高等代数北大版第章习题参考答案
高等代数(北大版第三版)习题答案I
高等代数(北大版第三版)习题答案I篇一：高等代数(北大版)第3章习题参考第三章线性方程组1．用消元法解以下线性方程组：?x1?x?1?1)?x1x1x13x25x34x413x22x32x42x2x3x4x54x2x3x4x52x2x3x4x5 x12x23x42x51x5??1?x1x23x3x43x523 2)2x?3x?4x?5x?2x?72345?139x9x6x16x2x252345?11x3?x7?0?3x1?4x2?5?x1?2x2?3x3?4x4?44x3?x2?0?x2?x3?x4??3?2x1?3x2?343)?4)?4x?11x?13x?16x?0x?3x??x?123424?1?17x?3x?x3?7x?2x?x?3x0234234??1?x1?2x2?3x3?x4?1?2x1?x2?x3?x4?1?3x1?2x2?x3?x4?13x1?2x2?2x3?3x4?25)? 6)?2x1?3x2?x3?x4?12x2x2xx15x1x2x32x4123412xxx3x4234?15x1?5x2?2x3?2解1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有111111000033?2?420000?1521112?3?20?1?4?2?11?1?1200101?1?11010001??110??30??3??01?011?200?0000030?5?7?10000?15?3?4?4?400?200423581200001?1?11010001?2?2? ?221?2?0? ?0?0由于rank(A)?rank(B)?4?5，因此方程组有无穷多解，其同解方程组为x1x412x1x52，?2x03x?x?0?24解得x1x2x3x4x51kk0k22k其中k为任意常数。
2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有112910 ??002?1?3?920?3463151632?3221??120?0725022?3?7?27120?346341110?2?5?2?1631?1 5161334512529?8?011??333033?2529??72?10??334?512529? 8001?1?3330000??01?由于rank(A)?4?rank(A)?3，因此原方程无解。
高等代数北大版第章习题参考答案精修订
高等代数北大版第章习题参考答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数习题答案
高等代数(北大版第三版)习题答案I I(总95页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个n 级实对称矩阵，且0<A ，证明：必存在实n 维向量0≠X ，使0<'A X X 。
证 因为0<A ，于是0≠A ，所以()n A rank =，且A 不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换Y C X 1-=使()BY Y ACY C Y AX X '=''='-12222122221n p p p y y y y y y ----+++=++ ，且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在Y C Z 1-=中，令p y y y === 21,1,021=====++n p p y y y 则可得一线性方程组 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=++++++1102211,122,111,122111212111n nn n n n n p p p n pn p p n n x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c ，由于0≠C ，故可得唯一组非零解()ns s s s x x x X ,,,21 =使()0111000<--=----+++='p n AX X s s， 即证存在0≠X ，使0<'A X X 。
13．如果B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +也是正定矩阵。
证 因为B A ,为正定矩阵，所以BX X AX X '',为正定二次型，且 0>'A X X ， 0>'B X X ，因此()0>'+'=+'BX X AX X X B A X ，于是()X B A X +'必为正定二次型，从而B A +为正定矩阵。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数北大版(第三版)答案
令(x2+x+1)=0
得 ε1
=
−1+ 2
3i
,ε2
=
−1− 2
3i
∴f(x)与g(x)的公共根为 ε1,ε2 .
P45.16 判断有无重因式
① f (x) = x5 − 5 x4 + 7x3 + 2x2 + 4x − 8 ② f (x) = x4 + 4x2 − 4x − 3
解① f '(x) = 5x4 − 20x3 + 21x 2 − 4x + 4
设
f (x) d ( x)
=
f1 ( x),
g(x) d ( x)
=
g1 ( x),
及
d
(x)
=Байду номын сангаас
u(x)
f
(x)
+
v( x) g ( x).
所以 d (x) = u(x) f1(x)d (x) + v(x)g1(x)d (x).
消去 d (x) ≠ 0 得1 = u(x) f1(x) + v(x)g1(x)
P45.5
(1) g(x) = (x −1)(x2 + 2x +1) = (x −1)(x +1)2 f (x) = (x + 1)(x3 − 3x −1) ∴ ( f (x), g(x)) = x +1
(2) g(x) = x3 − 3x2 +1不可约 f (x) = x4 − 4x3 + 1不可约
3
u = − 1 [(t 2 + t + 3)(t 2 + 2t − 8) + 6t + 24] = −2(t + 4) ∴3
高等代数(北大版)第2章习题参考答案
第二章 行 列 式1. 求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3)9 8 7 6 5 4 3 2 1;解:1) 所求排列的逆序数为:()1011033110134782695=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
2) 所求排列的逆序数为:()1810345401217986354=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
3) 所求排列的逆序数为:()()36219912345678987654321=-=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
2.选择i 与k 使1) 1274i 56k 9成偶排列； 2) 1i 25k 4897成奇排列。
解: 1) 当3,8==k i 时, 所求排列的逆序数为:()()10011314001274856399561274=+++++++==ττk i ，故当3,8==k i 时的排列为偶排列.。
2)当6,3==k i 时, 所求排列的逆序数为:()()5110110101325648974897251=+++++++==ττk i ，故当6,3==k i 时的排列为奇排列。
3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换。
解: 12345()()()2534125431214354,35,22,1−−→−−−→−−−→−。
4.决定排列()211 -n n 的逆序数,并讨论它的奇偶性。
解: 因为1与其它数构成1-n 个逆序,2与其它数构成2-n 个逆序,……n n 与1-构成1个逆序,所以排列()211 -n n 的逆序数为()[]()()()时排列为奇排列。
当时，排列为偶排列；故当34,2414,4211221211++=+=-=+++-+-=-k k n k k n n n n n n n τ5.如果排列n n x x x x 121- 的逆序数为k ,排列121x x x x n n -的逆序数是多 少?解: 因为比i x 大的数有i x n -个,所以在121x x x x n n -与n n x x x x 121- 这两个排列中,由i x 与比它的 各数构成的逆序数的和为i x n -.因而,由i x 构成的逆序总数 恰为 ()()21121-=-+++n n n 。
高等代数北大编第1章习题参考答案
第一章多项式一、习题及参考解答1 .用g(x)除了(x),求商g(x)与余式r(x)：1 ) f (x) = x3 - 3x2 - x -1, g(x) = 3x2 - 2x +1;2 ) f(x) = x4 -2x + 5,g(x) = x2 - x + 2。
解1)由带余除法,可得q(x) =L-Z,“x) =-竺x-2 ；2)同理可得g(x) = / +x-l,r(x) = -5x + 7。
2. 〃?,PM适合什么条件时，有1 ) X2 +/?1¥-1 I X3 + px + c/ 92) x2 + nix + 11 x4 + px2 +q。
解1 )由假设,所得余式为0,即(〃 + l + 〃?2)x + (q-〃?) = O,所以当 1 + 。
时有 /+〃a-11 X* + px +g 0q _ in = 0 .2)类似可得= 于是当〃? = 0时，代入(2)可得〃=夕+ 1;q + 1 —〃一" = 0而当2- 〃 -J = 0时，代入(2)可得4 = 1 04 = ] _, 时，皆有 / + + 1 I X，+ px2 + 9。
综上所诉，当p + nr = 23 .求g(x)除f(x)的商q(x)与余式:1 ) /(x) = 2«?-5x3-8x,g(x) = x + 3 ;2) f(x) = x3-x2 - xg(x) = x-l + 2i o解[)q(x) = 2x4 - 6x3 +13x2 - 39A+ 109 ,r(x) = -327 '2)= x2 -2LV-(5+2/)r(x) = -9 + 8/ °4 .把/1(X)表示成x-%的方幕和，即表成c()+ G(X —“0)+。
2(X — X。
)~ + …+ C n(X — X。
)” + …的形式：1)/(x) = x',x()= 1 ；2) /(X)= X4-2X2+3,X0 =-2 ;3) f (x) = x4 + 2汉3 -(1 + i)x2 -3x + 7 + i,x0 =-i o解 1 ) 由综合除法，可得f(x) = l + 5(x-l) + 10(x-l)2 + 10(x-1)3+5(X-1)4 + (x-1)5 ;2 ) 由综合除法，可得X4-2X2+3=11-24(X + 2) + 22* + 2)2 -8(.r + 2)3 + (x + 2)，;3）由综合除法，可得『+2立3_（1 +82_3工+ （7 +，）= (7 + 5i)-5(x + i) + (-l-i)(x + i)2 -2i(x + i)3 + (x + i),。
091550_高等代数(北大版第三版)习题答案
所以
f ( x) g ( x) , 1。 ( f ( x), g ( x)) ( f ( x), g ( x))
11 ． 证 明 ： 如 果 f ( x), g ( x) 不 全 为 零 ， 且 u ( x) f ( x) v( x) g ( x) ( f ( x), g ( x)) ， 那 么
解 1）由带余除法，可得 q ( x)
2
2）同理可得 q ( x) x x 1, r ( x) 5 x 7 。 2． m, p, q 适合什么条件时，有 1） x mx 1 | x px q ，
2 3
2） x mx 1 | x px q 。
2 4 2
(u ( x), v( x)) 1 。
证 由上题证明类似可得结论。 12．证明：如果 ( f ( x), g ( x)) 1, ( f ( x), h( x)) 1 ，那么 ( f ( x), g ( x) h( x)) 1 。 证 由假设，存在 u1 ( x), v1 ( x) 及 u2 ( x), v2 ( x) 使
3 2 2
多项式
1） f ( x) x 3 x x 1, g ( x) 3 x 2 x 1 ； 2）
f ( x) x 4 2 x 5, g ( x) x 2 x 2 。 1 7 26 2 x , r ( x) x ； 3 9 9 9
高等代数（北大*第三版）答案
目录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 多项式 行列式 线性方程组 矩阵 二次型 线性空间 线性变换
—矩阵
欧氏空间 双线性函数与辛空间
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第七章 线性变换1．? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）? 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）? 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）? 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）? 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5）? 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）? 在P[x ]中，A),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数；7）? 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8）? 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx = k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。
7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。
8)是，因任取二矩阵YX ,n n P ⨯∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，A (k X )=k BXC k kXB ==)()(A X ，故A 是nn P⨯上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换，证明：A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2，并检验(AB )2=A 2B 2是否成立。
解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z)，A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)，B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z)，B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)，C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z)，C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)，所以A 4=B 4=C 4=E 。
2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y)，BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以AB ≠BA 。
3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以A 2B 2=B 2A 2。
3) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)，A 2B 2(a)=(-x,-y,z)， 所以(AB )2≠A 2B 2。
3.在P[x] 中，A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f =，证明:AB-BA=E 。
证 任取∈)(x f P[x]，则有(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E 。
4.设A,B 是线性变换，如果AB-BA=E ，证明：A kB-BA k=k A 1-k (k>1)。
证 采用数学归纳法。
当k=2时A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a ，结论成立。
归纳假设m k=时结论成立，即A m B-BA m =m A 1-m 。
则当1+=m k 时，有A1+m B-BA1+m =(A1+m B-A m BA)+(A m BA-BA1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A1-m A=)1(+m A m。
即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立。
5.证明：可逆变换是双射。
证 设A 是可逆变换，它的逆变换为A1-。
若a ≠b ，则必有A a ≠A b ，不然设Aa=A b ，两边左乘A1-，有a=b ，这与条件矛盾。
其次，对任一向量b ，必有a 使A a=b ，事实上,令A1-b=a 即可。
因此,A 是一个双射。
6.设1ε,2ε,K ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。
证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关。
证 因A (1ε,2ε,K ,n ε)=(A 1ε,A 2ε,K ,A n ε)=(1ε,2ε,K ,n ε)A ，故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆，而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关，故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关.。
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵；2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对2ε的垂直投影，求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵； 3) 在空间P [x]n 中，设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→， 试求A 在基i ε=!1)1()1(i i x x x +--K (I=1,2,K ,n-1)下的矩阵A ；4) 六个函数 1ε=eaxcos bx ,2ε=e axsin bx ，3ε=x eaxcos bx ,4ε=x eaxsin bx ，1ε=221x e ax cos bx ,1ε=21e ax 2x sin bx ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D 在基i ε(i=1,2,K ,6)下的矩阵；5) 已知P 3中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121011101，求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 6) 在P 3中，A 定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(321ηηηA A A ， 其中⎪⎩⎪⎨⎧-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(321ηηη，求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 7) 同上，求A 在1η,2η,3η下的矩阵。
解 1) A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε，A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε，A 3ε=(0,1,0)= 2ε，故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001110012。
2）取1ε=（1，0），2ε=（0，1），则A 1ε=211ε+212ε，A 2ε=211ε+212ε，故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21212121。
又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε，所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000，另外，（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=211ε+212ε，所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210210。
3）因为 )!1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n K K εεεε， 所以A 0110=-=ε，A 01)1(εε=-+=x x ， A )!1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=-n n x x x n n x x x n K K ε=)!1()]3([)1(----n n x x x K {)]2([)1(---+n x x }=2-n ε，所以A 在基0ε,1ε,K ,1-n ε下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010KK K。
4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε,D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε， D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε，所以D 在给定基下的矩阵为D =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000100001000010001a b b a a b b a ab b a 。
5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211。
6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--012110301，所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--012110301,但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505，故A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---717172717672737371=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----72471872772757472072075。