高等数学教学课件：D5_2牛莱公式
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高中数学人教版微积分基本公式课件
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
➢积分上限的函数
定义
设 f (x) C[a,b]
x
(x) a f (t)dt (a x b)
称为积分上限的函数.
性质 若 f ( x)在[a,b]上连续，则 (x) f ( x)
推论 若 f ( x)在 [a,b]上连续，g( x), h( x)可导
F(b不)定 积F(分a)
➢牛—莱公式
定理2 如果函数 f ( x)在区间[a,b]上连续，则函数
(x) x f (t)dt 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数. a
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
则
b
a
f
( x) dx
F (b)
F (a)
➢注
牛顿 - 莱布尼茨公式
1
y y sin x
与x轴围成的平面图形的面积.
o
x
例6 汽车以每小时36km 的速度行驶 , 到某处需要减速
停车,
设汽车以等加速度 a
5
m s2
刹车,
问从开始刹车到停车走了多少距离?
例7 求极限 lim 1 n 1 i
n n i1
n
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
T2
T1
v(t )dt
s(T2
)
s(T1 )
s(t) v(t)
➢推广 一般情况下
F( x) f ( x)
b
?
a f (x)dx F(b) F(a)
➢积分上限的函数
定义 设 f (x) C[a,b]
x
高等数学课件D5_2微积分基本公式 牛莱公式 18页PPT文档
二、积分上限的函数及其导数
定理2. 若 f (x) C[a, b] , 则变上限函数
x
y
(x) a f (t) d t
是 f (x) 在[a , b]上的一个原函数 .
y f (x)
( x)
证: x, x h [a, b] , 则有
O a x b x
(x
h) h
t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
1 et2 d t
例1. 求 lim cos x
0
x0
x2
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a) ( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
a
证:
根据定理 2,
x
a
f
( x) dx
是
f
( x) 的一个原函数
,
故
x
F(x) a f (x)dx C
令 x a, 得C F(a), 因此
x
a
f
(x)
dx
F ( x)
F
(a)
再令 x b, 得
x0
2x
2e
例3. 设 f (x)在[0, )内连续,且 f (x) 0, 证明
x
F
(x)
0
t
f
(t)
d
t
x
0
f
(t)
牛二定律PPT教学课件
向？ 2020/12/09
6
小结：用牛二定律解题的步骤：
1、明确研究对象； 2、进行受力分析和运动状态分 析，画出示意图； 3、求出合力F合； 4、由F合=ma，求解。
2020/12/09
7
例3：一个物体质量为m，放在一个倾角为θ的
斜面上，物体从斜面顶端由静止开始加速下滑 （1）若斜面光滑，求物体的加速度？ （2）若斜面粗糙，已知动摩擦因数为μ，求物 体的加速度？度的大小跟作用力成正比，跟
物体的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方
向相同
合外力 F ＝ma 加速度
质量
F、m、a 是对于同一个物体而言
F 和a 时刻对应：同时产生、同时 消失、同时变化（同生共死）
a 的方向与F 的方向一定相同
同体性 瞬时性 同向性
3.物理意义：力是改变运动状态的原因即产生加
2.牛顿第二定律内容？物理意义？
3.通过预习自测题，你们对牛顿第二定律有何 进一步的理解？
2020/12/09
2
1.把能够使质量是1 kg的物体产生1 m/s2 的加速度的力定义为1 N，即
1牛=1千克 · 米/秒2
可见，如果都用国际单位制的单位，F＝中kma
就可以使k=1，公式简化成
F＝ma
牛顿第二定律的数学表达式
5
4.应用
例1、蚂蚁的困惑：从牛顿第二定律知 道，无论怎样小的力都可以使物体产生 加速度，可是蚂蚁无论怎样用力都推不 动一块放在水平地面上的砖头，牛顿第 二定律是否错了？请你解释一下？
例2：一个物体，质量是2kg，受到互成1200
角的两个水平力F1和F2的作用，这两个力的 大小都是10N，这个物体的加速度多大？方
速202度0/12/的09 原因，而不是使物体运动的原因
牛莱公式
原式 = − lime
解: 原式 =
∴b = 0.
c ≠0 , 故 a =1. 又由
～
, 得 c = 1. 2
说明 目录 上页 下页 返回 结束
例7.
证明 只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F′(x) > 0
x 0
x f (x)∫ f (t) dt− f (x)∫ t f (t) dt
0
x
( ∫0 f (t) dt )
d x, 因此
所以 其中
In = In−1
机动
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返回
结束
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
机动
目录
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结束
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 定理 若 则变上限函数 y = f (x) y x Φ(x) = ∫ f (t) dt
a
Φ(x)
x ξ b x 证: ∀x, x + h∈[a, b] , 则有 x+ h x Φ(x + h) − Φ(x) 1 x+h = [∫ f (t) dt − ∫ f (t) dt ] a h h a 1 x+h = ∫ f (t) dt = f (ξ) (x <ξ < x + h) h x
∫
x2
−x
e dt = ∫ 3
t
1
−x
e dt + ∫ e dt = ∫ et dt − ∫ 3
t t 1
x2
x2
− x3
1
1
et dt
d x2 t d x2 t d − x3 t ⇒ ∫−x3 e dt = dx ∫1 e dt − dx ∫1 e dt dx
解: 原式 =
∴b = 0.
c ≠0 , 故 a =1. 又由
～
, 得 c = 1. 2
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例7.
证明 只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F′(x) > 0
x 0
x f (x)∫ f (t) dt− f (x)∫ t f (t) dt
0
x
( ∫0 f (t) dt )
d x, 因此
所以 其中
In = In−1
机动
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结束
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
机动
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结束
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 定理 若 则变上限函数 y = f (x) y x Φ(x) = ∫ f (t) dt
a
Φ(x)
x ξ b x 证: ∀x, x + h∈[a, b] , 则有 x+ h x Φ(x + h) − Φ(x) 1 x+h = [∫ f (t) dt − ∫ f (t) dt ] a h h a 1 x+h = ∫ f (t) dt = f (ξ) (x <ξ < x + h) h x
∫
x2
−x
e dt = ∫ 3
t
1
−x
e dt + ∫ e dt = ∫ et dt − ∫ 3
t t 1
x2
x2
− x3
1
1
et dt
d x2 t d x2 t d − x3 t ⇒ ∫−x3 e dt = dx ∫1 e dt − dx ∫1 e dt dx
高数微积分牛莱公式
例 8:计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
解：面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
17
1 2 ( n 1) n 例9： lim sin sin sin sin n n n n n n
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导
x
d x 数是 ( x ) a f (t )dt f ( x ) dx
定理2（原函数存在定理）
(a x b)
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
另一方面这段路程可表示为积分上限函数如果上限x在区间上任意变动则对于每一个取定的x值定积分有一个对应值所以它在定理1如果积分上限函数的性质定理2原函数存在定理如果上的一个原函数
微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、牛顿—莱布尼茨公式
1
问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
12
F ( x ) ( x ) C
解：面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
17
1 2 ( n 1) n 例9： lim sin sin sin sin n n n n n n
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导
x
d x 数是 ( x ) a f (t )dt f ( x ) dx
定理2（原函数存在定理）
(a x b)
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
另一方面这段路程可表示为积分上限函数如果上限x在区间上任意变动则对于每一个取定的x值定积分有一个对应值所以它在定理1如果积分上限函数的性质定理2原函数存在定理如果上的一个原函数
微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、牛顿—莱布尼茨公式
1
问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
12
F ( x ) ( x ) C
52-牛-莱公式解析
F ( x)
0
x f (t ) dt x
f (t )dt
利用导数的乘法法则与定理5-3的推论，得 x 1 F ( x) f (t )dt xf ( x ) 0 2 x x 1 f (t )dt x f ( x ). 0 2
2018/10/12 高等数学--牛-莱公式
cos x
2018/10/12
0
[1 1] 2 o
高等数学--牛-莱公式
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x
10
结束
例7
解
求
π 0
1 cos 2 x dx.
π 0
原式
2 cos x dx
π 0
2
2 | cos x | dx
注意与不 定积分的 区别
π π 2 2 cos x dx π ( cos x) dx 0 2
3
3
即
得
5 2 2
目录
故在这段时间内汽车所走的距离为
s v(t ) d t 0 (15 5t ) d t 15 t t 0
2018/10/12 高等数学--牛-莱公式
机动
0 22.5 (m)
13
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3
★例10
若函数 f (x)在闭区间[a, b]上连续, 则在开区间
0
f ( x) d x b , 则
2018/10/12
高等数学--牛-莱公式
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19
2. 求
解： 由于 I n 1
0
的递推公式(n为正整数) .
高等数学课件--D5_2牛莱公式
时, = o( ) .
洛
tan x 2 x
3
试证: 当
证：
lim
x 0
lim
x 0
x 0时 tan x ~ x sin x ~ x
sin x
2
1 2 x
Hale Waihona Puke limx 0x 2x
3
x
2
2
1 2 x
lim
x 0
2x
1 2
0
x
所以 = o( ) .
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3. 求
解: 由于 I n 1
π 0
的递推公式(n为正整数) .
2 sin 2( n
1) x
d x , 因此
sin x
2
I n I n1 2
2
π 0
π 2 0
cos(2n 1) x sin x sin x
dx
2( 1)
n 1
cos(2n 1) x d x
2n 1
所以
其中
2012-10-12
I n I n 1
同济高等数学课件
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2012-10-12
同济高等数学课件
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备用题
1. 设 求 解： 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设
0
1
f ( x) d x a ,
0
2
f ( x) d x b , 则
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2. 设
洛
tan x 2 x
3
试证: 当
证：
lim
x 0
lim
x 0
x 0时 tan x ~ x sin x ~ x
sin x
2
1 2 x
Hale Waihona Puke limx 0x 2x
3
x
2
2
1 2 x
lim
x 0
2x
1 2
0
x
所以 = o( ) .
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3. 求
解: 由于 I n 1
π 0
的递推公式(n为正整数) .
2 sin 2( n
1) x
d x , 因此
sin x
2
I n I n1 2
2
π 0
π 2 0
cos(2n 1) x sin x sin x
dx
2( 1)
n 1
cos(2n 1) x d x
2n 1
所以
其中
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I n I n 1
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同济高等数学课件
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备用题
1. 设 求 解： 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设
0
1
f ( x) d x a ,
0
2
f ( x) d x b , 则
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2. 设
高等数学(上)第5章.第2节 牛顿-莱布尼兹公式
x
|
1 2
ln 1
ln
2
ln
2.
思考 1 1dx ln | x |1 0 这样做对不对？ 不对的
1 x
1
为什么？
函数 f ( x) 在 [1,1] 上不连续
例9 求
2 max{ x, x2 }dx.
2
y
解 由图形可知
y x2
f ( x) max{x, x2 }
有一质点在一直线上运动，在这直线上取定原点、正向及长度单位，
使它成一数轴.设时间 t 时物体在位置函数为 s(t) ,速度为 v(t) ，
在时间间隔[T1,T2 ] 上的位移为 s
T2 v(t)dt .
T1
另一方面，该位移又可以通过位移函数 s(t) 在区间[T1, T2] 上的增量 s(T2 ) s(T1) 来表达.
定理 5.5（微积分基本公式）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上
的一个原函数，则 b f ( x)dx F (b) F (a). a x 证：又 ( x) f (t )dt 也是 f ( x)的一个原函数, a x F ( x) ( x) F ( x) a f (t)dt C
牛顿—莱布尼茨公式 微积分基本公式
b a
f
( x )dx
F
(b)
F
(a)
F
(
x
)
b
a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b] 上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
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lt1210@sina第.c三o节m 刘婷
备用题
设
求
解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 .
设
1
0 f (x)d x a ,
20Βιβλιοθήκη f(x)d
x
b
,
则
lt1210@ 刘婷
第二节
第五章
微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式
lt1210@ 刘婷
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t)
d
t
s(T2
)
s(T1)
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x
F(b) F(a)
牛顿 – 莱布尼茨公式
2. 变限积分求导公式
d (x)
dx a
f (t) d t
f
[ ( x)] ( x)
lt1210@ 刘婷
作业
P243 5 (1) ; 6 (2) , (6) , (9),(12) ; 9 (1) ;
书例2. 计算
解:
3 dx
1 1 x2
arctan x
3 1
arctan
3 arctan(1)
π ( π) 7 π
3 4 12
书例4. 计算正弦曲线
的面积 .
y y sin x
解:
A
π
0
sin
x
dx
cos x
π (11) 2
O
x
0
lt1210@ 刘婷
内容小结
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
h0
h
h0
lt1210@ 刘婷
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 其他变限积分求导:
d dx
( x)
a
lt1210@ 刘婷
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
( x)
证: x, x h [a, b] , 则有
O a x b x
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
f
(t) d t
f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
f
(t) d t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
lt1210@ 刘婷
书例8. 求
0
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
x0
2x
2e
lt1210@ 刘婷
三、牛顿 – 莱布尼茨公式
定理2.
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a)
( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
a
证: 根据定理 1,
故
x
F(x) a f (x)dx C
因此
x
a
f
(
x)
dx
F
(
x)
F
(a)
得
记作
或
lt1210@ 刘婷
备用题
设
求
解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 .
设
1
0 f (x)d x a ,
20Βιβλιοθήκη f(x)d
x
b
,
则
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第二节
第五章
微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式
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一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t)
d
t
s(T2
)
s(T1)
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x
F(b) F(a)
牛顿 – 莱布尼茨公式
2. 变限积分求导公式
d (x)
dx a
f (t) d t
f
[ ( x)] ( x)
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作业
P243 5 (1) ; 6 (2) , (6) , (9),(12) ; 9 (1) ;
书例2. 计算
解:
3 dx
1 1 x2
arctan x
3 1
arctan
3 arctan(1)
π ( π) 7 π
3 4 12
书例4. 计算正弦曲线
的面积 .
y y sin x
解:
A
π
0
sin
x
dx
cos x
π (11) 2
O
x
0
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内容小结
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
h0
h
h0
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说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 其他变限积分求导:
d dx
( x)
a
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二、积分上限的函数及其导数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
( x)
证: x, x h [a, b] , 则有
O a x b x
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
f
(t) d t
f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
f
(t) d t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
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书例8. 求
0
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
x0
2x
2e
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三、牛顿 – 莱布尼茨公式
定理2.
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a)
( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
a
证: 根据定理 1,
故
x
F(x) a f (x)dx C
因此
x
a
f
(
x)
dx
F
(
x)
F
(a)
得
记作
或
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