2009年上海高考数学试卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(理科)
2009年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共56.0分)1.若复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复数=____________.【答案】i【解析】∵,∴z的共轭复数=i.2.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R，则实数a的取值范围是_____________. 【答案】(-∞,1］【解析】∵A∪B=R,如图所示.当a≤1时满足题意.即a的取值范围是(-∞,1］.3.若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是____________. 【答案】【解析】因元素4的代数余子式为：（-1）1+1=9x-24.由题意9x-24＞0,∴.4.某算法的程序框图如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是___________.【答案】【解析】由算法的程序框中的判断可知，当x＞1时,把x-2赋给y，当x≤1时，把2x赋给y,因此.5.如图,若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AD所成角的大小是____________.(结果用反三角函数值表示)【答案】【解析】∵AD∥BC,∴BD1与AD所成的角等于BD1与BC所成的角.连结CD1，∵BC⊥面CC1D1D，CD 1面CC1D1D，∴BC⊥CD1.在R t△BCD1中,BC=2,，∴.∴∠D1BC=.6.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是____________.【答案】【解析】因y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x所以y的最小值为.7.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望Eξ=__________.(结果用最简分数表示) 【答案】【解析】由题意知ξ=0,1,2,则,,.∴.8.已知三个球的半径R1,R2,R3满足R1+2R2=3R3,则它们的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是_____________.【答案】【解析】由题意S1=4πR12,S2=4πR22,S3=4πR32,则S1S2=16π2（R1R2)2,∴.又∵,∴====∴.9.已知F1、F2是椭圆C:(a＞b＞0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=______________.【答案】3【解析】∵,∴∠F1PF2=90°,∴△F1PF2为直角三角形.∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2.又∵|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,即(2c)2=(2a)2-4×|PF1|·|PF2|,.∴4c2=4a2-4×9=0,∴4b2=4×9.∴b=3.10.在极坐标系中,由三条直线θ=0,,ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是_______________.【答案】【解析】将三条直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，则三条直线的方程分别为y=0,，x+y=1,∴,即.∴.11.当0≤x≤1时,不等式成立,则实数k的取值范围是____________.【答案】k≤1【解析】∵0≤x≤1时，不等式成立，设,y=kx，做出两函数的图象，∴由图象可知，当k≤1时，12.已知函数f(x)=sinx+tanx,项数为27的等差数列{a n}满足a n∈(,),且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当k=__________时,f(a k)=0.【答案】14【解析】由题意，a n∈(,)且{a n}为等差数列，并且有sina1+tana1+sina2+tana2+…+sina27+tana27=0,又∵函数y=sinx与y=tanx均为奇函数，故f(x)=sinx+tanx也是奇函数，要使f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,需a1,a2,…a27等距对称在数轴原点两侧，∴中间项a14在原点上.∴a14=0，f(a14)=sin0+tan0=0.13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)___________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.【答案】（3，3）【解析】设确定的格点为（x,y)，由题意知确定的格点到已知的6个格点路程的和最短，即为x,y 分别到6个格点的横.纵坐标距离和最小，6个格点的横坐标由小到大排列为-2,-2,3,3,4,6，所以x=3时到这6个数的距离和最小.同理y=3时，y到6个格点纵坐标距离之和最小.故所求的格点为(3,3).14.将函数(x∈［0,6］)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α),得到曲线C.若对于每一个旋转角θ,曲线C都是一个函数的图像,则α的最大值为_____________.【答案】【解析】当x∈［0,6］时,,∴.移项、平方、配方,得(x-3)2+(y+2)2=13,(0≤x≤3)图象是圆心为O1(3,-2),半径在第一象限内的一段圆弧，如图所示.要想使曲线都是一个函数的图象,必须使平行于y轴的直线与曲线有且只有一个交点,即对一个确定的x值,y有唯一的一个值与之对应,因此,当圆弧转到与y轴相切时,旋转的角最大,设旋转前圆在原点处的切线为l,由图可知,α=∠AOO1，∴tan=tan∠AOO1=.∴.三、解答题(本大题共5小题，共78.0分)19.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1-A1C-C1的大小.【答案】解：如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),设AC的中点为M,∵BM⊥AC,BM⊥CC1,∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量.设平面A1B1C的一个法向量是n=(x,y,z).=(-2,2,-2),=(-2,0,0),∴n·=-2x=0, n·=-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n=(0,1,1),设法向量n与的夹角为φ，二面角B1-A1C-C1的大小为θ，显然θ为锐角.∵cosθ=|cosφ|=,解得,∴二面角B1-A1C-C1的大小为.【解析】略20.本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.(1).证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;(2).根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121］,(121,127］,(127,133］.当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.【答案】（1）证明：当x≥7时,.而当x≥7时,函数y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)＞0.故f(x+1)-f(x)单调递减.∴当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降.(2)解：由题意可知,整理得,解得≈20.50×6=123.0,123.0∈［121,127］.由此可知,该学科是乙学科.【解析】略21.已知双曲线C:,设过点A(,0)的直线l的方向向量e=(1,k).(1).当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线l的方程及l与m的距离;(2).证明:当时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.【答案】解：(1)双曲线C的渐近线m:,即,∴直线l的方程.∴直线l与m的距离.(2)证法一:设过原点且平行于l的直线b:kx-y=0,则直线l与b的距离,当时,.又双曲线C的渐近线为,∴双曲线C的右支在直线b的右下方,∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于.故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.证法二:假设双曲线C右支上存在点Q(x0,y0)到直线l的距离为, 则x02-2y02=2,(2)由(1),得,设,当时,;.将y0=kx0+t代入(2)得(1-2k2)x02-4ktx0-2(t2+1)=0,(*)∵,t＞0,∴1-2k2＜0,-4kt＜0,-2(t2+1)＜0.∴方程(*)不存在正根,即假设不成立,故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.【解析】略22.已知函数y=f-1(x)是y=f(x)的反函数.定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数,则称y=f(x)满足“a和性质”;若函数y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数,则称y=f(x)满足“a积性质”.(1).判断函数g(x)=x2+1(x＞0)是否满足“1和性质”,并说明理由;(2).求所有满足“2和性质”的一次函数;(3).设函数y=f(x)(x＞0)对任何a＞0,满足“a积性质”.求y=f(x)的表达式.【答案】解：(1)函数g(x)=x2+1(x＞0)的反函数是(x＞1),∴(x＞0).而g(x+1)=(x+1)2+1(x＞-1),其反函数为(x＞1).故函数g(x)=x2+1(x＞0)不满足“1和性质”.(2)设函数f(x)=kx+b(x∈R)满足“2和性质”，k≠0.∴(x∈R).∴.而f(x+2)=k(x+2)+b(x∈R)，得反函数,由“2和性质”定义可知对x∈R恒成立.∴k=-1,b∈R,即所求一次函数为f(x)=-x+b(b∈R).(3)设a＞0,x0＞0,且点(x0,y0)在y=f(ax)图像上,则(y0,x0)在函数y=f-1(ax)图像上,故可得ay0=f(x0)=af(ax0),令ax0=x,则.∴,即.综上所述,(k≠0),此时,其反函数就是,而,故y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数.【解析】略23.已知{a n}是公差为d的等差数列,{b n}是公比为q的等比数列.(1).若a n=3n+1,是否存在m、k∈N*,有a m+a m+1=a k?说明理由;(2).找出所有数列{a n}和{b n},使对一切n∈N*,,并说明理由;(3).若a1=5,d=4,b1=q=3,试确定所有的p,使数列{a n}中存在某个连续p项的和是数列{b n}中的一项,请证明.【答案】解:(1)由a m+a m+1=a k,得6m+5=3k+1,整理后,可得,∵m、k∈N*,∴k-2m为整数.∴不存在m、k∈N*,使等式成立.(2)解法一:若,即,(*)①若d=0,则1=b1q n-1=b n.当{a n}为非零常数列,{b n}为恒等于1的常数列,满足要求.②若d≠0,(*)式等号左边取极限得,(*)式等号右边的极限只有当q=1时,才可能等于1.此时等号左边是常数,∴d=0,矛盾.综上所述,只有当{a n}为非零常数列,{b n}为恒等于1的常数列,满足要求.解法二:设a n=nd+c.若,对n∈N*都成立,且{b n}为等比数列,则,对n∈N*都成立,即a n a n+2=qa n+12.∴(dn+c)(dn+2d+c)=q(dn+d+c)2对n∈N*都成立.∴d2=qd2.①若d=0,则a n=c≠0,∴b n=1,n∈N*.②若d≠0,则q=1,∴b n=m(常数),即,则d=0,矛盾.综上所述,有a n=c≠0,b n=1,使对一切n∈N*,.(3)a n=4n+1,b n=3n,n∈N*.设a m+1+a m+2+…+a m+p=b k=3k,p、k∈N*,m∈N.,∴4m+2p+3=.∵p、k∈N*,∴p=3s,s∈N.取k=3s+2,4m=32s+2-2×3s-3=(4-1)2s+2-2×(4-1)s-3≥0,由二项展开式可得正整数M1、M2,使得(4-1)2s+2=4M1+1,2×(4-1)s=8M2+(-1)s2,∴4m=4(M1-2M2)-［(-1)s+1］2.∴存在整数m满足要求.故当且仅当p=3s,s∈N时,命题成立.说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分).若p为偶数,则a m+1+a m+2+…+a m+p为偶数,但3k为奇数.故此等式不成立,∴p一定为奇数.当p=1时,则a m+1=b k,即4m+5=3k,而3k=(4-1)k=,M∈Z.当k为偶数时,存在m,使4m+5=3k成立.当p=3时,则a m+1+a m+2+a m+3=b k,即3a m+2=b k,也即3(4m+9)=3k,∴4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1.由已证可知,当k-1为偶数即k为奇数时,存在m,4m+9=3k成立.当p=5时,则a m+1+a m+2+…+a m+5=b k,即5a m+3=b k,也即5(4m+13)=3k,而3k不是5的倍数,∴当p=5时,所要求的m不存在.故不是所有奇数都成立.【解析】略二、选择题(本大题共4小题，共20.0分)15.“-2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根Δ＜0,即a2-4＜0,∴-2＜a＜2.∵{a|-2＜a＜2}{a|-2≤a≤2},∴由-2＜a＜2-2≤a≤2,但由-2≤a≤2-2＜a＜2.故选A.16.若事件E与F相互独立,且,则P(E∩F)的值等于…()A.0B.C.D.【答案】B【解析】∵事件E与F相互独立,P(E∩F)为相互独立事件同时发生的概率，∴P(E∩F)=P（E）·P（F）=.17.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是()A.甲地:总体均值为3,中位数为4B.乙地:总体均值为1,总体方差大于0C.丙地:中位数为2,众数为3D.丁地:总体均值为2,总体方差为3【答案】D【解析】设过去10天新增疑似病例数据为a1,a2,a3,…,a10,对于选项D，=2,S2=3,不防设a10=8,a1=a2=…=a8=1,a9=4,此时=2,则.所以当总体均值为2，总体方差为3时一定符合该标志，故选D.18.过圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心,作直线分别交x、y正半轴于点A. B,△AOB被圆分成四部分(如图).若这四部分图形面积满足SⅠ +SⅣ =SⅡ +SⅢ ,则这样的直线AB有()A.0条B.1条C.2条D.3条【答案】C【解析】从原图中可看出SⅣ=(定值),SⅡ=(定值）,当∠OAB变大时SⅢ变大，SⅠ变小，所以总有一个位置使SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ,由图象的对称性可知，当∠OAB变小时，SⅢ变小，SⅠ增大，因此直线AB的条数不能为奇数条，并且一定存在，故选C.。
2009年上海 文科 数学试题 解答
2009年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）桃浦中学 付敏忠 整理解答考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。
2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数3()1f x x =+的反函数1()________fx -=【答案】,x R ∈【解】：（1）将原函数的解析式视为关于x 的方程，解出x ：31y x x =+⇒（2）将x 与y 互换，得反函数的解析式：y =（3）求原函数的值域，即为反函数的定义域：x R ∈。
故1()f x x R -=∈。
2．已知集合{}1A x x =≤，{}B x x a =≥,且A B R =，则实数a 的取值范围是_____【答案】：(,1]-∞ 或填{}1a a ≤或填1a ≤ 【解】：在数轴上，表示出集合A 、B 。
1A B R a =⇒≤。
3. 若行列式4513789xx 中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________【答案】：83x >后两位 号 码 校验码14.某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是___________ 【答案】：{2,12,1xx y x x ≤=->5.如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________ (结果用反三角函数值表示)。
【答案】：arctan 56.若球1O 、2O 表示面积之比421=S S ，则它们的半径之比21R R =__________ 【答案】：27.已知实数x 、y 满足223y xy x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值是__________【答案】：9-8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 【答案】：83π9．过点(1,0)A 作倾斜角为4π的直线，与抛物线22y x =交于M N 、两点，则______MN = 【答案】：2610.函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 【答案】：12-11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。
2009年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2009•上海）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=i．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算【解答】解：设z=a+bi，则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i，即a﹣b+（a+b）i=1﹣i，由，解得a=0，b=﹣1，所以z=﹣i，=i，故答案为i．【点评】求复数的共轭复数一般步骤是：先利用待定系数法设出未知的向量，根据已知条件构造复数方程，根据复数相等的充要条件，转化为一个实数方程组，进而求出求知的复数，再根据共轭复数的定义，求出其共轭复数．2．（4分）（2009•上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是a≤1．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（4分）（2009•上海）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是x＞且x≠4．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】根据3阶行列式D的元素a ij的余子式M ij附以符号（﹣1）i+j后，叫做元素a ij的代数余子式，所以4的余子式加上（﹣1）1+1即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．【解答】解：依题意得，（﹣1）2＞0，即9x﹣24＞0，解得x＞，且x≠4，故答案为：x＞且x≠4【点评】此题考查学生掌握三阶矩阵的代数余子式的定义，是一道基础题．4．（4分）（2009•上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值．其中输出量y与输入量x满足的关系式是故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（4分）（2009•上海）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．【解答】解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．6．（4分）（2009•上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．【解答】解：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+=1+当=2k，有最小值1﹣故答案为1﹣【点评】本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式化简三角函数．7．（4分）（2009•上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，结合变量对应的事件写出分布列当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，求出期望．【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴Eξ=0×=．故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这是近几年经常出现的一个问题，可以作为解答题出现，考查的内容通常是以分布列和期望为载体，有时要考查其他的知识点．8．（4分）（2009•上海）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果．【解答】解：因为S1=4πR12，所以，同理：，即R1=，R2=，R3=，由R1+2R2=3R3，得故答案为：【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．9．（4分）（2009•上海）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．10．（4分）（2009•上海）在极坐标系中，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于．【考点】简单曲线的极坐标方程；定积分．【专题】计算题．【分析】三条直线化为直角坐标方程，求出三角形的边长，然后求出图形的面积．【解答】解：三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为：y=0，y=x，x+y=1，所以它们的交点坐标分别为O（0，0），A（1，0），B（，），OB==，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积S==．故答案为：．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，三角形的面积的求法，考查计算能力．11．（4分）（2009•上海）当时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是k≤2．【考点】函数恒成立问题．【专题】数形结合．【分析】要使不等式sinπx≥kx恒成立，设m=sinπx，n=kx，利用图象得到k的范围即可．【解答】解：设m=sinπx，n=kx，x∈[0，]．根据题意画图得：m≥n恒成立即要m的图象要在n图象的上面，当x=时即πx=时相等，所以此时k==2，所以k≤2故答案为k≤2【点评】考查学生利用数形结合的数学思想解决问题的能力，理解函数恒成立时取条件的能力．12．（4分）（2009•上海）已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，则当k=14时，f（a k）=0．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，由函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，我们易得a1，a2，…，a27前后相应项关于原点对称，则f（a14）=0，易得k值．【解答】解：因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n}有27项，a n∈（）．若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14．故答案为：14【点评】代数的核心内容是函数，函数的定义域、值域、性质均为高考热点，所有要求同学们熟练掌握函数特别是基本函数的图象和性质，并能结合平移、对称、伸缩、对折变换的性质，推出基本函数变换得到的函数的性质．13．（4分）（2009•上海）某地街道呈现东﹣西、南﹣北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（﹣2，2），（3，1），（3，4），（﹣2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）（3，3）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．【考点】两点间距离公式的应用．【专题】直线与圆．【分析】设发行站的位置为（x，y），则可利用两点间的距离公式表示出零售点到发行站的距离，进而求得在（3，3）处z取得最小值．【解答】解：设发行站的位置为（x，y），6个零售点到发行站的距离为Z，则z=|x+2|+|y﹣2|+|x﹣3|+|y﹣1|+|x﹣3|+|y﹣4|+|x+1|+|y﹣3|+|x﹣4|+|y﹣5|+|x﹣6|+|y﹣6|=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣3|+|x+1|+|x﹣4|+|x﹣6|+|y﹣2|+|y﹣1|+|y﹣4|+|y﹣3|+|y﹣5|+|y﹣6|x=3，3≤y＜4时，取最小值，∴在（3，3）处z取得最小值．故答案为（3，3）．【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了学生创造性思维能力和逻辑思维能力．14．（4分）（2009•上海）将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为arctan．【考点】旋转变换．【专题】计算题；压轴题．【分析】先画出函数（x∈[0，6]）的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象，求出此角即可．【解答】解：先画出函数（x∈[0，6]）的图象这是一个圆弧，圆心为M（3，﹣2）由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象∴∠MAB=arctan故答案为：arctan【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15．（4分）（2009•上海）“﹣2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根⇒△=a2﹣4＜0⇒﹣2＜a＜2，由此入手能够作出正确选择．【解答】解：∵实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，∴“﹣2≤a≤2”是“﹣2＜a＜2”的必要不充分条件，故选A．【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．（4分）（2009•上海）若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（E∩F）的值等于（）A．0 B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得P（E∩F）=P（E）•P（F），将P（E）=P（F）=代入即可得到答案．【解答】解：P（E∩F）=P（E）•P（F）=×=．故选B．【点评】相互独立事件的概率计算公式：P（E∩F）=P（E）•P（F），P（E∪F）=P（E）+P（F）．17．（4分）（2009•上海）有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】压轴题．【分析】平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简单的描述，平均数描述集中趋势，方差描述波动大小．【解答】解：假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为x1，x2，x3，…x10．并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有s2=[（16﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+…+（x10﹣5）2]＞12，说明乙地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人．故选：B．【点评】根据题意可知本题主要考查用数字特征估计总体，属于基础题．18．（4分）（2009•上海）过圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||则直线AB有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，根据四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||，得到S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，第II，IV部分的面积是定值，所以三角形FCB减去三角形ACE的面积为定值即SⅢ﹣S I为定值，所以得到满足此条件的直线有且仅有一条，得到正确答案．【解答】解：由已知，得：S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，由图形可知第II，IV部分的面积分别为S正方形OECF﹣S扇形ECF=1﹣和S扇形ECF=，所以，S IV﹣S II为定值，即SⅢ﹣S I为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条．故选B．【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，会求三角形、正方形及扇形的面积，是一道综合题．三、解答题（共5小题，满分78分）19．（14分）（2009•上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；向量法．【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0），∴令z=1，解得x=0，y=1．∴n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．20．（16分）（2009•上海）有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；探究型；数学模型法．【分析】（1）x≥7时，作差求出增长量f（x+1）﹣f（x），研究其单调性知，差是一个减函数，故掌握程度的增长量总是下降、（2）学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，故得方程由此方程解出a的值即可确定相应的学科．【解答】证明：（1）当x≥7时，而当x≥7时，函数y=（x﹣3）（x﹣4）单调递增，且（x﹣3）（x﹣4）＞0故函数f（x+1）﹣f（x）单调递减当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降（2）由题意可知整理得解得（13分）由此可知，该学科是乙学科..（14分）【点评】本题是分段函数在实际问题中的应用，在实际问题中，分段函数是一个很重要的函数模型．21．（16分）（2009•上海）已知双曲线，设直线l过点，（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先求出双曲线的渐近线方程，进而可得到直线l的斜率，然后根据直线l过点求出直线l的方程，再由平行线间的距离公式可求直线l的方程及l与m 的距离．（2）设过原点且平行于l的直线方程利用直线与直线的距离求得l与b的距离，当k＞时，可推断出，利用双曲线的渐近线方程可知双曲线C的右支在直线b的右下方，进而推断出双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于，进而可知故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【解答】解：（1）双曲线C的渐近线，即∴直线l的方程∴直线l与m的距离．（2）设过原点且平行于l的直线b：kx﹣y=0，则直线l与b的距离d=，当时，．又双曲线C的渐近线为，∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于．故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．22．（16分）（2009•上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f﹣1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．（1）判断函数g（x）=x2+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）先求出g﹣1（x）的解析式，换元可得g﹣1（x+1）的解析式，将此解析式与g （x+1）的作对比，看是否满足互为反函数．（2）先求出f﹣1（x）的解析式，再求出f﹣1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f﹣1（x+2）的解析式，用两种方法得到的f﹣1（x+2）的解析式应该相同，解方程求得满足条件的一次函数f（x）的解析式．（3）设点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，可得ay0=f （x0）=af（ax0），，即，即满足条件．【解答】解（1）函数g（x）=x2+1（x＞0）的反函数是，∴，而g（x+1）=（x+1）2+1（x＞﹣1），其反函数为，故函数g（x）=x2+1（x＞0）不满足“1和性质”．（2）设函数f（x）=kx+b（x∈R）满足“2和性质”，k≠0．∴，∴，而f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函数，由“2和性质”定义可知，对（x∈R）恒成立．∴k=﹣1，b∈R，即所求一次函数f（x）=﹣x+b（b∈R）．（3）设a＞0，x0＞0，且点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，故，可得ay0=f（x0）=af（ax0），令ax0=x，则，∴，即．综上所述，，此时，其反函数是，而，故y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数．【点评】本题考查反函数的求法，函数与反函数的图象间的关系，体现了换元的思想，属于中档题．23．（16分）（2009•上海）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．（1）若a n=3n+1，是否存在m、k∈N*，有a m+a m+1=a k？说明理由；（2）找出所有数列{a n}和{b n}，使对一切n∈N*，，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{a n}中存在某个连续p项的和是数列{b n}中的一项，请证明．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的性质；数列递推式．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，，由m、k∈N*，知k﹣2m为整数，所以不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，由此入手能够导出有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．4m+2p+3+，由p、k∈N*，知p=3s，s∈N．由此入手能导出当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【解答】解：（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，整理后，可得，∵m、k∈N*，∴k﹣2m为整数，∴不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，即a n a n+2=qa n+12，∴（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c）2，对n∈N×都成立，∴d2=qd2（i）若d=0，则a n=c≠0，∴b n=1，n∈N*．（ii）若d≠0，则q=1，∴b n=m（常数），即=m，则d=0，矛盾．综上所述，有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．，∴，∵p、k∈N*，∴p=3s，s∈N取k=3s+2，4m=32s+2﹣2×3s﹣3=（4﹣1）2s+2﹣2×（4﹣1）s﹣3≥0，由二项展开式可得整数M1、M2，使得（4﹣1）2s+2=4M1+1，2×（4﹣1）s=8M2+（﹣1）S2∴4m=4（M1﹣2M2）﹣（（﹣1）S+1）2，∴存在整数m满足要求．故当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．。
2009年全国高考文科数学试题及答案-上海卷
上海 数学试卷（文史类）考生注意：1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。
2． 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数f(x)=x 3+1的反函数f -1(x)=_____________. 2、已知集合A={x|x ≤1},B={x |≥a},且A ∪B=R ，则实数a 的取值范围是__________________.3、若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是__________________.4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________________.5.如图，若正四棱柱ABC D —A 1B 1C 1D 1的底面边长为2， 高为4，则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是___________________(结果用反三角函数值表示).6.若球O 1、O 2表示面积之比421=S S ，则它们的半径之比21R R =_____________. 7.已知实数x 、y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则目标函数z=x-2y 的最小值是___________.8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 。
9、过点A （1，0）作倾斜角为4π的直线，与抛物线22y x =交于M N 、两点，则MN = 。
10.函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 。
11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。
12.已知12F 、F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥。
2009年高考文科数学(上海)卷
2009年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（文史类） 满分150分 .考试时间120分钟一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1．函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________. 2．已知集体A={x|x ≤1},B={x|≥a},且A ∪B=R ， 则实数a 的取值范围是__________________.3. 若行列式417 5 x x 38 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是__________________.4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________________. 5.如图，若正四棱柱ABCD —A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD 所成角的大小是_________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (结果用反三角函数值表示).1、O2表示面积之比421=S S ，则它们的半径之比21R R =_____________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m7.已知实数x 、y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则目标函数z=x-2y 的最小值是___________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 。
9．过点A （1，0）作倾斜角为4π的直线，与抛物线22y x =交于M N 、两点，则MN = 。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 。
11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。
12.已知12F 、F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥。
2009年上海高考数学(文科卷)
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件得 到 的式子 无法进 行推 理．第 （ｌ Ｉ） Ｉ 问难度 太 大 ． 涉及 大量 的数 学思 想方 法， 比如反 证法、 分类讨论等思想方 法．
2009年全国高考上海数学试题
2009年普通高等学校招生全国统一考试上海文 科 数 学（必修+选修Ⅰ）考生注意：答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。
本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________. 2．已知集体A={x|x ≤1},B={x|≥a},且A ∪B=R ， 则实数a 的取值范围是__________________.3. 若行列式417 5 x x 38 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是__________________.4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________________.5.如图，若正四棱柱ABCD —A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD 所成角的大小是___________________ (结果用反三角函数值表示).6.若球O1、O2表示面积之比421=S S ，则它们的半径之比21R R =_____________.7.已知实数x 、y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩ 则目标函数z=x-2y 的最小值是___________.8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是9．过点A （1，0）作倾斜角为4π的直线，与抛物线22y x =交于M N 、两点，则M N= 。
10.函数2()2cos sin 2f x x x=+的最小值是 。
11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。
12.已知12F 、F 是椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点，p为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥。
(217)2009年上海高考数学真题(文科)试卷(word解析版)
12．【答案】3
【解析】依题意，有 ，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。
13.已知函数 。项数为27的等差数列 满足 且公差 ,若 ，则当k =时， 。
13．【 答案】14
【解析】函数 在 是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为 ，
已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量 ，
， .
（3）若 // ，求证：ΔABC为等腰三角形；
（4）若 ⊥ ，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积.
20题。证明：（1）
即 ，其中R是三角形ABC外接圆半径，
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.
2．已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，
2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.
1．【答案】
【解析】由y＝x3+1，得x＝ ，将y改成x，x改成y可得答案。
10.函数 的最小值是 。
11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示）。
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2009年上海高考数学试卷（理）
一．填空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .
1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数
z =__________________ .
2． 已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，
且A B R ⋃=， 则实数a 的取值范围是______________________ .
3． 若行列式417 5 x
x 3 8 9
中，元素4的代数余子式大于0，
则x 满足的条件是________________________
4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x
满足的关系式是____________________________ .
5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高为4，则异面直
线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.
6．函数2
2cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .
7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用
随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）.
8.已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________.
9.已知1F 、2F 是椭圆1:22
22=+b
y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.
10.在极坐标系中，由三条直线0=θ，3πθ=
，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是
_______. 12．已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________是，0)(=k a f . 13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点)22(，
-，)13(，，)43(，，)32(，-，)54(，，)66(，为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.
14.将函数2642--+=x x y [])60(，
∈x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ)0(αθ≤≤，
得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为__________.
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。
15.”
“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程012
=++ax x 有虚根”的（ ） （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16.若事件E 与F 相互独立，且()()14
P E P F ==，则()P E F 的值等于（ ）
（A ）0 （B ）116 （C ）14 （D ）12
17.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。
根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0
（C ）丙地：中位数为2，众数为3 （D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3
18.过圆22
(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、
B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足
|||,S S S S I ∏+=+则直线AB 有（ ）
（A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条
三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤
19（本题满分14分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA BC AB ===, AB BC ⊥,求二面角11
1B AC C --的大小。
20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
有时可用函数
0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4
a x a x f x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩ 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*
x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关。
（1） 证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；
（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(121,133]。
当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。
21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。
（1） 已知双曲线2
2:1,2
x c y -=
设过点(A -的直线l 的方向向量(1,)e k =及l 与m 的距离；
（2） 证明：当k
>
2
时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l。
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知函数()y f x =的反函数。
定义：若对给定的实数(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1()y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与1()y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”。
（1） 判断函数2()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3） 设函数()(0)y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”。
求()y f x =的表达式。
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。
（1） 若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=说明理由；
（2） 找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈,1n n n
a b a +=,并说明理由； （3） 若115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和
是数列{}n b 中的一项，请证明。