空间几何证明知识点及理解练习
高三文科数学复习资料一．选择题1.(2010湖北文数)用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b.A. ①②B. ②③C. ①④D.③④2．（2010山东文数）在空间，下列命题正确的是（）.A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行3、（2010年山东卷）在空间，下列命题正确的是（A ）平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两个平面平行二、解答题：1. （2011年高考山东卷文科19)（本小题满分12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60°.（Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.2 （2011年高考全国新课标卷文科18)（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，︒=∠60DAB ，ABCD PD AD AB 底面⊥=,2，（1）证明：BD PA ⊥;(2) 设，1==AD PD 求三棱锥D-PBC 锥的高.3. （2011年高考福建卷文科20)（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。
EaBDAp（1） 求证：CE ⊥平面PAD ；（11）若PA =AB =1，AD =3，CD =2，∠CDA =45°，求四棱锥P-ABCD 的体积4. （2011年高考湖北卷文科18)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且222==BF ，AE .(Ⅰ)求证：E C CF 1⊥(Ⅱ)求二面角 1C CF E --的大小.5.(2010重庆文数)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，点E 是棱PB 的中点.证明：AE ⊥平面PBC ；6．（2010湖南文数）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D-中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M．7、（2010年全国卷）如图，已知四棱锥P ABCD-的底面为等腰梯形，AB∥CD,AC BD⊥,垂足为H，PH是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD;（Ⅱ）若6AB=,APB ADB∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD-的体积。
空间图形位置的几何证明BCDHP异面但不垂直相交但不垂直垂直平行的位置关系、上的动点，则直线是的中点，是的中心，是底面正方形中，，正方体如图，，∥，，∥，，∥，∥，的一个充分条件是，、和平面、对于直线无最小值，最大值为，无最大值最小值为，最大值为最小值为，最大值为最小值为所成的角与异面的任意直线，则内与是平面的斜线，是平面角，成与平面直线至少有一个平面垂直与过至少有一个平面平行与过平行、至多有一个平面分别与都垂直、至多有一条直线与题正确的是是异面直线，则以下命、若一、选择题....28.4.....32..2...2.....11111111DCBAAEPOBAPDDEABCDODCBAABCDnmnmDmnnmCnmnmBnmnmAnmDCBAbaaabaaaabaDbaCbaBbaAba-⊥⊥⊂⊥⊂=⊥⊥⊥-βααβαβαβαβαβαπθπθθπθϑβαβαβαβαβαβαβαβααβαβαγαβαββγαγαγααγβγβα⊥⊥⊥⊥--∉∈=⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊂=•••baDbaCbaBbaAbaballPDPClPBPAlPPlDmlmCmBmlAmmllml且∥且且∥∥且∥的一个条件是所成的角为定值、是是空间两条直线，则能，角，若是大小确定的一个二面已知的平面垂直与且垂直与过点内的直线在且垂直于过点内的直线在且垂直于过点的直线平行于且垂直于过点是题命假，则下列命题中的，，且点，若平面且∥且∥∥且且，那么必有和，∥，满足：、、与平面、如图直线.....7.....6.....5可）（只需写出一个截面即一个截面试写出满足这样条件的成角相等，条棱所在直线与截面所使正方体的做截面，中过点正方体如图平面⑤平面平面④平面平面③平面平面②平面平面①平面下列五个结论正确的是，平面，中，所示，已知三棱锥如图的最小值为上一动点，则是，，面，，，中，在二、填空题不可能是相交直线不可能是平行直线一定是相交直线一定是异面直线与，那么平行于直线是异面直线，直线，已知相交与平行，则与平面是异面直线，若，设，则是直二面角，若直线设二面角平行内或与平面在，则和一条直线，且内的射影依次是一个点在平面，若直线∥，则都平行于平面，若直线是在下列命题中，真命题个个个个其中正确的命题个数是，则，，④若∥，则，③，则，∥②若∥，则，①若下列四个命题是两个不同的平面，则、是两条不同的直线，、设12.31.1330.12''430890.11.....10.....93.2.1.0..81111A D C B A ABCD ABCPBC PABPAC ABC PAC ABC PAB PBC PAB PAC BC PC PA ABC P PP AB P PC ABC PC ABC AB C ABC D C B A b c a c b a n m n m D m l m l C n n m n m B nm n m A D C B A b a b a a a a b a b a b a -⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥-=⊥︒=∠=︒=∠∆⊥⊥--⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ααββαααααβαβααβαββαβααααβα的大小，求这时二面角，使得边上有且只有一个点）若（，并说明理由，使得边上是否存在一点）问（，且平面，中，已知矩形三、解答题A PD Q QD PQ Q BC QD PQ Q BC PA ABCD PA a a BC AB ABCD --⊥⊥=⊥>==211),0(1.14若不存在，说明理由，若存在，求出平面，使上是否存在点的中点，在线段为的中点，为，，形，为直角的等腰直角三角中，底面是以直三棱柱||32.15111111111AFDFBCFFAACBECADaBBaACABCCBAABC⊥==∠-，请说明理由若有，请求出；若没有和最小值，所成的角是否有最大值与平面上任意一点，问为正方体对角线）设（）求证：（中点，如图为中，的正方体已知棱长为1111111121341.16PEBCACAPBDCAABEDCBAABCD⊥-专题八 空间图形位置的几何证明（答案）一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.B 10.C 二、C AB D AB C AD 1111.13.1272.11或平面或平面平面①③三、BDC A BD BD C A BD C AE B C B A z y x DD DC DA D DFB CF a a AF a b a b a b b a CF F B B a a B a a D B a b a F B b a a CF b a F b AF D B CF F B CF DF B CF F a B a aC a a A a A a C B aBC AB ABC a AC z y x BB BC BA B AP AD AB n n CD QC n n PQD PAD BC Q x x x a Q a a Q a a ax x x a x CD BC QC QB CD QC AP BA QB QD QP CDQC QD AP BA QB QP x a QC x BQ ⊥∴--=--=⋅∴--=--=⊥===⇔=-+=⋅⊥∴=-=⋅∴=-=-==⊥⊥⊥∴==∴︒=∠==∴=++==++=∴===-=-⋅++=⋅=+-=+⋅++=⋅++===+-=<<>≥≥-=+--=+--=⋅+⋅=+⋅++=⋅+=++=-==11111111211221111111111222)0,1,1(),1,1,1()0,1,1(),1,1,1()0,21,1()1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1()1(.162||20)3(2,0)0,22,22(),3,0,2(),,2,2(),,0,2(||)3,0,0(),3,2,0(),3,0,2(),0,0,2(),0,2,0(),0,0,0(2,90,2.1566arccos664111cos ,221,2,2104)()(021)()(1012.2)2(202204011)(,,.)1(.14系，则：轴，建立空间直角坐标轴，轴，分别为、、为坐标原点，以证明：以解：平面时，或故当或恒成立，则，不妨设，且，只要平面，要使假设存在点系轴，建立空间直角坐标轴，轴，分别为、、为坐标原点，以解析：以则记二面角为解得及的法向量为法向量是之中点，由于平面点恰为，即得此时，由时，当存在唯一点时，这样的点不存在当时，只存在一个点存在；当时，点因此，当须欲使这个方程有解，必）（）（由则设解： θθθμλμλμλλμλμλ最大值与最小值均存在。
的最小值为，最小为时，当的最大值为，最大值为时，当，则所成角为与平面设的法向量平面令∴==+-=⋅⋅=--=---=+=∴--=-==∈=32arcsin 32sin 115210arcsin15210sin 73710)73(14332||||||sin ),2,32()1,21,()1,1,1(),1,21,0(),1,21,0(]1,0[,)2(2111111111111ββλββλλββλλλλλλλλn C A n C A PEB C A n PEB P A EA EP C A EA BE A A。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
空间几何体的结构特征例题和知识点总结
空间几何体的结构特征例题和知识点总结在我们的日常生活中，各种各样的物体形状各异，而在数学的世界里，我们把这些物体抽象成空间几何体来进行研究。
接下来，让我们一起深入探讨空间几何体的结构特征，并通过一些例题来加深理解。
一、空间几何体的分类空间几何体主要分为多面体和旋转体两大类。
多面体是由若干个平面多边形围成的几何体。
常见的多面体有棱柱、棱锥、棱台等。
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。
棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。
旋转体是由一个平面图形绕着一条直线旋转所形成的几何体。
常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球等。
圆柱：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。
球：以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的几何体。
二、空间几何体的结构特征1、棱柱的结构特征侧棱都平行且相等。
两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
2、棱锥的结构特征侧面都是三角形。
只有一个顶点。
3、棱台的结构特征上下底面是相似多边形。
各侧棱延长后交于一点。
4、圆柱的结构特征母线平行且相等，都垂直于底面。
两个底面是全等的圆。
5、圆锥的结构特征母线交于顶点。
轴截面是等腰三角形。
6、圆台的结构特征母线延长后交于一点。
上下底面是两个半径不同的圆。
7、球的结构特征球面上任意一点到球心的距离都相等。
三、例题解析例 1：判断下列几何体是否为棱柱。
（1）一个长方体；（2）一个有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体。
解：（1）长方体符合棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以是棱柱。
（2）不一定是棱柱。
第一章---空间几何体知识点归纳及基础练习
第一章 空间几何体一、知识点归纳（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。
(三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π=⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径）2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =⨯底 ②锥体的体积 13V S h =⨯底③台体的体积1)3V S S h =++⨯下上（ ④球体的体积343V R π=二、巩固练习：222r rl Sππ+=1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④解析：正方体三个视图都相同；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆；三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯形但不一定相同；正四棱锥的正视图和侧视图是全等的等腰三角形，故选D.答案：D2．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是( )A ．角的水平放置的直观图不一定是角B ．相等的角在直观图中仍然相等C ．相等的线段在直观图中仍然相等D ．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等 解析：角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角；由正方形的直观图可排除B 、C ，故选D.3．对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）B A.2倍 B.42倍 C.22倍 D.21倍4．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为（ B ）A ．1:2:3B ．1:4:9C ．2:3:4D ．1:8:275．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如图所示，则该几何体的表面积为 （ B ）A ．π12B ．π24C ．π36D ．π486．若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 （ ） （A ） 圆锥 (B)棱柱 （C ）圆柱 (D)棱锥 答案 C.7．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的 正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为 A ．π3 B ．π2 C ．π23D ．π4 答案 C.8．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ A ）B.9．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ B ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对10.三角形ABC 中，AB=32，BC=4，︒=∠120ABC ，现将三角形ABC 绕BC 旋转一周，所得简单组合体的体积为（ ）C A ．π4 B.π)34(3+ C.12π D.π)34(+11．下图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何体的表面积为( D )A.15πB.18πC.22πD.33π12．某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( B )A ．32 B．16+．48 D．16+13．设正方体的棱长为233,则它的外接球的表面积为（ C ） A ．π38B ．2πC ．4πD ．π3414．已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球主视图俯视图左视图侧(左)视图俯视图正(主)视图12题的表面积为 ( ) D A .π7 B .π14 C .π21 D .π28 15．Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成 的几何体的体积为____________。
专题10第一章空间几何体知识点与综合提升题—(解析版)高一数学复习巩固练习(人教A版)
A．6B．32C．12D．62
【答案】C
【分析】
结合斜二测法的画法原理求出 ， ，再结合面积公式求解即可.
【详解】
由斜二测画法特点得 ，
为直角三角形，
，
故选：C.
【点睛】
本题考查由直观图求平面图的面积，属于容易题.
3．如图所示的几何体是（）
A．圆锥B．棱锥C．圆台D．棱柱
三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
二.空间几何体的直观图
斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系 （尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐标系 ，使 =450（或1350）
③画对应图形
在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；
在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；
(1)绳子的最短长度的平方f(x).
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离.
(3)f(x)的最大值.
【答案】(1) f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4). (2) SR= = (0≤x≤4)，(3) f(4)=32.
【解析】试题分析：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图，则该展开图为扇形，且弧AA′的长度L就是⊙O的周长，
∴L＝2πr＝2π.∴∠ASA′＝ ×360°＝ ×360°＝90°，
(1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝ (0≤x≤4)，
∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．
故选：A
【点睛】
已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，即可将三棱锥的外接球扩展为长方体的外接球是解题的关键.
专题08 利用空间向量证明平行、垂直(解析版)
2020年高考数学立体几何突破性讲练08利用空间向量证明平行、垂直一、考点传真：能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系二、知识点梳理：证明平行、垂直问题的思路(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.三、例题：例1. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【解析】证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .例2.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，，，，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)∵面PAD面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ，P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP∵PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，∴PD ⊥面PAB ， (2)取AD 中点为O ，连结CO ，PO ，∵CD AC == ∴CO ⊥AD ， ∵PA PD =， ∴PO ⊥AD ，以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，．011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有，sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>== (3)假设存在M 点使得BM ∥面PCD ， 设AMAPλ=，()0,','M y z ， 由(2)知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量， ∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求． 例3.（2011安徽）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB ∆，OAC ∆，ODE ∆，ODF ∆都是正三角形． （Ⅰ）证明直线BC ∥EF ； （Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积．【解析】（Ⅰ）（综合法）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点． 由于OAB ∆与ODE∆都是正三角形，所以OB ∥DE 21，OG=OD=2， 同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合．在GED ∆和GFD 中，由OB ∥DE 21和OC ∥DF 21，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是GEF ∆的中位线，故BC ∥EF ．（向量法）过点F 作AD FQ ⊥，交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系． 由条件知).23,23,0(),0,23,23(),3,0,0(),0,0,3(--C B F E则有33(,0,),(3,0,BC EF =-=- 所以,2=即得BC ∥EF ．（Ⅱ）由OB=1，OE=2，23,60=︒=∠EOB S EOB 知，而O E D ∆是边长为2的正三角形，故.3=OED S 所以.233=+=OED EOB OBED S S S过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2331=⋅=-OBED OBED F S FQ V 例4.（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，BAD ∠=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点． 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ；（Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD ．【证明】（Ⅰ）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD ．（Ⅱ）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以ABD ∆为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．例5.(2010广东)如图，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =．（Ⅰ）证明：EB FD ⊥；（Ⅱ）已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．【证明】：（Ⅰ）连结CF ，因为¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，所以EB AC ⊥．在RT BCE ∆中，EC ===．在BDF ∆中，BF DF ==，BDF ∆为等腰三角形， 且点C 是底边BD 的中点，故CF BD ⊥．在CEF ∆中，222222)(2)6CE CF a a EF +=+==，所以CEF ∆为Rt ∆，且CF EC ⊥．因为CF BD ⊥，CF EC ⊥，且CE BD C =I ，所以CF ⊥平面BED ， 而EB ⊂平面BED ，CF EB ∴⊥．因为EB AC ⊥，EB CF ⊥，且AC CF C =I ，所以EB ⊥平面BDF ， 而FD ⊂平面BDF ，EB FD ∴⊥．（Ⅱ）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG ．由23FQ FE =，23FR FB =，知//QR EB ． 而EB ⊂平面BDE ，∴//QR 平面BDE ， 而平面BDE I 平面RQD = DG ， ∴////QR DG EB ．由（Ⅰ）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ， 而,DR DB ⊂平面BDF ，∴DG DR ⊥，DG DQ ⊥， ∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角． 在Rt BCF ∆中，2CF a ===，sin FC RBD BF ∠===cos RBD ∠==． 在BDR ∆中，由23FR FB =知，133BR FB ==，由余弦定理得，RD== 由正弦定理得，sin sin BR RD RDB RBD=∠∠，即332sin RDB =∠，sin RDB ∠=故平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值为29．为GC 的中点，FO ＝3，且FO ⊥平面ABCD .(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求证：CF ⊥平面AEF .【解析】证明 取BC 中点H ，连接OH ，则OH ∥BD ，又四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD ，∴OH ⊥AC ，故以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A (3，0，0)，C (－1，0，0)，D (1，－2，0)，F (0，0，3)，B (1，2，0).BC →＝(－2，－2，0)，CF →＝(1，0，3)，BF →＝(－1，－2，3). (1)设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，x ＋3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－3，3，1). 又四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE →＝BF →＝(－1，－2，3)， ∴AE →＝AD →＋DE →＝BC →＋BF →＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，3)， ∴AE →·n ＝33－43＋3＝0，∴AE →⊥n ， 又AE ⊄平面BCF ，∴AE ∥平面BCF .(2)AF →＝(－3，0，3)，∴CF →·AF →＝－3＋3＝0，CF →·AE →＝－3＋3＝0， ∴CF →⊥AF →，CF →⊥AE →， 即CF ⊥AF ，CF ⊥AE ， 又AE ∩AF ＝A ， AE ，AF ⊂平面AEF ， ∴CF ⊥平面AEF .2.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直，M 为AA 1的中点，N 为BC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面A 1B 1C 1； (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .【解析】证明 由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设正方形AA 1C 1C 的边长为2，则A (0,0,0)，A 1(2,0,0)，B (0,2,0)，B 1(2,2,0)，C (0,0,2)，C 1(2,0,2)，M (1,0,0)，N (1,1,1)．(1)因为几何体是直三棱柱，所以侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1.因为AA 1→＝(2,0,0)，MN →＝(0,1,1)，所以MN →·AA 1→＝0，即MN →⊥AA 1→.MN ⊄平面A 1B 1C 1，故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为MB →＝(－1,2,0)，MC 1→＝(1,0,2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →＝0，n 1·MC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1＝0，x 1＋2z 1＝0，，令x 1＝2，则平面MBC 1的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C . 3.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE ＝2，M 为线段BF 的中点．(1)求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M －CDE 的体积； (2)求证：DM ⊥平面ACE .【解析】(1)设AC ∩BD ＝O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，3，0)，D (－1,0,0)，E (－1,0,2)，M (1,0,1)， DE →＝(0,0,2)，DC →＝(1，3，0)，DM →＝(2,0,1)， ∵DE →·DC →＝0， ∴DE ⊥DC ，∴S △DEC ＝12×DE ×DC ＝12×2×2＝2，设平面DEC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝2z ＝0，n ·DC →＝x ＋3y ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，－1,0)，∴M 到平面DEC 的距离h ＝|DM →·n ||n |＝233＋1＝3，∴三棱锥M －CDE 的体积V ＝13×S △CDE ×h ＝13×2×3＝233.(2)证明：A (0，－3，0)，AC →＝(0,23，0)，AE →＝(－1，3，2)， AC →·DM →＝0，AE →·DM →＝－2＋2＝0， ∴AC ⊥DM ，AE ⊥DM ，∵AC ∩AE ＝A ，∴DM ⊥平面ACE .4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面PDC .【解析】证明 (1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点， 所以OF ∥AB .又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD . 因为P A ＝PD ＝22AD ， 所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a2.以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4，且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a4，0，－a 4＝0， 又因为EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a,0)， 所以P A →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0， 所以P A →⊥CD →，所以P A ⊥CD . 又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， PD ，CD ⊂平面PDC ， 所以P A ⊥平面PDC . 又P A ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面PDC .5．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .【解析】证明 如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．(1)∵AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125. 又AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则A P →·BM →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，BM ∩BC ＝B ， ∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BCM .6. 如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .【解析】证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，△PBC 为等边三角形，即PO ⊥BC ， ∵平面PBC ⊥底面ABCD ，BC 为交线，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →， ∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⊂平面P AB ， ∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .7.如图所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2.(1)证明：AC ⊥A 1B ；(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP →＝λP A 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1.【解析】 如图所示，以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0，3)，B (1,1,0)，D 1(－1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(－1,1，3)．(1)证明：AC →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(1,1，－3)， ∴AC →·A 1B →＝0，∴AC ⊥A 1B . (2)假设存在， ∵AP →＝λP A 1→， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫11＋λ，0，3λ1＋λ. 设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AB 1→＝(－1,1，3)，AC 1→＝(－2,1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝－x 1＋y 1＋3z 1＝0，n 1·AC 1→＝－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.令z 1＝3，则y 1＝－3，x 1＝0.∴n 1＝(0，－3，3)．同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3λ＋1，－1， ∴n 1·n 2＝0.∴－331＋λ－3＝0，即λ＝－4.∵P 在棱A 1A 上，∴λ>0，矛盾． ∴这样的点P 不存在．8.如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21， ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1.(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3).从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设平面DA 1C 1的法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1， 则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .。
高中数学空间几何体知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
（ 7）球体：定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征： ①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影） 俯视图（从上向下）
；侧视图（从左向右） 、
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
B．
C． D．
29．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（
）
A． 1 B． C． D． 30．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 是（ ）
，则正视图中的 x 的值
A． 2 B． C． D．3
31．将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD=a，则三棱锥 D﹣ ABC 的体积为（ ）
设三棱锥 F﹣ADE 的体积为 V 1，三棱柱 A 1B1C1﹣ ABC 的体积为 V 2，则 V 1：
V2=
．
39．如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，
记圆柱 O1O2 的体积为 V 1，球 O 的体积为 V 2，则 的值是
．
40．若某几何体的三视图（单位： cm3．
（ 1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角 α的最大值是多少； （ 2）现需要倒出不少于 3000cm3 的溶液，当 α=60°时，能实现要求吗？请说明 理由． 47．如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线 EG， E1G1 的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm．（容器厚度、 玻璃棒粗细均忽略不计） （ 1）将 l 放在容器Ⅰ中， l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1 上，求 l
立体几何知识点和例题(含有答案)
【考点梳理】一、考试内容1.平面。
平面的基本性质。
平面图形直观图的画法。
2.两条直线的位置关系。
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
对应边分别平行的角。
异面直线所成的角。
两条异面直线互相垂直的概念。
异面直线的公垂线及距离。
3.直线和平面的位置关系。
直线和平面平行的判定与性质。
直线和平面垂直的判定与性质。
点到平面的距离。
斜线在平面上的射影。
直线和平面所成的角。
三垂线定理及其逆定理。
4.两个平面的位置关系。
平面平行的判定与性质。
平行平面间的距离。
二面角及其平面角。
两个平面垂直的判定与性质。
二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。
对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。
2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。
对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。
3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。
能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。
三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系（1）角①相交直线所成的角；②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角；③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角；④二面角——用二面角的平面角来度量。
（2）距离①两点之间的距离——连接两点的线段长；②点线距离——点到垂足的距离；③点面距离——点到垂足的距离；④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长；⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。
高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 ．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．O下列命题中，正确的是（ ）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形 是梯形，可知 ，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形 中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（ ）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（ ）A．个 B． 个 C． 个 D． 个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，那么正方体中过点 ，， 的截面形状是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 解：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是 ．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
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由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．，取直线l的方向向量a，则向量及一个向量a，那么经过点A以向量用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：的方向向量分别是a，b，平面α ，β 的法向量分别是，k∈R；0；0；，k∈R；k∈R；＝0．用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：，b是两条异面直线，过空间任意一点分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂．理解直线的方向向量与平面的法向量．．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得RS k PQ =如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．PA 1， ∴),34,0,0()2,00(32321===AA AP ⋅)同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(2要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，EF AK OG 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)C (0，2，0)，N (2，2，1)．),1,0,2(),2,1,0(=CN 所成的角为θ ，则CN ,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．B P ∥MA ，B Q ∥NC ，所成的角．6,522=+==QC PC PQ Q空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，取A 1B 1的中点D ，则，连接AD ，C ⋅))2,2,0(a a D ),2,0,0(),0,,0(),0,0,231a AA a AB a ==,011=⋅AA DC 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．，PA⊥AC，2，∴CD⊥PB．DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．,0(),0,0,2(),0,-==CP CB ＝(a 1，a 2，a 3)，(b 1，b 2，b 3)．＝1，得).0,2,1(-=a 得取b 3＝1，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 3如图建立空间直角坐标系．，由已知可得A (0，0，0)，),0,23,0(),0,23,21(a C a a B -),0,0,21(),,0,0a BC a =∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．,0PAC ．的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点．⋅)21,43,0(),21,3a a E a a ⊥平面PAC ，(B)θ ＞ϕ(D)θ ＜ϕ中，E，F，G，H分别为所成角的大小是______．6，且对角线与底面所成角的余弦值为D1中，AA1＝2AB，则异面直线1本文下载后请自行对内容编辑修改删除，的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，，PA⊥底面ABCD，PD所成的角为θ ，则cosθ ＝______．C1D1中，AA1＝2AB＝4，点平面角的余弦值．中，底面ABCD是边长为OA的中点，N为BC的中点．OCD；所成角的大小．平面角的余弦值．习题1和平面α ，下列命题正确的是( α (B)若a ∥α (B)38000(D)4000cm 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为( )(C)223本文下载后请自行对内容编辑修改删除，C11；平面角的余弦值．PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC MAB；C ；ABB 1；的体积．中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面SD ＝2．点M 在侧棱SC 上，∠的中点；的平面角的余弦值．练习1-3D ．42本文下载后请自行对内容编辑修改删除，，0)，E (0，2，1)，A 1).4∴A 1C ⊥BD ，A 1C ,0=⊥平面DBE ．是平面DA 1E 的法向量，则，得n ＝(4，1，－2)．14，,22(),0,22,0(-D P =-=),2,22,0(OD OP n ＝(x ，y ，z )，则⋅OP n 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，是CA 和平面α 所成的角，则∠，CO ＝1．3=AO ABO ＝∠BAO ＝45°，∴=AO BO ).1,0,0(),0,3,0(),C A ).1,3,0(-=AC 是平面ABC 的一个法向量，取x ＝1，得=+=-,03,033z y y x 1=n 是平面β 的一个法向量．AB 1＝E ，连接DE ．四边形A 1ABB 1是正方形，是BC 的中点，∴DE ∥A 平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面⊄解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，⋅-)1,0,21(),01B 是平面A 1BD 的一个法向量，,01=D B 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1).0=1234是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN 平面A 1ABB 1，∴MN ⊄MH ．MH ∥A 1B 1，，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴的体积==⋅⋅∆3111MH S V B BC A (，0，0)，则B (22，),12,12,2(λλ++--=BM 故.60 >=BM |.BA BM =解得λ ＝,)12()1222λλ+++-的中点．，0，0)得AM 的中点22(G 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，。
高中数学立体几何空间点线面的位置关系讲义及练习
课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容讲解知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象 指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。
平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。
点的表示：大写字母 点A 点B线的表示：小写英文字母 线l,线a 线b平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
图形 符号语言 文字语言（读法）A a A ∈a 点A 在直线a 上A aA ∉a 点A 在直线a 外 Aα A ∈α 点A 在平面α上（内） A αA ∉α 点A 在平面α外 b a A a b A =I直线a,b 交于点A a αa α⊂线a 在面α内 aα a α⊄ 线a 在面α外a Aα a A α=I 直线a 交α于点Al αβ=I平面α交β于线l与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：（1）符号语言：____________________________________．（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。
知识点3 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：（1）符号语言：____________________________________（2）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 知识点4 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 指出：（1）符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.指出：推论1的符号语言：_____________________________-推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面指出：推论2的符号语言：____________________________________推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面指出：推论3的符号语言：________________________________三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．五、备选习题1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：(1) A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ; (2) a ⊂α,b ⊂β,a ∥c ,b ∩c =P ,α∩β=c .2. 根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l ，直线AB ⊂α，AB ∥l ，E ∈AB ，直线EF∩β=F ，F ∉l ;（2）平面α∩平面β=a ，△ABC 的三个顶点满足条件:A ∈a ，B ∈α，B ∉a ，C ∈β，C ∉a .3. 画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.4. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，(1) 画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2) 设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.5.已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.6. 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上G H AC D E P空间点、线、面位置关系练习题1、下列命题：其中正确的个数为（ ）①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若a ∥b ，α⊂b ，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；A ．1B ．2C ．3D ．02、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面3、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中判断下列位置关系：（1）AD 1所在直线与平面BCC 1的位置关系是 ；（2）平面A 1BC 1与平面ABCD 的位置关系是 ；4、如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α（ ）A ．没有公共点B ．至多有一个公共点C ．至少有一个公共点D ．有且只有一个公共点5、以下四个命题：其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③ ①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，则“a 与b 相交”等价于“α与β相交”；③若l =⋂βα，直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，且P b a =⋂，则l P ∈；④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面，6、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）A ．在平面内B ．相交C ．平行D ．以上均有可能7、若直线m 不平行于平面α，且α⊄m ，则下列结论中正确的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一一条直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面（面AA 1C 1C ，面BB 1D 1D ，面ABC 1D 1，面ADC 1B 1，面A 1BCD 1及面A 1B 1CD ）所在平面中，与棱AA 1平行的平面共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能10、下列命题：其中正确的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，11、下列命题中正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“直线不在平面内”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两个平面的所有公共点都在这条公共直线上；12、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面13、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是14、经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是15、设有不同的直线a ，b 和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题：其中正确命题的序号是 ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，则α∥γ。