第八章 向量值函数的曲线积分与曲面积分(1)
曲线积分与曲面积分复习
第8章 曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 →→→→⋅=⋅=l F l F w θcos ||||变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→||，则⎰++=LQdy Pdx W 。
平面曲线⎰++LQdy Pdx ，空间曲线⎰+++LRdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-+=LL一、计算方法1．设参数，化定积分⎰Ldx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{1⎰'+'2．平面闭曲线上积分－用格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。
3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。
下列四个命题等价 （1）⎰+CQdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .（2）⎰+LQdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+BA LLu du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰（4）x Qy P∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题1．基础题目，设参数，化定积分（1） 计算⎰-=Lydx xdyI ，:L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法⎰∑⎰==Li L i51于1L 上 设t x cos =，t y sin =⎰⎰-=+=-02222)sin (cos 1ππdt t t ydx xdy L于2L 上 设t x cos =，t y sin 2=⎰⎰=⋅+⋅=-2)sin sin 2cos 2(cos 2ππdt t t t t ydx xdy L于3L 上 以x 为参数，xdxdy 2-=⎰⎰-=---=-22238)]2()2([3dx x x x ydx xdy L于4L 上 以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰-=-=-1224dy ydx xdy L 于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰⎰-=--=-022)1(5dx ydx xdy L综上231423+=-⎰πLydx xdy解（2）（用格林公式）)(224321S S S S dxdyydx xdy DL+++==-⎰⎰⎰231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+=πππ（2） 计算 ⎰++=Cdz x dy z dx y I 222。
第八章 曲线积分和曲面积分题目+简案
的封闭曲线， L 的方向为逆时针方向。
答案：（1）18
（2）16 （3） 2
五、证明： (2x sin y)dx x cos ydy 是某一函数的全微分，并求出一个原函数．
答案：所求原函数为 x2 x sin y C . ( C 为任意常数).
六、⑴在全平面上，证明:曲线积分 y2exdx 2 yexdy 与路径无关，并求 y2exdx 2yexdy L
L
L
P(
x,
y)
2x x2 Q(x, y)(1 x) ds .
十、证明：曲线积分有估计式 P(x, y)dx Q(x, y)dy LM ，其中L 为积分路径的长度， L
M max P2 Q2 . ( x, y)L
答案：证明略.
十一、计算下列曲面积分。
（1）计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的
z
顶部．
（2）计算曲面积分 (xz 36x2 9 y2 4z2 )dS, 其中 是 x2 y2 z2 1，其面积为 A.
49
（3）计算 I (x z2 )dydz zdxdy ，其中 是 z 1 (x2 y2 ) 介于平面 z 0 及 z 2
3. 设 为球面 x2 y2 z2 1，则 3x2ds 4 ．
1 4. 设 u ln x2 y2 z2 ，则 div(gradu) x2 y2 z2 ．
5. 设 是有向光滑曲面，则第二型曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy 化为第一型曲面积
(x2 y 2 z )2 3
曲线积分和曲面积分
第八章 曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。
由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。
§1 第一型曲线积分与曲面积分１． 第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。
我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。
为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。
在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。
最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义 定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。
每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。
在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。
第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。
曲线积分与曲面积分的概念与计算
曲线积分与曲面积分的概念与计算在数学中，曲线积分和曲面积分是两个重要的概念，用于描述曲线和曲面上的各种物理量的计算。
本文将详细介绍这两个概念的定义以及计算方法。
1. 曲线积分的概念与计算曲线积分用于计算曲线上的矢量场或标量场沿曲线的积分值，常用于求解沿路径的功、电磁感应等问题。
曲线积分可以分为第一类和第二类，下面将分别介绍。
1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分可以用于计算矢量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C F·ds其中，C表示曲线，F表示矢量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度，F·ds表示矢量场F与ds的点积。
要计算第一类曲线积分，首先需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算标量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C f ds其中，C表示曲线，f表示标量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度。
要计算第二类曲线积分，同样需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2. 曲面积分的概念与计算曲面积分用于计算曲面上的矢量场或标量场通过曲面的通量或质量的计算。
曲面积分同样可以分为第一类和第二类，下面将一一介绍。
2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算矢量场通过曲面的通量，其计算公式如下：∬S F·dS其中，S表示曲面，F表示矢量场，dS表示曲面S上的一小块面积，F·dS表示矢量场F与dS的点积。
要计算第一类曲面积分，首先需要确定曲面S的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分用于计算标量场通过曲面的质量，其计算公式如下：∬S f dS其中，S表示曲面，f表示标量场，dS表示曲面S上的一小块面积。
高等数学《曲线积分与曲面积分》习题课
L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
的侧面积.
解 由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
2
解
z
y 1绕y轴旋转面方程为
x 0
y 1 z2 x2
(如下图)
欲求
I
(8
y
1) xdydz
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
P Q R
*
(
x
y
z
)dxdydz
x
2
o1
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
2
2
3
dxdz
D
8
a 0 dx (e x m) 0 0, OA 0
M
A(a,0) x
I
m a2 0 m a2.
AMOA OA
8
8
曲面面积的计算法
z
z f (x, y) S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
a
bo
A
s LB
y
x S dS
1
z
2 x
z
2 y
曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中两个重要的概念。
曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，而曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。
本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用。
一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算。
通常将曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
1. 第一类曲线积分第一类曲线积分用于计算曲线上的标量场函数。
对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数f(x,y,z)在C上可微分，则第一类曲线积分的计算公式为：∫_[C]f(x,y,z)ds=∫_a^bf(x(t),y(t),z(t))∥r'(t)∥dt其中，ds表示曲线上的微元弧长，∥r'(t)∥表示曲线C的切向量的长度。
2. 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算曲线上的矢量场函数。
对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数F(x,y,z)在C上连续，则第二类曲线积分的计算公式为：∫_[C]F(x,y,z)·dr=∫_a^bF(x(t),y(t),z(t))·r'(t)dt其中，·表示矢量的点乘运算，dr表示曲线上的微元矢量。
二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。
同样，曲面积分也分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
1. 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算曲面上的标量场函数。
对于参数化曲面S：r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))，其中(u,v)属于区域D，函数f(x,y,z)在S上可微分，则第一类曲面积分的计算公式为：∬_[S]f(x,y,z)dS=∬_Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∥r_u×r_v∥dudv其中，dS表示曲面上的微元面积，r_u和r_v表示曲面S的参数方程关于u和v的偏导数，r_u×r_v表示两个偏导数的叉乘，∥r_u×r_v∥表示其长度。
高等数学练习册第八章习题参考答案(1)
解 令x a cos t, y a sin t,
I
2 0
1 a2
[a 2
(cos
t
sin
t
)(
sin
t
)
(cos
t
sin
t
)
cos
t
]dt
2
0 dt 2 .
p55. 2.计算 ( x2 2xy)dx ( y2 2xy)dy,其中 L
L为抛物线y x2上从点(1,1)到点(1,1)的一段弧.
C
(2)曲线弧C的重心坐标为
xG
1 x( x, y)ds
MC
,yG
1 y( x, y)ds .
MC
p51.2.设光滑曲线L关于x轴对称, L1是L在x轴上方的部分, (1)若f ( x, y)在L上连续,且关于y为奇函数,则Biblioteka f ( x, y)ds 0 ; L
(2)若f ( x, y)在L上连续,且关于y为偶函数,
(1)当p点从点A(a , 0)经位于第一象限的弧段到 B(0,b)时, F所作的功;
(2)当p点经过全椭圆时,F所作的功.
p56. 解 F | F | F 0 x2 y2 ( x , y ) x2 y2 x2 y2
( x, y),
(1) W F d s ( x)dx ( y)dy
0
22
a2
2
| cos
t
| dt
2a 2
2 cos udu 2a2 .
20
2
0
p52. 3.计算 | xy | ds,其中L :圆周x2 y2 a2. L
解法1
I 4
2
a3
sin t
曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，它们在物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的定义、计算方法以及应用。
一、曲线积分曲线积分是沿曲线上的各点对一个矢量场进行积分的操作。
它可以帮助我们计算曲线周围矢量场的某种性质，如流量、环量等。
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
1. 第一类曲线积分第一类曲线积分又称为曲线上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。
设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。
对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第一类曲线积分的定义为：∫[f(x,y,z)]•ds=∫[f(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[f(x,y,z)]为被积函数，ds为曲线C上各点的弧长元素，r'(t)为曲线C在P点处的切向量。
2. 第二类曲线积分第二类曲线积分又称为曲线上的矢量场积分，计算是将矢量场与切向量进行点积。
设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。
对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第二类曲线积分的定义为：∫[F(x,y,z)]•dr=∫[F(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[F(x,y,z)]为矢量场，dr为曲线C上各点的位置矢量元素，即dr=r'(t)dt。
二、曲面积分曲面积分是在曲面上对一个矢量场或标量场进行积分的操作。
它可以帮助我们计算曲面上矢量场的通量、曲面的面积等。
曲面积分同样可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
1. 第一类曲面积分第一类曲面积分又称为曲面上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。
设曲面S的参数方程为x=g(u,v)，y=h(u,v)，z=k(u,v)，其中D 为曲面S在(u,v)平面上的投影区域。
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在G内与所取曲面 无关而只取决于 的边界曲线（或沿G内任一闭曲面的曲面积分为零）的充分必要条件是 （4）
在G内恒成立.
证类似于第三节第二目的证明.
2.通量与散度
设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由
给出，其中 假定具有一阶连续偏导数， 是速度场中的一片有向曲面，又
＝ .（8）
现在，斯托克斯公式可写成向量的形式
，
或
，（9）
其中
为 在 的法向量上的投影，而
为向量 在 的切向量上的投影.
沿有向闭曲线 的曲线积分
叫做向量场 沿有向闭曲面 的环流量.斯托克斯公式（9）现在可叙述为：向量场 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 的旋度场通过 所张的曲面 的通量,这里 的正向与 的侧应符合右手规则.
.
计算 。 的方程为 ，其在xOy平面的投影区域 ： ，又曲面的面积元素
所以
＝
例8计算 ，其中L是 从点 到点 的上半圆弧， 为常数.
解我们补一条直线 ，得闭曲线 ，从而可以是呀格林公式
＝
＝ 图8－23
＝
其中 为半圆
又 ，故
例9计算 ，其中 为任一不经过原点的闭曲面的外测.
解因为 ，所以
（1）当 不包围原点时，由高斯公式即得 ＝0。
在计算 时， 可分为两块，即右面一块 和左面一块 ， 在zOx平面上的投影为正， 在zOx平面上的投影为负，其投影区域 相同.故
在计算 时，注意被积函数 中， ， 在xOy平面上的投影为负，投影区域 可用极坐标表示为 ，故
例7计算 ，其中 是平面 在第一卦限部分的上侧.
解因为 取上侧，因此法向量n与z轴正向的夹角为锐角，其方向余弦是 ，则有
解这里P=xy,Q=y ,R=xz
divA=
于是
div
8.5.2向量场的旋度
1．空间曲线积分与路径无关的条件
定理2设空间区域G是一维单连通域，函数 在G内具有一阶连续偏导数，则空间曲线积分 在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是
（5）
在G内恒成立.
证略
定理3设区域G是空间一维单连通区域，函数 在G内具有一阶连续偏导数，则表达式 在G内成为某一函数 的全微分的充分必要条件是等式（5）在G内恒成立；当条件（5）满足时，这函数（不计一常数之差）可用下式求出：
证由两类曲线积分的联系和性质，有
例5求面密度为常数 的均匀抛物面壳 的重心坐标.
解由抛物面 的对称性和均匀性知，重心坐标中 ，下面求坐标 .
抛物面 在xOy平面上的投影区域 为 ，故有
所以
重心坐标为
例6计算 其中 是锥面 被平面 和 所截得的部分的下侧.
解在计算 时， 可分为两块，即前面一块 和后面一块 ， 在yOz平面上的投影为正， 在yOz平面上的投影为负，其投影区域 相同.见图9－22.故图8－22
（2）当 包围原点时，取 的外测，
由高斯公式，得 ＝ 。
而
即
例10计算 ，其中 ， 是锥面 在xOy平面上方的部分，n是 的上侧的单位法向量.
解曲面 与xOy平面的交线（即其边界）为 ，并取 为逆时针方向.
由斯托克斯公式，知
＝ ，
在 和 所围成的平面 上，对上式右端闭路积分再次应用斯托克斯公式，得
，其中
是 在点 处的单位法向量，则由第五节第一目知道，单位时间内流体经过 流向指定侧的流体总质量 可用曲面积分来表示：
其中 表示流体的速度向量 在有向曲面 的法向量上的投影.如果 是高斯公式（1）中闭区域 的边界曲面的外测，那么公式（1）的右侧可解释为单位时间内离开闭区域 的流体的总质量.由于假定流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开 的同时， 内部必须有产生流体的“源头”产生同样多的流体来进行补充.所以高斯公式左端可解释为分布在 内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量.
为便于记忆， 的表达式（8）可利用行列式记号形式地表示为
＝ .
周 .
解利用L的极坐标方程
被积函数
，于是
图8－20
例2计算 ，其中L是圆周 .
解利用曲线积分的性质，得
＝ ＋
对于 ，因为积分曲线L是关于y轴对称的，被积函数 是L上关于 的奇函数，所以 ＝0.
为简便起见，把高斯公式（1）改写成
以闭区域 的体积V除上式两端，得
上式左端表示 内的源头在单位时间内所产生的流体质量的平均值。应用积分中值定理于上式左端，得
，
这里 是 内的某个点.令 缩向一点 ，取上式的极限，得
上式左端称为v在点M的散度，记作 ，即
在这里可看作稳定流动的不可压缩流体在点M的源头强度—在单位时间内所产生的流体质量.如果 为负，表示点M处流体在消失.
例3计算 ，其中 为 ，取逆时针方向.
解积分路径如图8－21，利用对称性。将原式分成两部分，即
第一个积分，曲线关于 轴对称，L在上半平面部分的走向与L在下半平面部分的走向相反(前者 ，后者 )，被积函数是y的偶函数。
第二个积分，曲线关于 轴对称，L在右半平面部分的走向与L在左半平面部图8－21
分的走向相反(前者 ，后者 )，被积函数是x的偶函数。所以两个积分均为零.即 ＝0
对于 ，因为积分曲线L是关于 轴也是对称的，被积函数 是L上关于y的奇函数，所以 ＝0.
综上所述，得 ＝0.
关于对称性的一般法则
设函数 在一条光滑（或分段光滑）的曲线L上连续，L关于y轴（或x轴）对称，则
（1）当 是L上关于x（或y）的奇函数时， ；
（2）当 是L上关于x（或y）的偶函数时， ，其中曲线 是曲线L落在y（或x）轴一侧的部分。
例11设函数 有连续的导数，且曲线积分 与路径无关，求 。*
解由于积分与路径无关，所以 ，从而 。
由一阶线性微分方程的通解公式，有
例12设函数 有连续的导数，满足条件 ，且曲线积分 与路径无关，求 。并计算 *
解由于积分与路径无关，所以 ，从而 。
由一阶线性微分方程的通解公式，有 。
又 ，所以c=0,从而 。
一般地，设某向量场由
给出，其中 具有一阶连续偏导数， 是场内的一片有向曲面，n是 在点 处的单位法向量，则 叫做向量场 通过曲面 向着指定侧的通量（或流量），而 叫做向量场 的散度，记作 ，即
高斯公式现在可以写成
，
其中 是空间闭区域 的边界曲面，而
是向量 在曲面 的外测法向量上的投影.
例1设向量场A(x,y,z)=(xy,y ,xz)，求A(x,y,z)在点(0, 1, 0)处的散度divA。
（6）
或用定积分表示为（按图10－29取积分路径）
（6’）
其中 为G内某一定点，点
2.环流量与旋度
设斯托克斯公式中的有向曲面 在点 处的单位法向量为
而 的正向边界曲线 在点 处的单位切向量为
则斯托克斯公式可用对面积的曲面积分及对弧长的曲线积分表示为
（7）
设有向量场
在坐标轴上的投影分别为
的向量叫做向量场 的旋度，记作 ，即
上述结论再一般情况下也成立.
对坐标的曲线积分，当平面曲线L是分段光滑的，关于 轴对称，L在上半平面与下半平面部分的走向相反时，
（1）若 （即 为 的偶函数），则 ；
（2）若 （即 为 的奇函数），则 ，其中 为L的上半平面的部分.
类似地，对 的讨论也有相应的结论.
例4设 ， 在光滑的有向曲线 上连续，L为曲线弧 的弧长，而 ，证明
8.5
8.5.1向量场的散度
1．沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
对于曲面积分 在怎样的条件下与曲面 无关而只取决于 的边界曲线？这问题相当于在怎样的条件下，沿任意闭曲面的曲面积分为零？
对空间区域G，如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G，则称G是空间二维单连通区域；如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面，则称G是空间一维单连通区域.