优化设计-孙靖民-课后答案第6章习题解答
优化设计习题答案
第一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是设计变量 、 目标函数 、 约束条件。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵 为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题，的基础上力求简洁。
5.约束条件的尺度变换常称规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例递增的方法。
7.最速下降法以负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无 约束优化问题，这种方法又被称为升维法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为单变量的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束，，另外应当尽量减少不必要的约束。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1,空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。
14.数学规划法的迭代公式是1k k k k X X d α+=+，其核心是建立搜索方向，和计算最正确步长15协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。
16.机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。
二、名词解释1．凸规划对于约束优化问题()min f X..s t ()0j g X ≤(1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅都为凸函数，则称此问题为凸规划。
优化设计七年级下册数学全部答案
学前温故1、两方无2、180°新课早知1、邻补角2、对顶角3、∠BOD ∠AOC和∠BOD 4、相等5、C 轻松尝试应用 1～3 CAC 4、15°5、∠AOF 和∠BOE 6、解：因为∠AOD与∠BOC是对顶角所以∠AOD=∠BOC 又因为∠AOD+∠BOC=220°所以∠AOD=110°而∠AOC与∠AOD是邻补角则∠AOC+∠AOD=180°所以∠AOC=70°智能演练能力提升 1～3 CCC 4、10°5、对顶角邻补角互为余角 6、135°40°7、90°8、不是9、解：因为OE平分∠AOD, ∠AOE=35°, 所以∠AOD=2∠AOE=70°由∠AOD与∠AOC是邻补角，得∠AOC=180°-∠AOD=110°因此∠COE =∠AOE+∠AOC=35°+110°=145° 10、2 6 12 n(n-1) 40461325.1.2垂线学前温故90°新课早知1、垂直垂线垂足2、D BE CD C 3、一条垂线段4、B 5、垂线段的长度6、D 轻松尝试应用1～3 DBD 4、∠1与∠2互余 5、30°6、解：由对顶角相等，可知∠EOF=∠BOC=35°,又因为OG⊥AD, ∠FOG=30°,所以∠DOE=90°-∠FOG-∠EOF=90°-30°-35°=25°智能演练能力提升1～3 AAB 4、①④ 5、解:如图.6、解：因为CD⊥EF, 所以∠COE=∠DOF=90 °因为∠AOE=70°,所以∠AOC=90°-70°=20°, ∠BOD=∠AOC=20°,所以∠BOF=90°-∠BOD=90°-20°=70°因为OG平分∠BOF,所以∠BOG=0.5×70°=35°,所以∠BOG=35°+20°=55°7、解（1）因为OD平分∠BOE,OF平分∠AOE, 所以∠DOE=1/2∠BOE, ∠EOF=1/2∠AOE,因为∠BOE+∠AOE=180°,所以∠DOE+∠EOF=1/2∠BOE+1/2∠AOE=90°,即∠FOD=90°,所以OF⊥OD(2)设∠AOC=x,由∠AOC: ∠AOD=1:5,得∠AOD=5x.因为∠AOC=∠AOD=180°,所以x+5x=180°,所以x=30°.所以∠DOE=∠BOD=∠AOC=30°.因为∠FOD=90°,所以∠EOF=90°-30°=60°8、D 9解:(1)如图所示:(2)如图所示:(3)==(4)角平分线上的点到角两边的距离相等.5.1.3同位角、内错角、同旁内角快乐预习感知学前温故1、相等互补2、直角新课早知1、同位角内错角同旁内角2、B 3、A 互动课堂例解：同位角有∠1和∠2，∠3和∠5; 内错角有∠1和∠3，∠2和∠5；同旁内角有∠1和∠4，∠4和∠5轻松尝试应用1、B 2、B 3、同位同旁内内错 4、内错 AB BC AC 同旁内 AC BC AB5、解：（1）中，∠1与∠2是直线c、d被直线l所截得的同位角，∠3与∠4是直线a,b被直线l所截得的同旁内角；（2）中，∠1与∠2是AB,CD被直线BC所截得的同位角，∠3与∠4是直线AB,CD被直线AC 所截得的内错角；（3）中，∠1与∠2是直线AB,CD被直线AG所截得的同位角，∠3与∠4是直线AG,CE 被直线CD所截得的内错角；（4）中，∠1与∠2是直线AD,BC被直线AC所截得的内错角，∠3与∠4是直线AB,CD被直线AC所截得的内错角能力升级 1～5 ADCCB 6、∠B ∠A ∠ACB和∠B 7、BD 同位 AC 内错 AC AB BC 同旁内 AB AC BD 同位 AB EF BD 同旁内 8、解：∠1与∠5；∠1与7；∠4与∠39、解：因为∠1与∠2互补，∠1=110°，所以∠2=180°-110°=70°，因为∠2与∠3互为对顶角，所以∠3=∠2=70°因为∠1+∠4=180°所以∠4=180°-∠1=180°-110°=70°10、解：（1）略（2）因为∠1=2∠2，∠2=2∠3，所以∠1=4∠3.又因为∠1+∠3=180°所以4∠3=∠3=180°所以∠3=36°所以∠1=36°×4=144°，∠2=36°×2=72°5.2.1平行线学前温故有且只有一个新课早知1、平行2、C 3、一条4、互相平行 5、A 轻松尝试 1～3 DBB 4、AB∥CD ,AD∥BC 5、③⑤ 6、略能力升级 1～4 BCAB 5、3 A′B′, C′D,CD 6、在一条直线上过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 7、解:(1)CD∥MN,GH∥PN.(2)略.8 解:(1)如图①示.(2)如图②所示.9解：（1）平行因为PQ∥AD,AD∥BC, 所以PQ∥BC .(2)DQ=CQ 10、解：（1）图略（2）AH=HG=GM=MC (3)HD:EG:FM:BC=1:2:3:45.2.2平行线的判定学前温故同一同侧之间两侧之间同侧新课早知1、不相交平行同位角平行内错角平行同旁内角互补平行 2、C 3、A 轻松尝试1～4、ABDC 5、EF 内错角相等，两直线平行 BC 同旁内角互补，两直线平行 AD BC 平行于同一条直线的两直线平行能力提升 1～5 DCDDD 6、∠FEB=100°7、内错角相等，两直线平行 8、AB EC 同位角相等地，两直线平行 AB EC 内错角相等，两直线平行 AC ED 内错角相等，两直线平行 AB EC 同旁内角互补，两直线平行 9、解：因为DE平分∠BDF,AF平分∠BAC, 所以2∠1=∠BDF,2∠2=∠BAC 又因为∠1=∠2，所以∠BDF=∠BAC.所以DF∥AC(同位角相等，两直线平行) 10、解：（1）因为AB⊥EF,CD⊥EF,所以AB∥CD. 理由:两条直线都垂直于同一条直线，这两条直线平行。
(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵
优化设计习题答案
第一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。
2。
函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵 为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3。
目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，,同时必须是设计变量的可计算函数 .4。
建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。
5.约束条件的尺度变换常称 规格化,这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6。
随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。
7。
最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收敛速度较 慢 .8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1， 空间中描述出来,为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法.14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。
16。
机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步,它是取得正确结果的前提。
二、名词解释 1．凸规划对于约束优化问题()min f X..s t ()0j g X ≤ (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅都为凸函数，则称此问题为凸规划。
最优化设计 课后习题答案
最优化方法-习题解答张彦斌计算机学院2014年10月20日Contents1第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、412第二章线搜索算法-P27习题2、4、643第三章最速下降法和牛顿法P41习题1，2，374第四章共轭梯度法P51习题1，3，6(1)105第五章拟牛顿法P73-2126第六章信赖域方法P86-8147第七章非线性最小二乘问题P98-1，2，6188第八章最优性条件P112-1，2,5,6239第九章罚函数法P132，1-(1)、2-(1)、3-(3),62610第十一章二次规划习题11P178-1（1），5291第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、4 1.验证下列各集合是凸集:(1)S={(x1,x2)|2x1+x2≥1,x1−2x2≥1};需要验证：根据凸集的定义，对任意的x(x1,x2),y(y1,y2)∈S及任意的实数λ∈[0,1],都有λx+(1−λ)y∈S.即,(λx1+(1−λ)y1,λx2+(1−λ)y2)∈S证：由x(x1,x2),y(y1,y2)∈S得到，{2x1+x2≥1,x1−2x2≥12y1+y2≥1,y1−2y2≥1(1)1把(1)中的两个式子对应的左右两部分分别乘以λ和1−λ,然后再相加，即得λ(2x1+x2)+(1−λ)(2y1+y2)≥1,λ(x1−2x2)+(1−λ)(y1−2y2)≥1(2)合并同类项，2(λx1+(1−λ)y1)+(λx2+(1−λ)y2)≥1,(λx1+(1−λ)y1)−2(λx2+(1−λ)y2)≥1(3)证毕.2.判断下列函数为凸（凹）函数或严格凸（凹）函数：(3)f(x)=x21−2x1x2+x22+2x1+3x2首先二阶导数连续可微，根据定理1.5，f在凸集上是（I）凸函数的充分必要条件是∇2f(x)对一切x为半正定；（II）严格凸函数的充分条件是∇2f(x)对一切x为正定。
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考点八十六 原子结构扫描与矫正【正误判断】实训与超越 【7+1模式】考点八十七原子结构与元素的性质扫描与矫正【正误判断】实训与超越【7+1模式】在周期表中，右上角元素元素除外)的电负性最大，左下角元素电负性最小。
由电负性大小可知X在Y考点八十八共价键扫描与矫正【正误判断】实训与超越【7+1模式】考点八十九分子的立体构型扫描与矫正【正误判断】甘氨酸的结构式为由结构式可以看出是四面体构型的极性分子。
实训与超越【7+1模式】考点九十 分子的性质扫描与矫正【正误判断】实训与超越【7+1模式】＋－16.02×1023 mol－1－103＝（6）8×18＋6×12＝数为，即每个S 2－离子周围与4个相反电荷的Zn 2＋离子联成正四面体。
则密度ρ＝mV＝＋－16.02×1023 mol －1－103，如图，则1352109°28′；过b 向上面作垂线，构成考点九十一 晶体的常识扫描与矫正【正误判断】实训与超越 【7+1模式】考点九十二分子晶体与原子晶体扫描与矫正【正误判断】实训与超越【7+1模式】考点九十三 金属晶体扫描与矫正【正误判断】实训与超越【7+1模式】)考点九十四离子晶体【正误判断】实训与超越【7+1模式】个小立方体可得，以上下面中点微粒与各棱中点上的微粒用线连接，可分离出正八面体结构的，故氢键，而形成分子间氢键，分子间氢键（1）氧元素的基态原子核中未成对电子为（2）从各种化学键形成的角度上分析类型上推出强弱顺键，沸点偏低。
子的排斥减小，故键角增大。
优化设计 孙靖民 课后答案第6章习题解答-3
９．图6-39所示为一对称的两杆支架，在支架的顶点承受一个载荷为2F=300000N ， 支架之间的水平距离2B=1520mm ，若已选定壁厚T=2.5mm 钢管，密度/1083-6mm Kg ⨯=.7ρ，屈服极限700=s σMpa ，要求在满足强度与稳定性条件下设计最轻的支架尺寸。
[解] 1．建立数学模型 设计变量：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=H D x x x 21目标函数：221422577600101.2252)(x x HB D T x f +⨯=+=πρ 约束条件： １）圆管杆件中的压应力σ应小于或等于y ο，即y TDHHB F σπσ≤+=22于是得2122157760019098.59)(x x x x g +=２）圆管杆件中的压应力α应小于或等于压杆稳定的临界应力c σ，由欧拉公式得钢管的压杆温度应力c σ222152222225776006.25102.6)8()(x x H B T D E AL EIC ++⨯=++==ππσ2式中 A ――圆管的截面积；L ――圆管的长度。
于是得0)6006.25)/(577(102.657760019098.59)(2221521222≤++⨯-+=-=x x x x x x g c σσ３） 设计变量的值不得小于或等于0于是得)(0)(2213≤-=≤-=x x g x x g2．从以上分析可知，该优化设计问题具有2个设计变量，4个约束条件，按优化方法程序的规定编写数学模型的程序如下：subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=1.225e-4*x(1)*sqrt(577600.0+x(2)*x(2)) endsubroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg)gx(1)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))-700.0 gx(2)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))- 1 2.6e5*(x(1)*x(1)+6.25)/(577600.0+x(2)*x(2)) gx(3)=-x(1) gx(4)=-x(2) end3．利用惩罚函数法（SUMT 法）计算，得到的最优解为：============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 4 KH= 0 X : .7200000E+02 .7000000E+03 FX: .9113241E+01GX: -.3084610E+03 -.8724784E+03 -.7200000E+02 -.7000000E+03 PEN = .9132947E+01R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 18 ITE= 39 ILI= 39 NPE= 229 NFX= 0 NGR= 57 R= .1717988E-06 PEN= .6157225E+01 X : .4868305E+02 .6988214E+03 FX: .6157187E+01GX: -.1204029E+03 -.1266042E-01 -.4868305E+02 -.6988207E+0310．图6-40所示为一箱形盖板，已知长度L=6000mm ，宽度b=600mm ，厚度mm t s 5承受最大单位载荷q=0.01Mpa ，设箱形盖板的材料为铝合金，其弹性模量MPa E 4107⨯=，泊松比3.0=μ，许用弯曲应力[]MPa 70=σ，许用剪应力[]MPa 45=τ，要求在满足强度、刚度和稳定性条件下，设计重量最轻的结构方案。
优化设计复习资料有答案
现代设计方法参考书目:1、陈继平. 现代设计方法，华中科技大学出版社。
2、高健. 机械设计优化基础，科学出版社，2007，93、刘惟信. 机械最优化设计，第二版，清华大学出版社。
第一章习题例2 某工厂生产甲乙两种产品。
生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时和电力见表。
试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。
设每天生产甲产品x1件，乙x2件，利润为f(x1,x2)f(x1,x2)=60x1+120x2每天实际消耗的材料、工时和电力分别用函数g1(x1,x2)、g2(x1,x2)、g3(x1,x2)表示：g1(x1,x2)=9x1+4x2g2(x1,x2)=3x1+10x2g3(x1,x2)=4x1+5x2于是上述问题可归结为：求变量 x1,x2使函数 f(x1,x2)= 60x1+120x2极大化满足条件 g1(x1,x2)=9x1+4x2≤360g2(x1,x2)=3x1+10x2≤300g3(x1,x2)=4x1+5x2≤200g4(x1,x2)=x1≥0g5(x1,x2)=x2≥0例3 一种承受纯扭矩的空心传动轴，已知传递的扭矩为T，试确定此传动轴的内外径，以使其用料最省。
例： 求下列非线性规划优化问题优化设计的迭代算法1、下降迭代算法的基本格式 迭代公式基本原理：从某一初始设计开始，沿某个搜索方向以适当步长得到新的可行的设计，如此反复迭代，直到满足设计要求，迭代终止。
k k k SX X k1S(k)——第k步的搜索方向，是一个向量； αk ——第k 步的步长因子，是一个数，它决定在方向S(k)上所取的步长大小。
简单的说：是一个搜索、迭代、逼近的过程。
最关键的是搜索的方向和步长。
迭代算法的基本步骤：1，选定初始点X(0)，令k=0;2、在X(k)处选定下降方向S(k);,3、从X(k)出发沿S(k)一维搜索，找到X(k+1)=X(k)+αkS(k), 使得f(X(k+1))<f(X(k)); 令k=k+1，转（2）。
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第六章习题解答1． 已知约束优化问题：2)(0)()1()2()(min 21222112221≤-+=≤-=⋅-+-=x x x g x x x g ts x x x f试从第ｋ次的迭代点[]T k x21)(-= 出发，沿由（-1 1)区间的随机数０.56２和-0．２５4所确定的方向进行搜索,完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(+k x 。
并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。
［解] 1)确定本次迭代的随机方向：[]T TRS 0.4120.9110.2540.5620.2540.2540.5620.5622222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=2) 用公式：R k k S x xα+=+)()1( 计算新的迭代点。
步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。
到第二个约束边界上的步长可取为2，则：176.1)412.0(22822.0911.0212212111=-⨯+=+==⨯+-=+=++R kk R k k S x x S x xαα⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+176.1822.01k X即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。
2． 已知约束优化问题:)(0)(025)(124)(min 231222211221≤-=≤-=≤-+=⋅--=x x g x x g x x x g ts x x x f试以[][][]T T T x x x 33,14,1230201===为复合形的初始顶点,用复合形法进行两次迭代计算。
[解] 1)计算初始复合形顶点的目标函数值,并判断各顶点是否为可行点：[][][]935120101-=⇒==⇒=-=⇒=030302023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中,为最坏点。
为最好点，0203x x 2)计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中心点：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑≠=3325.221132103312i i i c x Lx3)计算反射点1R x （取反射系数3.1=α)20.693.30.551422.51.322.5)(1102001-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x 值为可行点，其目标函数经判断α 4)去掉最坏点1R0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011Rx x ,进行新的一轮迭代。
5）计算新的复合形中,去掉最坏点后的中心点得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3.151.7753.30.5533211c x ６)计算新一轮迭代的反射点得：，完成第二次迭代。
值为可行点，其目标函数经判断413.14 5.9451.4825123.151.7751.33.151.775)(1201112-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x α3． 设已知在二维空间中的点[]T x x x 21=,并已知该点的适时约束的梯度[]T g 11--=∇,目标函数的梯度[]T f 15.0-=∇,试用简化方法确定一个适用的可行方向。
[解］ 按公式6-3２ 计算适用的可行方向：)(k k kx f P x f P d ∇∇-=/)(kx 点的目标函数梯度为:[]T k x f 15.0)(-=∇k x点处起作用约束的梯度Ｇ为一个J n ⋅ 阶的矩阵,题中：n ＝2，J ＝１:[]T k x g G 11)(1--=∇=梯度投影矩阵P 为:[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=--5.05.05.05.0011111111100111TTGGG G I P 则:适用可行方向为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=707.0707.010.50.50.50.50.510.50.50.50.50.5kd4． 已知约束优化问题:00)(34)(min 3322113)43(222121≤-=≤-=≤-=⋅-+-=x g x g x g ts x x x x x x f 试求在[]T kx1/21/4=点的梯度投影方向。
[解] 按公式６－32 计算适用的可行方向：)(k k kx f P x f P d ∇∇-=/)(kx点的目标函数梯度为：[]T k x f 125.0125.0--=∇)(kx 点处起作用约束的梯度G 为一个J n ⋅ 阶的矩阵，题中：ｎ=3，Ｊ=1：[]T k x g G 001)(1-=∇=梯度投影矩阵Ｐ为:[][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=--10001000000100100100110001000111TT G GG G I P则:适用可行方向为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=97.0243.00125.0100010.250.1251000100000.12500100kd5.用内点法求下列问题的最优解:312)(2112221≤-=⋅+-+=x g ts x x x x f m in（提示:可构造惩罚函数 []∑=-=21)(ln )(),(u u x g r x f r x φ,然后用解析法求解。
)[解] 构造内点惩罚函数：[]∑=--+-+=-=21)()(),(u u x r x x x x g r x f r x )3ln(12ln 212221φ令惩罚函数对x 的极值等于零：0)3/()(222221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=x r x x dx d φ 得：48366121r x x +±== 舍去负根后，得483662rx ++=当 []T x x r 31302=→→该问题的最优解为，时，。
6．用外点法求下列问题的最优解：00)( min1 2221 121≤-=≤-=⋅+=xgx xg tsxxxf[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型：subroutine fｆx（n,ｘ,fx)diｍeｎsioｎ x(n)fx=x（1)+x(2)eｎdｓubroutine ggx（n，kg,ｘ,ｇx)dimensioｎ x(n),gｘ(kｇ）gx(1)=x(1)*x(1)-x(2）gx(2)=-ｘ(1)endsubrｏutｉnｅ hｈx(n，ｋｈ，ｘ，hx)domeｎsｉon x(ｎ）,hｘ(ｋh）hx（１）＝0．0eｎｄ然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解:====＝=====＝=== PRIMARY DATA =====＝======== Ｎ= 2 KG= 2 ＫH= 0X : ．100000０E＋01 .２０00000E+01FX: ．3000000E+01GX: －.1０００00０Ｅ+01 -．10０0000Ｅ+01X : ．１0０0０0０E＋01 .2０00000E+01FX：.3000０00E+０1GX： -.10000００E＋01 -．1０0０000Ｅ+01PEＮ＝．5000０００Ｅ+01R =.１000000Ｅ＋01 C= .２0０0000E＋0０Ｔ0= .1000000E－0１ＥPS1= .１00０000E-０5 EPS2＝ .1００0００0E-05====＝========＝= OPTIＭUM ＳＯLUＴIＯN ==＝==＝=======＝IRC= 21 ＩTE＝ 54 ILI= 1１７NPE＝３759 ＮＦX= ０NGR= 0R= .104８５77E-１3 PＥN= .42２９85０E-06Ｘ: .9493056Ｅ-０7 .7２037５8E－０7FＸ: ．1６69681E－06GX: -.７2037５7E－０7 -.9４93056E-077.用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：1)(0)()(2121112≤-+=≤-=⋅-=x x x h x x g ts x x x f ln m in[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subrout ｉn ｅ ffx(n,x,fx ） di ｍｅnsion x （n) ｆｘ=x(２)－ｘ(1) endｓu ｂrou ｔine ggx （n ，ｋg,x,ｇｘ） d ｉｍensio ｎ ｘ(n),ｇx(kg) gx(1)=-l ｏg(x(1))] g ｘ(2)=-x （1) gx(3）＝－x(２) ｅndsu ｂｒｏuti ｎe hhx(n,ｋh,x ，hx ） domensi ｏn x(n),hx （kh ） hx （１)=x （1）+x(２)-１ ｅn ｄ然后，利用惩罚函数法计算,即可得到如下的最优解：==＝＝==＝======= P ＲIMAR Ｙ DATA ======＝======= N= 2 KG ＝ ３ KH= 1 X : .2０000０0E+0１ .10０0000E+01 FX: -.１00０000E+01GX ： -.6931472Ｅ+00 -.2000０00Ｅ＋01 -.100000０E+01 X ： ．2000000E+01 ．１000000E ＋０1 FX ： -.100０00０E ＋01GX: －.69３14７2Ｅ＋００ -.2000000E+０1 -.100０0０0E ＋0１ HX: ．2000000E+01PEN = .59426９５E ＋0１ R = .1000００0E+０1 Ｃ = ．4000０00Ｅ+００ T ０＝ .1０0００00E-01E ＰS1= .1０００00０E-05 ＥPS2= .1000000E －05====＝====＝=＝=== ＯＰＴＩM ＵM SOLUTION ===＝==＝＝=＝===＝I ＲC ＝ 29 IT Ｅ＝ 143 ILI= １4３ NP Ｅ= 1１９０ NFX ＝ 0 ＮGR ＝ 172Ｒ= .７2０5765E －11 P ＥN= －.9999720Ｅ＋00X ： .1000０06E+0１．3777877Ｅ-05FX： -.1000012E+01GＸ：-.5９60447E-05 －.1000006E+01 .６２2２１23E－05 ＨX: -．26165８9E－0６。