【数学建模学习】Matlab的数值积分
(完整版)MATLAB数值积分解读
定积分：函数f (x)在区间[a, b]上的定积分定义为
其中
b
n
I
a
f (x)dx lim max(xi )0 i1
f (i )xi
a x0 x1 L xn b, xi xi xi1,
i (xi1 , xi ), i 1, 2,L , n
6.1 数值积分基本原理
例2 求定积分:
x sin x
dx
0 (1 cos x cos x)
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2) 调用函数quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)
例3
分别用quad函数和quad8函数求定积分
分别为x的上、下限，c,d分别为y上、下限。
例5 计算二重定积分
x2
2 1 e 2 sin( x2 y)dydx 2 1
(1) 建立一个函数文件fxy.m：
function f=fxy(x,y)
global ki;
ki=ki+1;
%ki用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变 量名n
用这种格式定义符号变量时不要在变量名 上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用 逗号分隔。立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。
建立符号表达式有以下3种方法： (1) 利用单引号来生成符号表达式。 (2) 用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
matlab高斯数值积分
matlab高斯数值积分
在MATLAB中，可以使用函数`integral`来计算高斯数值积分。
`integral`函数可以用于计算定积分，也可以用于计算无穷积分。
以下是使用`integral`函数计算高斯数值积分的示例代码：
```matlab
fun = @(x) exp(-x.^2); % 定义被积函数
a = -inf; % 积分下限（可以是负无穷）
b = inf; % 积分上限（可以是正无穷）
result = integral(fun, a, b);
在上面的示例中，我们定义了一个被积函数`fun`，然后使用`integral`函数计算了这个函数在负无穷到正无穷之间的高斯数值积分。
计算结果会保存在变量`result`中。
如果需要计算定积分，只需将积分上下限`a`和`b`设置为具体的数值即可：```matlab
fun = @(x) exp(-x.^2); % 定义被积函数
a = 0; % 积分下限
b = 1; % 积分上限
result = integral(fun, a, b);
在实际使用中，还可通过设置`'RelTol'`和`'AbsTol'`选项来控制积分的精度。
MATLAB数值计算-第6章-数值积分
MATLAB数值计算(读书日记及程序编写)第六章数值积分 (2)第六章 数值积分#什么是数值积分对于函数()dx x f I ba ⎰= 只要找到被积分函数f(x)的原函数F(x),通过牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式： ())()(b F a F dx x f I ba -==⎰ 但是实际使用这种求积方法往往很困难，大量的被积函数如()0sin ≠x xx 、2x e -等等，原函数是不能使用初等函数来表达，所以不能使用上述公式。
有时候即使求得被积函数的原函数，其公式非常复杂，导致积分的计算也很困难。
如被积函数611)(xx f +=，其原函数为： ()C x x x x x x x x F ++-+++-+=1313ln 341)1arctan(61arctan 3122数值积分的基本思路：通过求面积的方式得到来得到近似的积分值。
Numerical Integration(数值积分)Quadrature(数值积分) （求积分，求面积）quad 是什么意思？#基本的数值积分公式：梯形法则和中点法则是最低准确度，辛普森法则加入了中点，精度提高，通过加入更多的点，当然得到了更高的精度。
中点法则)b a hf(M 2+= 对于3131103102==⎰x dx x 41)210(122=+⨯=+=)b a hf(M 误差为1/12梯形法则)f(b)f(a)hf(M 2+= 对于3131103102==⎰x dx x2121012=+⨯=+=)()f(b)f(a)h(M 误差为1/6辛普森法则上述现象具有普遍性，如果中点法则(M)是梯形法则(T)准确性的-2倍，这样得到新的积分法则S-T=-2(S-M)得到S=2/3M+1/3T对应的可以由两个端点a,b 和中点c=(a+b)/2推出辛普森法则)46f(b)f(c)(f(a)h S ++=复合辛普森法则如果将面积S 再分成两半[a,c],[c,b],再多执行一次，令d 和e 分别为两半的中点d=(a+c)/2, e=(c+d)/2,在两个区间上再使用辛普森法则，得到整个的公式为：))(424122b f f(e)f(c)f(d)(f(a)h S ++++=外推辛普森法则（Weddle 法则，六阶的牛顿-科斯特法则(Newton-Cotes Ruler)15)/-(22S S S Q +=组合梯形、组合辛普森等分段式的方法#辛普森积分公式的应用：要计算函数 x^2 在（0，2）内的积分，===⎰0)-2(31313203202x dx x 2.6667 将函数写成：function y=square(x)y=x.*x;调用函数，>> y=quad(@square,0,2)y =2.6667也可以f=@(x)x.^2quad(f,0,2)function y=aaa(x)y=1./(3*x-1);对于[1,1.5]区间的积分，可以得到>> y=quad(@aaa,1,1.5)y =0.1865对于[0,1]区间的积分，中间出现了无穷大(x=1/3)的时候y=quad(@aaa,0,1)Warning: Infinite or Not-a-Number function value encountered. > In quad at 109y =Inf#内置函数可以不采用调用函数，而采用内置函数的形式。
matlab 数值积分
matlab 数值积分
matlab 数值积分是利用数值方法来计算求解数学积分的一种方法。
matlab有三种通用的数值积分方法，分别为：梯形法、Simpson's 法和
三点Newton-Cotes法。
梯形法：梯形法是一种简单、快速的数值积分算法，在数值积分上不
需要计算积分函数的导数，即可应用梯形法来进行积分。
梯形法的基本思
想是将曲线上的积分任务转化为一系列的梯形的积分，从而计算出积分的
数值结果。
Simpson's 法：Simpson's 法是一种积分方法，基于把被积函数用
多项式拟合，然后根据拟合出来的多项式进行积分，以计算出积分的数值
结果。
Simpson's 法相比梯形法精度更高，因为它不仅考虑了曲线开始和
结束处的截面，而且还考虑了曲线中间部分的截面。
三点Newton-Cotes法：三点Newton-Cotes法属于更精确的数值积分
的方法，该算法基于将被积函数用三次样条拟合，然后根据拟合出来的三
次样条进行积分，以计算出积分的数值结果。
因为它考虑了曲线的截面的
情况，所以比梯形法和Simpson's 法的精度都要高。
通过matlab可以非常方便地对函数进行数值积分，其中包括梯形法、Simpson's 法和三点Newton-Cotes法三种常用的方法，这些算法都可以
运用在积分运算中，用于将曲线上的积分任务转化为一系列的梯形、多项
式或样条的积分，以计。
matlab中积分的命令
matlab中积分的命令Matlab中有多种命令可以用于数值积分，本文将介绍其中几个常用的积分命令，包括quad、quadl、quadgk和integral。
这些命令可以用于一维和多维积分，可以求解定积分和非定积分。
一、quad命令quad命令用于求解一维定积分，其语法为：Q = quad(fun,xmin,xmax)其中fun为要积分的函数句柄，xmin和xmax为积分的下限和上限。
quad命令使用自适应的数值积分方法，可以在较高的精度下求解积分。
二、quadl命令quadl命令也用于求解一维定积分，其语法为：Q = quadl(fun,xmin,xmax)quadl命令使用高斯-勒让德求积法，可以在较高的精度下求解积分。
与quad命令相比，quadl命令在处理某些特定类型的函数时更为准确和稳定。
三、quadgk命令quadgk命令用于求解一维非定积分，其语法为：Q = quadgk(fun,xmin,xmax)quadgk命令使用高斯-科特斯求积法，可以在较高的精度下求解非定积分。
与quad命令和quadl命令相比，quadgk命令对积分区间的长度不敏感，适用于各种类型的函数。
四、integral命令integral命令用于求解一维定积分和非定积分，其语法为：Q = integral(fun,xmin,xmax)integral命令根据输入的积分区间长度自动选择合适的数值积分方法，可以在较高的精度下求解积分。
与quad命令、quadl命令和quadgk命令相比，integral命令更加智能化，可以根据积分函数的特点自动调整积分算法。
除了以上介绍的命令外，Matlab还提供了其他一些用于数值积分的命令，如dblquad、triplequad和quad2d等。
这些命令可以用于求解二维和多维积分，适用于更复杂的问题。
在使用这些积分命令时，需要注意以下几点：1. 积分区间的选择：根据积分函数的特点选择合适的积分区间，以确保求解的准确性和稳定性。
matlab数值积分
Matlab数值积分引言数值积分是一种计算近似定积分的方法，通过将积分区间划分成若干小区间并计算每个小区间上的函数面积之和来逼近定积分的值。
Matlab提供了多种数值积分的方法，使得用户能够方便地进行数值积分计算。
本文将介绍Matlab中常用的数值积分函数和方法，并通过示例演示其具体用法。
数值积分函数在Matlab中，常用的数值积分函数有： - quad：用于一维定积分的自适应数值积分函数。
- dblquad：用于二维定积分的自适应数值积分函数。
- triplequad：用于三维定积分的自适应数值积分函数。
- quad2d：用于二维定积分的数值积分函数（不支持自适应）。
- integral：用于一维定积分的自适应数值积分函数（推荐使用quad替代）。
接下来将分别介绍这些函数的用法。
一维定积分quad函数quad函数是Matlab中用于一维定积分的自适应数值积分函数。
其语法如下：[q,err] = quad(fun,a,b)[q,err] = quad(fun,a,b,tol)[q,err] = quad(fun,a,b,tol,[],p1,p2,...)•fun是用于计算被积函数的句柄或函数名称。
•a和b是积分区间的上下限。
•tol是计算精度（可选参数，默认值为1e-6）。
•p1,p2,...是传递给函数fun的额外参数（可选参数）。
quad函数将返回两个值： - q是定积分的近似值。
- err 是估计的误差。
下面是一个使用quad函数计算一维定积分的示例：fun = @(x) exp(-x.^2); % 定义被积函数a = 0; % 积分下限b = 1; % 积分上限[q,err] = quad(fun,a,b); % 计算积分disp(['定积分的近似值：', num2str(q)]);disp(['估计的误差：', num2str(err)]);integral函数integral函数是Matlab中用于一维定积分的自适应数值积分函数，与quad函数功能类似。
MATLAB第十二讲 数值积分
于是得到梯形公式(1.1)的余项为
(b a) R[ f ] f ( ), (a, b). （1.10） 12
25
对中矩形公式(1.2)，其代数精度为1，可以证明
R[ f ] K f ( ), (a, b),
其中
1 1 3 3 ab 2 (b a)3 K [ (b a ) (b a)( ) ] . 2 3 2 24
1
求积公式，试确定系数A0 , A1 , B0，使公式具有尽可能高的
代数精度.
解 确成立 当 f ( x ) 1时，得
A0 A1
1
根据题意可令f ( x ) 1, x, x 2 分别代入求积公式使它精
0 1 dx 1;
1
当 f ( x ) x时，得
1 A1 B0 xdx ; 0 2
18
当 f ( x ) x 2 时，得
1 A1 x dx . 0 3 1 2 1 解得 A0 , A0 , B0 ,于是得 3 3 6 1 2 1 1 0 f ( x )dx 3 f (0) 3 f (1) 6 f (0).
1 2
1 1 3 1 3 当 f ( x ) x 时， x dx . 而上式右端为 ，故公 3 0 4 式对 f ( x ) x 3不精确成立，其代数精度为2.
sin x ( x 0), e x 等，找不到用 （1）被积函数，诸如 x 初等函数表示的原函数，或者即使能求得原函数但原函数的
2
表达式非常复杂，计算困难； （2）当 f ( x)是由测量或数值计算给出的一张数据表
时，牛顿-莱布尼兹公式也不能直接运用. 因此有必要研究积分的数值计算问题.
matlab积分运算
matlab积分运算Matlab是一种功能强大的数值计算软件，其中包含了丰富的积分运算函数。
积分运算在数学中是一种常见的数值计算方法，它可以用来求解函数的面积、曲线的弧长、物体的质量等问题。
在Matlab 中，我们可以使用不同的积分函数来进行数值积分运算，下面我将详细介绍一些常用的积分运算函数及其用法。
我们来介绍一下Matlab中最基本的积分函数——int。
int函数的基本语法为int(fun,xmin,xmax)，其中fun是被积函数，xmin和xmax分别是积分区间的下限和上限。
int函数将根据被积函数在积分区间的取值情况，自动选择适当的积分算法进行计算。
下面是一个简单的例子，演示了如何使用int函数计算函数y=x^2在区间[0,1]上的积分：```fun = @(x) x.^2;xmin = 0;xmax = 1;result = int(fun,xmin,xmax);disp(result);```上述代码中，我们首先定义了一个匿名函数fun，它表示被积函数y=x^2。
然后，我们指定了积分区间的下限xmin和上限xmax。
最后，调用int函数进行积分运算，并将结果保存在result变量中。
通过disp函数，我们可以将计算得到的积分结果输出到命令窗口中。
除了int函数，Matlab还提供了其他一些常用的积分函数，如quad、quadl、quadgk等。
这些函数在计算积分时采用了不同的算法和策略，适用于不同类型的积分问题。
例如，quad函数适用于计算一般的积分问题，quadl函数适用于计算具有奇点的积分问题，quadgk函数适用于计算具有高度非线性函数的积分问题。
下面是一个使用quad函数计算函数y=sin(x)在区间[0,pi]上的积分的例子：```fun = @(x) sin(x);xmin = 0;xmax = pi;result = quad(fun,xmin,xmax);disp(result);```在上述代码中，我们定义了一个匿名函数fun，它表示被积函数y=sin(x)。
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Matlab 的数值积分问题
（１）求和命令sum 调用格式.
如果x 是向量,则sum(x) 给出x 的各个元素的累加和;如果x 是矩阵,则sum(x)是一个元素为x 的每列列和的行向量.
例3.1 调用命令sum 求向量x 的各个元素的累加和。
解:输入
x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];
sum(x)
得到
ans=55
例3.2 调用命令sum 求矩阵x 的各列元素的累加和。
解:输入
x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
x=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
sum(x)
得到
ans=12 15 18
2．定积分的概念.
定积分是一个积分和的极限.
例如取x e x f =)(,求定积分⎰10dx e x
的近似值。
积分区间为[0,1],等距划分为20个子区间,
x=linspace(0,1,21);
选取每个子区间的端点,并计算端点处的函数值.
y=exp(x);
取区间的左端点处的函数值乘以区间长度全部加起来.
y1=y(1:20);
s1=sum(y1)/20
s1=1.6757
s1可作为定积分⎰10dx e x 的近似值。
若选取右端点:
y2=y(2:21);
s2=sum(y2)/20
s2=1.7616
s2也可以作为定积分⎰10dx e x 的近似值。
下面我们画出图象.
plot(x,y);hold on
for i=1:20
fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],'b')
end
如果选取右端点,则可画出图象.
for i=1:20
fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i+1),y(i+1),0],'b')
hold on
end
plot(x,y,'r')
在上边的语句中,for … end 是循环语句,执行语句体内的命令20次,fill 命令可以填充多边形,在本例中,用的是兰色(blue)填充.
可试取50个子区间看一看结果怎样.下面按等分区间计算。
syms k n
s=symsum(exp(k/n)/n,k,1,n);
limit(s,n,inf)
得结果
ans=exp(1)-1
3．计算定积分
例3.6 计算⎰10dx e x .
解:输入命令:
syms x;
int(exp(x),0,1)
得结果
ans=exp(1)-1.
这与我们上面的运算结果是一致的.
⒈ 由给定数据进行梯形求积
假设已经建立起向量T N T N y y y y x x x x ],,,[,],,,[2121 ==，则可用以下语句进行梯形求积：
sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2
MATLAB 提供的trapz()函数也可直接用梯形法求解积分问题，该函数调用格式为 S=trapz(x,y)
[例1-6-17] 试用梯形法求出),0(π∈x 区间内，函数sin(x),cos(x),sin(x/2)的定积分值。
[求解] >> x1=[0:pi/30:pi]'; y=[sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)];
x=[x1 x1 x1]; S=sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2
>> S1=trapz(x1,y)
[例1-6-18] 用定步长方法求解积分⎰2
/30)15cos(πdx x 。
[求解] 鉴于求解区域内被积函数有很强的振荡，可先用下述语句绘制被积函数的曲线。
>> x=[0:0.01:3*pi/2,3*pi/2];
y=cos(15*x); plot(x,y)
采用不同的步距，可分别得到积分近似结果。
>> syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % 求理论值
>> h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[]
for h=h0,
x=[0:h:3*pi/2,3*pi/2]; y=cos(15*x); I=trapz(x,y); v=[v;h,I,1/15-I]; end
例12：用不同方法计算12
1x
e dx ⎰ 解 用以下几种方法计算:
1)矩形公式和梯形公式
>> h=0.01; x=1:0.01:2; y=exp(1./x);
z1=sum(y(1:100))*0.01,
z2=sum(y(2:101))*0.01,
z3=trapz(x,y),
z4=trapz(y)*0.01
结果为z1=2.0254，z2=2.0147，z3=2.0201，z4=2.0201. 由此结果可以看出，梯形算法得到的结果z3和 z4为z1和z2的平均值.
2)辛普森公式
法一：先建立M －文件
%M 函数fun1.m
function y=fun1(x)
y=exp(1./x);
>> z5=quad('fun1',1,2)
法二：
>> f=inline('exp(1./x)','x'); z6=quad(f,1,2)
法一中，使用M-文件描述被积函数，法二中使用inline 函数描述被积函数
此外，单变量函数的数值积分还可以采用数值分析中的其他算法进行求解。
基于Simpson 算法，MATLAB 提供了函数quad()、quadl()等函数，具体实现方法可参见MATLAB 帮助系统。
对于双重积分问题的数值解，MATLAB 提供的dblquad()函数可直接求出，由以下示例可见。
[例1-6-19]求解双重积分⎰⎰---+1122
22/)sin(2dxdy y x e x 。
[求解] >> f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','x','y');
y=dblquad(f,-2,2,-1,1)
对于更一般的双重积分问题，可通过使用第三方数值积分工具箱实现。
对于三重定积分的数值求解，则可采用MATLAB 提供的triplequad()函数得出，方法类似上例。
[例1-6-20]用数值方法求解三重定积分问题⎰⎰⎰--1000224ππdzdydx xze z y x 。
[求解] >> triplequad(inline('4*x.*z.*exp(-x.*x.*y-z.*z)','x','y','z'), ... 0,2,0,pi,0,pi,1e-7,@quadl)
例13：计算三重积分(sin()cos())x y x z x dxdydz Ω
++⎰⎰⎰.
其中:0x πΩ≤≤，01,11x x ≤≤-≤≤
解：
>> format long; triplequad(inline('x+y*sin(x)+z*cos(x)'),0,pi,0,1,-1,1) ans =
11.869604395451995。