1.1.3三角形的证明A

不用反证法证明
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3 证明:作直线l，分别与直线l1 ，l2 ， l3交于于点A，B，C。 A
l
2 B 1 C 3
定理
l1 l2 l3
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3（已知） ∴∠2 =∠1 ，∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等） ∴∠2 =∠3（等式性质） ∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
Ｃ
选做题
1、如图，⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O， A 过点O作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E， 求证：BD+EC=DE
D O E
B
C
2、求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线也互相平行.
1、如图，⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O， 过点O作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E，求证： BD+EC=DE 证明：∵ DE//BC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
猜想与归纳（证明方法二）
• 已知⊿ABC中，∠ABC=∠ACB，求证：AB=AC
证明： 作∠BAC的角平分线AD，则∠BAD=∠CAD
在⊿ABD和⊿ACD中， ∠ABC=∠ACB ∵ ∠BAD=∠CAD
A
AD= AD
∴ ⊿ABD≌ ⊿ACD（AAS） ∴ AB=AC
B
D
C
思考：能做BC的中线加以证明吗？
B
C
A
F
∟
P
C
3、 如图，已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2， AD//BC，求证：AB=AC。 证明： ∵AD//BC
∴∠1=∠B （两直线平行 ___________________) ,同位角相等
两直线平行 ,内错角相等 （ __________________) ∴∠2=∠C 又∵ ∠1=∠2 ∴∠B=∠C ___________) ∴AB=AC（等角对等边
A
E
1 2 D
B
C
4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA 延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F， 求证：△AEF是等腰三角形。 E
A
证明：∵AB=AC（已知）
∴ ∠B= ∠C（等边对等角） ∵ EP⊥BC（已知）
B F
∴ ∠PFB= ∠PEC（三角形内角和定理） ∵ ∠PFB= ∠AFE(对顶角相等) ∴ ∠AEF= ∠AFE(等量代换)
2 1
D
C ∠C=720，分别计算∠1、 ∠2的度数。 B ∠1=720 ∠2=360 3、已知：∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC， （如图），求证：AB=AC。
E A 1 2
D
4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点 E在CA延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP E 交AB于点F，求证：△AEF是等腰三角形。 5、用反证法证明： 在三角形的内角中，至少有一个角大于 或等于６０° B
A
证明：在△BCD与△CBE中：
BE=CD ∵ ∠1=∠2 BC=CB
B
D
E
1 2
C
∴ △BCD≌△CBE（SAS）
∴ ∠ABC=∠ACB
∴ AB=AC
∴ △ABC为等腰三角形
讨论、点拨、更正（6min）
1、判断：有两个底角相等的三角形为等腰三角形。
说明：首先必须是在同一个三角形中，其次，一
般三角形没有底角，只有在等腰三角形中才有底角， 腰与底边的夹角才能称为“底角”，这句话应该改 为：在同一个三角形中，有两个角相等的三角形为 等腰三角形。
猜想与归纳（证明方法一）
• 已知⊿ABC中，∠ABC=∠ACB，求证：AB=AC
证明： 作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB=∠ADC=90°
在⊿ABD和⊿ACD中， ∠ABC=∠ACB ∵ ∠ADB=∠ADC=90°
A
AD= AD
∴ ⊿ABD≌ ⊿ACD（AAS） ∴ AB=AC
B
D
C
思考：还有其他证法吗？
学生自学(7min)
自学检测(12min)
1、如果有个三角形的两个内角为80°和50°，则 等腰 三角形。 这是一个_____ 2、如果一个三角形三个外角的比是3：3：2，则这 是一个（ D ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3、已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个
2、反证法的一般步骤:
假设命题结 论不成立
假设
即假设命题结 论反面成立 与已知条 件矛盾
所证命题 成立
推理得出 的结论
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
当堂训练（17min）
A
1、底角是顶角一半的等腰三角形 等腰直角三角形 三角形。 是_______________
2、如图，∠A=360，∠DBC=360，
思考与探究
• 如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当 时测得∠A= ∠B。如果这两艘救生以同样的速度同时出发，能不能大 约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
O
认真思 考
A
B
猜想
科组：八年级数学组 主备人:张红明 议课组：第一议课组 议课时间:2014.2.16
上课时间:2014.2.
1 数中至少有一个大于或等于 。 5
A
4、如图，在△ABC中，已知点D，E分 别在AB，AC上，且BE=CD,∠1=∠2， 证明：△ABC为等腰三角形。
B
D 1 2
E
C
3、已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个 1 数中至少有一个大于或等于 。 5
1 1 1 1 1 a b c d e ＜ 5 5 5 5 5
证明：假设这五个数（a、b、c、d、e）中至少有一 1 1 1 1 1 个小于 ，即a＜ , b＜ , c＜ , d＜ ,e＜ 1 5 5 5 5 5 5
a b c d e ＜ 1
4、如图，在△ABC中，已知点D，E分 别在AB，AC上，且BE=CD,∠1=∠2， 证明：△ABC为等腰三角形。
学习目标（１min)
1、掌握三角形的判定定理“等角对等边”。 2、能够应用等腰三角形的判定定理 3、初步了解反证法的证明步骤，会用反证 法证明简单的数学问题。
自学指导(2min)
阅读课本P8 - 9 ， 思考下列问题:
1.在三角形中，相等的边所对的角有什么 关系? 2、反之，相等的角所对的边又有什么关 系？如何证明？ 3.什么叫反证法？如何使用?
P
∟
∴ ∠FPB= ∠EPC=900
C
5、用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少 有一个角大于或等于６０° 已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角，
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于 ６０度 Ａ 假设所求证的结论不成立，即 证明： ＜ ＜ ∠Ａ＿＿６０°， ∠Ｂ＿＿６０°， ＜ ∠Ｃ＿＿６０° Ｂ 则∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜１８０0 三角形的内角和等于１８０° 这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 矛盾 所以假设命题＿＿＿＿＿＿， 不成立 所以，所求证的结论成立．
∴∠OBC=∠DOB，∠OCB=∠EOC ∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
A
∴∠DBO=∠DOB=∠OBC, ∠ECO=∠EOC=∠OCB
B
D
O
E
∴BD=DO，CE=OE （等角对等边） ∴BD+EC=DO+OE=DE
C
2、求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线也互相平行.