高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-6
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高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数第4章矩阵1,2,3节
1 2 2 A , 4 5 8
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A
高等代数课件PPT之第4章矩阵
策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分， 平手各得零分
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
高等代数课件(北大版)第四章-矩阵§4-2
0 a12 a12 0 a1n a2n
则称 A 为反对称矩阵.
a1n a2n
ann
a1n a2n
0
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
性质
(1) A, B 对称 A B, A B 对称 ; A, B 反对称 A B, A B 反对称．
(2) A 对称，k P kA 对称 ； A 反对称，k P kA 反对称．
(3) 奇数级反对称矩阵的行列式等于零．
A A A A A (1)n A ,
n 为奇数时，A A A 0.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
想一想 A, B 皆为 n 级对称矩阵， i) A, B 对称，积 AB对称吗? ii) A, B 反对称，积 AB 反对称吗?
例7 已知 A, B 皆为 n 级对称矩阵，证明：
AB 对称 AB BA.
证： 若AB对称，则有
AB ( AB) BA BA .
反过来，若AB=BA，则有 ( AB) BA BA AB. 所以 AB 对称.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
例8 设 A 为 n 级实对称矩阵，且 A2 0，证明：
1
1,
12,
1 3
23
3,
An 3n1
1
3n1 3n1 A 3n1 2
3
1 2 1
3 2
1
3 2
3 1
.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
附: 共轭矩阵
定义
当 A aij 为复矩阵时，用 aij 表示 aij 的共轭 复数, 记 A aij ， A 称为 A 的共轭矩阵.
则称 A 为反对称矩阵.
a1n a2n
ann
a1n a2n
0
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
性质
(1) A, B 对称 A B, A B 对称 ; A, B 反对称 A B, A B 反对称．
(2) A 对称，k P kA 对称 ； A 反对称，k P kA 反对称．
(3) 奇数级反对称矩阵的行列式等于零．
A A A A A (1)n A ,
n 为奇数时，A A A 0.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
想一想 A, B 皆为 n 级对称矩阵， i) A, B 对称，积 AB对称吗? ii) A, B 反对称，积 AB 反对称吗?
例7 已知 A, B 皆为 n 级对称矩阵，证明：
AB 对称 AB BA.
证： 若AB对称，则有
AB ( AB) BA BA .
反过来，若AB=BA，则有 ( AB) BA BA AB. 所以 AB 对称.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
例8 设 A 为 n 级实对称矩阵，且 A2 0，证明：
1
1,
12,
1 3
23
3,
An 3n1
1
3n1 3n1 A 3n1 2
3
1 2 1
3 2
1
3 2
3 1
.
§4.2 2024/3/7 矩阵的运算
数学与计算科学学院
附: 共轭矩阵
定义
当 A aij 为复矩阵时，用 aij 表示 aij 的共轭 复数, 记 A aij ， A 称为 A 的共轭矩阵.
第四章 矩阵
8）A为反对称矩阵 对n维向量，有ZAZ 0
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
(完整word版)高等代数教案北大版第四章
来刻划，相仿地，我们引入
定义7 级方阵 称为可逆的，如果有 级方阵 ，使得
, (1)
这里 是 级单位矩阵.
首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足(1).其次，对于任意的矩阵 ，适合等式(1)的矩阵 是唯一的(如果有的话).
定义8如果矩阵 适合(1)，那么 就称为 的逆矩阵，记为 .
三、可逆矩阵的逆矩阵的求法
为了说明这个方法，下面看一个例子.在矩阵
中， 表示级单位矩阵，而
.
在矩阵
中，
.
在计算 时，把 都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算.于是
,
其中
,
.
因之
.
不难验证，直接按4级矩阵乘积的定义来作，结果是一样的.
一般，设 ，把 分成一些小矩阵
,(1)
,(2)
其中每个 是 小矩阵，每个 是 小矩阵，于是有
.
显然， 矩阵的转置是 矩阵.
矩阵的转置适合以下的规律：
,(16)
, (17)
,(18)
.(19)
(16)表示两次转置就还原，这是显然的.
例4设 求 .
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第三讲矩阵乘积的行列式与秩、矩阵的逆
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
使学生能掌握矩阵乘积的行列式与秩的相关理论，会判断一个矩阵是否可逆，并进一步求其逆矩阵。
,(3)
其中
(4)
这个结果是由矩阵乘积的定义直接验证即得.
应该注意，在分块(1),(2)中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致.
以下会看到，分块乘法有许多方便之处.常常在分块之后，矩阵间相互的关系看得更清楚.
定义7 级方阵 称为可逆的，如果有 级方阵 ，使得
, (1)
这里 是 级单位矩阵.
首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足(1).其次，对于任意的矩阵 ，适合等式(1)的矩阵 是唯一的(如果有的话).
定义8如果矩阵 适合(1)，那么 就称为 的逆矩阵，记为 .
三、可逆矩阵的逆矩阵的求法
为了说明这个方法，下面看一个例子.在矩阵
中， 表示级单位矩阵，而
.
在矩阵
中，
.
在计算 时，把 都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算.于是
,
其中
,
.
因之
.
不难验证，直接按4级矩阵乘积的定义来作，结果是一样的.
一般，设 ，把 分成一些小矩阵
,(1)
,(2)
其中每个 是 小矩阵，每个 是 小矩阵，于是有
.
显然， 矩阵的转置是 矩阵.
矩阵的转置适合以下的规律：
,(16)
, (17)
,(18)
.(19)
(16)表示两次转置就还原，这是显然的.
例4设 求 .
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第三讲矩阵乘积的行列式与秩、矩阵的逆
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
使学生能掌握矩阵乘积的行列式与秩的相关理论，会判断一个矩阵是否可逆，并进一步求其逆矩阵。
,(3)
其中
(4)
这个结果是由矩阵乘积的定义直接验证即得.
应该注意，在分块(1),(2)中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致.
以下会看到，分块乘法有许多方便之处.常常在分块之后，矩阵间相互的关系看得更清楚.
高等代数 矩阵.
(2) 矩阵相似于对角形的条件：
a. A有n个线性无关的特征向量 A相似于对角形
b. A有n个不同的特征根，则A相似于对角形。
c.设n阶矩阵A有s个不同的特征根 1, 2 , , s ,A
s
的属于 i 的线性无关特征向量的个数为ni， ni n i 1
A相似于对角形。
d.A的初等因子都是一次因式 A相似于对角形.
(8)若
1
1
A
若AB=BA, 则B是A的多项式.
1
4.方阵的行列式
(1) 若A是 n 阶矩阵，AT 是 A的转置矩阵，则| AT || A |;
(2) 若A是n阶矩阵，则 | kA | k n | A |; (3) 若A, B都是n阶矩阵，则 | AB || A || B |;
(4) 若A是n阶矩阵，则 | A || A |n1; (5) 若A是n阶可逆矩阵，则 | A1 || A |1;
的特征向量是方程组 (I A)X 0 的所有非零解.
(1) n阶方阵A的特征多项式
f () | I A | n a1n1 an1 an ,
其中
ak (1) k 1i1i2 ik n Aii11
i2 i2
ik
ik
n
特别地， a1 aii , an (1)n | A | . i 1
e.若r(A)=r,则
A
P
Ir
0
00Q,其中| P | 0，| Q | 0.
f. A=TBT-1,其中B是上三角形矩阵且对角线上的元 素是A的特征根。
g. 若r(A)=r,则A=PR，R是上三角形的矩阵，其主 对角线上前r个元素为1，后n-r个元素为0而|P|≠0.
h. A=B·C,其中BT=B,CT=-C. i. 对任意n阶矩阵A有A=BU，其中B是半正定矩阵， U为酉矩阵。
a. A有n个线性无关的特征向量 A相似于对角形
b. A有n个不同的特征根，则A相似于对角形。
c.设n阶矩阵A有s个不同的特征根 1, 2 , , s ,A
s
的属于 i 的线性无关特征向量的个数为ni， ni n i 1
A相似于对角形。
d.A的初等因子都是一次因式 A相似于对角形.
(8)若
1
1
A
若AB=BA, 则B是A的多项式.
1
4.方阵的行列式
(1) 若A是 n 阶矩阵，AT 是 A的转置矩阵，则| AT || A |;
(2) 若A是n阶矩阵，则 | kA | k n | A |; (3) 若A, B都是n阶矩阵，则 | AB || A || B |;
(4) 若A是n阶矩阵，则 | A || A |n1; (5) 若A是n阶可逆矩阵，则 | A1 || A |1;
的特征向量是方程组 (I A)X 0 的所有非零解.
(1) n阶方阵A的特征多项式
f () | I A | n a1n1 an1 an ,
其中
ak (1) k 1i1i2 ik n Aii11
i2 i2
ik
ik
n
特别地， a1 aii , an (1)n | A | . i 1
e.若r(A)=r,则
A
P
Ir
0
00Q,其中| P | 0，| Q | 0.
f. A=TBT-1,其中B是上三角形矩阵且对角线上的元 素是A的特征根。
g. 若r(A)=r,则A=PR，R是上三角形的矩阵，其主 对角线上前r个元素为1，后n-r个元素为0而|P|≠0.
h. A=B·C,其中BT=B,CT=-C. i. 对任意n阶矩阵A有A=BU，其中B是半正定矩阵， U为酉矩阵。
高等代数-高代矩阵
解法2
1
( AB)T
BT AT
7
4 2 2 2 0 0
1 0 17 3 14 13 .
1 3 1 1 2 3 10
48
四、对称矩阵和反对称矩阵
设 A为n阶方阵
A为对称矩阵
AT A
A为反对称矩阵 AT A
aii 0
aij a ji aij a ji
49
? 注：A, B是对称矩阵，AB是对称矩阵
(A
B)k
Ak
C
1 k
Ak
1
B
Ck2 Ak2B2
...
Bk
AB BA .
35
例5
设
A
0
1
0 1 ,
求 Ak .
0 0
解
A2
0
1
0
10
1
0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
36
2
A3 A2 A 0
2 2
1 1 2 0
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性替换. 其中aij为常数.
16
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
a12 a22
a1n a2n
ann
a11
a21 a22
.
an1 an2 ann
i j, aij 0
i j, aij 0
14
三、矩阵与线性变换
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数学与计算科学学院
0 1 0 0 1 0
0 0 , 1 0 0 . 1
§4.6 初等矩阵
的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
2) 矩阵A、B等价 存在初等矩阵
P1 , P2 , , P s , Q 1 , Q 2 , , Q t ,
使
B P1 P2 P s A Q 1 Q 2 Q t .
r1 2 r3
r 2 5 r3
1 0 10 r2 2） （ 3 1 A 0 1 0 r3 1） （ 2 0 0 11
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
1 3 3 3 2 1
3 2 2 5 5 3 . 2 2 1 1 1
1
E , 1 CA
T T
即可得 Y CA
.
( A , C ) 作初等行变换，
T
（A ,C ) 即可得 Y
T
列变换
1 T T T 1
( E , ( A ) C ), ) C (A ) C ,
T
T
1
T
(A
即可求得
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
Y.
数学与计算科学学院
1 1 k 第 i 行 P ( i , j ( k )) 第 j 行 1 1
(消法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
初等矩阵的性质
1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.
P (i, j)
1
P ( i , j ),
P ( i ( k ))
1
P (i(
1 k
)),
P ( i , j ( k ))
1
P ( i , j ( k )).
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
2 引理 对任一矩阵 A 作一初等行(列)变换相当于 对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．
3 5 6
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
r1 r2
r3 r2
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 r 2 5 r3 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 2 r 2） 2 （ 0 3 6 5 （ r3 1） 1 1 1 1 0 1 3
一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
2012-9-22
数学与计算科学学院
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:
1 . 对调两行或两列； 2 . 以数 k 0 乘某行或某列； 3 . 以数 k 乘某行（列）加到另一
第 i 行
(倍法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
3 、以数 k 0 乘某行 ( 列 ) 加到另一行
( 列 ) 上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 [ 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第
i 行上 ( ri kr j )
j 列上 ( c j kc i )，
2012-9-22
等价矩阵的秩相等．
数学与计算科学学院
§4.6 初等矩阵
矩阵等价的有关结论
1) 定理5
1 0 0
任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Er 0 0 0
2 3 ， 3
3 X 2 1
2 3 . 3
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
如果要求 Y CA A 列变换 C
也可改为对
T
1
, 则可对矩阵
A 作初等列变换， C
1 c 3
A P3 P1 E P2 P4 P3 P1 P2 P4 .
1 P1 0 0 1 P3 0 0
2012-9-22
0 0 1 0 1 0
0 1 , 0 0 0 , 1
1 P2 0 2 1 P4 0 0
行（列）上去．
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
1、 对调两行或两列
对调 E 中第 i , j 两行，即
( ri r j )，得初等方阵
1 1 0 1 1 P (i, j) 1 1 0 1 1
三、利用初等变换求逆阵
原理:
1
当 A 0时，由
1 1
A P1 P2 Pl，有
Pl Pl 1 P1 E A
1 1 1 1
Pl Pl 1 P1 A E , 及 Pl Pl 1 P1
1 1 1 1 1
,
A E
1 1 1 1
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
r1 2 r3
r 2 5 r3
1 0 0
0 2 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 3 2 1
3 4 1
2 6 3
r2 2） 1 （ 0 r3 1） （ 0
Pl Pl 1 P1 A Pl Pl 1 P1 E
E
A
1
E 就变成 A
1
即对 n 2 n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
.
数学与计算科学学院
例１ 设
1 A 2 3 2 2 4 2 2 2
思考题
1 将矩阵 A 2 0 的乘积 . 0 0 1 0 1 表示成有限个初等方阵 0
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
解 A可以看成是由3阶单位矩阵 E 经4次初等变换,
r2 r3 , c1 2 c 3 ,
1 r3 ,
第i 行
第 j 行
(换法矩阵)
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
2 、以数
k 0 乘某行或某列
以数 k 0 乘单位矩阵的第期 i 行 初等矩阵
1 1 P ( i ( k )) k 1 1
( ri k ), 得
P ( i , j ( k )) A A P ( i , j ( k ))
2012-9-22
：A 的第 i 列乘以 k 加到第 j 列．
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§4.6 初等矩阵
二、等价矩阵
定义 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，
则称A与B等价的．（也称A与B相抵） 注： ① 矩阵的等价关系具有： 反射性、对称性、传递性. ②
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利用初等行变换求逆阵 矩阵 A
1
的方法，还可用于求
B .
A
1
(A B) (E
A
1
B)
即
(A B)
初等行变换
E
A B
1
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
数学与计算科学学院
例２ 求矩阵 X , 使 AX B ，其中
1 A 2 3 2 2 4 3 1 , 3
2 2 2 0 2 0 0 2 0
3 5 6 2 5 1 0 0 1
2 1 2 1 1 1 3 4 1
5 9 12 4 9 3 2 6 3
r3 r2
r1 2 r3
r 2 5 r3
B ห้องสมุดไป่ตู้AQ .
由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵
E 0 PAQ r 0 0
Ps s , Q n n
,使
，其中 r R ( A ) ．
推论2 可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成 单位矩阵.
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
P (i, j) A : A P ( i , j ): P ( i ( k )) A A P ( i ( k ))
对换 A 的 i , j 两行； 对换 A 的 i , j 两列．
：用非零数 k 乘 A 的第 i 列； ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
A ： 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ;
3) n 级方阵A可逆
A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价.
4) n 级方阵A可逆 定理6
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
A能表成一些初等矩阵的积, 即
A Q 1Q 2 Q t .
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推论1 两个 s n 矩阵A、B等价
存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使
2 2 4 3 1 3
3 1 1 ,求 A . 3 1 0 0 1 2 3 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 r1 r2 0 r3 r2 1
解
1 A E 2 3 1 r2 2 r1 0 r3 3 r1 0
0 1 0 0 1 0
0 0 , 1 0 0 . 1
§4.6 初等矩阵
的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
§4.6 初等矩阵
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2) 矩阵A、B等价 存在初等矩阵
P1 , P2 , , P s , Q 1 , Q 2 , , Q t ,
使
B P1 P2 P s A Q 1 Q 2 Q t .
r1 2 r3
r 2 5 r3
1 0 10 r2 2） （ 3 1 A 0 1 0 r3 1） （ 2 0 0 11
§4.6 初等矩阵
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1 3 3 3 2 1
3 2 2 5 5 3 . 2 2 1 1 1
1
E , 1 CA
T T
即可得 Y CA
.
( A , C ) 作初等行变换，
T
（A ,C ) 即可得 Y
T
列变换
1 T T T 1
( E , ( A ) C ), ) C (A ) C ,
T
T
1
T
(A
即可求得
§4.6 初等矩阵
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Y.
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1 1 k 第 i 行 P ( i , j ( k )) 第 j 行 1 1
(消法矩阵)
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初等矩阵的性质
1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.
P (i, j)
1
P ( i , j ),
P ( i ( k ))
1
P (i(
1 k
)),
P ( i , j ( k ))
1
P ( i , j ( k )).
§4.6 初等矩阵
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2 引理 对任一矩阵 A 作一初等行(列)变换相当于 对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．
3 5 6
§4.6 初等矩阵
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r1 r2
r3 r2
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 r 2 5 r3 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 2 r 2） 2 （ 0 3 6 5 （ r3 1） 1 1 1 1 0 1 3
一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
2012-9-22
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一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:
1 . 对调两行或两列； 2 . 以数 k 0 乘某行或某列； 3 . 以数 k 乘某行（列）加到另一
第 i 行
(倍法矩阵)
§4.6 初等矩阵
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3 、以数 k 0 乘某行 ( 列 ) 加到另一行
( 列 ) 上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 [ 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第
i 行上 ( ri kr j )
j 列上 ( c j kc i )，
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等价矩阵的秩相等．
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§4.6 初等矩阵
矩阵等价的有关结论
1) 定理5
1 0 0
任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Er 0 0 0
2 3 ， 3
3 X 2 1
2 3 . 3
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
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如果要求 Y CA A 列变换 C
也可改为对
T
1
, 则可对矩阵
A 作初等列变换， C
1 c 3
A P3 P1 E P2 P4 P3 P1 P2 P4 .
1 P1 0 0 1 P3 0 0
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0 0 1 0 1 0
0 1 , 0 0 0 , 1
1 P2 0 2 1 P4 0 0
行（列）上去．
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1、 对调两行或两列
对调 E 中第 i , j 两行，即
( ri r j )，得初等方阵
1 1 0 1 1 P (i, j) 1 1 0 1 1
三、利用初等变换求逆阵
原理:
1
当 A 0时，由
1 1
A P1 P2 Pl，有
Pl Pl 1 P1 E A
1 1 1 1
Pl Pl 1 P1 A E , 及 Pl Pl 1 P1
1 1 1 1 1
,
A E
1 1 1 1
§4.6 初等矩阵
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r1 2 r3
r 2 5 r3
1 0 0
0 2 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 3 2 1
3 4 1
2 6 3
r2 2） 1 （ 0 r3 1） （ 0
Pl Pl 1 P1 A Pl Pl 1 P1 E
E
A
1
E 就变成 A
1
即对 n 2 n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的
§4.6 初等矩阵
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.
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例１ 设
1 A 2 3 2 2 4 2 2 2
思考题
1 将矩阵 A 2 0 的乘积 . 0 0 1 0 1 表示成有限个初等方阵 0
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
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解 A可以看成是由3阶单位矩阵 E 经4次初等变换,
r2 r3 , c1 2 c 3 ,
1 r3 ,
第i 行
第 j 行
(换法矩阵)
§4.6 初等矩阵
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2 、以数
k 0 乘某行或某列
以数 k 0 乘单位矩阵的第期 i 行 初等矩阵
1 1 P ( i ( k )) k 1 1
( ri k ), 得
P ( i , j ( k )) A A P ( i , j ( k ))
2012-9-22
：A 的第 i 列乘以 k 加到第 j 列．
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§4.6 初等矩阵
二、等价矩阵
定义 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，
则称A与B等价的．（也称A与B相抵） 注： ① 矩阵的等价关系具有： 反射性、对称性、传递性. ②
数学与计算科学学院
利用初等行变换求逆阵 矩阵 A
1
的方法，还可用于求
B .
A
1
(A B) (E
A
1
B)
即
(A B)
初等行变换
E
A B
1
§4.6 初等矩阵
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例２ 求矩阵 X , 使 AX B ，其中
1 A 2 3 2 2 4 3 1 , 3
2 2 2 0 2 0 0 2 0
3 5 6 2 5 1 0 0 1
2 1 2 1 1 1 3 4 1
5 9 12 4 9 3 2 6 3
r3 r2
r1 2 r3
r 2 5 r3
B ห้องสมุดไป่ตู้AQ .
由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵
E 0 PAQ r 0 0
Ps s , Q n n
,使
，其中 r R ( A ) ．
推论2 可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成 单位矩阵.
§4.6 初等矩阵
2012-9-22 数学与计算科学学院
P (i, j) A : A P ( i , j ): P ( i ( k )) A A P ( i ( k ))
对换 A 的 i , j 两行； 对换 A 的 i , j 两列．
：用非零数 k 乘 A 的第 i 列； ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
A ： 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ;
3) n 级方阵A可逆
A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价.
4) n 级方阵A可逆 定理6
§4.6 初等矩阵
2012-9-22
A能表成一些初等矩阵的积, 即
A Q 1Q 2 Q t .
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推论1 两个 s n 矩阵A、B等价
存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使
2 2 4 3 1 3
3 1 1 ,求 A . 3 1 0 0 1 2 3 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 r1 r2 0 r3 r2 1
解
1 A E 2 3 1 r2 2 r1 0 r3 3 r1 0