 曲面的侧, 故 双侧曲面也称为有向曲 面.
Σ
3.性质： (1) 线性性 :
∑
∫∫ (α F 1 + β F 2 ) • dA = α ∫∫ F 1 • dA + β ∫∫ F
∑ ∑
2•
dA
( 2 ) 可加性 : ∫∫ F • ndA = ∫∫ F • dA + ∫∫ F • dA
∑ ∑1 ∑2
(∑ = ∑ 1 + ∑ 2 )
(3).方向性:
∑
∫∫ F ( M ) ⋅ n ( M ) = − ∫∫− F ( M ) ⋅ n ( M )
∑ −
其中 ∑
表示与 ∑ 取相反侧的有向曲面
.
( 4 )点 M ( x , y , z ) 在曲面 ∑ 上 , 故满足 Σ 的方程 .
三. 第二型曲面积分的计算： 以 ∫∫ R ( x , y , z ) dx ∧ dy 为例 :
.. 单侧曲面 (不可定向曲面 )如 M o bius (麦比乌斯 ) 带 :
,均指有向曲面 均指有向曲面 . 在第二型曲面积分中
二. 第二型曲面积分的概念 1. 流量问题: 设一稳定流动的不可压缩液体(密度均匀,不妨假设密 度为1)以流速
V = P ( x, y , z ) i + Q ( x, y , z ) j + R ( x, y , z ) k
n
其中 d = max { ∆ A i 的直径
1≤ i ≤ n
}.
v 设 2.定义： ∑ 为有向光滑曲面 , 向量函数 F ( M )在 ∑ 上有 定义。 定义。把 ∑ 任意分成 n 小块 ∆Ai (同时也表示第 i 小块曲面的面积 ), 任取 M i ∈ ∆Ai , d = max { ∆Ai的直径 }.
D yz
则 ∫∫ P(x, y, z)dy ∧ dz = ± ∫∫ P(x( y, z), y, z)dydz
"+"号: ∑ 取前侧 即 , 法向量与x轴 正向夹角α ≤
"−"号: ∑ 取后侧 即法向量与x轴正向夹角α ≥ ,
∑ : y = y ( x , z ),
∑
π
π2
2
D xz − − ∑ 在 xz 平面上的投影域 ,
解 D xy : x 2 + y 2 ≤ 1,
z
1
: z = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1, 上侧 , ∑1 2 2 ∑ 2 : z = 1, x + y ≤ 1, 下侧, ∑ = ∑1 U ∑ 2
∑ ∑1 ∑2
Σ2
D xy o
Σ1
y
x
∴ ∫∫ zdx ∧ dy = ∫∫ zdx ∧ dy + ∫∫ zdx ∧ dy 2 2π π = π − ∫∫ 1dxdy = −π = − . D xy 3 3 3
1≤ i ≤ n
n ∫∫ R(x, y, z)dx ∧ dy = lim ∑ R (ξ i ,η i , ζ i ) cos γ i ∆Ai d →0 ∑ i =1 n = lim ∑ R (ξ i ,η i , z (ξ i ,η i ))( ±∆ σ i ) xy d ′→ 0 i =1 n = ± lim ∑ R(ξi ,ηi , z(ξi ,ηi ))(∆σ i ) xy d '→0 i =1
∑
( 4 ).以速度
V ( x , y , z ) = { P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z )}
流向曲面 Σ 指定侧的流量为 Φ = ∫∫ Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy .
∑
一般地， ∫∫ F ⋅ dA 为向量场 F 通过 Σ 指定侧的通量 . 称
n( M i ) = {cos α i , cos β i , cos γ i } ,
M i (ξ i , η i , ζ i ), 则有
v ∫∫ F(M) ⋅ dA
∑
= lim ∑[P(ξi ,ηi ,ςi ) cosαi ∆A + Q(ξi ,ηi ,ςi ) cos βi ∆A i i
d →0 i=1
n
= ∫∫ P(x, y, z) cosαdA+ Q(x, y, z) cos βdA
∑
+ R(ξi ,ηi ,ςi ) cosγ i ∆A ] i
+ R(x, y, z) cosγdA
= ∫∫ P(x, y, z)dy ∧ dz + Q(x, y, z)dz ∧ dx + R(x, y, z)dx ∧ dy
近 任取点 M i (ξ i , η i , ζ i ) ∈ ∆ Ai , 似
∆Ai 上其它点处的流速 ≈ V ( M i ) = Vi
n i − − M i 处指定侧的单位法向量 .
∆Ai 上其它点处的单位法向 量 ≈ ni , (Q ∑ 光滑, V ∈ C )
则流过 ∆ A i 的流量 ∆Φ
i
D yz
a a 4 yz的下侧； 0 Σ 6 ： z = 0 ( 0≤ x ≤ a , 0≤ y ≤ a ) 的下侧； o
D : 0 ≤ y ≤ a ,0 ≤ z ≤ a .
x 2dz ∧ dx = 0 + 0 + ∫∫ x 2dzdx − ∫∫ x 2dzdx + 0 + 0 = 0. ∫∫
∑ Dxz Dxz
其中:
= ± ∫∫ R(x, y, z(x, y))dxdy
Dxy
, , " , ∑ 取上侧 即法向量与z 轴正向的夹角γ ≤ 时 取 +"号 2 , , " . ∑ 取下侧 即法向量与z 轴正向的夹角γ ≥ 时 取 −"号 2
π
π
类似地有 : ∑ : x = x ( y , z ),
∑
D yz − − ∑ 在 yz 平面上的投影域 ,
x