向量值函数积分学17页PPT
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《向量的点积与叉积》课件
混合积的性质
混合积为零
混合积与点积的关系
混合积的几何意义
如果三个向量共面，则它们的混合积 为零。
$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = mathbf{B} cdot (mathbf{C} times mathbf{A}) = mathbf{C} cdot (mathbf{A} times mathbf{B})$。
2023 WORK SUMMARY
《向量的点积与叉积 》PPT课件
REPORTING
目录
• 向量点积的定义与性质 • 向量叉积的定义与性质 • 向量点积与叉积的应用 • 向量的混合积 • 总结与展望
PART 01
向量点积的定义与性质
向量点积的定义
总结词
线性代数中，两个向量的点积定义为它们的模长与夹角的余弦值的乘积。
向量点积与叉积的未来发展方向
理论完善
随着数学理论的发展，向量的点积与叉积的概念和性质可 能会得到更深入的研究和探讨，有助于完善数学基础理论 体系。
应用拓展
随着科技的发展，向量的点积与叉积在各个领域的应用将 会更加广泛，例如在人工智能、机器学习、数据科学等领 域中可能会发现更多新的应用场景。
计算优化
两个向量的夹角可以通过 它们的点积来计算，这在 解析几何中非常重要。
向量的线性变换
向量的线性变换可以用向 量的叉积来实现，这在解 析几何中有着广泛的应用 。
在计算机图形学中的应用
3D渲染
游戏开发
在3D渲染中，需要使用向量的点积和 叉积来计算光照方向、阴影、旋转等 效果。
在游戏开发中，需要使用向量的点积 和叉积来处理游戏角色的移动、碰撞 检测、视角控制等。
01-向量值函数及其导数
(
x,
y)
y
x ,
Df (1,1) 1 1 .
0
2 y
0 2
3 df (1,1) 1
10
x
3x x y
0 2 y 2y
(
x0
)
fi (x0 x j
)
mn
当m=n时,Jacobi矩阵的行列式称为f 在x0处的Jacobi行列式.
记为
J
f
(
x0)
1((
f 2
x1
, ,
f , , n
x2 , ,
f xn
) )
x
0
当m=1时， f 为数量值函数
例如f x 2 2 xy , g y 2 x
则 ( f , g) ( x, y)
质点v的(t速) 度li向m量r(为t
t
)
r (t
)
t0
t
dr dt
(dx , dy , dz )T dt dt dt
质点a的(t加) 速li度m向v(量t 为t
)
v(t
)
t0
t
dv dt
(d2 x , d2 y , d2 z )T dt 2 dt 2 dt 2
3 一元向量值函数的微分
记为lim
x x0
k (x) ak
f ( x) （k
a. 1,2,,m）
2 一元向量值函数连续的概念
定义2
设一元向量值函数f
( f1( x),
f2 ( x),,
fm
(
x)) T
在U (
x
)
0
内有定义，若有
lim f (x) f ( x0 )
向量数量积的坐标运算与度量公式PPT课件
k t3 3t 4
k t2 1 t2 4t 3 1 t 22 7
t4
4
4
当t 2时，k t 2 有最小值 7 .
t
4
说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联 系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含 条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系， 利用二次函数求最值。
2 2 ≤ cos ≤1
3
课堂小结：
这节课我们主要学习了平面向量数量积 的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐 标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几
何问题。 设a （x1，y1），b （x2，y2）
a b x1 x2 y1 y2
（1）两向量垂直条件的坐标表示
a b x1 x2 y1 y2 0
解: (Ⅰ) OP OQ 2 cos x , OP OQ 1 cos2 x ,
cos
OP OQ OP OQ
2cos x 1 cos2 x
,∴
f
(x)
2cos x 1 cos2 x
(x
4
, 4
)
第20页/共24页
变形 2：平面直角坐标系有点 P(1, cosx) ， Q(cos x,1) ，
（2）两向量平行条件的坐标表示
a / /b x1y2 x2 y1 0
第22页/共24页
设a （x1，y1），b （x2，y2）
（3）向量的长度（模）
a
2
2
a
x2 1
y2 1
或a
x2 1
y2 1
（4）两向量的夹角
cos a b
ab
= x1x2 + y1y2 x12 + y12 x22 + y22
8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用
M
z z0 (F , G) ( x , y )
M
法平面方程
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 例4. 求曲线 x t , y t 2 , z t 3 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解： x 1, y 2 t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 思考: 光滑曲线 y ( x) 因此所求切线方程为 : z ( x) x 1 y 1 z 1 的切向量有何特点? 2 3 1 xx 法平面方程为 答: : y ( x ) ( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0 z ( x) 即 x 2 y 3z 6 切向量 T (1, , ) 故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3)
T
M
利用
点向式可建立曲线的切线方程 点法式可建立曲线的法平面方程
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设 上的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 对应 t t0 , (t0 ), (t0 ), (t0 )不全
为0, 则 在点M 的导向量为
z z0 (F , G) ( x , y )
M
法平面方程
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 例4. 求曲线 x t , y t 2 , z t 3 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解： x 1, y 2 t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 思考: 光滑曲线 y ( x) 因此所求切线方程为 : z ( x) x 1 y 1 z 1 的切向量有何特点? 2 3 1 xx 法平面方程为 答: : y ( x ) ( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0 z ( x) 即 x 2 y 3z 6 切向量 T (1, , ) 故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3)
T
M
利用
点向式可建立曲线的切线方程 点法式可建立曲线的法平面方程
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设 上的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 对应 t t0 , (t0 ), (t0 ), (t0 )不全
为0, 则 在点M 的导向量为
向量函数的定积分与变限积分
向量函数的定积分与变限积分在微积分学中，向量函数的积分是一个非常重要的概念。
它不仅能够应用于物理学、工程学等自然科学领域，还可以用于经济学、统计学等社会科学领域。
其中较为常见的形式有定积分和变限积分两种。
它们不仅有着不同的表达方式，而且其应用和性质也不尽相同。
一、向量函数的定积分向量函数的定积分是指将一个向量函数沿着一段固定的曲线上的积分。
如果我们将向量函数f（t）表示为一个向量值函数，那么其定积分可以用如下的形式来表达：∫ab f（t）·ds其中，a、b是曲线上任意两个点，而s是从a到b的弧长参数。
这里需要注意的是，积分结果是一个向量，其大小和方向都与弧长的路径有关。
现在我们以一个简单的例子来说明一下这种向量函数的定积分。
假设有一个向量函数f（t）= (cos t, sin t)与一条圆周曲线C：x^2+y^2=1相对应。
其在曲线上的定积分可以写为：∫C f（t）·ds = ∫0^2π (cos t, sin t)·(dx,dy)= ∫0^2π cos t dx + sin t dy= 0这里可以看出，其中的积分结果是一个标量，因为对于这个圆周曲线，从起点到终点的弧长为零。
二、向量函数的变限积分向量函数的变限积分是指将一个向量函数沿着一段曲线段上的积分。
如果我们将向量函数f（t）表示为一个向量值函数，那么其变限积分可以用如下的形式来表达：∫p q f（t）·dr其中，p、q是曲线上任意两个点，而r是从p到q的位移向量。
这里需要注意的是，积分结果是一个向量，其大小和方向都与位移的路径有关。
现在我们以一个简单的例子来说明一下这种向量函数的变限积分。
假设有一个向量函数f（x, y）= (x^2y, xy^2)与一条线段L: y=x, 0≤x≤1相对应。
其在曲线上的变限积分可以写为：∫L f（x, y）·dr = ∫0^1 (x^2y, xy^2)·(dx, dx)= ∫0^1 x^2y dx + xy^2 dx= 1/12这里可以看出，其中的积分结果是一个向量，其大小和方向都与从起点走到终点的路径有关。
向量值函数积分学
x x(t),
y
y(t ),
z z(t),
r (t )
x(t)i
y(t) j
z(t)k,
t
.
因此一元向量值函数在物理上是质点运动的轨迹，
几何上表示空间一条曲线。
z
（2)当 Rr (t ) 0时, 得r平面向量r 值函数
f ( x) P( x)i Q( x) j , x I x
Q(
x)
,
lim
x0
R(
x
x) x
R(
x)
dP dx
,
dQ dx
,
dR dx
dP dx
r i
dQ dx
r j
dR dx
r k
r
即 df {dP , dQ , dR } dx dx dx dx
例：设f (t ) t i t 2 j t 3k .
(1)(C ) 0,其 中C是 常 向 量 ；
（2）(a u b v) a u b v, a, b是 常 数 ；
（3）(u v) u v u v;
(4)(u v) u v u v;
(5)r
r( (t )),
( x)v2 u2v2
(
x)u,
v
u
v
3、一元向量值函数导数的物理意义与几何意义
rr(t )
r x(t )i
r y(t) j
r z(t )k
向量值函数的导数与积分ppt课件
高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
例6 求空间曲线 :xt,yt2,zt3在点(1, 1, 1)处的 切线方程与法平面方程．
解 由于 x1,y2t,z3t2,且点(1,1,1) 与 t = 1对应,
所以，在点(1, 1, 1)处曲线的切线向量为 T(t)(1,2,3), 因此，所求切线方程为
(3) d[ku(t)]ku(t); dt
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(4 )d [f(t)u (t)] f(t)u (t) f(t)u (t); d t
(5 )d [u (t)v (t)] u (t)v (t) u (t)v (t); d t
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可导的向量值函数 r = r (t) 的微分定义为 drr(t)dt.
对于可导的二维向量值函数 r(t)f(t)ig(t)j, d r d f ( t ) i d g ( t ) j f ( t ) d t i g ( t ) d t j .
明显地，r ( t ) 也是一个向量值函数．假设向量值函
数 r(t) 在 t 处可导，那么r(t) 在 t 处延续.
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与一元数量函数类似，可以进一步定义向量值函数的 高阶Байду номын сангаас数，如 r(t)的二阶导数定义为 r ( t ) 的导数, 即:
r ( t) f( t) i g ( t)j h ( t) k .
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例6 求空间曲线 :xt,yt2,zt3在点(1, 1, 1)处的 切线方程与法平面方程．
解 由于 x1,y2t,z3t2,且点(1,1,1) 与 t = 1对应,
所以，在点(1, 1, 1)处曲线的切线向量为 T(t)(1,2,3), 因此，所求切线方程为
(3) d[ku(t)]ku(t); dt
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(4 )d [f(t)u (t)] f(t)u (t) f(t)u (t); d t
(5 )d [u (t)v (t)] u (t)v (t) u (t)v (t); d t
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可导的向量值函数 r = r (t) 的微分定义为 drr(t)dt.
对于可导的二维向量值函数 r(t)f(t)ig(t)j, d r d f ( t ) i d g ( t ) j f ( t ) d t i g ( t ) d t j .
明显地，r ( t ) 也是一个向量值函数．假设向量值函
数 r(t) 在 t 处可导，那么r(t) 在 t 处延续.
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与一元数量函数类似，可以进一步定义向量值函数的 高阶Байду номын сангаас数，如 r(t)的二阶导数定义为 r ( t ) 的导数, 即:
r ( t) f( t) i g ( t)j h ( t) k .
8.5向量值函数在定向曲面上的积分
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
为向量值函数 F ( x, y, z )在定向曲面 上的积分或第 二类曲面积分 , 记为： F ( x, y, z ) dS
R( x, y, z ) cos dS 同时存在 , 则称积分 [ P( x, y, z ) cos Q( x, y, z) cos R( x, y, z) cos ]dS
流量
实例: 流向曲面一侧的流量.
A
en
A | v | cos
Av en
（2）设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
由方程 y = y(z,x) 表示的曲面分左侧和右侧， 封闭曲面分内侧和外侧.
曲面法向量的指向决定曲面的侧. 规定:定向曲面上任一点处的法向量的方向总是 指向曲面取定的一侧.
若光滑曲面 的方程为： z( x, y ) , z 取上侧 , 则法向量 n 的指向朝上 , 即： n ( z x ( x, y ) , z y ( x, y ) , 1 ) , 取下侧 , 则法向量 n 的指向朝下 , 即： n ( z x ( x, y ) , z y ( x, y ) , 1 ) ,
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因此一元向量值函数在物理上是质点运动的轨迹，
几何上表示空间一条曲线。
z
（2)当 Rr (t ) 0时, 得r平面向量r 值函数
f ( x) P( x)i Q( x) j , x I x
O
M(x,y,zy)
二、一元向量值函数的极限、导数、积分
设 f ( x ) P ( x ) i Q ( x ) j R ( x ) k { P ( x ) Q ( x ) , R ( x ) , }
r
rr
( 3 ) f ( x ) d x P ( x ) d x ,Q ( x ) d x ,R ( x ) d x F(x)C;
br
b
b
b
rr
(4 )f(x )d x { P (x )d x ,Q (x )d x ,R (x )d x } F (b ) F (a ).
a
a
a
a
dF
f (t)
u ( u vv ) uu 11 (v x1 ) vu 11 (v x1 ) u 2 u v 2 2( xu )2 vv 2 2( x)u ,v u v
3、一元向量值函数导数的物理意义与几何意义 r r ( t) x ( t) i r y ( t) r j z ( t) k r
0
23 4
2、一元向量值函数求导运算法则
(1)(C) 0,其中C是常向量； （2）(aub v) au b v,a,b是常数； （3）(uv) uvuv;
(4)(uv) uvuv;
(5)r r((t)),dr drd (r r(s),s (t)).
仅证3） （ ,并且 dtu 设 ,vd是 s dt平面向量： u {u1(x),u2(x)}v, {v1(x),v2(x)}则 ,
dt
设 f ( x ) P ( x ) i Q ( x ) j R ( x ) k { P ( x ) Q ( x ) , R ( x ) , }
r
r
r
注 ： d f(x)lim f(x x)f(x)
d x x 0
x
lx im 0 1 x P (x x),Q (x x),R (x x)P (x),Q (x),R (x)
一、向量值函数的概念
r
空 间 曲 线 的 切 向 量 ： T x ( t ) ,y ( t ) , z ( t )
空间F 曲 (x,y面 ,z)0的法向 n{量 F,： F,F} x y z
定 义1 设I是 一 个 区间 V3是 ，一 个 三 维 向 量 空
向 从I量 到V值 3的函映数射，， f即 记 f:,I称 为 为 V 3,定
位移 r r (t 向 t) r (量 t),
dr是质点运动的速度，向量
dt
dr (x(t))2 (y(t))2 (z(t))2是速度的大小，
dt
(dr )0
{x(t),y(t),z(t)} 是速度的方向。
dt
(x(t))2 (y(t))2 (z(t))2
r r ( t) x ( t) i r y ( t) r j z ( t) k r
r
rr r
f ( t ) d t t d ti t 2 d tj t3 d tk
t2 r t3 r t4 r ur
i j kC.
23 4
1f (t)d t1ti t2 j t3 k d t
0
0
1td tir1t2 d tr j1t3 d tk r
1ir 1
r j
1
r k.
0
0
r ( 1 ) l i m f ( x ) { l i m P ( x ) ,l i m Q ( x ) ,l i m R ( x ) } ;
x x 0 x x 0 x x 0 x x 0
d f d P d Q d R dd Pd QR (2 ) i jk { , , }; dx dx dx dxdd xd xx
从几何上看，当drr
r 0时，
d0 {x(t0), y(t0),z(t0)}是曲线rr(t)
参数增加 的方向
rO(r t()trt) Q
P
在M(x(t), y(t),z(t))处的切线的方向向量，
r
r
考 察 r : 无 论 t 0 , 还 是 t 0 , r 都 与 参 数 增 加 的 方 向 一 致 ，
义I上在的
一
元
f(x ) P (x )i Q (x )j R (x )k , x I
或 者 f(x ) { P ， (x ) ， Q (x ) ， R (x )}x , I
其 P 中 (x),Q(x),R(x)称 f为 的 坐 标 ， 是 通
元数量值函数。
注：（1）一元向量值函数的物理意义与几何意义
本章内容
第一节 向量值函数的概念与性质； 第二节 第二类曲线积分的概念与计算； 第三节 格林公式及其应用 第四节 第二类曲面积分的概念与计算； 第五节 高斯公式与斯托克斯公式；
第十章 第一节 向量值函数的概念与性质
本节主要内容
一、一元向量值函数的概念 二、一元向量值函数的导数与积分 三、多元向量值函数
设起点在原O点(0,0,0),终点在M(x, y, z)
的 向 量 记 为 r, 质 点 运 动 的 参 数 方 x x(t), y y(t),z z(t), t
则 质 点 的 位 置 变 化 可示表为
程： ,
x y z
x ( t ), y ( t ), z ( t ),
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k, t .
即df {dP,dQ,dR} dx dx dx dx
例 f( t) ： ti t2 j 设 t3 k .
r
rrr r r r
则 有 ： lim f( t) lim ti t2 j t3 k2i4j8k
t 2
t 2
d d tfr(t)d d t tirt2r jt3k rir2tr j3t2k r
l x 0 iP ( m x x x ) P ( x ) , l x 0 iQ ( m x x x ) Q ( x ) , l x 0 iR ( m x x x ) R ( x )
d dP x,d d Q x,d dR x d dP xird d Q xr jd dR xk r r