人教B版高中数学必修四高一同步训练：第三章三角恒等变换章末复习课
高中数学必修四(人教B版)练习：第三章 三角恒等变换3.1.1 Word版含解析
第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12C ．32D ．－12[答案] A[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．3．下列结论中，错误的是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )A ．x ≥yB ．x ≤yC ．x >yD ．x <y[答案] C[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y [答案] B[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365C ．－6365D ．6365[答案] B[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫35×513－45×1213＝3365. 二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.[答案]1－6210[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝265.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－6210.8．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．[答案] 14[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.三、解答题 9．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2)． 求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．[解析] 将sin α＋sin β＝310，两边平方得，sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9100①，将cos α＋cos β＝9110两边平方得，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91100②，①＋②得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.一、选择题 1.cos47°＋sin17°sin30°cos17°的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析]cos47°＋sin17°sin30°cos17°＝cos (30°＋17°)＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°＝32. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] C[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0， 即cos(A ＋B )<0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角． 又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( )A ．x ≤yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y[答案] B[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] [答案] B[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)∈[－3，3]．二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3 cos π6的值是________． [答案] 0[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos(π3＋π6)＝cos π2＝0.6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.[答案] －14[解析] ∵cos(α＋β)＝13，∴cos αcos β－sin αsin β＝13，①∵cos(α－β)＝15，∴cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②得⎩⎨⎧sin αsin β＝－115cos αcos β＝415，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，∴sin(α－30°)＝1－cos 2(α－30°)＝817，∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12＝153－834.8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3， 又∵a 与b 的夹角为60°，∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos (α－β)2×3＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝12.9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π6)，∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α，∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
人教版数学高一必修四练习第3章第9课时三角恒等变换复习
高中数学-打印版第三章 第 9 课时一、选择题1．若函数 f(x)＝(1＋ 3tan x)cos x,0≤x<π2 ，则 f(x)的最大值为()A．1B．2C. 3＋1D. 3＋2【答案】B【解析】f(x)＝cos x＋ 3sin x＝2cos x－π3 .当 x＝π3 时，f(x)max＝2.故选 B.2．已知 tan π4 －α ＝3，则 tan α 等于()A．－2B．－121C.2D．2【答案】B 【解析】tan α＝tan [π4 － π4 －α ]＝1－tan 1＋tanπ4 －α π4 －α＝11－ ＋33＝－12.故选 B.3．函数 y＝12sin 2x＋sin2x，x∈R 的值域是()A.[－12，32]B.[－32，12]C.[－21 2 ＋2，22＋12]D.[－21 2 －2，22－12]【答案】C 【解析】y＝12sin 2x－12cos 2x＋12＝精心校对完整版高中数学-打印版2 2 sin2x－π4＋12.∴y∈[－21 2 ＋2，22＋12]，故选C.4．若 α，β∈π 0， 2，cosα－β23 ＝ 2 ，sinβ)的值等于( )α2 －β1 ＝－2，则cos(α＋A．－3 2B．－12C.12D.3 2【答案】B 【解析】由 α，β∈ 0，π2 ，得 α－β2 ∈ －π4 ，π2 ，α2 －β∈ －π2 ，π4 .又 cos α－β2 ＝ 23， sin α2 －β ＝－12，∴α－β2 ＝±π6 ， α2 －β＝－π6 ，解得 α＝β＝π3 .∴cos 2π 3 ＝－12.故选 B.二、填空题5.ssiinn15°＋cos 15°－cos1155°°的值为______________．【答案】－ 3 sin 15°＋cos 15° sin 15°＋cos 15° 2 1＋sin 30°【解析】sin 15°－cos 15°＝ sin215°－cos215° ＝ －cos 30° ＝－ 3.6．若 f(x)＝asin x＋π4 ＋3sin(x－π4 是偶函数，则 a＝______________.【答案】－3【解析】f(x)＝a＋3 22sin x＋a－3 22cos x 是偶函数，取 a＝－3，可得 f(x)＝－3 2cos x 为偶函数． 三、解答题 7．已知 tan α＋π4 ＝－12，π2 <α<π. (1)求 tan α 的值；精心校对完整版高中数学-打印版sin 2α－2cos2α(2)求 2sinα－π4的值．【解析】(1)由 tan α＋π4 ＝－12，得11＋ －ttaann αα＝－12，解得 tan α＝－3.(2)sin 2α－2cos2α 2sin αcos α－2cos2α2sin α－π4 ＝sin α－cos α＝2cosα.∵tan α＝－3，π2 <α<π，∴cos α＝－ 1100，原式＝－ 510.8．已知 a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1,2sin α－1)，α∈ π2 ，π ，a·b＝25，求5 2sin 2α－4cos 2cos2α2α＋π4的值．【解析】a·b＝cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝2cos2α－1＋2sin2α－sin α＝1－sinα.∵a·b＝25，∴1－sin α＝25.∴sin α＝35.又 α∈π 2 ，π，∴cos α＝－45.∴c osα＋π472 ＝－ 10 .5 2sin 2α－4cos α＋π434 28 25 2×2×5× －5 ＋ 10∴2cos2α2＝－45＋1＝－10 2.精心校对完整版。
2016-2017学年高一数学必修4练习：第三章 三角恒等变换 本章整合3 Word版含解析
=2·
,
cos2
cos2
1
2
即 1+cos2 =
2
1+cos2 ,
2
∴cos 2φ=2cos 2θ+1.
第九页，编辑于星期五：十五点 五十八分。
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专题一
专题二
专题三
专题四
四
专题归纳
高考体验
专题五
专题三 三角函数的求值
三角函数的求值主要有三种类型:一是给角求值;二是给值求值;三是给值求
称的差异;(3)三角函数式结构形式上的差异.针对上面的差异,选择合适的
方法进行等价转化.
证明三角恒等式的常用方法有:左右互推、左右归一、恒等变形等.
三角恒等式的证明可分为两类:不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三
角恒等式的证明.不附条件的三角恒等式的证明多用左右互推、左右归一、
恒等变形等.附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件或
观察角、函数名称、项的次数等找到突破口.利用切化弦、升幂、降
幂、逆用公式等手段将其化简.化简最后的要求:(1)能求值尽量求值;(2)三角
函数名称尽量少;(3)项数尽量少;(4)次数尽量低;(5)分母、根号下尽量不含三
角函数.
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专题一
专题二
例1
专题三
2cos2-1
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-1-
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专题归纳
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cos(-) = coscos + sinsin
差角公式
sin(-) = sincos-cossin
人教B版高中数学高一必修4专题强化训练3 三角恒等变换
专题强化训练(三) 三角恒等变换(教师用书独具)(建议用时：45分钟)[学业达标练]一、选择题1．若函数f (x )＝－sin 2 x ＋12(x ∈R)，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数D [f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .故选D.] 2．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6D [sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.]3．已知sin α＝13，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( ) A.－3－222 B.3－226 C.3＋226 D.－3＋226B [因为sin α＝13，α是第二象限角，所以cos α＝－223，故cos(α－60°)＝cos αcos60°＋sin αsin 60°＝⎝⎛⎭⎪⎫－223×12＋13×32＝－22＋36.] 4．已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝13，则cos αcos β的值为( )A.12B.13C.14D.16D [由题意得：cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2cos αcos β＝13，所以cos αcos β＝16.]5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin 2α的值为( ) A.78B ．－78 C.34 D ．－34B [sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.] 二、填空题6.12sin 75°＋32sin 15°的值等于________．[解析] 原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.[答案] 227．已知α，β为锐角，且tan α＝2，tan β＝3，则sin (α＋β)＝________.[解析] ∵α，β为锐角，且tan α＝2，tan β＝3，∴sin α＝255，cos α＝55，sin β＝31010，cos β＝1010，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22.[答案] 228．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．[解析] ∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解之可得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋38π，k π＋78π(k ∈Z)． [答案] π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋38π，k π＋78π(k ∈Z) 三、解答题9．已知2sin θ＋cos θsin θ－3cos θ＝－5，求3cos 2θ＋4sin 2θ的值． [解] 由2sin θ＋cos θsin θ－3cos θ＝－5，得 2sin θ＋cos θ＝－5sin θ＋15cos θ，∴7sin θ＝14cos θ，得tan θ＝2(显然cos θ≠0)，∴3cos 2θ＋4sin 2θ＝3(cos 2θ－sin 2θ)＋8sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝3－3tan 2θ＋8tan θtan 2θ＋1＝75. 10．已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. [解] (1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12， 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.[冲A 挑战练]1．若α，β为两个锐角，则( )A ．cos(α＋β)>cos α＋cos βB ．cos(α＋β)<cos α＋cos βC ．cos(α－β)<cos αcos βD ．cos(α－β)<sin αsin βB [若α＝β＝π4，则cos (α＋β)＝cos π2＝0，cos α＝cos β＝22，∴A 不正确；∵α，β为锐角，∴当π2≤α＋β<π时，cos (α＋β)≤0，cos α>0，cos β>0，此时，cos (α＋β)<cos α＋cos β，当0<α＋β<π2时，cos (α＋β)<cos α，cos (α＋β)<cos β，∴cos (α＋β)<cos α＋cos β.故B 正确；∵cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，又sin αsin β>0，cos αcos β>0，∴cos(α－β)>cos αcos β，cos(α－β)>sin αsin β，故C 和D 不正确．]2.3－sin 70°2－cos 210°等于( ) 【导学号：79402148】 A.12 B.22 C ．2 D.32C [3－sin 70°2－cos 210°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝4－2cos 210°2－cos 210°＝2.] 3．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ()α＋2β的值是________．[解析] ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14， ∴tan β－tan π41＋tan β tan π4＝tan β－11＋tan β＝14，∴tan β＝53，tan(α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝25＋531－25×53＝315.[答案] 3154．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.[解析] 由8sin α＋5cos β＝6，两边平方，得64sin 2α＋80sin αcos β＋25cos 2β＝36.①由8cos α＋5sin β＝10，两边平方，得64cos 2α＋80 cos α sin β＋25sin 2β＝100.②①＋②，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136，∴sin(α＋β)＝4780.[答案] 47805．已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域． [解] (1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x＝12sin 2x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 从而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 那么y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.。
人教新课标版数学高一-人教B版必修4练习 第三章 三角恒等变换 章末检测(B)
第三章 三角恒等变换（B ）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( )A ．0B ．12C ．32 D ．12．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A ．17 B ．7 C ．－17 D ．－74．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈)的单调递增区间是( )A ．B ．C ．D ．5．化简：sin (60°＋θ)＋cos 120°sin θcos θ的结果为( )A ．1B ．32 C ．3 D ．tan θ6．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( )A ．3－cos 2xB ．3－sin 2xC ．3＋cos 2xD ．3＋sin 2x7．若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a 等于() A ．1 B ． 3 C ．2 D ．38．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．B ．C ．D ．9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )A ．－75 B ．75 C ．－35 D ．3510．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为( )A ．±4B ．4C ．－4D ．111．若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边一定落在直线( )上．A ．7x ＋24y ＝0B ．7x －24y ＝0C ．24x ＋7y ＝0D ．24x －7y ＝012．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在上为减函数的θ的值为( )A ．－π3B ．－π6C ．5π6D ．2π3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是____________． 14．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________．15．若0<α<π2<β<π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________． 16．函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)． (1)求sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值； (2)求cos(2α－3π4)的值．18．(12分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋23cos 2x －3．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值；(3)求函数f (x )的单调增区间．19．(12分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈． (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．20．(12分)已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b 且a ，b 满足：a ·b ＝－9，|a |＝3，|b |＝5，θ为a ，b 的夹角．(1)求角B ；(2)求sin(B ＋θ)．21．(12分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴的间距为3π2． (1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2326，求sin (α＋π4)cos (4π＋2α)的值．22．(12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)． (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在上的最大值和最小值．答案1． D2． D3． A4． D －π6，0 5． B6． C7． B8． B －22＋12，22＋129． B10．C11．D12．D －π4，0 13．π2解析 ∵f (x )＝12＝12－12sin 4x ∴T ＝2π4＝π2. 14．1解析 ∵sin αcos β＝1，∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1，∴cos α＝sin β＝0.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1.15．429解析 cos β＝－13，sin β＝223， sin(α＋β)＝13，cos(α＋β)＝－223，故cos α＝cos＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－223)×(－13)＋223×13＝429. 16．1解析 令x ＋10°＝α，则x ＋40°＝α＋30°，∴y ＝sin α＋cos(α＋30°)＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°＝12sin α＋32cos α ＝sin(α＋60°)．∴y max ＝1.17．解 (1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π) ⇒cos α＝－55，α∈(0，π)⇒sin α＝255. sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13. (2)∵cos α＝－55，sin α＝255⇒sin 2α＝－45，cos 2α＝－35. cos(2α－3π4)＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210. 18．解 (1)原式＝sin 2x ＋3cos 2x＝2(12sin 2x ＋32cos 2x ) ＝2(sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3) ＝2sin(2x ＋π3)． ∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)当2x ＋π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )有最大值为2. 当2x ＋π3＝2k π－π2，即x ＝k π－5π12(k ∈Z )时，f (x )有最小值为－2.(3)要使f (x )递增，必须使2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． ∴函数f (x )的递增区间为(k ∈Z )．19．解 (1)a ·b ＝cos3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝(cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x 2)2 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2(cos x －12)2－32. ∵x ∈．∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1. 20．解 (1)2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，即4cos 2B －8cos B ＋3＝0，得cos B ＝12. 又B 为△ABC 的内角，∴B ＝60°.(2)∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－35， ∴sin θ＝45. ∴sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310. 21．解 (1)由题意，得m ·n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12.根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13. (2)由(1)知f (x )＝sin(2x 3＋π6)＋12，所以f (32α＋π2) ＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326. 解得cos α＝513. 因为α是第一象限角，故sin α＝1213. 所以sin (α＋π4)cos (4π＋2α)＝sin (α＋π4)cos 2α＝22sin α＋22cos αcos 2α－sin 2α＝22(cos α－sin α)＝－13214. 22．解 (1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)， 所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． 又函数图象过点(π6，12)， 所以12＝12cos(2×π6－φ)， 即cos(π3－φ)＝1， 又0<φ<π，所以φ＝π3. (2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)， 因为x ∈，所以4x ∈，因此4x －π3∈， 故－12≤cos(4x －π3)≤1. 所以y ＝g (x )在上的最大值和最小值分别为12和－14.。
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第三章 章末复习课 课时目标 1．灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换．2．体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力． 知识结构一、选择题1．tan 15°＋1tan 15°等于( ) A ．2 B ．2＋ 3 C ．4 D ．4332．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为( ) A ．103 B ．53 C ．23D ．－2 3．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 4．已知θ是第三象限角，若sin 4 θ＋cos 4 θ＝59，那么sin 2θ等于( )A ．223B ．－223C ．23D ．－235．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B ．⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C ．⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D ．⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6二、填空题7．函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)的最小正周期是________． 8．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．9．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________．10．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝________． 三、解答题11．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)． (1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π6－2cos 2π8x ＋1． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值．能力提升13．函数f (x )＝sin x sin x ＋2sin x 2是( ) A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数14．设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________．本章所学内容是三角恒等变换的重要的工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．第三章 章末复习课 答案作业设计1．C2．A [∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13， ∴1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝(－13)2＋11＋2×(－13)＝103．] 3．B [f(x)＝sin 4x ＋1－sin 2x＝sin 4x －sin 2x ＋1＝－sin 2x(1－sin 2x)＋1＝1－sin 2x cos 2x ＝1－14sin 22x ＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78∴T ＝2π4＝π2．]4．A [∵sin 4 θ＋cos 4 θ＝(sin 2 θ＋cos 2 θ)2－2sin 2 θcos 2 θ＝1－12sin 2 2θ＝59， ∴sin 2 2θ＝89． ∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ>0．∴sin 2θ＝223．] 5．C [f(x)＝3sin ωx ＋cos ωt ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6． 因为函数y ＝f(x)的图象与y ＝2的两个相邻交点的距离为π，故函数y ＝f(x)的周期为π．所以2πω＝π，即ω＝2．所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6．令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得2k π－2π3≤2x ≤2k π＋π3，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．] 6．C [∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋C ＝1．∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋C ＝12， ∴π6＋C ＝56π或π6＋C ＝π6(舍去)， ∴C ＝23π．] 7．π解析 f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4) ＝cos 2(π4－x )－sin 2(x －π4) ＝cos 2(x －π4)－sin 2(x －π4) ＝cos(2x －π2)＝sin 2x ． ∴T ＝π．8．1－ 2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x＝1＋2sin(2x ＋π4)， ∴y min ＝1－2．9．4780解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136．∴80sin(α＋β)＝47，∴sin(α＋β)＝4780． 10．－17解析 由题意，得2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴4k π＋2π＜2α＜4k π＋3π．∴sin 2α＞0．∴sin 2α＝1－cos 22α＝45． ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43． ∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝tan π4＋tan 2α1－tan π4 tan 2α＝1－431＋43＝－17． 11．解 (1)由cos β＝55，β∈(0，π)， 得sin β＝255，tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1． (2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)， 所以sin α＝110，cos α＝－310， f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x ， 又－1≤sin x ≤1，所以f (x )的最大值为5． 12．解 (1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8． (2)在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))． 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π4(2－x )－π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π3． 当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32． 13．A [由sin x ＋2sin x 2＝2sin x 2(cos x 2＋1)≠0，得x ≠2k π，k ∈Z ． ∴f (x )定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }关于原点对称．∵f (x )＝sin x sin x ＋2sin x 2＝cos x 21＋cos x 2．∴f (－x )＝cos (－x 2)1＋cos (－x 2)＝cos x 21＋cos x 2＝f (x )． ∴函数f (x )为偶函数．又f (x ＋2π)＝cos x ＋2π21＋cos x ＋2π2＝cos (π＋x 2)1＋cos (π＋x 2) ＝－cos x 21－cos x 2≠f (x )． f (x ＋4π)＝cos x ＋4π21＋cos x ＋4π2＝cos (2π＋x 2)1＋cos (2π＋x 2) ＝cos x 21＋cos x 2＝f (x )， ∴函数f (x )以4π为周期．]14．－34解析 由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135． ∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135， ∴cos 2α＝45． ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π，(k ∈Z ) ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π，(k ∈Z )故2α可能在第三、四象限，又∵cos 2α＝45， ∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34．。
第三章 三角恒等变换复习-高一数学教材配套学案(人教A版必修4)
第三章 三角恒等变换知识④思维导图专题④综合串讲专题1三角函数式的求值【例1】已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin （2α＋β），4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值. 【分析】 本题主要考查三角函数式的恒等变换及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋（α＋β），β＝（α＋β）－α，可先将条件式3sin β＝sin （2α＋β）展开后求α＋β的正切值.【解】∵3sin β＝sin （2α＋β），即3sin （α＋β－α）＝sin （α＋β＋α），整理得2sin （α＋β）cos α＝4cos （α＋β）sin α.即tan （α＋β）＝2tan α.又4tan α2＝1－tan 2α2， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12， tan （α＋β）＝2tan α＝2×12＝1. 又0＜α＜π4，0＜β＜π4， ∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α＋β＝π4. 【方法总结】三角函数式求值的类型与方法三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给值求角.1. 给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用.2. 给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用.由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点.3. 已知三角函数值求角问题，通常分两步：（1）先求角的某个三角函数值（由题中已知名称和范围确定），确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定；（2）根据角的范围确定角及角的范围.必要时，可利用值缩小角的范围.几种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.【变式训练1】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 【解】 ∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. 专题2三角函数式的化简【例2】化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. 【分析】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及内在联系上探求.π4－α与π4＋α互余，可先用诱导公式减少角的种类.或π4－α与π4＋α均化为α的三角函数. 【解】解法一：原式＝2cos 2α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 解法二：原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α·（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. ,【方法总结】三角函数式化简的分类与解题技巧1.三角函数式的化简，主要有以下几类：（1）三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；（2）三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；（3）二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简.2. 化简三角函数式时:（1）若切函数、弦函数共存时，可利用切化弦；（2）若含分式三角函数的问题，一般需分子、分母化简后出现公因式，以便于约分.【变式训练2】化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＋2sin α2cos α2－1. 【解】原式＝sin αcosπ4＋cos αsin π4cos α＋sin α＝22（sin α＋cos α）cos α＋sin α＝22. 专题3三角恒等式的证明【例3】求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x 2. 【分析】本题主要考查二倍角公式及其变形应用，因等式右端为tan x 2，故可将左边的角4x ，2x ，x 化为x 2的形式. 【解】∵左边＝2sin 2xcos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x 2cos 2x 2＝2sin 2x·cos 22x·cos x 2cos 22x·2cos 2x·2cos 2x 2＝sin 2x 2cos x·2cos 2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x 2＝右边， ∴等式成立.【方法总结】三角函数等式的证明策略三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明.对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口.对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明.【变式训练3】求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .【证明】∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝⎛⎭⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 专题4三角函数与平面向量的综合应用【例4】设a ＝（1＋cos α，sin α），b ＝（1－cos β，sin β），c ＝（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sin α－β4的值. 【分析】 利用向量的夹角公式得三角函数式，然后利用三角函数知识得出角之间的关系.【解】 由题意知|a |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2cos α2， |b |＝（1－cos β）2＋sin 2β＝2sin β2，|c |＝1. 又a·c ＝1＋cos α＝2cos 2α2，b·c ＝1－cos β＝2sin 2β2， ∴cos θ1＝a·c |a||c|＝cos α2，cos θ2＝b·c |b||c|＝sin β2. ∵α∈（0，π），∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ1＝α2. 又β∈（π，2π），∴β2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，即0<β2－π2<π2. 由cos θ2＝sin β2＝cos ⎝⎛⎭⎫β2－π2，得θ2＝β2－π2. 由θ1－θ2＝π6，得α2－⎝⎛⎭⎫β2－π2＝π6， ∴α－β2＝－π3，∴α－β4＝－π6. ∴sin α－β4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 【方法总结】三角函数与平面向量的解题策略三角函数与平面向量相结合包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图象与性质，以及三角函数的化简、求值.【变式训练4】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. （1）若m ⊥n ，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值. 【解】（1）∵m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），且m ⊥n ， ∴m ·n ＝（22，－22）·（sin x ，cos x ）＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝0，即x ＝π4，∴tan x ＝tan π4＝1. （2）由（1）知cos π3＝m ·n |m |·|n |＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4（22）2＋（－22）2·sin 2x ＋cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.。
高一数学新课标人教版必修4第三章 三角恒等变换量练习题含答 双基限时练26
双基限时练(二十六)1．已知下列四个等式：①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α； ④tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 其中恒成立的等式有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析 ①，②，③对任意角α，β恒成立，④中的α，β还要使正切函数有意义．答案 B2.1－tan15°1＋tan15°的值为( ) A. 3 B.33 C ．1 D ．－3解析 原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33. 答案 B3．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.1328 B.1322 C.322 D.163．已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( ) A.13 B.139 C.1315 D.59答案 B4．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )A ．2B ．1 C.12 D ．4解析 因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，所以tan αtan β＝12.答案 C5．若0<α<π2，0<β<π2，且tan α＝17，tan β＝34，则α＋β等于( )A.π6B.π4C.π3D.3π4解析 由已知可求得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.答案 B6．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝b ＋aD ．c ＝ab解析 由韦达定理可知tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a 且tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－a ＝c a ，∴tan π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a 1－c a＝1.∴－b a ＝1－c a .∴－b ＝a －c .∴c ＝a ＋b .故选C.答案 C7．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝________.解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 答案 138.tan51°－tan6°1＋tan51°tan6°＝________. 解析 原式＝tan(51°－6°)＝tan45°＝1.答案 19．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝______. 解析 ∵π2<α<π，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17. 答案 1710．tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.解析 因为tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°) ＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°所以tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.答案 111．求下列各式的值．(1)tan π12；(2)tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°. 解 (1)tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6 ＝tan π4－tan π61＋tan π4·tan π6＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝ 3.12．(1)已知α＋β＝π4，求(1＋tan α)(1＋tan β)．(2)利用(1)的结论求(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan45°)的值．解 (1)∵α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝1，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝1， ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝(tan α＋tan β)＋1＋tan αtan β＝2.(2)由(1)知当α＋β＝45°时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.∴原式＝(1＋tan1°)(1＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°)…(1＋tan22°)(1＋tan23°)·(1＋tan45°)＝222·2＝223.13．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．解 (1)tan α＝－13，cos β＝55，β∈(0，π)，∴sin β＝255，∴tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1. (2)∵tan α＝－13， α∈(0，π)，∴sin α＝110，cos α＝－310. ∴f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β＝－35sin x －15cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x .∴f (x )的最大值为 5.。
数学人教B版必修4教材习题点拨：第三章三角恒等变换 含解析 精品
教材习题点拨巩固与提高1．因为α，β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以0＜α＋β＜π，且cos α＝252，cos β＝31010，于是cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.所以α＋β＝π4. 2．(1)因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝tan π4＝1， 所以tan A ＋tan B ＝1－tan A ·tan B .所以(1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.(2)因为(1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋tan A tan B ＋tan A tan B ＝2，所以tan A ＋tan B ＝1－tanA tanB ，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝1.因为A ，B 都是锐角，所以0＜A ＋B ＜π，所以A ＋B ＝π4. 3．由题意可求tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝0.5＋0.21－0.5×0.2＝79， tan(A ＋B ＋C )＝tan (A ＋B )＋tan C 1－tan (A ＋B )tan C ＝79＋0.1251－79×0.125＝1.又因为A ，B ，C 是锐角，且tan A ，tan B ，tan C ∈(0,1)，所以A ，B ，C ∈⎝⎛⎫0，π4.所以0＜A ＋B ＋C ＜34π.所以A ＋B ＋C ＝π4. 4．因为sin θ＋cos θ＝23，所以sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝49. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－59. 5．(1)左边＝sin[α＋(α＋β)]sin α－2sin αcos (α＋β)sin α ＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α ＝sin (α＋β－α)sin α＝sin βsin α＝右边； (2)左边＝sin x ⎝⎛⎭⎫1＋sin x cos x ·1－cos x sin x＝sin x ·cos x ＋1－cos x cos x＝tan x ＝右边； (3)左边＝1－2sin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos α2－sin α2cos α2＋sin α2＝1－tan α21＋tan α2＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α2＝右边．6．因为tan 60°＝tan(40°＋20°)＝tan 40°＋tan 20°1－tan 40°tan 20°＝3，所以tan 40°＋tan 20°＝3(1－tan 40°tan 20°)．所以tan 40°＋tan 20°＋3tan 40°tan 20°＝ 3.7．因为在斜△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B.所以tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )，所以tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )·(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C ＋tan A ·tan B tan C ＋tan C ＝tan A tan B tan C .8．(1)y ＝1＋sin 2x ＝2＋2sin 2x 2＝3＋(2sin 2x －1)2＝3－(1－2sin 2x )2＝32－12cos 2x ，所以周期是π，y max ＝2，y min ＝1.(2)y ＝2sin x －3cos x ＝13sin(x －φ)，其中cos φ＝21313，sin φ＝31313.因此，周期是2π，y max ＝13，y min ＝－13.(3)y ＝cos 2x －cos 4x ＝1＋cos 2x 2－⎝⎛⎭⎫1＋cos 2x 22＝12＋12cos 2x －1＋2cos 2x ＋cos 22x 4＝14－14cos 22x ＝14－14·1＋cos 4x 2＝－18cos 4x ＋18，或y ＝cos 2x －cos 4x ＝cos 2x (1－cos 2x )＝cos 2x ·sin 2x ＝14·4sin 2x cos 2x ＝14(2sin x cos x )2＝14sin 22x ＝14·1－cos 4x 2＝－18cos 4x ＋18， 所以周期是π2，y max ＝14，y min ＝0， (4)因为y ＝cos 4x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )·(cos 2x －sin 2x )＝cos 2x ，所以周期是π，y max ＝1，y min ＝－1.9．(1)sin 15°sin 30°sin 75°＝12sin 15°cos 15°＝14sin 30°＝18； (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)＝12－12sin 50°＋12sin 50°－14＝14； (3)cos 5π8cos π8＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π8cos π8＝－sin π8cos π8＝－12sin π4＝－24； (4)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°－cos 15°sin 8°＋cos 15°sin 8°cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8° ＝sin 15°cos 15°＝tan 15°＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝2－ 3.10．tan 20°＋4sin 20° ＝sin 20°cos 20°＋4sin 20°cos 20°cos 20° ＝sin 20°＋2sin 40°cos 20° ＝(sin 20°＋sin 40°)＋sin 40°cos 20° ＝2sin 30°cos 10°＋sin 40°cos 20° ＝cos 10°＋cos 50°cos 20°＝2cos 30°cos 20°cos 20° ＝ 3.11．因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以tan α＝－34.因为tan(π－β)＝12，所以tan β＝－12，所以tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－122＝－43. 所以tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β＝⎝⎛⎭⎫－34－⎝⎛⎭⎫－431＋⎝⎛⎭⎫－34⎝⎛⎭⎫－43＝724. 12．因为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝1＋tan θ1－tan θ＝3，所以tan θ＝12. 所以sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－2⎝⎛⎭⎫122＋1＝－45. 13．(1)d ＝3cos θ＋6sin θ；(2)d ＝6sin θ＋3cos θ＝35sin(θ＋α)，其中cos α＝255，sin α＝55； (3)当sin(θ＋α)＝1，即θ＋α＝π2时，d max ＝35，而tan α＝12，所以α＝arctan 12. 所以θ＝π2－arctan 12. 自测与评估1．因为cos α＝17，α为锐角，所以sin α＝437.又因为α，β为锐角， 所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－1114， 所以sin(α＋β)＝5314. 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝12. 2．(sin x ＋sin y )2＋(cos x ＋cos y )2＝0.42＋1.22，即2＋2(cos x cos y ＋sin x sin y )＝1.6，所以cos(x －y )＝－0.2.3．因为tan α＝13， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34. 又因为tan β＝－17， 所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. 因为tan α＝13＜1＝tan π4，0＜α＜π2，所以0＜α＜π4. 又因为π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0. 所以2α－β＝－3π4.4．sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°＝1－cos 40°2＋1＋cos 160°2＋3sin 20°·cos 80°＝1＋12(cos 160°－cos 40°)＋3sin 20°cos 80°＝1＋12(－2sin 100°·sin 60°)＋3×12(sin 100°－sin 60°)＝1－32sin 100°＋32sin 100°－34＝14. 5．I ＝I 1＋I 2＋I 3＝22sin ωt ＋22sin(ωt －120°)＋22sin(ωt ＋120°)＝22sin ωt ＋22[sin(ωt －120°)＋sin(ωt ＋120°)]＝22sin ωt ＋22×2sin ωt cos 120°＝22sin ωt －22sin ωt ＝0.。
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第三章 章末复习课 课时目标 1．灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换．2．体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力． 知识结构
一、选择题
1．tan 15°＋1tan 15°
等于( ) A ．2 B ．2＋ 3 C ．4 D ．433
2．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α
的值为( ) A ．103 B ．53 C ．23
D ．－2 3．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是( )
A ．π4
B ．π2
C ．π
D ．2π 4．已知θ是第三象限角，若sin 4 θ＋cos 4 θ＝59
，那么sin 2θ等于( ) A ．223 B ．－223
C ．23
D ．－23
5．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )
A ．⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B ．⎣
⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C ．⎣
⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D ．⎣
⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )
A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6
二、填空题。