第2章电磁场基本方程
电磁场基本方程
电磁场基本方程1.麦克斯韦方程组1)麦克斯韦方程组全面反映了电磁基本规律，揭示了一般电磁现象，其微分形式的方程为： 0()t ∂∇⨯+=∂B B 法拉第定律 (2-1) 该定律揭示电磁感应现象，将磁场和电场有机联系了起来。
-(-)J t ∂∇⨯=∂D H 麦克斯韦安培定律 (2-2) 该定律的含义是磁通密度矢量沿任意一个闭合回路的线积分与穿过该闭合回路所在曲面Ω的电流总和相等，而与介质和磁场强度H 的分布无关。
()ρ∇•=D 高斯定律 (2-3) 该定律的含义是穿过任意一个闭合曲面的电通量（电位移矢量在该闭合曲面的有向积分）与这一闭合曲面所包围的自由电荷代数和相等，而与电介质和电通密度矢量分布无关。
0()∇•=B 磁场高斯定律 (2-4) 该定律的含义是穿出任意一个闭合曲面的磁通量（即磁通密度矢量在该闭合曲面的有向积分）恒等于零，而与磁介质和磁通密度矢量分布无关。
2)连续性方程，它是电流守恒定律的微分形式，可表示成：-t ρ∂∇•=∂J (2-5) 3)本构关系：本构关系表示与媒质电磁特性相关场量之间的关系，也叫媒质构成方程。
它描述了磁介质、电介质与导电体媒质三种电磁介质，同时解释了电磁场作用的媒质的分子磁化、电子传导、极化的机理，其中：ε=D E (2-6)μ=B H (2-7) 在电源以外区域有：()e σν=+⨯J E B (2-8) 需要注意，公式 (2.6)到(2.8)中，εμσ、、均为标量，因为材料均是各向同性媒质，若是各向异性媒质则均为张量。
其中：H 表示磁场强度；B 表示磁感应强度；E 表示电场强度；D 表示电位移矢量；J 表示电流密度；ρ表示电荷密度；ε表示电容率；σ表示电导率；ν表示磁阻率。
对于低频似稳电磁场，进行问题分析时在一般情况下可忽略因电场变化时产生的磁场，只研究磁场变化而产生的电场。
因为由麦克斯韦方程可知，电磁场的频率较低时，一般在1010Hz 以下，传导电流密度J 很大，而电位移矢量密度/t ∂∂D 很小，因此近似认为导体中无感应的涡流。
第2章--电磁场基本方程---2
B(z) 0Ia
4π
2π 0
(z2
ez a a2 )3/2
d
'
0 Ia 2
2(z2 a2 )3/ 2
可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为
圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分 量相互抵消。
在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即
B(0)
ez
0 I
dB (r )
0
4π
Idl (r r r3
r )
体电流产生的磁感应强度
B(r ) 0 J (r) R dV
4π V R3 面电流产生的磁感应强度
z
C Idl M
r R r y
o
x
B(r ) 0
4π
S
JS
(r ) R3
R
dS
25
电磁场
第二章 电磁场基本方程
3. 几种典型电流分布的磁感应强度
D
rˆ
q
4r 2
4
电磁场
第二章 电磁场基本方程
电通量为
S
D
ds
q
4r 2
4r 2
q
此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。
如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭 面的电通量总和等于此面所包围的总电量
S D ds Q
－－－ 高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出),
r1 R12 r2
o
x
C2
I2dl2
y
安培磁力定律
F12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12 )
电磁场理论课件 2-1静电场的标势及其微分方程
(P)
Q
4 0
(1 r
1 r
)
r2 R 2 l 2 2Rl cos
Q
2l
x -Q
求近似值：
r R
1
l2 R2
2l
cos
/
R
R
1 2l cos / R
R(1 1 2l cos ) R l cos
2R
R r
y
(l R)
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos
R02 R2
20
ln
R R0
若选P0为参考点，则
(P)
ln R
ER
R
20
,
2 0 R
R0 E EZ 0
解2：
z
电荷源
dq dz z' o
r
场点
p
R
选取柱坐标：源点的坐标为（0, z'），场点的坐标为
（R, 0），考虑到导线是无限长，电场强度显然与z
无关。
这里，先求场强 E
，后求电势
E 0
D
E
这两方程连同介质的 电磁性质方程是解决 静电问题的基础。
静电场的无旋性是它的一个重要特 性，由于无旋性，我们可以引入一 个标势来描述静电场。
无旋性的积分形式是电场 沿任一闭合回路的环量等 于零，即
E dl 0
设C1和C2为P1和P2点的两 条不同路径。C1与C2合成 闭合回路，因此
量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以
密度 w 1 E D的形式在空间连续分布，场强大的地方 2
能量也大；
（4）W 1 dV中的 是由电荷分布 激发的电势； 2
工程电磁场
E m j Bm
Bm 0
Dm m
不再含有场量对时间t的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得 以简化。
例4-2：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值)或瞬时矢量，
H x jH 0 sin cos(x cos )e
jz sin
E
U e ln( b / a
U I ez ln( b / a ) 2
同轴电缆中的电磁能流
单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 b UI P S dA 2d UI A a 2 2 ln b / a 这表明： • 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下：
e n H 2 H 1 k e n E 2 E1 0
E2t E1t
B1n B2n
D2n D1n
e n B2 B1 0
tan 1 1 tan 2 2
时谐电磁场
4.2.1 时谐电磁场的复数表示
E(r, t ) ex Exm r cost x r e y Eym r cost y r ez Ezm r cost z r
（三要素） 是角频率，Exm、Eym、Ezm及x、y、z 分别是 电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。 采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量)，即
~ j
通常的磁导率
通常的介电常数
表征磁介质中的 磁化损耗
在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数
当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电 常数可写为 ~ e j 为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切
电磁场与电磁波第5版王家礼答案
电磁场与电磁波第5版王家礼答案电磁场与电磁波第5版王家礼答案第一章电磁场和电磁波的基本概念1.1 什么是电磁场？电磁场是描述电荷运动影响的物理场。
它可以被看作是一种对空间的划分，并且在各个空间区域内具有不同的物理状态。
1.2 电磁场的基本方程式是哪些？电磁场的基本方程式包括：麦克斯韦方程组、库仑定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律等。
1.3 什么是电磁波？电磁波是由振动的电荷和振动的磁场所产生的波动现象。
它具有电场和磁场的相互作用，且在真空和各种介质中都能传播。
第二章静电场和静磁场2.1 什么是静电场？静电场是指当电荷分布不随时间变化、不产生磁场时，所产生的电场。
2.2 静电场的基本定律有哪些？静电场的基本定律包括库仑定律、电场线、电势能和电势。
2.3 什么是静磁场？静磁场是指当电荷分布不随时间变化，但产生了磁场时，所产生的磁场。
2.4 静磁场的基本定律有哪些？静磁场的基本定律包括安培环路定律、比奥萨伐尔定律和洛伦兹力定律。
第三章时变电磁场和电磁波的基本概念3.1 什么是时变电磁场？时变电磁场是指电荷分布随时间变化，且产生了磁场时，所产生的电磁场。
3.2 时变电磁场的基本方程式是哪些？时变电磁场的基本方程式是麦克斯韦方程组，包括麦克斯韦-安培定律、麦克斯韦-法拉第定律、法拉第感应定律和电场定律等。
3.3 什么是电磁波？电磁波是由振动的电荷和振动的磁场所产生的波动现象，它具有电场和磁场的相互作用，可以在真空和各种介质中传播。
3.4 电磁波的基本特征有哪些？电磁波的基本特征包括电场和磁场垂直于传播方向、具有可见光、红外线、紫外线、X射线和γ射线等不同频率和能量等。
第四章电磁波在真空和介质中的传播4.1 电磁波如何在真空中传播？电磁波在真空中传播速度等于光速，即299792458m/s。
4.2 介质是如何影响电磁波传播的？介质对电磁波的传播速度、方向和振动方向都有影响，介质内的电磁波速度取决于介质的介电常数和磁导率。
电磁场基本方程
一、电磁场的源——电荷与电流1、电荷与电荷密度宏观上可以用“电荷密度”来描述带电体的电荷分布。
定义体电荷密度为30m C d d lim−→∆⋅=∆∆=VQV Q V ρ其中Q ∆是体积元V ∆内包含的总电荷量。
当电荷存在于一无限薄的薄层或者截面很小的细线上时，可用面电荷密度或线电荷密度来描述20m C d d lim−→∆⋅=∆∆=SQS Q S S ρ10m C d d lim −→∆⋅=∆∆=lQl Q l l ρ一个体积为V 、表面积为S 、线长为l 上包含的电荷总量可以分别对上述三式进行体、面、线积分得到，即∫∫∫=VV Q d ρ、∫∫=SS S Q d ρ、∫=ll lQ d ρ2、电流与电流密度任取一个面，穿过此面的电流定义为单位时间内穿过此面的电荷量，即As C d d lim10或−→∆⋅=∆∆=tQt Q I t 电流的正方向规定与正电荷的运动方向。
体电流密度是一个矢量，方向为正电荷的运动方向，大小等于垂直于运动方向上的单位面积上的电流。
电流密度的大小可表示为20m A lim−→∆⋅∆∆=SI J S 体电流密度矢量由体电荷密度和正电荷的运动速度确定，即vJ r r ⋅=ρ对于任意曲面，穿过此曲面的总电流为∫∫⋅=SSJ I r r d 同样，可以定义面电流密度为10m A lim −→∆⋅∆∆=l IJ l S vJ S S r r ⋅=ρ∫⋅=ls lJ I r r d 3、电流连续性方程（电荷守恒定律）在一个体电荷密度为ρ的带电体内任取一个封闭曲面S ，某瞬间从此封闭曲面流出的电流为i(t)，则()∫∫∫∫∫−=−==⋅V S V t t Q t i S J d d d d d d ρr r 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的积分形式。
若体积V 是静止的，则对时间的微分和体积分的次序可以交换，结合散度定理，有∫∫∫∫∫∫∫∫∂∂−=⋅=⋅∇V S V Vt S J V J d d d ρr r r于是，对于任意体积V ，都有tJ ∂∂−=⋅∇ρr 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的微分形式。
电磁场基本方程
（高）
—— 麦克斯韦方程组的微分形式
在界面处，场不连续，微分关系不能用了， 在界面处，场不连续，微分关系不能用了， 要代之以界面关系： 要代之以界面关系： (1)′′ ′′ E1t = E2t n (2)′′ ′′ D1n − D2n = σ 0 t 1 r r r 2 ′′ H1t − H2t = ( j0S ×en ) ⋅ et (3)′′ σ0，j0S B = B (4)′′ ′′ 2n 1n (1)′— (4)′和(1)′′ (4)′′ 构成了完备的方程组， ′′— ′′ 构成了完备的方程组 ′ ′ ′′ 了完备的方程组， 在一定初始条件和边界条件下， 在一定初始条件和边界条件下，就可以求解电 磁场了。 磁场了。
二者形式上是对称的。公式中差了一个负号， 二者形式上是对称的。公式中差了一个负号， 这恰恰反映了能量转化和守恒的规律： 这恰恰反映了能量转化和守恒的规律：
例如图示情况： 例如图示情况：
r r ∂D E ↑ ，( ) ↑ ∂t
r E感 线
r r E与E感反向
r r ∂B H ↑， )↑ ( ∂t
磁场的增加以电场的削弱为代价（能量守恒） 磁场的增加以电场的削弱为代价（能量守恒）。
例题
麦氏方程组积分形式
方程组再现
(1) — (4)是积分形式的麦克斯韦方程组(Maxwell 是积分形式的麦克斯韦方程组 是积分形式的 equations)。 。 是由于没有 方程组形式上的不对称， 方程组形式上的不对称， 磁荷， 单独的磁荷 也没有相应于传导电流的“磁流”。 单独的磁荷， 也没有相应于传导电流的“磁流” 该方程组在宏观领域证明是完全正确的， 但在 该方程组在宏观领域证明是完全正确的， 微观领域并不完全适用。 微观领域并不完全适用。 那里需要考虑量子效应， 那里需要考虑量子效应， 量子电动力学。 从而建立更为普遍的量子电动力学 从而建立更为普遍的量子电动力学。 外还有洛仑兹力公式 除(1) — (4)外还有洛仑兹力公式： 外还有洛仑兹力公式：
电磁场方程及其解法
电磁场方程及其解法电磁场是自然界中非常重要的物理现象，它的应用领域非常广泛。
电磁场方程是描述电磁现象的基本方程，了解电磁场方程及其解法，对于深入理解电磁现象具有重要的意义。
一、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁现象的重要基础方程组。
麦克斯韦方程组包括四个方程：高斯定理、法拉第定律、安培环路定理和位移电流定律。
高斯定理描述了电场和电荷之间的关系。
该定理的数学表达式为：$$\nabla·\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$其中$\boldsymbol{E}$表示电场矢量，$\rho$表示电荷密度，$\varepsilon_0$表示真空电容率。
法拉第定律描述了磁场和电流之间的关系。
该定律的数学表达式为：$$\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$$其中$\boldsymbol{B}$表示磁场矢量，$t$表示时间。
安培环路定理描述了磁场和电流之间的关系。
该定理的数学表达式为：$$\nabla·\boldsymbol{B}=0$$$$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{J}+\mu_0\vare psilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}$$其中$\boldsymbol{J}$表示电流密度，$\mu_0$表示真空磁导率。
位移电流定律描述了电场和磁场之间的关系。
该定律的数学表达式为：$$\nabla·\boldsymbol{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}$$$$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{J}$$二、电磁场方程的解法由于电磁场方程比较复杂，通常采用数值解法进行求解。
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0 I
lz
4 2 ( z l)2
对无限长直导线, l→∞, 有 B ˆ 0I
2
lz
2 ( z l)2
2 .1 .4 安培环路定律, 磁场强度
对于无限长的载流直导线, 若以ρ为半径绕其一周积分B, 可得
B dl l
ˆ 0I l 2
ˆd 0I
B dl I
l 0
在简单媒质中, H由下式定义:
线截面积, 得
F Qv B
对于点电荷q, 上式变成 F qv B
通常将上式作为B的定义公式。点电荷q在静电场中所受的电场
力为qE, 因此, 当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时, 它所
受的总力为
F qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱE v B)
例 2 .1 参看下图, 长2l的直导线上流过电流I。 求真空中P点
除电场强度E外，描述电场的另一个基本量是电通量密度D， 又称为电位移矢量。在简单媒质中，电通量密度由下式定义:
D E (C / m2 )
ε是媒质的介电常数，在真空中ε=ε0。则对真空中的点电荷q
有，
D
rˆ
q
4r
2
电通量为
S
D
ds
q
4r2
4r2
q
此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。根据立体 角概念可知, 当所取封闭面非球面时, 穿过它的电通量将与穿过一 个球面的相同,仍为q。如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠 加原理, 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量
(N
)
式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), ε0是真空的介
电常数:
0
8.854 1012
1
36
109 F
/m
设某点试验电荷q所受到的电场力为F, 则该点的电场强度为
E F (V / m) q
由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为
E
rˆ
q
4 0r2
2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度
s( H ) ds SJ ds
因为S面是任意取的, 所以必有
H J
2 .1 .5 两个补充的基本方程
在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零:
l E dl 0
利用斯托克斯定理可将左端化为▽×E的面积分, 从而得
E 0
说明静电场是无旋场即保守场。静电场的保守性质符合能量守
恒定律，它和重力场性质相似。物体在重力场中有一定的位能,
S D ds Q
这就是高斯定理的积分形式，即穿过任一封闭面的电通量，等于 此面所包围的自由电荷总电量。对于简单的电荷分布，可方便地 利用此关系来求出D。
若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度ρv分布的, 则所 包围的总电量为
Q V vdv
Ddv
V
V vdv
上式对不同的V都应成立, 则两边被积函数必定相等, 于是，
的磁通量密度。
［解］ 采用柱坐标, 电流Idz′到P点的距 离矢量是
R ˆ zˆ(z z' ),
R [ 2 ( z z' )2 ]1/ 2
dl'R zˆdz'[ˆ zˆ(z z' )] ˆdz'
B ˆ 0I 4
l l
dz' 2 (z z' )2 3/2
载流直导线
ˆ
2 .1 .1 库仑定律和电场强度
两点电荷间的作用力
F
rˆK
q1q2 r2
其中, K是比例常数, r是两点
电荷间的距离, 为从q1指向q2 的单位矢量。若q1和q2同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。
返回
比例常数K的数值与力, 电荷及距离所用的单位有关。在SI制中,
库仑定律表达为
F
rˆ
q1q2
4 0r2
数学表达式为 d m
dt
上式可写成
l
E
dl
第二章 电磁场基本方程
2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量(9.10学时)
2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律
2.3 麦克斯韦方程组 （11.12学时）
2.4 电磁场的边界条件 (13.14学时)
2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量（15.16学时）
2.6 唯一性定理
返回
第9.10学时 2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量
同样地, 电荷在静电场中也具有一定的电位能。从而可引入电位
函数φ:
E
静电场既然是无旋场, 则必然是有散场, 它的通量源就是电荷。 电力线起止于正负电荷。静磁场的特性则正好相反。因为在自 然界中并不存在任何单独的磁荷, 磁力线总是闭合的。这样, 闭 合的磁力线穿进封闭面多少条, 也必然要穿出同样多的条数, 结
H B ( A/ m)
H称为磁场强度, μ是媒质的磁导率。在真空中μ=μ0, 于是有
l H dl I
该式最先由安培在1823年提出, 故称之为安培环路定律。它 表明, 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的 电流I。这里的I应理解为传导电流的代数和。利用此定律可 方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。
果使穿过封闭面的磁通量恒等于零, 即 B ds 0 S
将左端化为▽·B的体积分知
B 0
2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
2 .2 .1 法拉第电磁感应定律
静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷。它 们相互独立, 基本方程之间并无联系。但随时间变化的电场和磁场 是相互关联的。这首先由英国科学家法拉第在实验中观察到。即 导 线回路所交链的磁通量随时间改变时, 回路中将感应一电动势, 而且 感应电动势正比于磁通的时间变化率。楞次定律指出了感应电动势 的极性, 即它在回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场 阻碍磁通的变化。这两个结果的结合就是法拉第电磁感应定律, 其
矢量B可看作是电流回路l′作用于单位电流元(Idl=1 A·m)的 磁场力, 它是表征电流回路l′在其周围建立的磁场特性的一 个物理量, 称为磁通量密度或磁感应强度。
N Am
V s m2
Wb m2
T
磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为
F Idl B
或用运动速度为v的电荷Q表示, Idl=JAdl=ρvAdlv=Qv, 其中A为细导
D v
2 .1 .3 比奥-萨伐定律, 磁通量密度
F 0
4
Idl (I ' dl'rˆ)
l l'
r2
r是电流元I′dl′至Idl的距离, μ0是真
空的磁导率:
0 4 107 H / m
两个载流回路间的作用力
F l Idl B
B 0
4
l
I ' dl'rˆ r2
0 4
I ' dl'r l' r3