立体几何空间点线面关系题
第8章立体几何专题2 点线面的位置关系常考题型专题练习——【含答案】
旗开得胜点线面的位置关系【知识总结】1、平面的基本性质基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内基本事实2：经过不在同一条直线的三点，有且只有一个平面基本事实3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.注意事项：（1）公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内（2）公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法（3）公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线1旗开得胜 12、直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．【巩固练习】1、（1）下列说法错误的是（ ）A.平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C.经过两条相交直线，有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（2）下列结论中不正确的是（ ）A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C.若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b，且点A在b上D.任意两条直线不能确定一个平面【答案】（1）A（2）D【解析】A. 平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点平面与平面相交成一条直线，因此它们有无限个公共点.A错误.B. 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面直线和直线外一点确定一个平面，B正确C. 经过两条相交直线，有且只有一个平面两条相交直线确定一个平面，C正确D. 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合不共线的三点确定一个平面，D正确故答案选A．（2）由平面基本性质可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A，C正确；当平面四个点中，有三点共线，由直线与直线外一点确定一个平面可得此四个点共面，故假设不成立，即其中任意三点不共线，因此选项B正确；若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D错误.故选D.2、一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是( )11A ．1或3B ．1或4C ．3或4D ．1、3或4【答案】D【解析】直线之外不共线的三点记为A ，B ，C ．当直线在A ，B ，C 所确定的平面内时，它们只能够只确定一个平面；当A ，B ，C 三点中有两点与直线共面时，能确定平面有3个；当A ，B ，C 三点中没有两点与直线共面时，这样可确定的平面最多就可以达到4个．故选:D ．3、已知//,a b αα⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交或异面C ．异面D ．平行或异面 【答案】D【解析】∵a ∥α，∴a 与α没有公共点，∵b ⊂α，∴a 、b 没有公共点，∴a 、b 平行或异面．故答案为：D4、若直线a,b,c 满足a ∥b,a,c 异面,则b 与c （ ）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 【答案】C【解析】由于//a b ，,a c 异面，此时，b 和c 可能相交，也即共面，如图所示b 与c 相交；b 和c 也可能异面，如图所示'b 与c 异面.综上所述，b 与c 不可能是平行直线.故选C.。
立体几何点线面位置关系习题精选
同步练习第I 卷（选择题）1.已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是（ ）.A 、若m ∥,n α∥α,则m ∥nB 、若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC 、若n ∥,n α∥β,则α∥βD 、若,m n αα⊥⊥,则m ∥n 2.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面， 则下列命题中正确的是 （ ） A ．//,//m n αα，则//m n B ．,m m αβ⊥⊥，则//αβ C ．//,//m n m α，则//n α D ．,αγβγ⊥⊥，则//αβ3.已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若α∥β，m ∥α，则m ∥β B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ⊥α C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4.已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面， 则下列命题正确的是（ ）A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．若l ∥α，m α⊂，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 5.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ C ．若l α//，m α⊂，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m // 6.设b a ,表示直线，γβα,,表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥a 且b a ⊥，则α//bB ．若αγ⊥且βγ⊥，则βα//C ．若α//a 且β//a ，则βα//D ．若αγ//且βγ//，则βα//7.关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α⊂，则//a α B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b8.给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面 垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要9.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中为真命题的个数（ ）①若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ ②若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α ③若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ ④若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则； ②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.311.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是 A. ,////m n m n αα⊂⇒ B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥ C. ,,////m n m n αβαβ⊂⊂⇒ D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥12.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 （A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥（C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α （D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ13.对于空间的一条直线m 和两个平面,αβ，下列命题中的真命题是 A.若,,mm αβ则αβ B. .若,,m m αβ则αβ⊥C.若,,m m αβ⊥⊥则αβ D. 若,,m m αβ⊥⊥则αβ⊥14.设,,l m n 表示三条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若l ∥m ，m α⊂，则l ∥α； B ．若,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥； C ．若l ∥α，l ∥β，m αβ=，则l ∥m ； D ．若,,l m l m αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥．15.对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B.若//,a b b α⊂,则//a α C.若//,,,a b αβαγβγ==则//a b D.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα第II 卷（非选择题）二、解答题（本题共7道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,第7题0分,共0分）在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.(Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；BA17.（本题10分）如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：(1)PA ∥平面BDE ； (2)BD ⊥平面PAC ．18.（本小题8分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且2PA PD AD ==,设E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (1) 求证:EF //平面PAD ; (2) 求证:面PAB ⊥平面PDC ;(3) 求二面角B PD C --的正切值.PO ECDBACBAD1B1A1C19.如图，底面是正三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AA AB ==. （Ⅰ）求证：1//AC 平面1AB D ； （Ⅱ）求点A 1 到平面1AB D 的距离.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠= E 、F 分别是PB 、CD 的中点，且4PB PC PD ===. （1）求证：PA ABCD ⊥平面； （2）求证：//EF 平面PAD ; （3）求二面角A PB C --的余弦值.21.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点． (Ⅰ)求证：//EF 平面PAD ； (Ⅱ)求证：EF CD ⊥；(Ⅲ）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC 的体积.BA22.(本小题满分10分)P-中，底面ABCD是矩形，如图，在四棱锥ABCDAP=，E，F分别是PB,PC的中点.PA⊥平面ABCD，AB(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；AE⊥.(Ⅱ)求证：PC评卷人得分三、解答题（本题共3道小题，每小题10分，共30分）评卷人得分四、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）23.已知直线m,n与平面α,β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题序号是______24.设,m n是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列正确命题的序号是__________。
必修二 空间几何体和点线面之间的位置关系 解答题集锦
HG F E D BA C必修二 空间几何体和点线面之间的位置关系 解答题集锦1、已知,,,E F G H 为空间四边形A B C D 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//E H F G ．求证：//E H B D .2、正方体1111ABC D A B C D -中，M 是1A A 的中点．求证：平面M B D ⊥平面B D C3、如图：S 是平行四边形A B C D 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SMAM =NDBN ，求证：//M N 平面S B C4. 已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点 M ，N 分别是AB ，PC 的中点． 求证：MN ∥平面PAD ；5、在三棱锥S A B C -中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SA C ⊥平面,ABC SA SC ==M 、N 分别为,AB SB 的中点。
（Ⅰ）证明：A C ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N -C M -B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面C M N 的距离。
6.已知p 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，，M,N 分别是AB,PC 的中点，（1.）求证，MN//平面PAD (2)若MN=BC=4,PA=4根号3，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小 ．7如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC8、已知A B C ∆中90ACB ∠= ，SA ⊥面ABC ，A D SC ⊥，求证：AD ⊥面S B C ．(12分)9．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的余弦值 。
.10．如图，在四棱锥P A B C D -中，P A ⊥底面A B C D ，AB AD AC CD ⊥⊥，， 60A B C ∠=°，P A A B B C ==，E 是P C 的中点．（Ⅰ）求P B 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明A E ⊥平面PC D ； （Ⅲ）求二面角A P D C --的正弦值．11．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；(3)设二面角A －BC －D 的大小为 θ，猜想 θ 为何值时，四面体A －BCD 的体积最大．(不要求证明)ABCDPEPACSDCBA11．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB 和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.12、如图，a∥α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.（12）13、如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD 于F、G.求证：EH∥FG.（12）14.正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小15．（14分）已知四棱台上，下底面对应边分别是a，b，试求其中截面把此棱台侧面分成的两部分面积之比．16．（12分）已知正方方体111'D C B A ABCD -，求：（1）异面直线11CC BA 和的夹角是多少？（2）B A 1和平面11B CDA 所成的角？（3）平面11B CDA 和平面ABCD 所成二面角的大小？17．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 垂直于平面ABC ，AC ⊥BC ． 求证：BC ⊥平面PAC ．18.如图：AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的任意一点，求证：PAC BC 平面⊥19.如图，在四棱锥P —ABCD 中，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形．求证：MN ∥平面PAD ．20如图正方形ABCD 中，O 为中心，P O ⊥面ABCD ，E 是PC 中点， 求证：（1）PA ||平面BDE ； （2）面PAC ⊥面BDE.AA 1BP21如图，在四棱锥PABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD .22如图所示，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD .(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PCD .23（14分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论．24．在正方体ABCD A B C D E F BB CD -11111中，、分别是、的中点 （1）证明：AD D F ⊥1； （2）求AE D F 与1所成的角； （3）证明：面面AED A FD ⊥11．25*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝21．(1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (提示：延长 BA ，CD 相交于点 E ，则直线 SE 是 所求二面角的棱.)26*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在 AA 1 上取一点 P ，过 P 作棱柱的截面，使 AA 1 垂直于这个截面.)27、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.28一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域. (12分)29、已知正方体1111ABC D A B C D -，O 是底A B C D 对角线的交点. 求证：（１）O C 1∥面11A B D ；（2 ）1A C ⊥面11A B D ． (14分)30、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).A E A F A CA Dλλ==<<（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ (14分)31如下图，已知ABCD 是矩形，E 是以CD 为直径的半圆周上一点，且面CDE ⊥面ABCD.求证：CE ⊥平面ADE .32求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．已知：如图，三棱锥S —ABC ，SC ∥截面EFGH ，AB ∥截面EFGH . 求证：截面EFGH 是平行四边形．33已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ； D 1ODBAC 1B 1A 1CFEDBAC33.如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB 的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．34．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.35．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC ＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B—DEF的体积．36.在如图所示的几何体中，四边形A B C D为平行四边形，90A C B∠=︒，E A⊥平面A B C D，EF∥AB，F G∥B C，E G∥A C,2AB EF=.（Ⅰ)若M是线段A D的中点，求证：G M∥平面ABFE;ACDEF GM（Ⅱ）若2A C B C A E ==,求二面角A B F C --的大小． 3π37在如图所示的几何体中，四边形A B C D 是等腰梯形，AB∥C D ，60,D AB FC ∠=⊥平面,,ABCD AE BD CB CD CF ⊥==.（Ⅰ）求证：B D ⊥平面A E D ； （Ⅱ）求二面角F B D C --的余弦值.38如图，几何体E ABC D -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,C B C D E C B D =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BC D =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：D M ∥平面BEC .39如图，在五棱锥P —ABCDE 中，⊥PA 平面ABCDE ，AB//CD ，AC//ED ，AE//BC ，42,22,45===︒=∠AE BC AB ABC ，三角形PAB 是等腰三角形。
专题17 空间几何体与点线面的位置关系(解析版)
第17讲空间几何体与点线面的位置关系考点一 空间几何体（一）空间基本概念1.几何体：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．2.构成几何体的基本元素：点、线、面．1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A ， B ， C ⋯来命名；2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般用一个小写字母a ， b ， l ⋯或用直线上两个点AB ， PQ ⋯表示；一条直线把平面分成两个部分．3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母α ， β ， γ⋯来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面α，平面ABCD 或平面AC ． 一个平面将空间分成两个部分．3.多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体．DCBA基本内容：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．4.截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的面．（二）棱柱、棱锥和棱台1.棱柱：1）棱柱的概念：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．2）棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等．3）棱柱的分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．4）特殊的四棱柱：2.棱锥：1）棱锥的概念：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高．2）正棱锥：底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥． 正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高． 3.棱台：1）棱台的概念：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台． 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高．2）棱台的性质：棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例； 3）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．平行六面体四棱柱底面是平行四边形侧棱与 底面垂直正四棱柱底面是平行四边形直平行六面体底面为 正方形直四棱柱侧棱与 底面垂直底面为 长方形长方体底面是正方形侧面也为 正方形正方体棱长都相等的长方体（三）圆柱、圆锥和圆台1.将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．2.这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示．3.圆柱、圆锥、圆台的性质：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．（四）球与球面1.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面．半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径．一般用球心的字母表示一个球．2.球面也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，球体可以看成到空间中一个定点的距离小于等于定长的点的集合．3.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离．4.球的截面性质：球的小圆（指不过球心的截面圆）的圆心与球心的连线垂直于小圆所在平面，有r=√R2−d2，其中r为截面圆的半径，R为球的半径，d为球心到截面圆的距离，即球心与截面圆圆心的距离．典例精讲1．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，则以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为（）A．12 B．24 C．48 D．58【分析】每个顶点对应6个鳖臑，所以8个顶点对应48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除2．【解答】解：当顶点为A时，三棱锥A﹣EHG，A﹣EFG，A﹣DCG，A﹣DHG，A﹣BCG，A﹣BFG，为鳖臑．所以8个顶点为8×6＝48个．但每个鳖臑都重复一次，再除2．所以个数为24个．故选：B．【点评】本题考查线面位置关系，属于中档题．2．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1＝2，E，F分别在AB，BC上，则下列说法错误的是（）A．直线AD与A1C1所成的角为π4B．当E为中点时，平面A1D1E⊥平面B1C1EC．当E，F为中点时，EF⊥BD1D．当E，F为中点时，BD1⊥平面B1EF【分析】由题意画出图形，利用异面直线所成角、线面垂直的判定与性质逐一分析四个选项得答案．【解答】解：如图，∵A1C1∥AC，∴直线AD与A1C1所成的角为∠DAC，，故A正确；∵底面ABCD为正方形，∴∠DAC=π4当E为AB中点时，AE=B1E=√2，A1B1＝2，则A1E2+B1E2=A1B12，得到A1E⊥B1E，又A1D1⊥平面A1ABB1，则A1D1⊥B1E，可得B1E⊥平面A1D1E，而B1E⊂平面B1C1E，∴平面A1D1E⊥平面B1C1E，故B正确；当E，F为中点时，EF∥AC，∵DD1⊥底面ABCD，∴DD1⊥AC，由底面ABCD为正方形，可得AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，则AC⊥BD1，故EF∥BD1，故C正确；若BD1⊥平面B1EF，则BD1⊥B1E，又B1E⊥A1D1，可得A1B⊥B1E，显然错误，故D错误．故选：D．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．3．下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【分析】通过简单几何体和直观图说明A和B错误，根据正六棱锥的过中心和定点的截面知C错误，由圆锥的母线进行判断知D正确．【解答】解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B、如图（2）（3）所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的结构特征的应用，结合柱体、椎体和台体的结构特征，以及几何体的直观图进行判断，考查了空间想象能力．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设PF＝λFC，则λ＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，由已知可确定点F为三角形的重心，从而可得答案．【解答】解：延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，平面ABE即为平面AEG，连接PG，因为AD＝2BC，且AD∥BC，可得点C，B分别是DG和AG的中点，又点E是PD的中点，即GE和PC分别为△PDG的中线，从而可得点F为△PDG的重心，即PF＝2FC，可得λ＝2，故选：C．【点评】本题考查平面的确定和三角形的重心的性质，考查分析和推理能力，属于中档题．5．若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为()A B C．2πD．2π【分析】根据题意，设正方体的棱长为a ，进而可得正方体的表面积S ，求出正方体的体对角线的长，分析可得球的半径，即可得球的表面积，据此计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设正方体的棱长为a ，则其表面积26S a =，，正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的半径r =，则球的表面积2243S r a ππ'==， 故正方体与这个球的表面积之比2S S π='； 故选：C ．【点评】本题考查正方体与球的关系，涉及球的表面积的计算，属于基础题．6．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱DC 的中点，则异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值为( )ABCD【分析】连结1AD ，1D E ，由11//BC AD ，得1D AE ∠是异面直线AE 与1BC 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE 与1BC 所成角的余弦值．【解答】解：连结1AD ，1D E ，11//BC AD ，1D AE ∴∠是异面直线AE 与1BC 所成角（或所成角的补角）， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1，则1AD =1AE D E ==，2221111552cos 2AD AE D E D AE AD AE +-+-∴∠===⨯⨯BC．异面直线AE与1故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线间的位置关系、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．下列说法正确的是②④①用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆；②圆台的任意两条母线延长后一定交于一点；③有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥；④若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥；⑤用斜二测画法作出正三角形的直观图，则该直观图面积为原三角形面积的一半．【分析】用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，可判断①错误；由圆台的概念知圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，可判断②正确；依照棱锥的定义，其余各面的三角形必须有公共的顶点，可判断③错误；若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过中线和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，可判断④正确；通过作图后计算可判断⑤错误．【解答】解：在①中，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故①错误；在②中，由圆台的概念知圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，故②正确；在③中，依照棱锥的定义，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故③错误；在④中，若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过中线和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，故④正确；在⑤中，如图△A'B'C'是边长为2的正三角形ABC的直观图，则A'B'＝2，C'D'为正三角形ABC的高CD的一半，即C'D'=12×√3=√32．则高C'E＝C'D'sin45°=√32×√22=√64，∴三角形△A'B'C'的面积为12×2×√64=√64．原三角形高CD=√22−1=√3，原三角形面积ABC为12×2×√3=√3．故⑤错误．∴说法正确的是②④．故答案为：②④．【点评】本题考查几何体的特征的判定，明确几何体的定义是解决问题的关键，属中档题．考点二 三视图与表面积体积的计算（一） 平行投影1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．2.平行投影： 1）概念：已知图形F ，直线l 与平面α相交，过F 上任意一点M 作直线MM ′平行于l ，交平面α于点M ′，则点M ′叫做点M 在平面α内关于直线l 的平行投影（或象）；如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线l 的平行投影构成图形F ′，则F ′叫做图形F 在α内关于直线l 的平行投影．平面α叫做投射面，l 叫做投射线．2）性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质： ①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．3）正投影：概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影． FM F 'M ' l性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．（二）直观图与三视图1. 三视图：俯视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；主视图：一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主视图；左视图：和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．三视图：将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．2.直观图：概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法：1）斜二测画法规则：①在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz= 90°，∠yOz=90°．（三维空间中）②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′ ， O′y′ ， O′z′，使∠x′O′y′= 45°或135°，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．（二维平面上）③已知图形中，平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．（三）空间几何体的表面积1.直棱柱与圆柱的侧面积：等于它的底面周长和高（母线）的乘积．S=cℎ，其中c为底面的周长，ℎ为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2.正棱锥（圆锥）的侧面积：等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半．S=12cℎ′=12naℎ′，其中a为底面边长，ℎ′为斜高；S=12cl=πrl，其中c为底面周长，r为圆锥的底面半径，l为母线长；3.正棱台（圆台）的侧面积：等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半．S正棱台=12(c+c′)ℎ′=n2(a+a′)ℎ′，其中a,a′分别是正棱台上下底面的边长，ℎ′为斜高；S正棱台=12(c+c′)l=π(r+r′)l，其中r,r′分别是圆台上下底面的半径，l为母线长；4.球面面积：等于它的大圆面积的四倍．S球=4πR2，R为球的半径．（四）空间几何体的体积1.柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V柱体=Sℎ，其中S为底面积，ℎ为高；2.棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：V棱体=13Sℎ，其中S为底面积，ℎ为高；3.台体（棱台，圆台）的体积公式：V台体=13ℎ(S+√SS′+S′)，其中S′,S分别是台体上，下底面的面积，ℎ为台体的高；球的体积：V球=43πR3，R为球的半径．典例精讲1．一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A．8−2π3B．4−π3C．8−π3D．4−2π3【分析】根据三视图可得该几何体是由棱长为2的几何体挖去两个圆锥所得，利用正方体、圆锥体积公式即可计算．【解答】解：根据三视图可得该几何体是由棱长为2的几何体挖去两个圆锥所得，如图，则该几何体的体积为V=2×2×2−2×13π×12×1=8−2π3．故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．属于中档题．2．设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45°的纬度线上去，且其经度差为90°，则A，B两地的球面距离是（）A．πR B．πR2C．πR3D．πR6【分析】设在北纬45°的纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA、OB、OC、AC、BC．根据地球纬度的定义，算出小圆半径AC＝BC=√22R．由A、B两地经度差为90°，在Rt△ABC中算出AB=√AC2+BC2=R，从而得到∠AOB=π3，利用球面距离的公式加以计算，即可得到A、B 两地的球面距离．【解答】解：设在北纬45°的纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA、OB、OC、AC、BC，则OC⊥平面ABCRt△ACO中，AC＝OA cos45°=√22R，同理BC=√22R，∵A、B两地经度差为90°，∴∠ACB＝90°，Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=R由此可得△AOB是边长为R的等边三角形，得∠AOB=π3∴A、B两地的球面距离是π3R．故选：C．【点评】本题求地球上北纬45度圈上两点的球面距离，着重考查了球面距离及相关计算、经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力．3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（）A．2√2B．3 C．2√3D．√13【分析】根据三视图，还原出原图，根据勾股定理可得．【解答】解：根据题意，该三棱锥的原图为如图的S﹣ABC，SD在俯视图中投成了一个点，故SD⊥平面ABCD（ABCD为俯视图的四个顶点），DE平行于正视的视线，故DE⊥BC，根据题意，DE＝BE＝SD＝2，所以SB为最长的棱，因为BD⊂ABCD，∴SD⊥BD，∴BD2＝DE2+BE2＝8，∴SB=√BD2+SD2=√8+4=2√3．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，由三视图还原原图是解决问题的难点，属于中档题．4．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器--商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．4【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个圆柱和长方体组成，如图所示：由图可知，该几何体的表面积为2(33)(5.4)42.2x x x π+++-=，解得4x =，故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺【分析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=12×3×2×2＝6，四棱锥的体积V2=13×1×3×2＝2，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V＝V1+2V2＝10立方丈＝10000立方尺．故选：A．【点评】本题考查几何体体积的计算，正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是关键．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为()A B ．32π C ．36π D ．48π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，最后求出表面积． 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为三棱锥体:A BCD - 如图所示：设外接球的半径为r ，则：2222(2)444r =++，解得212r =， 所以：41248S ππ=⨯=． 故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，球的体积公式和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AA1＝2，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O﹣ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为16π．【分析】设AB＝a，BC＝b，球的半径为r．连接AC1∩A1C＝O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=12AA1=1，三棱锥O﹣ABC的体积为1，即13×12ab=1，即12ab=3，表示出r，根据基本不等式可得r的最小值，从而得到球的表面积的最小值．【解答】解：如图，因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC＝90°，设AB＝a，BC＝b，球的半径为r．连接AC1∩A1C＝O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=12AA1=1，又因为三棱锥O﹣ABC的体积为1，即13×12ab=1，即12ab=3，所以r=√AD2+OD2=(√a2+b22)2+12≥√12ab+1=2，当且仅当a＝b时等号成立，所以球O表面积的最小值为S＝4πr2＝16π．故填：16π．【点评】本题借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等．属于中档题．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为5π3【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知：几何体是一个半圆柱，四分之一的球个半圆锥，组成，半径为1，高为2．几何体的体积为：12×12π⋅2+12×13×12π⋅2+14×43π×13=5π3．故答案为：5π3．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，组合体的体积的求法，考查计算能力．考点三 点线面的位置关系（一）点线面的位置关系1.用集合表示：1）点A 在直线l 上，记作：A ∈l ；点A 不在直线l 上，记作A ∉l ； 2）点A 在平面α内，记作：A ∈α；点A 不在平面α内，记作A ∉α； 3）直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l ⊂α；4）直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l ⊄α；5）直线l 和m 相交于点A ，记作l ∩m ={A}，简记为l ∩m =A ； 6）平面α与平面β相交于直线a ，记作α∩β=a ．（二）平面的三个公理及推论1.三个公理：1） 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．图形语言表述：如右图：符号语言表述：A ∈l,B ∈l,A ∈α,B ∈α⇒l ⊂α2） 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．图形语言表述：如右图，符号语言表述：A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α,B ∈α,C ∈α．3）公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．Array图形语言表述：如右图：符号语言表述：A∈α∩β⇒α∩β=a,A∈a．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．2.三个推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3.共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面．4.重要方法：1）证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线2）证明直线共面通常的方法：①先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内（纳入法）；②分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（重合法）；③也可利用共面向量定理来证明．3）公理2是证明直线共点的依据，应该这样理解：①如果A、B是交点，那么AB是交线；②如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面；。
立体几何高考专题之空间点线面的位置关系(原卷版含解析)
专题08 立体几何第二十讲空间点线面的位置关系2019年1.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线2.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．3.（2019全国II文7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面4.（2019北京文13）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．5.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．6.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．7.(2019全国III 文19）图1是由矩形ADEB 、Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.8.（2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．9.（2019天津文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.10.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．11.（2019浙江19）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.12.（2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．13.（2019全国1文16）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．14.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．15.（2019天津文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.16.（2019浙江8）设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β17.（2019浙江19）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.2015-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．22B ．32C ．52D ．722．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2017新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是4．（2017新课标Ⅲ）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥5．（2016年全国I 卷）平面α过正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A 3B ．22 C3 D ．136．（2016年浙江）已知互相垂直的平面αβ， 交于直线l ．若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则 A ．m ∥l B ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n三、解答题7．（2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥-P ABC 中，22==AB BC4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．O MPCBA(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．8．（2018全国卷Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．ABCD M9（2018北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．PFEDCBA(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD ．10．（2018天津）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，AD =90BAD ∠=．(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．M A BCD11．(2018江苏)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．D 11B 1A 1DCBA求证：(1)AB ∥平面11A B C ；(2)平面11ABB A ⊥平面1A BC ．12．(2018浙江)如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．C 1B 1A 1CBA(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．13．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=． DCBA P(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若PCD ∆的面积为P ABCD -的体积。
空间立体几何点线面关系（课堂练习）
空间立体几何点线面关系一、选择题一、选择题1、以下命题（其中a ，b 表示直线，a 表示平面）表示平面）①若a ∥b ，b Ìa ，则a ∥a ②若a ∥a ，b ∥a ，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥a ，则a ∥a ④若a ∥a ，b Ìa ，则a ∥b 其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是（ ））（A ）0个（B ）1个 （C ）2个（D ）3个2、已知a ∥a ，b ∥a ，则直线a ，b 的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交交；⑤不垂直且不相交..其中可能成立的有（其中可能成立的有（ ）） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个3、如果平面a 外有两点A 、B ，它们到平面a 的距离都是a ，则直线AB 和平面a 的位置关系一定是定是 （ ））（A ）平行（B ）相交（C ）平行或相交）平行或相交 （D ）AB Ìa 4、已知m ，n 为异面直线，m ∥平面a ，n ∥平面b ，a ∩b =l ，则l （ ） （A ）与m ，n 都相交都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交中至少一条相交 （C ）与m ，n 都不相交都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交中一条相交 5、已知直线m 、n 与平面α、β,给出下列三个命题：给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α,则m ∥n ;②若m ∥α,n ⊥α,则n ⊥m ;③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是 A ．0 B 0 B．．1 C 1 C．．.2 D .2 D．．36、若a 、b 为空间两条不同的直线，a 、b 为空间两个不同的平面，则a a ^的一个充分条件是条件是A ．//a b 且a b ^B B．．a b Ì且a b ^C C．．a b ^且//b aD.a b ^且//a b7、设直线m n 、和平面a b 、，则下列命题中正确．．的是的是 A ．若//m n m n a b ÌÌ，，，则//a b B B．若．若//m n m n a b Ì^，，，则a b ^ C ．若m m n n a b ^^Ì，，，则//a b D D．若．若//m n m n a b ^^，，，则a b ^ 8、对于平面a 和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是下列命题中真命题是A ．若,,m m n a ^^则n a ∥B B．若．若m a a ∥,n ,n∥∥,则m ∥nC ．若,m n a a Ì∥,则m ∥nD D．若．若m 、n 与a 所成的角相等，则m ∥n9、若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线垂直的直线 （ ））A ．只有一条．只有一条B ．有无数条．有无数条C ．所有直线．所有直线D ．不存在．不存在 1010、经过平面、经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有垂直的平面有（ ））A ．0个B ．1个C ．无数个．无数个D ．1个或无数个个或无数个1111、已知直线、已知直线a ，b 和平面a ，下列命题中正确的是（，下列命题中正确的是（ ）） A ．若b a b a //,,//则a a ÌB ．若b a b a //,//,//则a aC ．若a a //,,//a b b a 则ÌD ．若a a a //,//,//b b a b a 或则Ì1212、已知直线、已知直线m ⊥平面α，直线Ìn 平面β，下列说法正确的有，下列说法正确的有 （ ））①若①若n m ^则,//b a ②若b a ^，则m //n ③若③若m //n ，则b a ^④若b a //,则n m ^A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个1313、已知平面、已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么平行，那么（ ）A ．α∥βB ．α与β相交相交C ．α与β重合重合D ．α∥β或α与β相交相交1414、经过平面外两点与这个平面平行的平面、经过平面外两点与这个平面平行的平面、经过平面外两点与这个平面平行的平面 （ ） A ．只有一个．只有一个 B ．至少有一个．至少有一个 C C．可能没有．可能没有．可能没有D ．有无数个．有无数个1515、已知、已知,m n 是两条不同直线，,,a b g 是三个不同平面，下列命题中正确的是（是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ））A ．,,m n m n a a 若则‖‖‖B ．,,a g b g a b ^^若则‖C ．,,m m a b a b 若则‖‖‖D D．．,,m n m n a a ^^若则‖1616、设有直线、设有直线m 、n 和平面a 、b 。
立体几何-点线面的位置关系考试试题简单
姓名：__________ 日期：__________ 成绩：__________时间： 120分钟 满分： 150分 试卷类型： A 考试内容： 点线面的位置关系 . 一、选择题(本大题共10个小题，每个小题5分，共50分) 1．下列说法正确的是（ ）A ．任意三点可确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．一条直线和一个点确定一个平面 2．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给出下列4个命题： ①若,//,//m n m n αα⊂则 ②若,//,m n m n αα⊥⊥则 ③若,,//m m αβαβ⊥⊥则 ④若//,//,//m n m n αα则 其中真命题的序号为（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中错误的是（ ） A ．若,m m αβ⊥⊥，则α∥β B ．若α∥γ，β∥γ，则α∥β C ．若,,m n m αβ⊂⊂∥n ，则α∥βD ．若,m n 是异面直线，,,m n m αβ⊂⊂∥β，n ∥α，则α∥β4．设m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平 面，则下列为假．命题的是（ ） A 、若,//m n αα⊥，则m n ⊥ B 、若//,//,,m m αββγαγ⊥⊥则 C 、若,,//m m αβαβ⊥⊥则 D 、若,,//αγβγαβ⊥⊥则 5．对于平面α与共面的直线m ，n ，下列命题为真命题的是（ ）A ．若m ，n 与α所成的角相等，则m//nB ．若m//α，n//α，则m//nC ．若m n ⊥，m α⊥，则n //αD ．若m α⊂，n//α，则m//n 6．已知：b αβ= ，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）A ．a b //B ．a b ⊥C ．a ，b 相交但不垂直D ．a ，b 异面7．若,,a b c 是空间三条不同的直线，,αβ是空间中不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．若c α⊥，c β⊥，则//αβB ．若b α⊂，b β⊥，则αβ⊥C ．当,b a αα⊂⊄且c 是a 在α内的射影，若b c ⊥，则a b ⊥D ．当b α⊂且c α⊄时，若//c α，则//b c8．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，是下列命题中正确的是（ ） A ．若//a b ，//a α，则//b α B ．若αβ⊥，//a α，则a β⊥C ．若αβ⊥，a β⊥，则//a αD ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥AB FED N CM9．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③10．棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,点M,N 分别在线段AB 1,BC 1上， 且AM=BN,给出以下结论:①AA 1⊥MN ； ②异面直线AB 1,BC 1所成的角为60° ③四面体B 1 D 1CA 的体积为31； ④A 1C ⊥AB 1,A 1C ⊥BC 1． 其中正确的结论的个数为（ ） A ．1 B.2 C ．3 D ．4二、填空题(本大题共5个小题，每个小题5分，共25分)11．如果三个平面把空间分成六个部分，那么这三个平面的位置关系是 ． 12．关于直线,m n 和平面,αβ，有如下四个命题: （1）若||,||,||m n αβαβ，则||m n ； （2）若||m n ，,n n αβ⊂⊥，则αβ⊥； （3）若,||m m n αβ= ，则||n β且||n β； （4）若,m n m αβ⊥= ，则n α⊥或n β⊥． 其中真命题的个数是 ．13．已知：l m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，给出下列五个命题：①若l 垂直于α内的两条直线，则α⊥l ； ②若α//l ，则l 平行于α内的所有直线； ③若,,βα⊂⊂l m 且,m l ⊥则βα⊥； ④若,β⊂l 且,α⊥l 则βα⊥； ⑤若βα⊂⊂l m ,且,//βα则l m //.其中正确命题的序号是 ． 14．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①//BM 平面DE ； ②//CN 平面AF ；③平面BDM //平面AFN ； ④平面BDE //平面NCF ．以上四个命题中，正确命题的序号是 ．F EDC BA P15．设,αβ为使互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①//,,//m n n m αα⊂若则；②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则； ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则；④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则． 其中正确命题的序号为 ． 三、解答题(本大题共6个小题，共75分) 16．(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点． （1）求证：//AP 平面MBD ； （2）若AD PB ⊥，求证：BD ⊥平面PAD .17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，若E 、F 分 别为PC 、BD 的中点.（1）求证：EF //平面PAD ；（2） 求证：平面PDC ⊥平面PAD ．P M B C DASDCBA如图，四边形A BCD 与A'ABB'都是边长为a 的正方形，点E 是A'A 的中点，AA 'ABCD ⊥平面 （1）求证：A 'C //BDE 平面；（2）求证：平面A 'AC BDE ⊥平面； （3）求体积ABCD A V -'与ABD E V -的比值．19．(本小题满分12分)已知ABC ∆中90ACB ∠= ，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥． 求证：AD ⊥面SBC .如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点． （1）求证：⊥AB 平面CDE ；（2）若G 为ADC ∆的重心，试在线段AE 上确定一点F ，使得GF//平面CDE ．如图，在正四棱锥ABCD P -中，底面是边长为2的正方形，侧棱6=PA ,E 为BC 的中点，F 是侧棱PD 上的一动点。
专题八 立体几何 第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案
专题八 立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案部分1．A 【解析】记该正方体为''''-ABCD A B C D ，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱'A A ，''A B ，''A D 与平面α所成的角都相等，如图， 连接'AB ，'AD ，''B D ，因为三棱锥'''-A AB D 是正三棱锥，所以'A A ，''A B ，''A D 与平面''AB D 所成的角都相等，分别取''C D ，''B C ，'BB ，AB ，AD ，'DD 的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ．GH ，IH ，IJ ，IE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面''AB D 平行，且截正方体所得截面的面积最大，又2======EF FG GH IH IJ JE ，所以该正六边形的面积为26=α，故选A ． 2．C 【解析】解法一 如图，补上一相同的长方体1111-CDEF C D E F ，连接1DE ，11B E ．易知11∥AD DE ，则11∠B DE 为异面直线1AD 与1DB 所成角．因为在长方体1111-ABCD A B C D 中，1==AB BC ，1=AA所以12===DE ，1==DB11===B E ，在11∆B DE 中，由余弦定理，得22211cos 5∠==B DE ，即异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为5，故选C ． 解法二 以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，1D ，1(1B ，所以1(1=-AD ，1(1,1=DB ，则由向量夹角公式，得1111112cos ,5||||2⋅<>===AD DB AD DB AD DB ， 即异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为5，故选C ． 3．A 【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．4．D 【解析】由题意知四棱锥S ABCD -为正四棱锥，如图，连接BD ，记AC BD O =，连接SO ，则SO ⊥平面ABCD ，取AB 的中点M ，连接SM ，OM ，OE ，易得AB SM ⊥，则2SEO θ=∠，3SMO θ=∠，易知32θθ≥．因为OM ∥BC ，BC AB ⊥，SM AB ⊥，所以3θ也为OM 与平面SAB 所成的角，即BC 与平面SAB 所成的角，再根据最小角定理知，31θθ≤，所以231θθθ≤≤，故选D ．5．C 【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线1AB 与1BC 所成角为11B AD ∠211601B D===1AD=1AB ，∴22222211111111cos 25AB AD B D B AD AB AD +-∠===⨯⨯．选C ． 6．B 【解析】设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=，tan OD OF β=，tan OD OGγ=， 图1图2由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A -，(1,0)B ，C，O ，∵AP PB =，2BQ CR QCRA ==，∴1(3Q ，2(3R -，则直线RP 的方程为2y x =-，直线PQ 的方程为y =，直线RQ 的方程为39y x =+，根据点到直线的距离公式，知21OE =39OF =，13OG =，∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<，因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<．选B7．A 【解析】因为过点A 的平面α与平面11CB D 平行，平面ABCD ∥平面1111A B C D ，所以m ∥11B D ∥BD ，又1A B ∥平面11CB D ，所以n ∥1A B ，则BD 与1A B 所成的角为所求角，所以m ，n A ． 8．B 【解析】由“m α⊥且l m ⊥”推出“l α⊂或l α∥”，但由“m α⊥且l α∥”可推出“l m ⊥”，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要而不充分条件，故选B ．9．B 【解析】解法一 设ADC θ∠=，2AB =，则由题意知1AD BD A D '===．在空间图形中，连结A B '，设A B '=t ．在ΔA DB '中，2222222112cos 22112A D DB A B t t A DB A D DB ''+-+--'∠==='⨯⨯⨯． 过A '作A N DC '⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N M 、．过N 作//NP MB ，使四边形BPNM 为平行四边形，则NP DC ⊥，连结,A P BP '，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，所以A NP α'∠=． 在ΔRt A ND '中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=． 同理，sin BM PN θ，cos DM θ，故2cos BPMN θ．显然BP ⊥平面A NP '，故BP A P '⊥．在ΔRt A BP '中，222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-． 在ΔA NP '中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NPα''+-'=∠='⨯ 22222sin sin (4cos )2sin t θθθθ+--==222222222cos 2cos 2sin 2sin sin t t θθθθθ+--=+ 2221cos cos sin sin A DB θθθ'=∠+，所以2221cos cos cos cos cos sin sin A DB A DB A DB θαθθ'''-∠=∠+-∠ 2222221sin cos cos cos (1cos )0sin sin sin A DB A DB θθθθθθ-''=∠+=+∠≥， 所以cos cos A DB α'∠≥（当2πθ时取等号），因为α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，所以A DB α'∠≤，故选B ．解法二 若CA CB ≠，则当απ时，A CB π'∠<，排除D ； 当0α时，0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A 、C ，故选B ．10．D 【解析】利用正方体模型可以看出，1l 与4l 的位置关系不确定．选D ．11．C 【解析】选项,,A B D 中m 均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C ．12．B 【解析】对于选项A ，若//,//,m n αα，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项B 正确；对于选项C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α⊂或//n α，C 错误；对于选项D ，若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n 与α相交，D 错误．故选B ．13．D 【解析】作PH BC ⊥，垂足为H ，设PH x =，则CH =，由余弦定理AH =1tan tan (0)PH PAH AH xθ=∠==>，故当1x =tan θ． 14．B 【解析】直线OP 与平面1A BD 所成的角为α的取值范围是1112AOA C OA π∠→→∠，由于1sin AOA ∠=11sin 2C OA ∠==>，sin 12π= 所以sin α的取值范围是．15．D 【解析】作正方形模型，α为后平面，β为左侧面可知D 正确．16．D 【解析】A 中,m n 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中,m n 还可能为异面；C 中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立，选D ．17．B 【解析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵l ∥α，l ⊥β，则αβ．如选项A ：l ∥α，l ∥β时，α⊥β或α∥β；选项C ：若α⊥β，l ⊥α，l ∥β或l β⊂； 选项D ：若α⊥β, l ⊥α，l ∥β或l ⊥β．18．B 【解析】过点A 作AE BD ⊥，若存在某个位置，使得AC BD ⊥，则BD ⊥面ACE ，从而有BD CE ⊥，计算可得BD 与CE 不垂直，则A 不正确；当翻折到AC CD ⊥时，因为BC CD ⊥，所以CD ⊥面ABC ，从而可得AB CD ⊥；若AD BC ⊥，因为BC CD ⊥，所以BC ⊥面ACD ，从而可得BC AC ⊥，而1AB BC =<=，所以这样的位置不存在，故C 不正确；同理，D 也不正确，故选B ．19．D 【解析】对于D ，若平面α⊥平面β，则平面α内的某些直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其余选项易知均是正确的．20．D 【解析】D 两平行直线的平行投影不一定重合，故A 错；由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知B 、C 均错误，故选D ．21．【解析】如图所示，设S 在底面的射影为S '，连接AS '，SS '．SAB ∆的面积为2211sin 2216SA SB ASB SA SA ⋅⋅⋅∠=⋅==，∴280SA =，SA =．∵SA 与底面所成的角为45，∴45SAS '∠=，cos 45452AS SA '=⋅==∴底面周长2l AS π'=⋅=，∴圆锥的侧面积为12⨯=． 22．②③④【解析】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为直线n ,ABCD 所在的平面为α．ABC D ''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则l n ∥， 由m α⊥，有m l ⊥，从知m n ⊥结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．23．78【解析】如图连接ND ，取ND 的中点E ，连接,ME CE ，则//ME AN ． 则异面直线AN ，CM 所成的角为EMC ∠，由题意可知1CN，22AN ， ∴2ME ．又22CM ，22DN ，2NE ，∴3CE， 则2228237cos 282222CM EM CE CME CM EM +-+-∠===⨯⨯⨯． 24．25【解析】AB 为x 轴，AD 为y 轴，AQ 为z 轴建立坐标系， 设正方形边长为2．22cos ,55mm θ-=+令[]22()(0,2)525m f m m m -=∈+max 2()(0)5f m f ==，即max 2cos 5θ=． 25．②③【解析】如图BDEF 为底面圆的内接正方形，设1AC BC ==，则2AB AD AE AF FB FE ED BD ========，即侧面均为等边三角形，∵AC ⊥底面BDEF ，假设a FB ∥，由题意b BD ∥，当直线AB 与a 成60°角时，由图可知AB 与b 成60°角，所以①错，②正确；假设a EB ∥，可知③正确，④错．所以正确为②③．26．【证明】(1)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ∥11A B ．因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以AB ∥平面11A B C ．(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形11ABB A 为平行四边形．又因为1AA AB =，所以四边形11ABB A 为菱形，因此1AB ⊥1A B ．又因为1AB ⊥11B C ，BC ∥11B C ，所以1AB ⊥BC ．又因为1A B BC =B ，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ．因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面1A BC ．27．【解析】(1)由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=．故111AB A B ⊥．由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得11B C =由2AB BC ==，120ABC ∠=得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥．因此1AB ⊥平面111A B C ．(2)如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD ．由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角．由11B C =11A B =，11AC得111cos C A B ∠=，111sin C A B ∠=，所以1C D，故111sin 13C D C AD AC ∠==． 因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13． 方法二 (1)如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -．由题意知各点坐标如下：(0,A ，(1,0,0)B，1(0,A ，1(1,0,2)B，1C ，因此1(1,AB=，11(1,2)A B =-，113)AC =-，由1110AB A B ⋅=得111AB A B ⊥． 由1110AB AC ⋅=得111AB AC ⊥． 所以1AB ⊥平面111A B C ．(2)设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ．由(1)可知1AC =，(1,AB =，1(0,0,2)BB =，设平面1ABB 的法向量=()x,y,z n ．由100AB BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即020x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取(=n． 所以111||sin |cos ,|13||||AC ACAC θ⋅=<>==⋅n n n ． 因此，直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是13． 28．【解析】（Ⅰ）如图，设P A 中点为F ，连结EF ，FB ．因为E ，F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且12EF AD =，又因为BC ∥AD ，12BC AD =，所以 EF ∥BC 且EF =BC ， 即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ，因此CE ∥平面P AB ．（Ⅱ）分别取BC ，AD 的中点为M ，N ．连结PN 交EF 于点Q ，连结MQ ．因为E ，F ，N 分别是PD ，P A ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点，在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE ．由PAD ∆为等腰直角三角形得PN ⊥AD ．由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD ．所以AD ⊥平面PBN ，由BC ∥AD 得BC ⊥平面PBN ，那么，平面PBC ⊥平面PBN ．过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连结MH ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角． 设CD =1．在PCD ∆中，由PC =2，CD =1，PD CE在△PBN 中，由PN =BN =1，PB 得14QH =，在Rt MQH ∆中，14QH =，MQ ，所以sin QMH ∠=，所以，直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是8． 29．【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，所以EF AB ∥．又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD ．因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD ．又AB AD ⊥，BC AB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥．30．【解析】（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A =，所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒，因此30CBP ∠=︒（Ⅱ）解法一：取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH ．因为120EBC ∠=︒，所以四边形BEHC 为菱形，所以AE GE AC GC =====取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ．则EM AG ⊥，CM AG ⊥，所以EMC ∠为所求二面角的平面角．又1AM =，所以EM CM ===在BEC ∆中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=，所以EC =EMC ∆为等边三角形，故所求的角为60︒．解法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E，G，(C -，故(2,0,3)AE =-，(1,AG =，(2,0,3)CG =，设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量．由00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1111230,0,x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取12z =，可得平面AEG的一个法向量(3,2)=m ．设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得22220,230,x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取22z =-，可得平面ACG的一个法向量(3,2)n =-．所以1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅． 因此所求的角为60︒．31．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为AC =40AM =．所以30MN ==，从而3sin 4MAC ∠=． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11116sin PQ AP MAC==∠． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ，所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG ．同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G ．记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32．因为EG = 14，11E G = 62，所以1KG =6214242-=，从而140GG ===． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠． 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠42473(35)525255=⨯+-⨯=． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =2220sin P NEGQ =∠． 答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)32．【解析】（Ⅰ）由已知可得AF DF ⊥，AF FE ⊥，所以AF ⊥平面EFDC ．又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ．（Ⅱ）过D 作DG EF ⊥，垂足为G ，由（Ⅰ）知DG ⊥平面ABEF ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，||GF 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（Ⅰ）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=，则2DF =，DG =，可得(1,4,0)A ，(3,4,0)B -，(3,0,0)E -，D ．由已知，AB EF ∥，所以AB ∥平面EFDC ．又平面ABCD 平面EFDC DC =，故AB CD ∥，CD EF ∥．由BE AF ∥，可得BE ⊥平面EFDC ，所以CEF ∠为二面角C BE F --的平面角， 60CEF ∠=．从而可得(C -．所以EC =，(0,4,0)EB =，(3,AC =--，(4,0,0)AB =-． 设(),,n x y z =是平面BCE 的法向量，则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩，即040x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(3,0,n =． 设m 是平面CD AB 的法向量，则C 00m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩， 同理可取()0,3,4m =．则219cos ,19n m n m n m ⋅==- 故二面角C E-B -A 的余弦值为． 33．【解析】（I ）证明：∵54AE CF ==， ∴AE CF AD CD=，∴EF AC ∥． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥．∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AE OH OD AO =⋅=，∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =，∴'D H ⊥面ABCD ．（Ⅱ）建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =，，，()'133AD =-，，，()060AC =，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =，，，∴12129cos 52n n n n θ⋅==，∴sin θ． 34．【解析】（Ⅰ）由已知得232==AD AM ， 取BP 的中点T ，连接TN AT ,．由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN ． 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //．因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥， 且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE ． 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(N ， (0,2,4)PM =-，)2,1,25(-=PN ， )2,1,25(=AN ．设(,,)x y z =n 为平面PMN 的法向量，则00PM PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ， 可取(0,2,1)n =， 于是||85|cos ,|25||||n AN n AN n AN ⋅<>== 35．【解析】（Ⅰ）设AC BE O =，连结OF ，EC ，由于E 为AD 的中点，1,//2AB BC AD AD BC ==， 所以//,AE BC AE AB BC ==,因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点，又F 为PC 的中点，因此在PAC ∆中，可得//AP OF ．又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF ．（Ⅱ）由题意知，//,ED BC ED BC =，所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此//BE CD ．又AP ⊥平面PCD ，所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥．因为四边形ABCE 为菱形，所以BE AC ⊥．又AP AC A =，AP ，AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ．36．【解析】（Ⅰ）∵D E ，为PC AC ，中点，∴DE ∥P A∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴P A ∥平面DEF（Ⅱ）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA == ∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC == ∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥∵AC EF E =，∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．37．【解析】（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，则D 1),2E 1(0,)2AE =． 设(,0,0)(0)bm m ，则(c m (AC m =．设1(,,)n x y z =为平面ACE 的法向量，则110,0,n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,10,2mx y z ⎧+=+=，可取1,n m =-． 又2(1,0,0)n =为平面DAE 的法向量， 由题设121cos ,2nn =12=，解得32m =． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12． 三棱锥E ACD -的体积11313222V =⨯⨯=． 38．【解析】（Ⅰ）证明：如图取PB 中点M ，连接MF ，AM ．因为F 为PC 中点，故MF//BC 且MF=12BC ．由已知有BC//AD ，BC=AD ．又由于E 为AD 中点， 因而MF//AE 且MF=AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF//AM ，又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF//平面PAB ．（Ⅱ）（i ）证明：连接PE ，BE ．因为PA=PD ，BA=BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P-AD-B 的平面角．在三角形PAD 中， 由2,AD PA PD ===PE=2．在三角形ABD 中，由BA BD ==，可解得BE=1．在三角形PEB 中，PE=2，BE=1，60PEB ∠=，由余弦定理，可解得90PBE ∠=，即BE ⊥PB ，又BC//AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ， 所以平面PBC ⊥平面ABCD ．（ii ）连接BF ，由（i ）知BE ⊥平面PBC ．所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角，由，∠ABP 为直角，而MB=12，可得，故，又BE=1，故在直角三角形EBF 中，sin BE EFB EF ∠==所以直线EF 与平面PBC 39．【解析】（Ⅰ）设点O 为AC ，BD 的交点，由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线．所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC ．又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD ．所以BD ⊥平面APC ．（Ⅱ）连结OG ．由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12P A在△ABC 中，AC所以OC ＝12AC在直角△OCD 中，OD 2．在直角△OGD 中，tan ∠OGD ＝3OD OG =．所以DG 与平面APC 所成的角的正切值为3． （Ⅲ）连结OG ．因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG ．在直角△P AC 中，得PC所以GC ＝AC OC PC ⋅=从而PG ， 所以32PG GC =．40．【解析】（Ⅰ）由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ．由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC ，又PA∩AC=A,PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ．（Ⅱ）连OG 并延长交AC 与M ，链接QM ，QO ．由G 为∆AOC 的重心，得M 为AC 中点，由G 为PA 中点，得QM//PC ．又O 为AB 中点，得OM//BC ．因为QM∩MO=M,QM ⊂平面QMO ．所以QG//平面PBC ．41．【解析】（Ⅰ）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC,又AD ⊂平面ABC ,所以1CC AD ⊥，又因为AD 1,,DE CC ⊥DE ⊂平面11BCC B ，1CC ,DE E ⋂=所以AD ⊥平面11BCC B ,又AD ⊂平面ADE,所以平面ADE ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）因为1111A B AC =，F 为11C B 的中点，所以111A F B C ⊥．因为1CC ⊥平面111AB C ， 且1A F ⊂平面111A B C ，所以1CC 1.A F ⊥又因为1CC ，11B C ⊂平面11BCC B ，1CC ⋂111B C C =，所以1A F ⊥平面11BCC B ，所以1//A F AD ．又AD ⊂平面ADE ，1A F ⊄平面ADE ，所以1//A F 平面ADE ．42．【解析】（Ⅰ）AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD PH AB ⇒⊥又,PH AD AD AB A PH ⊥=⇒⊥面ABCD（Ⅱ）E 是PB 中点⇒点E 到面BCF 的距离1122h PH ==三棱锥E BCF -的体积1111113326212BCF V S h FC AD h ∆=⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯= （Ⅲ）取PA 的中点为G ，连接,DG EG ，PD AD DG PA =⇒⊥，又AB ⊥平面PAD ⇒面PAD ⊥面PAB DG ⇒⊥面PAB ，点,E G 是棱,PB PA 的中点11//,//////22EG AB DF AB EG DF DG EF ⇒⇒⇒，得：EF ⊥平面PAB ．43．【证明】：（Ⅰ）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD ．（Ⅱ）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以△ABD 为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．44．【解析】法一：（Ⅰ）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD ．因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ∆中，1,60AB AD DAB ==∠=︒，有ABD ∆为等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥⋂=，所以AD ⊥平面PBG ,.AD PB AD GB ⇒⊥⊥又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ⋂=，所以AD ⊥平面DEF ．（Ⅱ）,PG AD BG AD ⊥⊥，PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角， 在2227,4Rt PAG PG PA AG ∆=-=中 在3sin 602Rt ABG BG AB ∆⋅中,== 法二：（Ⅰ）取AD 中点为G ，因为,.PA PD PG AD =⊥又,60,AB AD DAB ABD =∠=︒∆为等边三角形，因此，BG AD ⊥，从而AD ⊥平面PBG ．延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ，又PO ⊂平面PBG ，PO ⊥AD ，,AD OB G ⋂=所以PO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于AD 的直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．设11(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).22P m G n A n D n -则由于3(0,1,0),(,0,0),()222n m AD DE FE ===+-得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ⋅=⋅=⊥⊥⋂=AD ∴⊥平面DEF ．（Ⅱ）1(,,),()2PA n m PB n m =--=+- 取平面ABD 的法向量1(0,0,1),n =-设平面PAD 的法向量2(,,)n a b c =由2230,0,0,0,222b b PA n ac PD n c ⋅=--=⋅=+-=得由取2n = 45．【解析】（Ⅰ）因为四边形ADEF 是正方形，所以FA //ED ．故CED ∠为异面直线CE与AF 所成的角．因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD ．故ED ⊥CD ．在Rt △CDE 中，CD =1，ED =CE故cos CED ∠=ED CE=3．所以异面直线CE 和AF 所成角的余弦值为3． （Ⅱ）证明：过点B 作BG //CD ,交AD 于点G ，则45BGA CDA ∠=∠=．由45BAD ∠=,可得BG ⊥AB ,从而CD ⊥AB ,又CD ⊥FA ,FA ⋂AB =A ,所以CD ⊥平面ABF ．(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG ，即G 为AD 的中点．取EF 的中点N ，连接GN ，则GN ⊥EF ,因为BC //AD ,所以BC //EF ．过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ，则GNM ∠为二面角B -EF -A 的平面角．连接GM ，可得AD ⊥平面GNM ,故AD ⊥GM ．从而BC ⊥GM ．由已知，可得GM =2．由NG //FA ,FA ⊥GM ,得NG ⊥GM ． 在Rt △NGM 中，tan GM 1NG 4GNM ∠==,所以二面角B -EF -A 的正切值为14． 46．【解析】 (Ⅰ)取A D '的中点G ，连结GF ，CE ，由条件易知FG CD ∥，12FG CD =．BE CD ∥，12BE CD =．所以FG BE ∥，FG BE =． 故四边形BEGF 为平行四边形，所以BF EG ∥因为EG ⊂平面'A DE ，BF ⊄平面'A DE ，所以BF //平面'A DE （Ⅱ）在平行四边形ABCD 中，设BC a =，则2AB CD a ==， AD AE EB a ===，连CE ，因为0120ABC ∠=在△BCE 中，可得CE a ，在△ADE 中，可得DE =a ，在△CDE 中，因为222CD CE DE =+，所以CE DE ⊥， 在正三角形'A DE 中，M 为DE 中点，所以A M '⊥DE ． 由平面'A DE ⊥平面BCD ,可知A M '⊥平面BCD , A M '⊥CE ．取A E '的中点N ，连线NM 、NF ，所以NF ⊥DE ，NF ⊥A M '．因为DE 交A M '于M ，所以NF ⊥平面'A DE ，则∠FMN 为直线FM 与平面'A DE 所成角．在Rt △FMN 中，NF =2a , MN =12a ，FM =a ， 则cos FMN ∠=12． 所以直线FM 与平面'A DE 所成角的余弦值为12．。
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立体几何空间点线面关系题1 / 10立体几何空间点线面关系题1、（08天津）：设,a b 是两条直线，,a b 是两个平面，则a b ^的一个充分条件是（ ）。
A 、,//,a b a b a b ^^B 、,,//a b a b a b ^^C 、,,//a b a b a b 蘜D 、,//,a b a b a b 蘜2、（08安徽）已知,m n 是两条不同的直线，,,a b g 是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A 、//,//,m//n m n a a 若则B 、,//a g b g a b ^^若，则C 、//,//,//m m a b a b 若则D 、,,//m n m n a a ^^若则3、（08江西）设直线m 与平面a 相交但不垂直，则下列说法正确的是（ ）A 、在平面a 内有且只有一条直线与直线m 垂直B 、过直线m 有且只有一个平面与平面a 垂直C 、与直线m 垂直的直线不可能与平面a 平行D 、与直线m 平行的平面不可能与平面a 垂直4、（08湖南）已知直线m,n 和平面,a b 满足,,m n m a a b ^^^，则（ ）A 、n b ^B 、//n b b Ì或nC 、n a ^D 、//n a a Ì或n5、对于两条不相交的空间直线,a b ,必存在平面a ，使得（ ）A 、,a b a a 烫B 、,//a b a a ÌC 、,a b a a ^^D 、,a b a a 蘜6、平面//a b 的一个充分条件是（ ）A 、存在一条直线,//,//a a a a bB 、存在一条直线,,//a a a a b ÌC 、存在两条平行直线,,,,//,//a b a ba b a b b a 烫 D 、存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b a b b a 烫7、（07浙江）：若P 是两条异面直线,l m 外任意一点，则（ ）立体几何空间点线面关系题2 / 10A 、过点P 有且只有一条直线与,l m 都平行B 、过点P 有且只有一条直线与,l m 都垂直C 、过点P 有且只有一条直线与,l m 都相交D 、过点P 有且只有一条直线与,l m 都异面8、（07福建）已知m,n 为两条不同的直线，,a b 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A 、,,m//,n////m n a a b b a b 烫?B 、//,,m//n m na b a b 烫? C 、,m n //m n a a ^^? D 、m//n,n ma a ^轣 9、若,m n 是两条不同的直线，,,ab g 是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A 、,,m m b a b a 蘜^若则B 、,//,//m n m n a g b g a b ??若，则C 、,//,m m b a a b ^^若则D 、,,a g a b b g ^^^若则10、（07江苏）已知两条不同的直线,m n ，两个不同的平面,a b ，给出下面四个命题（ ） ①//,n m n m a a ^轣 ②//,,m //m n n a b a b 烫?③//,//n //m n m a a Þ ④//,//,nm n m a b a b ^轣 其中正确的命题是（ ）A 、①③B 、②④C 、①④D 、②③11、（07天津）若l 为一条直线，,,a b g 是三个不重合的平面，给出下列3个命题，其中正确的是（ ）①,a g b g ab ^^轣 ②,//a g b g a b ^轣③//,l l a b a b ^轣 12、（07广东）已知, ,,l m n 是三条不同的直线，,a b 是不同的平面，下列命题正确的是A 、立体几何空间点线面关系题3 / 10//,,,//l n l n a b a b 烫若则 B 、,l l a b a b ^蘜若则C 、//l l m ^^若n,m n,则D 、//l l a b a b ^^若,,则13、（06广东）给出以下四个命题：① 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直其中正确的是（ ）14、（06重庆）若P 是平面a 外一点，则下面正确的是（ ）A 、过点P 只能作一条直线与平面a 相交B 、过点P 可作无数条直线与平面a 垂直C 、过点P 只能作一条直线与平面a 垂直D 、过点P 只能作一条直线与平面a 平行15、（10山东）在空间中，下列命题正确的是（ ）A 、平行直线的平行投影重合B 、平行于同一条直线的两个平面平行C 、垂直于同一平面的两个平面平行D 、垂直于同一平面的两条直线平行16、（04全国）已知,a b 为不垂直的异面直线，a 是一个平面，则,a b 在a 上的射影可能是 ① 两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一直线 ④一条直线和直线外一点 其中正确的命题是： （ ）17、（06陕西）已知平面a 外不共线的三点A 、B 、C 到a 的距离都相等，则正确的结论是（ ）A 、平面ABC 必平行于aB 、平面ABC 必不垂直于aC 、平面ABC 必与a 相交D 、存在ABC 的一条中位线平行于a 或在a 内18、下列条件中，能使直线m α⊥的是（ ）。
A 、,,,m b m c b c αα⊥⊥⊥⊥B 、,//m b b α⊥C 、,m b A b α=⊥D 、//,m b b α⊥19、若直线l 和平面α内无数条直线垂直，则（ ）A 、//l αB 、l α⊥C 、直线l 在平面α内D 、不确定20、垂直于梯形两边所在的直线与梯形所在平面的位置关系是 。
立体几何空间点线面关系题4 / 1021、下列条件中，能使直线m α⊥的是（ ）。
A 、直线l 与平面α内的一条直线垂直B 、直线l 与平面α内的两条直线垂直C 、直线l 与平面α内一个三角形两边所在的直线垂直D 、直线l 与平面α内的无数条直线垂直22、若直线,a b a α⊥⊥，则有（ ）。
A 、b α⊥B 、b α⊂C 、b α⊥D 、//b b αα⊂或23、若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（ ）。
A 、有且只有一个B 、可能存在也可能不存在C 、有无数多个D 、一定不存在24、下列命题正确的是（ ）。
A 、//,//a a a b αα⊂⇒B 、,//a b a b αα⊥⊥⇒C 、,//a a b b αα⊥⊥⇒D 、//,a a b b αα⊥⇒⊥25、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA 垂直底面ABCD ，该图中，互相垂直的面有 。
互相垂直的线有 。
立体几何空间点线面关系题5 / 10直线与平面平行，平面与平面平行的性质练习题1、若平面//平面，直线,a b αβ⊂⊂直线，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ）。
A 、垂直B 、平行C 、异面D 、平行或异面2、已知直线a ，平面//平面，a α⊂，点B ，那么在平面内过点B 的所有直线中（ ）A 、不一定存在与直线a 平行的直线B 、只有两条与直线a 平行的直线C 、存在无数条与直线a 平行的直线D 、存在唯一一条与直线a 平行的直线3、若直线l //平面，m 为平面内任意一直线，则直线l 与m 的位置关系是（ ）。
A 、相交B 、平行C 、异面D 、平行或异面4、在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB α⊄平面，CD α⊂平面，则直线AB 与平面内的直线的位置关系只能是（ ）A 、平行B 、平行和相交C 、平行和异面D 、异面和相交5、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A 、５部分B 、６部分C 、７部分D 、８部分６、如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，E,F 分别是AB ，PC 的中点，如何过点P 做一个平面//面PAD 。
７、如图,过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一个平面交平面AA 1DD 1于EE 1，求证：EE 1//BB 1。
A B C D P F E A BC D A B C D E 1E立体几何空间点线面关系题6 / 10８、如图，EB//DC,P,Q 分别为AE,AB 的中点，求证：PQ//平面ACD 。
9、如图，在四棱锥O-ABCD 中， 底面ABCD 是菱形，M,N 分别为OA,BC 的中点，求证：直线MN//平面OCD 。
B E DC Q P O B C M DN立体几何空间点线面关系题7 / 10线面平行测试题1、已知M 是平面a 外一点，那么过点M 与平面a 平行的直线有（ ）。
Ａ、1条 B 、2条 C 、1条或2条 Ｄ、无数条2、设a,b 表示直线，a 表示平面，则（1）若//,a b b a a a Ì，则与的位置关系为 。
（2）若//,//a b a b a a ，则与的位置关系为 。
（3）若//,//a b b a a a ，则与的位置关系为 。
（4）若//,a b a b a a Ì，则与的位置关系为 。
3、若直线m,n 为异面直线，m//平面a ，n Ì平面b ，l a b ?，则直线l （ ）。
Ａ、与直线m,n 都相交 B 、与直线m,n 中至少一条相交C 、与直线m,n 都不相交 Ｄ、与直线m,n 中至多一条相交4、如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F（1）求证：EF//平面AB1。
（2）求证：EF//平面BD1。
5、如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F 分别为B1B 和B1D1中点，(1)求证：EF//平面AD1。
立体几何空间点线面关系题8 / 106、已知平行四边形ABCD ，P 是平行四边形ABCD 外一点，M ，N 分别是PD,DB 的中点， 求证：MN//平面PBC 。
7、已知平行四边形ABCD ，P 是平行四边形ABCD 外一点，E ，F 分别是PB,PC 的中点， 求证：(1)EF//平面AC 。
(2)EF//平面PAD 。
8、已知四面体P-ABC ，M,N 分别为PB,BC 的中点，求证：MN//平面PAC 。
A B C D P M NBC D P F E P A B C N M立体几何空间点线面关系题9 / 10面面平行测试题1、已知直线l m a b ，，平面，,下列条件能得出平面a b //的是（ ）A 、,//,l l a a b b 烫，m 且m//B 、,//l l a b 烫，m 且mC 、////,////l l l P a a b b ?，m ，m 且mD 、////,//l l a b ，m 且m2、对于不重合的两个平面,a b ，给出下列条件：（1）存在平面g ，使得平面//,//g a g b（2）平面a 内有不共线的三点到平面b 的距离相等（3）存在异面直线l ，m ，使得////,////l l m m a b a b ，，。