高等代数北大版第章习题参考答案
第七章 线性变换
1．? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）? 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）? 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3）? 在P 3
中，A
),,(),,(2
33221321x x x x x x x +=； 4）? 在P 3中，A ),,2(),,(132213
21x x x x x x x x +-=；
5）? 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）? 在P[x ]中，A
),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数；
7）? 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8）? 在P n
n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,
A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有
A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx = k A )(α，
故A 是P 3
上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令
)()()(x g x f x u +=则
A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.
A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。
7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y
X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
A (k X )=k BXC k kX
B ==)()(A X ，故A 是n
n P
?上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换，证明：
A 4=
B 4=
C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2，并检验(AB )2=A 2B 2是否成立。
解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为
A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z)，A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)，
B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z)，B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)，
C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z)，C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)，
所以A 4=B 4=C 4
=E 。
2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y)，BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以AB ≠BA 。
3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B 2A 2(a)=B 2
(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以A 2B 2=B 2A 2
。
3) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)，A 2B 2
(a)=(-x,-y,z)， 所以(AB )2≠A 2B 2
。
3.在P[x] 中，A '
)(f x f =),(x B )()(x xf x f =，证明:AB-BA=E 。 证 任取∈)(x f P[x]，则有
(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('
f ))(x =;
)(xf x f +)(x -'
xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E 。
4.设A,B 是线性变换，如果AB-BA=E ，证明：A k
B-BA k
=k A 1
-k (k>1)。
证 采用数学归纳法。当k=2时
A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2
)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a ，结论成立。
归纳假设m k
=时结论成立，即A m B-BA m =m A 1-m 。则当1+=m k 时，有
A
1
+m B-BA
1
+m =(A
1
+m B-A m BA)+(A m BA-BA
1
+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A
1
-m A=)1(+m A m
。
即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立。
5.证明：可逆变换是双射。
证 设A 是可逆变换，它的逆变换为A
1
-。
若a ≠b ，则必有A a ≠A b ，不然设Aa=A b ，两边左乘A
1
-，有a=b ，这与条件矛盾。
其次，对任一向量b ，必有a 使A a=b ，事实上,令A
1
-b=a 即可。因此,A 是一个双射。
6.设1ε,2ε,K ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且仅当
A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关。
证 因A (1ε,2ε,K ,n ε)=(A 1ε,A 2ε,K ,A n ε)=(1ε,2ε,K ,n ε)A ，
故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆，而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关，故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关.。 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵；
2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B
是平面上的向量对2ε的垂直投影，求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵； 3) 在空间P [x]n 中，设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→， 试求A 在基i ε=!
1
)1()1(i i x x x +--K (I=1,2,K ,n-1)下的矩阵A ；
4) 六个函数 1ε=e
ax
cos bx ,2ε=e ax
sin bx ，3ε=x e
ax
cos bx ,4ε=x e
ax
sin bx ，
1ε=221x e ax cos bx ,1ε=2
1
e ax 2x sin bx ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求
微分变换D 在基i ε(i=1,2,K ,6)下的矩阵；
5) 已知P 3
中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是????
?
??-121011101，
求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 6) 在P 3
中，A 定义如下：
???
??--=-=-=)9,1,5()6,1,0()
3,0,5(3
21ηηηA A A ， 其中
???
??-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(3
21ηηη，
求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 7) 同上，求A 在1η,2η,3η下的矩阵。
解 1) A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε，A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε，A 3ε=(0,1,0)= 2ε，
故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为???
?
? ??-001110012。
2）取1ε=（1，0），2ε=（0，1），则A 1ε=
211ε+212ε，A 2ε=2
1
1ε+212ε，
故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=?????
?
??2121212
1
。 又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε，所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =???
?
??1000，另外，（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=
2
1
1ε+212ε，
所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =????
??
?
?
210210。 3）因为 )!
1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n K K εεεε， 所以A 0110=-=ε，
A 01)1(εε=-+=x x ， A )!
1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=
-n n x x x n n x x x n K K ε
=
)!
1()]
3([)1(----n n x x x K {)]2([)1(---+n x x }
=2-n ε，
所以A 在基0ε,1ε,K ,1-n ε下的矩阵为A =???????
?
?
?011010K
K K
。
4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε,
D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε， D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε，
所以D 在给定基下的矩阵为D =??????
??
?
?
?
?---00
0000010000100
001
00
01a b b a a b b a a
b b a 。 5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???
??
??--111101
011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)???
?
? ??---101110111=(1η,2η,3η)X ，
故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为
B =X 1
-AX=????? ??--111101
011????? ??-121011101????? ??---101110111=?????
??--203022211。 6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???
??
??--012110301，
所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)???
?? ??--012110301,
但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???
?
? ??----963110505，
故A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)????? ??----963110505???
?
? ??--0121103011
-
=(1ε,2ε，3ε)????? ?
?----963110
505???????
?
??---717
172717672
737371
=(1ε,2ε，3ε)??
??
???
?
??-----7247
187
27727574
72072075。 7）因为(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)??
?
?? ??--0121103011
-，
所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)??
?
?
? ??--0121103011
-????
?
??----963110505 =(1η,2η,3η)???
?
? ??---011101532。
8．在P
2
2?中定义线性变换A 1(X )=???? ??d c b a X, A 2(X )=X ???? ??d c b a , A 2(X )= ???? ??d c b a X ???
?
??d c b a , 求A 1,
A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵。
解 因 A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22,
A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22,
故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 1=??????
?
?
?d c
d
c b a b a
00000
00。 又因A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12,
A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22,
故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 2=???
?
??
?
?
?d b c a d
b c a 00000000
。
又因A 3E 11= a 2
E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22，
A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2
E 21+cd E 22， A 3E 21= ab E 11+b 2
E 12+ad E 21+bd E 22， A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2
E 22，
故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为????
??
?
?
?=22223d bd
cd bc cd ad c ac bd b ad
ab bc ab ac
a A 。 9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为
A=????
? ??3332
31
232221
131211
a a a a a a a a a ， 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵；
2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵，其中且； 3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵。 解 1)因A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε， A 2ε=+332εa +222εa 112εa ， A 1ε=+331εa +221εa 111εa ，
故A 在基123,,εεε下的矩阵为????
?
??=1112
13
212223
313233
3a a a a a a a a a B 。 2)因 A 1ε=111εa +
+)(221
εk k
a 331εa ， A (k 2ε)=k 112εa +)(222εk a +332εka ，
A 3ε=13a 1ε+
k
a 23
(2εk )+333εa ， 故A 在321,,εεεk 下的矩阵为 ?????
? ?
?=3332
31232221
1312112a ka a k a a k a
a ka a B 。 3)因 A (21εε+)=(1211a a +)(31εε+)+(12112221a a a a --+)2ε+(3231a a +)3ε，
A 2ε=12a (21εε+)+(1222a a -)2ε+332εa ， A 3ε=13a (21εε+)+(1323a a -)2ε+333εa ，
故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为???
?
?
?
?
+----+-=3332
3231132312
2212
11222113
1212113a a a a a a a a a a a a a a a a B 。 10. 设A 是线性空间V 上的线性变换，如果A
ε1
-k ≠0,但A ε
k =0，求证：
ε,A ε,,Λ A ε1-k (k >0)线性无关。
证 设有线性关系01
21=+++-εεεk k A l A l l Λ，
用A
1
-k 作用于上式,得
1l A
ε1
-k =0(因A 0=εn 对一切n k ≥均成立)， 又因为A
ε1
-k ≠0,所以01=l ,于是有
01232=+++-εεεk k A l A l A l Λ，
再用A
2
-k 作用之,得2l A
ε1
-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得
021====k l l l Λ, 即证ε,A ε,,Λ A
ε1
-k (k >0)线性无关。
11.在n 维线性空间中，设有线性变换A 与向量ε使得A
ε1
-n 0≠，求证A 在某组下的矩阵是
???????
?
??0101010
O O 。
证 由上题知, ε,A ε,A ε2
,,Λ A ε1-n 线性无关，故ε,A ε,A ε2,,Λ A ε1-n 为线性空间V 的一
组基。又因为A ?+?+?=010εεε
A A ε2+?+0Λ A ε1-n ，
A (A ε)=ε?0+?0 A ε+?1 A ε2
+?+0Λ A
ε1
-n ，
……………………………
A （A
ε1
-n ）=ε?0+?0 A ε+?0 A ε2+?+0Λ A ε1-n ，
故A 在这组基下的矩阵为
???????
?
?
?01010
10
O O
。 12． 设V 是数域P 上的维线性空间，证明：与V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。 证 因为在某组确定的基下，线性变换与n 级方阵的对应是双射，而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE ，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K 。
13. A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换，证明：如果A 在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。
证 设A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵为A=(ij a )，只要证明A 为数量矩阵即可。设X 为任一非退化方阵，且
(n ηηη,,21)=(n εεε,,,21Λ)X ，
则12,,,n ηηηL 也是V 的一组基，且A 在这组基下的矩阵是AX X 1
-，从而有AX=XA ，这说明A 与一切
非退化矩阵可交换。 若取
??????
?
??=n X O
211， 则由A 1X =1X A 知ij a =0(i ≠j)，即得
A=??????
? ?
?nn a a a O
22
11
， 再取
2X =???????
? ?
?00
1100001000010Λ
ΛΛO ΛΛΛ
ΛΛ 由A 2X =2X A ，可得 nn a a a ===Λ2211。
故A 为数量矩阵，从而A 为数乘变换。
14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换A 在这组基下的矩阵为
???
?
??
?
??---21225521312112
01
，
1) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下 的矩阵； 2) 求A 的核与值域；
3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵； 4) 在A 的值域中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩阵。 解 1)由题设,知
(4321,,,ηηηη)=(321,,εεε,4ε)???
?
??
?
?
?---21110110003
20001
，
故A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为
B=AX X 1
-=1
2111011000320001
-???
???
?
?
?---???????
??---21225521312112
01
???
?
??
?
??---211
1011
000320001
=?????
?
?
?
?
?-----871
03403403163831031034322332。 2) 先求A
1
-(0).设∈ξ A
1
-(0)，它在321,,εεε,4ε下的坐标为(1χ,432,,χχχ)，且A ε
在321,,εεε,4ε下的坐标为(0,0,0,0,)，则
???????
??---21225521312112
01??????? ??4321x x x x =???
?
??? ??0000。
因rank(A)=2，故由 ??
?
=+++-=++032024321
431x x x x x x x ，
可求得基础解系为X 1=
)0,1,2
3
,2('--,X 2=)1,0,2,1('--。
若令1α=(321,,εεε,4ε)X 1，2α=(321,,εεε,4ε)X 2， 则12,αα即为A 1
-(0)的一组基，所以
A
1-(0)=12(,)L αα。
再求A 的值域A V 。因为
A 1ε=43212εεεε++-， A 2ε=432222εεε-+， A 3ε=432152εεεε+++， A 4ε3ε=4321253εεεε-++，
rank(A)=2，故A 1ε ,A 2ε, A 3ε, A 4ε的秩也为2，且A 1ε ,A 2ε线性无关，故A 1ε ,A 2ε可组成
A V 的基，从而A V=L(A 1ε ,A 2ε)。
4) 由2)知12,αα是A
1
-(0)的一组基，且知,1ε2ε, 12,αα是V 的一组基，又
(,1ε2ε, a 1, a 2)=(321,,εεε,4ε)??????
?
?
?--
-10
00010022310
120
1
， 故A 在基,
1ε2ε, 12,αα下的矩阵为
B=1
10
0010022310120
1-??????
? ?
?--
-???????
?
?---21225521312112
01
??????
?
??--
-10
0001002231012
1 =????
?
?
?
??-0022002100129002
5
。
4) 由2)知A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+ 易知A 1ε, A 2ε,43,εε是V 的一组基，且
(A 1ε, A 2ε,43,εε)=(321,,εεε,4ε)????
??
?
?
?--10210121002
10001
， 故A 在基A 1ε, A 2ε,43,εε下的矩阵为
C=
1
102101210021000
1
-??????? ??--???????
??---212
25521
312
112
01
???
?
??
?
??--102
1012
10021000
1
=????
??
?
?
?00000000223
1291225。 15. 给定P 3
的两组基
?????===)1,1,1()0,1,2()1,0,1(321εεε ???
??--=-=-=)1,1,2()1,2,2()
1,2,1(3
21ηηη， 定义线性变换A : A i ε=i η(i =1,2,3)，
1) 写出由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵； 2) 写出在基321,,εεε下的矩阵；
3) 写出在基321,,ηηη下的矩阵。
解 1)由(321,,ηηη)=(321,,εεε)X ，引入P 3
的一组基1e =(1,0,0), 2e =(0,1,0), 3e =(0,0,1)，则
(321,,εεε)=(1e ,2e ,3e )???
?
? ??101110121=(1e ,2e ,3e )A ，
所以
(321,,ηηη)=(1e ,2e ,3e )???
?
? ??----111122
221
=(1e ,2e ,3e )B=(1e ,2e ,3e )A 1-B ， 故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为
X= A 1
-B=1
101110121-????? ??????? ??----111122
221
=????
???
?
?
?
---252112323123232。 2)因
A (321,,εεε)=(321,,ηηη)=(321,,εεε)????
???
?
?
?
--
-252112323
1
23232， 故A 在基321,,εεε下的矩阵为
A=????
???
?
??
--
-252112323
123232。 4) 因A (321,,ηηη)=A (321,,εεε)X=(321,,ηηη)X ，
故A 在基321,,ηηη下的矩阵仍为X.。
16.证明
??????? ?
?n λλλO
2
1与????
??
?
?
?n i i
i λλλO
2
1相似，其中(n i i i ,,,21Λ)是1,2,n ,Λ的一个排列。
证 设有线性变换A ，使
A )21,,,(n εεεΛ=)21,,,(n εεεΛ????
???
??n λλλO
2
1
=)21,,,(n εεεΛD 1， 则A (K ,,21i i εε,n i ε)=(K ,,21i i εε,n i ε)????
??
?
?
?n i i
i λλλO
2
1=(K ,,21i i εε,n i ε)D 2， 于是D 1与D 2为同一线性变换A 在两组不同基下的矩阵,故
??????? ?
?n λλλO
2
1
与????
??
?
?
?n i i
i λλλO
2
1相似。 17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似。 证 因A 可逆,故A
1
-存在，从而A
1
-(AB)A=( A 1
-A)BA=BA ，所以AB 与BA 相似。
18.如果A 与B 相似，C 与D 相似，证明：0000A B B D ????
? ?????
与相似。 证 由已知，可设B=X 1
-AX, D=Y 1
-CY ，则???? ??--1100Y X ????
??C A 00???? ??Y X
0=???
?
??D B 00， 这里???? ??--1100Y X =????
??Y X
001-，故???? ??C A 00与????
?
?D B 00相似。 19.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩阵为：
1)A=???? ??2543 2)A=???? ??-00a a 3)A=?
??
?
??
? ??------111111*********
1 4)A=?????
??---121101365 5)A=????? ??001010100 6)A=????? ??---031302
120 7)A=???
?
? ??----284014013
解 1)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ，且A 的特征多项式为
A
E -λ=
2
5
4
3
----λλ=2
λ-5λ-14=(7-λ)(2+λ)，故A 的特征值为7，-2。
先求属于特征值λ=7的特征向量。解方程组??
?=+-=-0550442121x x x x ，它的基础解系为???
?
??11，因此A 的属于特征值7的全部特征向量为k 1ξ (k 0≠)，其中1ξ=1ε+2ε。
再解方程组??
?=--=--0450452121x x x x ，它的基础解系为?
??
?
??-54，因此A 的属于特征值-2的全部特征响向量为k 2ξ(k 0≠)，其中2ξ=41ε-52ε。
2)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ，且当a=0时，有A=0，所以A E -λ=λ
λ00=2
λ，
故A 的特征值为1λ=2λ=0。解方程组??
?=+=+0000002121x x x x ，它的基础解系为???? ??01,?
??
?
??10，因此A 的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1ξ=1ε，2ξ=2ε，故A 以V 的任一非零向量为其特征向量。
当a ≠0时，A
E -λ=
λ
λa a -=2
λ+a
2
=(ai +λ)(ai -λ)，故A 的特征值为1λ=ai ， 2λ=
-ai 。
当1λ=ai 时，方程组???=+=-002121aix ax ax aix 的基础解系为???
?
??-1i ，故A 的属于特征值ai 的全部特征向量为k 1ξ(k 0≠)，其中1ξ=-1εi +2ε。
当2λ= -ai 时，方程组???=-=--002121aix ax ax aix 的基础解系为???
?
??1i ，故A 的属于特征值-ai 的全部特征向量为 k
2ξ (k 0≠)，其中2ξ=1εi +2ε。
3)设A 在 给定基1ε,2ε,3ε,4ε下的矩阵为A ，因为
A E -λ=(2-λ)3
(2+λ
)，故A 的特征值为
1λ=2λ=2,243-==λλ。
当2=λ时,相应特征方程组的基础解系为X ????
??
? ??=??????? ??=??????? ??=1001,0101,0011321X X ，故A 的属于特征值2
的全部特征向量为 11εk +22k ε+k
33
ε (k 321,,k k 不全为零)，其中1ξ=1ε+2ε，2ξ=1ε+3ε，
3ξ=1ε+4ε。
当2-=λ时，特征方程组的基础解系为X =4????
??
? ??---11
11，故A 的属于特征值-2的全部特征向量为 k 4ξ (k 0≠)，其中4ξ=1ε-2ε-43εε-。
4） 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因
A E -λ==+-----1
21
11
3
6
5λλλ43-λ422++λλ=(2-λ)(31--λ)(31+-λ)， 故A 的特征值为1λ=2，2λ
，=3λ
当1λ=2时, 方程组???
??=+--=-+=+--032020363321321321x x x x x x x x x 的基础解系为?
???
?
??-012，故A 的属于特征值2的全部特
征向量为 k
1ξ (k 0≠)，其中1ξ=12ε-2ε。
当λ=1+3时, 方程组??
?
??=++--=-++=+-+-0
)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为?????
??--3213，故A 的属于特
征值1+3的全部特征向量为 k
2ξ (k 0≠)，其中2ξ=13ε-2ε+(23-)3ε。
当λ=1-3时, 方程组??
?
??=-+--=--+=+---0
)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为????? ??+-3213，故A 的属于特
征值13-的全部特征向量为 k
3ξ (k 0≠)，其中3ξ=13ε-2ε+(23+)3ε。
5) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因
A E -λ=λ
λλ0
1
010
1
0---=(1-λ)2(1+λ)，
故A 的特征值为1,132
1
-===λλ
λ。
当12
1
==λ
λ，方程组??
?=+-=-00
3131x x x x 的基础解系为,101?
???
? ??010?? ?
? ???
，故A 的属于特征值1的全部特征向量为112212(,)k k k k ξξ+不全为零，其中311εεξ+=,22εξ=。
当13-=λ时，方程组?????=--=-=--0020
31
231x x x x x 的基础解系为101?? ?
?
?
-??，故A 的属于特征值-1的全部特征向量
为)0(3≠k k ξ，其中313εεξ-=。 6) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因
A E -λ==---λ
λλ31321
2)14(2+λλ=)14)(14(i i +-λλλ，
故A 的特征值为i i 14,14,032
1-===λλ
λ。
当01=λ时，方程组?????=+=-=--030320221
3132x x x x x x 的基础解系为312??
?
- ?
?
??，故A 的属于特征值0的全部特征向量
为)0(1≠k
k ξ，其中321123εεεξ+-=。
当i 142=λ时，该特征方程组的基础解系为????
??
?
?
?-+-+101432146i
i ，故A 的属于特征值i 14的全部特征向量为)0(2≠k
k ξ，其中321210)1432()146(εεεξ-+-++=i i 。
当i 14-=λ时，该特征方程组的基础解系为????
??
?
?
?----101432146i
i ，故A 的属于特征值i 14-的全部特征向量为)0(3≠k k ξ，其中
321310)1432()146(εεεξ---+-=i i 。
7) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因
A E -λ=2
8
4
14
013+-+--λλλ=(1-λ)2
(2+λ)，
故A 的特征值为2,1321
-===λλλ。
当12
1
==λ
λ，该特征方程组的基础解系为3620?? ?
- ? ???
，故A 的属于特征值1的全部特征向量为
)0(1≠k k ξ，其中32112063εεεξ+-=。
当23-=λ，该特征方程组的基础解系为001?? ?
? ???
，故A 的属于特征值-2的全部特征向量为
)0(2≠k k ξ，其中32εξ=。
20.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过度矩阵T ，并验算T
1
-AT 。
解 已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是有n 个线形无关的特征向量,故上题中1)~6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T 。 1) 因为12(,)ξξ=(21,εε)????
??-5141 ，所以过渡矩阵T=?
??
?
??-5141， T 1
-AT=?????
?
??-9191949
5
???? ??2543???? ??-5141=???? ??-2007。 2)0,a =当时已是对角型。
???? ??-=≠11),(),(,02121i i a εεξξ有时当，过渡矩阵T=????
??-11i i ，
T 1
-AT=???? ??-=???? ??-???? ??-?????
?
??-ai ai i i a a i i
001100212
212
。 3)因为(4321,,,ξξξξ)=(4321,,,εεεε)???????
?
?---110010101001
11
11
，过渡矩阵T=??
?
?
?
?
?
?
?---11001010
1001
1111，
T 1
-AT=?????
?
? ??-22
22。 4)因为(),,321ξξξ=(???
?
? ??+----32320111
332
),,321εεε， 过渡矩阵T=????? ??+----32320111332，T ???
??
??-+=-313121AT 。
5)因为 (),,321ξξξ=(321,,εεε)???
?
?
??-101010101，过渡矩阵
T=????
?
??-101010101，
11
10001101100220100100100101110010100102
2T AT -?? ??????? ? ??? ?
== ? ??? ? ??? ? ?--??????-
???。
6)因为 (????
??
??----+---+=101021432143211461463),,(),,321321i i i i εεεξξξ,
即过渡矩阵为 T=????
?
?
??----+---+101021432143211461463i i i i ,
且T ???
?? ?
?-=-i i AT 14000140
01
。 21.在P[x]n (n>1)中,求微分变换D 的特征多项式，并证明D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵。
解 取P[x]n 的一组基1,x,21
,...,2(1)!
n x x n --，则D 在此基下的矩阵为
D=???
???
?
?
?
?0 (00)
01...000...............0...1000...010，
从而n D E λλλλλ=?????
??
?
?
?---=-...
0001...000.........
......0...
1
00 0
1， 故D 的特征值是n (0=λ重)，且D 的属于特征值0的特征向量ξ只能是非零常数。从而线性无关的特征向量个数是1，它小于空间的维数n ，故D 在任一组基下的矩阵都不可能是对角形。
22.设 A=142034043?? ?- ? ???
，求A k
。
解:因为
=---+---=-3
4
43
02
41
λλλλA E ()5)(5)(1+--λλλ，
故A 的特征值为5,5,1321-===λλλ，且A 的属于特征值1的一个特征向量为X '
1)0,0,1(=，A 的属于特征值5的一个特征向量为X '
2)2,1,2(=，A 的属于特征值-5 的一个特征向量为X
'3
)1,2,1(-=。
于是只要记T=(X ????? ??-=120210121),,321X X ，则 T B AT =?????
??-=-50005
00011
， 且 B ????
? ?
?-=k k
k )5(0005
000
1。 于是A
==-1
T TB k k
???????
?
?
?
-
-?????
?
?-????? ??-5152052510
101)5(00050001120210121k k