2018高考立体几何复习题型归纳

题型一：空间几何体的结构、三视图、旋转体、斜二测法

了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直观图。

例1.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

例 2.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．

正视图 左视图

例3.已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为（ ）A ．6πB ．54πC ．12πD ．48π

例4：如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的 表面积为( )

A ．π12

B ．π16

C ．π32

D ．π8

例5：四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ， 其三视图如图，则四棱锥P ABCD -的表面积为( )

E

F

D I

A H G

B

C

E

F

D A B

C

侧视

图1

图2

B

E

A ．

B

E

B ．

B

E

C ．

B

E

D ．

俯视图

俯视图

左视图

主视图

a

a a

D

C

B

A

A. 23a

B.2

2a C.22

23a a +

D. 2222a a +

例6：三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是___________

例7：如图，斜三棱柱ABC —111C B A 中，底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为 b ，侧棱AA ’与底面相邻两边AB 、AC 都成450

角，求此三棱柱的侧面积和体积．

例8：如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知几何体的体积是_________

真题：

【2017年北京卷第6题】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 【2017年山东卷第13题】由一个长方体和两个

1

4

圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积2 2 主视图

2 2 侧视图

2

1 1 俯视图

为 .

【2017年浙江卷第3题】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3

cm）是

A. π

+1

2

B.

π

+3

2

C.

π3

+1

2

D.

π3

+3

2

【2017年新课标II第6题】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

ππππ

1、（2016年山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三

视图如图所示.则该几何体的体积为

（A）12

+π

33

（B）

12

+π

3

（C）

12

+π

3

（D）

2

1+π

【答案】D

3、（2016年天津高考）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图

如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）

【答案】B

4、（2016年全国I 卷高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π

3

，则它的表面积是

（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A

6、（2016年全国II 卷高考）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C

7、（2016年全国III 卷高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81 【答案】B

1、（2016年北京高考）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.

【答案】3.2

2、（2016年四川高考）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 。

【答案】

33

3、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2

,体积是______cm 3

.

斜二测法：原斜S S 4

2=

例9：一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为ο

45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ） A ．2221+ B ． 22+ C ．21+ D ．2

2

1+

例10：对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）

A ．2倍

B ．

24倍 C ．2

2

倍 D ．12倍

例11：如图，已知四边形ABCD 的直观图是直角梯形A 1B 1C 1D 1，且A 1B 1＝B 1C 1＝2A 1D 1＝2， 则四边形ABCD 的面积为( )

A ．3

B ．3 2

C ．6 2

D ．6

例12：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）

旋转体：

例13：下列几何体是旋转体的是（ ）

A B C D

例14：如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，，，

22CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积

及体积. 真题：

【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）

223

π

（B ）

423

π（）

22π

（）

42π

题型二：定义考察类题型

例15：已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是( ) A ．若βα//，α?l ,则β//l B ．若βα//，α⊥l ,则β⊥l

C ．若α//l ，α?m ,则m l //

D ．若βα⊥，l =?βα,α?m ,l m ⊥,则β⊥m 例16：给定下列四个命题：

①若一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的平面与这个面相较，则这线平行于交线 ②若一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任一直线 ③若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行 ④若两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两直线垂直 其中，为真命题的是( )

A ．○1和○2

B ．○2和○3

C ．○3和○4

D ．○2和○4

例17：已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A ．若α⊥β，m ?α,则m ⊥β

B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖

C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖

D ．ββααβα⊥?=?⊥?⊥l c c l l ,,,

例18：已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，有下列命题： ①若,//m n αα?，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若,m m n α⊥⊥，则αn ； ④若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； 其中真命题的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 例19：如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下

列结论

中不正确的是（ ）

A 、AC ⊥S

B B 、AB ∥平面SCD

C 、SA 与平面SB

D 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D 、AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角

例20：已知,αβ为不同的平面，A 、B 、M 、N 为不同的点，a 为直线，下列推理错误的是（ ） A.,,,,A a A B a B a βββ∈∈∈∈?? B.,,,,M M N N MN αβαβαβ∈∈∈∈?=I

C.,,A A A αβαβ∈∈?=I

D.,,A B M A B M αβ∈∈、、、、且A 、B 、M 不共线αβ?、重合

真题：

【2016年浙江高考】已知互相垂直的平面αβ， 交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ ） ∥l

∥n

⊥l ⊥n

【答案】C

【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α?，m β?（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m

【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）

A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交

B ．l 与1l ，2l 都相交

C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交

D ．l 与1l ，2l 都不相交

【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件

C ．p 是q 的充分必要条件

D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

题型三：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 证明平行的方法：

线线平行：相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）。

线面平行：（1）根据定理证明（面线线线////?）；（2）通过面面平行的性质定理（面线面面////?） 面面平行：（1）平面α中分别有两条相交线与平面β的两条相交线平行 （2）平面α的法向量与平面β的法向量平行

例21：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，

侧面PAD ⊥底面ABCD

，且2

PA PD AD ==，若E 、F 分别

为PC 、BD 的中点.

（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PDC ⊥ 平面PAD .

例22：如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点，求证：MN P 平面A 1BD.

1

A

例23：如图，直棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，1AA =AC=CB=

2

AB 。 C

A

A 1

B 1

C 1

D

E

（Ⅰ）证明：

1BC CD

A 1

4

πABCD ADEF M N BD AE

13

BM BD

=13

AN AE =

//MN CDE

例27：已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在PA 、BD 、PD 上, 且PM ：MA=BN ：ND=PQ ：QD. 求证：平面MNQ ∥平面PBC.

题型四：线与面、面与面的垂直的证明方法

三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条直线垂直。 三垂线逆定理：如果：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平面内的射影垂直。

例28：直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC AB ⊥，E 是A 1C 的中点，ED A C ⊥1且交AC 于D ，A A AB BC 12

2

==

． （I ）证明：B C 11//平面A BC 1；（II ）证明：A C 1⊥平面EDB ．

N

M

P

D

C

Q B

A

D

E

A 1

C

B

A

C 1

B 1

例29：如图所示，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形； PA ⊥平面ABCD ,

PA AD AC ==，点F 为PC 的中点． （Ⅰ）求证：//PA 平面BFD ； （Ⅱ）求证面BFD PAC ⊥．

例30：如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别 是1CC CD CB 、、 的中点。 （1）求证：平面//11D AB 平面EFG ； （2）求证：⊥EF 平面C AA 1

例31：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC o

,点D 是棱11B C 的中点.

（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面

11BB C C ； （Ⅱ）求证：1//AB 平面1A DC ；

F

G

E

D

C

A

B

A 1

B 1

C 1

·

·

A

B

C

C 1

B 1

A 1

D

例32：如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD ； (2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

例33：在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，BCD A MA 平面⊥,PD ∥MA ,E G F 、、分别为

MB 、PC PB 、的中点，且2MA PD A D ==．

（Ⅰ）求证：平面PDC EFG 平面⊥;

（Ⅱ）求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --．

例34：如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。

（1）求证：D CA BC 11//平面 （2）求证：平面D CA 1⊥平面B B AA 11

例35：如图所示，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上． （Ⅰ）求证：1BC A D ⊥；

（Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （Ⅲ）求三棱锥1A BCD -的体积．

真题：

【2016年上海高考】如图，在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）

(A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1

【2017年新课标I 卷第6题】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）

【2017年新课标III 卷第10题】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则

A ．11A E DC ⊥

B ．1A E BD ⊥

C ．11A E BC ⊥

D ．1A

E AC ⊥

【2015高考山东，文18】 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点. （I ）求证：//BD 平面FGH ；

（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .

题型五：空间中的夹角

知识点：夹角的分类：线线夹角、线面夹角、面面夹角 三者在计算或证明时的转换关系： 面面

线面

线线

计算三种夹角的方法：勾股定理、向量、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤： ①找角，②证明所找的角，

③计算所找角的大小（切记不可找出来之后不证明就开始计算）

异面直线的夹角问题：

例36：在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，

a BC AB BC AD BAD ===∠,//,90ο2,,AD a PA ABCD PD =⊥底面与底面成30° （1）若,AE PD E ⊥为垂足，求证：BE PD ⊥；

（2）在（1）的条件下，求异面直线AE 与CD 所成角的正切值；

例37：如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点

（1）求

证：

MN 4MN BC ==43

PA =MD ABCD

平面NB ABCD ⊥平面D

C

B

A

M

N

E

1111ABCD A B C D -M N CD 1CC 1A M DN ABCD ,AF CE

∠

∠

∠

2

π111

ABC A B C -1

A ABC BC

AB

1CC 3454

74

34

''''D C B A ABCD -F

E ,','BC AB M '

BB EMF ABCD

EF 'AD 2

111ABC A B C -AB AC ⊥1AA 1B C DE ⊥1BCC （1）证明：AB=AC

（2）设二面角A-BD-C 为0

60，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小

A 11

C 1

B C

A

D E

A 1

C 1

B 1

A

C

B

真题：

【2016年全国I 卷高考】如平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，

11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为

B M

A N

C

S

A

B

C

D

E

F

M

F

E

D

B

A

A'

B'

N

M B 1

A 1

C 1

D 1B D

C

A

A

B

C

D

(第9题)

E

6

6

8

（A

）

3

2

（B

）

2

2

（C）

3

3

（D）

1

3

【2015高考浙江，文18】如图，在三棱锥

111

ABC A B C

-中，

11

ABC90AB AC2,AA4,A

∠====

o，在底

面ABC的射影为BC的中点，D为

11

B C的中点.

（1）证明：

11

D A BC

A⊥平面；（2）求直线

1

A B和平面

11

B C

B C所成的角的正弦值.【2014高考，文18】如图，四棱锥P ABCD

-中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，22

AC=，2

PA=，E是PC上的一点，2

PE EC

=。

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A PB C

--为90o，求PD与平面PBC所成角的大小。

【2015高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱

111

ABC A B C

-的底面是边长为2的正三角形，

,E F分别是

1

,

BC CC的中点。（I）证明：平面AEF⊥平面

11

B BCC；

（II）若直线

1

A C与平面

11

A ABB所成的角为45o，求三棱锥F AEC

-的体积。

题型六：距离问题：点线距离（定义法、等体积法、向量法、空间坐标法）；线面距离；面面距离。

E

D

A

P

例47：已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的地面边长为1，则棱场为2，点E 为1CC 的中点，求点1D 到平面BDE 的距离。

例

1中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED D.1

例120?，若ABC ?所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是（ ）

B

例50：如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

, OA ABCD ⊥底面,

2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点

（Ⅰ）证明：直线MN OCD

平面‖；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

例51：αβ和为平面，,,,l A B α?β=∈α∈βAB=5,A,B 在棱l 上的射影分别为A ′，B ′，AA ′＝3，BB ′＝2.若二面角l α--β的大小为

23

π

，求，点B 到平面α的距离为_____________ 例52：P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是5，17，13，则P 到A 点的距离是（ ） C.3

例53：如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，

N

B

G

C

D

A

F E

B

4

ABC π

∠=

, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点

（Ⅰ）证明：直线MN OCD

平面‖；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离

例54：如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1

中,AB

2, 2.CA CB CD BD AB AD ======AO ⊥ABEDFC

ABED ACFD O AD 1OA =2OD =BC EF ∥F OBED -

例59：如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=

1

2AA 1，D 是棱AA 1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

真题：

【2017年新课标I 卷第18题】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB 90BAP CDP ∠=∠=o 90APD ∠=o 83

C

D

B

O

E

B 1 C

B A D

C 1

A 1

【2017年新课标II第18题】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，

AB=BC=1

2

AD, ∠BAD=∠ABC=90°。

（1）证明：直线BC∥平面PAD;

（2）若△PAD面积为27，求四棱锥P-ABCD的体积。

【2017年新课标III卷第19题】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

【2016年全国I卷高考】如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.

（I）证明：G是AB的中点；

（II）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

P

A

B

D C

G

E

【2016年全国II卷高考】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE CF

=，EF

交BD于点H，将DEF

?沿EF折到'

D EF

?的位置.

（Ⅰ）证明：'

AC HD

⊥；

（Ⅱ）若

5

5,6,,'22

4

AB AC AE OD

====,求五棱锥D ABCEF

'-体积.

【2016年全国III卷高考】如图，四棱锥P ABC

-中，PA⊥平面ABCD，AD BC

P，3

AB AD AC

===，4

PA BC

==，M为线段AD上一点，2

AM MD

=，N为PC的中点．

（I）证明MN P平面PAB；

（II）求四面体N BCM

-的体积.

【2015高考新课标1，文18】

（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE ABCD

⊥平面，（I）证明：平面AEC⊥平面BED；

（II）若120

ABC

∠=o，,

AE EC

⊥三棱锥E ACD

-