第六章 力矩分配法
力矩分配法
§8.1力矩分配法的基本概念力矩分配法是在位移法的基础上发展起来的一种渐近法，它主要应用于分析连续梁和无结点线位移的刚架。
杆端弯矩的正负号规定与位移法相同。
一、名词解释1.转动刚度S ij转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
远端固定：S AB=4i远端铰支：S AB=3i远端滑移：S AB=i远端自由：S AB=0其中：i=EI/l；2.分配系数μij由转动刚度的定义可知：M AB= S AB•θA=4i AB•θAM AC= S AC•θA=i AC•θAM AD= S AD•θA=3i AD•θA取结点A为隔离体，列ΣM=0，可得：M= S AB•θA+ S AC•θA+ S AD•θAM M∴θ= ──────── = ──S AB + S AC + S AD ΣSΣS表示各杆A端转动刚度之和，把θ反代入，可得：M AB=M• S AB/ΣS M AC=M• S AC/ΣS M AD=M• S AD/ΣS令μAj= S Aj/ΣS 则 M Aj=μAj•MμAj称为分配系数，等于某杆的转动刚度与交于结点的各杆的转动刚度之和的比值；同一结点各杆分配系数之间存在下列关系：ΣμAj=μAB +μAC +μAD = 13.传递系数C AjM AB =4i AB•θA，M BA =2i AB•θAM AC =i AC•θA， M CA = -i AC•θAM AD =3i AD•θA，M DA =0C AB= M BA / M AB =1/2∴远端固定：C=1/2远端滑动：C=-1远端铰支：C=0用下列公式表示传递系数的应用：M BA = C AB• M AB系数C AB称为由A端至B端的传递系数；二、力矩分配的基本概念如下图所示结构，用位移法计算时，此结构有一具未知量Z1，典型方程为：r11•Z1 + R1p = 0r11=3i12 + i13 + 4i14 = S12 + S13 + S14 =ΣSR1P =ΣM1j g =M12g +M13g =M1gR1P代表附加刚臂上反力矩，它等于汇交于结点1的各杆端的固端弯矩的代数和，用M1g表示。
结构力学——6位移法和力矩分配法
△ △
4、5、6 三个固定端都是不动的点，结点1 、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长 度不变，故三个结点均有相同的水平位移 FP △ 。
1
2
3
4
5
6
(a)
事实上，图(a)所示结构的独立线位移数 将结构的刚结点(包括固定支座)都变成 目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目 铰结点(成为铰结体系),则使其成为几何 是相同的。因此，实用上为了能简捷地确 不变添加的最少链杆数，即为原结构的独 定出结构的独立线位移数目，可以 立线位移数目(见图b)。
4
5
6
(a)
共有四个刚结点，结点线位移数目为二 ，基本未知量为六个。基本结构如图所 示。
7
10 返回
5
6
(b)
例：确定图a所示连续梁的基本结构。 D B A C D B A C
（图a）
A A
B B
基本结构 基本结构
C C
D （图b） D
在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。
EI
第六章
位移法和力矩分配法
§6—1 位移法的基本概念 §6—2 位移法基本未知量的确定 §6—3 位移法典型方程计算步骤和示例 §6—4 力矩分配法的基本概念 §6—5 用力矩分配法计算连续梁 §6—6 用力矩分配法计算无接点线位移刚架
1
§6—1
位移法的基本概念
一、位移法的提出(Displacement Method)
M
A
B
0
2i
r11 4i 4i 0
8EI r11 8i l
2i
M1
得
15
求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩 图(MP图)。 取结点B为隔离体
《土木工程力学》-力矩分配法
土木工程力学辅导——力矩分配法1. 力矩分配法的基本运算● 三个基本概念转动刚度： 111z S M k k =k S 1：1k 杆的1用的弯矩。
分配系数： M SS M kkk )1(111=∑k 1μ：当结点1杆的1端的力矩。
传递系数： k k k M C M 111=k C 1矩的比值。
当单位力偶作用在结点1弯矩乘以传递系数。
● 一个基本运算如图1所示，各杆的转动刚度为：141413131212,4,3i S i S i S ===各杆的力矩分配系数为：∑∑∑===)1(11414)1(11313)1(11212,,kKkS S S S S S μμμ分配给各杆的分配力矩即近端弯矩为： M SS MM SS MM M SS Mkkk∑∑∑====)1(11414)1(1131312)1(11212,,μμμμ各杆的传递系数为：1,21,0141312-===C C C各杆的传递弯矩即远端弯矩为：144113131331121221,21,0M MM M C MM C MCCC -=====2．具有一个结点角位移结构的计算 步骤：●加约束：在刚结点i 处加一附加刚臂，求出固端弯矩，再求出附加刚臂给结点的约束力矩f i M 。
●放松约束：为消掉约束力矩f i M ，加-f i M ，求出各杆端弯矩。
分配系数固端弯矩分配及传递弯矩最后弯矩M图（单位：KN.m）附加刚臂对结点的约束力矩为：m KN MBf .7560135=-=● 放松结点：在结点B 上加外力偶Bf M-，求出分配弯矩和传递弯矩。
定义lEI i =转动刚度为：i i S i i S BC BC AB BA 44,33====分配系数为：57.043.0=+==+=BCAB BC BC BCBA BA BA S S S S S S μμ分配弯矩为： ()()mkN Mm kN M BCBA .25.327543.0.75.427557.0-=-⨯=-=-⨯=μμ传递弯矩为： ()mkN MM CBcABc .38.2175.42210-=-⨯==● 合并，固端弯矩+分配弯矩=近端弯矩，固端弯矩+传递弯矩=远端弯矩。
力矩分配法
1渐近法2用力法、位移法分析超静定结构，都需要求解多元联立方程组，求出基本未知量。
当未知量较多时，计算颇为繁重。
渐近法—采用逐步地逼近真实解的方法。
渐近法主要有：一、渐近法概述(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。
(2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。
(3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。
3力矩分配法理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。
4只有结点角位移而无结点线位移的梁和刚架。
？力矩分配法的适用范围：力矩分配法的适用范围：5只有结点角位移而无结点线位移的梁和刚架。
√6力矩分配法以杆端弯矩为计算对象，采用：固定放松分配、传递逐次逼近杆端弯矩的精确解。
计算原理及符号规则均与位移法相同，只是计算过程不相同。
7计算过程：1.固定结点求出固定状态的杆端弯矩FijM 附加刚臂处的不平衡弯矩iM依次将结点上的不平衡弯矩反号分配于各杆近端，并传向远端。
2.逐次放松各结点8若干次循环计算= 也即逐次恢复转角的过程直接表达为各杆端弯矩逐次修正的过程放松结束，也即变形（转角）、内力趋于实际状态。
9——基本运算A BCM ABM BAM BC A BCM FAB M FBAM FBCM BM BM F BAM F BCM B =M F BA +M F BCABC－M BBAM ′BCM ′AB M ′0－M BBAM ′BCM ′)(B BA BAM M −⋅=′μ)(B BC BCM M −⋅=′μ+=最后杆端弯矩：M BA =M F BA +BAM ′M BC =M F BC +BCM ′M AB =M F AB +AB M ′然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
固端弯矩带本身符号单结点的力矩分配分配系数分配弯矩10例1. 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。
3m 3m 6m EI EI 200kN 20kN/m （1）固定B 结点A BC 200kN 20kN/m M F AB =M F BA =M F BC=mkN ⋅−=×−15086200m kN ⋅150m kN ⋅−=×−9086202M B =M F BA + M F BC =m kN ⋅60－150150－90（2）放松结点B，即加-60进行分配60A B C－60设i =EI/l 计算转动刚度：S BA =4iS BC =3i分配系数：571.0344=+=i i iBAμ429.073==iiBCμ0.5710.429分配力矩:3.34)60(571.0−=−×=′BAM 7.25)60(429.0−=−×=′BCM －34.3－25.7－17.2+(3) 最后结果。
结构力学第六章超静定结构的计算——力矩分配法
《结构力学》习题集- 33 -第六章 超静定结构的计算——力矩分配法一、本章基本内容：1、基本概念：转动刚度、分配系数、传递系数、侧移刚度；（1）力矩分配法是以位移法为基础的一种渐进解法；（2）转动刚度与杆件的线刚度和远端支承情况有关；（3）杆件远端的支承情况不同，相应的传递系数也不同；（4）分配系数的值小于等于1，并且1=∑ik μ；（5）力矩分配法只适用于计算无结点线位移的结构。
2、固端力矩、结点不平衡力矩的计算；3、用力矩分配法计算多跨梁和无侧移刚架的一般步骤：（1）计算汇交于各结点的每一杆端的分配系数并确定传递系数；（2）求出各杆件的固端弯矩；（3）求出结点不平衡力矩，将其反号乘上各杆件的分配系数得到相应的分配弯矩。
然后，再将分配弯矩乘以传递系数，求出远端的传递弯矩。
按此步骤循环计算，直到不平衡力矩小到可以忽略不计为止。
（4）将每一杆端的固端弯矩、历次的分配弯矩和传递弯矩相加，求出最后杆端弯矩。
（5）校核最后杆端弯矩，作内力图。
二、习题：（一）、判断题(不作为考试题型)：1、力矩分配法中的分配系数、传递系数与外来因素（荷载、温度变化等）有关。
2、若图示各杆件线刚度i 相同，则各杆A 端的转动刚度S 分别为：4 i , 3 i , i 。
AA A3、图示结构EI =常数，用力矩分配法计算时分配系数4 A μ= 4 / 11。
1l ll第六章 力矩分配法- 34 -4、图示结构用力矩分配法计算时分配系数μAB =12/，μAD =18/。
BCA D E =1i =1i =1i =1i5、用力矩分配法计算图示结构，各杆l 相同，EI =常数。
其分配系数μBA =0.8，μBC =0.2，μBD =0。
A B CD6、在力矩分配法中反复进行力矩分配及传递，结点不平衡力矩愈来愈小，主要是因为分配系数及传递系数< 1。
7、若用力矩分配法计算图示刚架，则结点A 的不平衡力矩为 −−M Pl 316。
《力矩分配法 》课件
05
力矩分配法的未来发展与展 望
力矩分配法在新型结构中的应用
新型材料结构
随着新型材料的不断涌现，力矩分配法在复合材料、智能材料等新型结构中的应 用将更加广泛，为复杂结构的分析和设计提供有力支持。
新型连接方式
针对新型连接方式如焊接、胶接等，力矩分配法将进一步完善其理论体系，以适 应不同连接方式的特性，提高结构的安全性和可靠性。
通过将结构划分为若干个独立的杆件或单元，并假定每个杆件的一端为固定端 ，另一端为自由端，然后根据力的平衡条件和变形协调条件，逐个求解各杆件 的内力和变形。
适用范围与限制
适用范围
适用于分析具有连续梁和刚架结构形 式的问题，如桥梁、房屋、塔架等。
限制
对于具有复杂结构形式或非线性性质 的问题，力矩分配法可能无法得到准 确的结果，需要采用其他数值方法或 实验方法进行分析。
根据杆件长度和截面特性，将杆件力 矩分配至杆件两端。
分配过程中要考虑杆件的弯曲变形和 剪切变形。
计算杆件内力
根据杆件力矩和截面特性，计算杆件的内力（弯矩和剪力） 。
内力的计算要考虑材料的力学性能，如弹性模量、泊松比等 。
03
力矩分配法的应用实例
桥梁工程中的应用
1 2
3
桥梁设计
力矩分配法可以用于计算桥梁的弯矩、剪力和轴力等，为桥 梁设计提供依据。
与其他方法的比较
与有限元法比较
力矩分配法适用于分析具有连续梁和刚架结构形式的问题，计算过程相对简单，但无法处理复杂的结 构形式和非线性问题。有限元法则可以处理各种复杂的结构形式和非线性问题，但计算过程相对复杂 。
与实验方法比较
实验方法可以获得较为准确的结果，但需要耗费大量的人力和物力资源，且实验过程可能存在风险。 力矩分配法虽然可能存在一定的误差，但可以在一定程度上替代实验方法，节省资源和时间。
结构力学——力矩分配法分解课件
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复杂结构的力矩分配法分析
总结词
需要对复杂结构进行精细的力矩分配
详细描述
对于复杂结构，如桥梁、高层建筑等，力矩分配法需要更加精细的分析。这需要对结构的各种参数进 行详细的计算和调整，包括转动刚度、分配系数、传递系数等。通过合理的简化模型和精细的计算， 可以获得结构的整体性能和局部细节，满足工程设计的需要。
应用范围
适用于具有刚性转动 部分的连续梁和框架
适用于具有弹性支撑 的连续梁和框架
适用于具有弹性转动 部分的连续梁和框架
适用条件
结构体系为连续梁或框架 结构具有刚性转动部分，且转动部分在分配力矩后不会出现弹性变形
结构具有弹性支撑，且弹性支撑在分配力矩后不会出现弹性变形
计算复杂度与精度要求
力矩分配法的计算复杂度取决于梁和框 架的自由度数量，自由度越多，计算越
。
误差传递
由于传递系数和分配系数的近似 计算，可能会引入一定的误差，
影响分析结果的准确性。
计算复杂度
对于大型复杂结构，力矩分配法 的计算量可能会变得很大，需要
借助计算机辅助分析。
改进与发展方向
01
02
03
04
数值优化
通过改进算法和优化计算方法 ，提高力矩分配法的计算效率
和精度。
考虑非线性因素
将非线性因素纳入力矩分配法 中，以适应更广泛的结构类型
在力矩分配法中，将结构中的结点分为两类：基本结点和附属结点。基本结点是承 受力矩的结点，附属结点则是传递力矩的结点。
力矩分配法的原理是将所有结点的力矩自由度进行分配，通过调整传递系数来使各 结点的力矩平衡，从而求解出各个结点的位移。
刚度系数与传递系数
刚度系数是指单位力矩作用下结 点的位移，它反映了结点的刚度
力矩分配法
问题的提出：
力矩分配法： 力矩迭代法 无剪力分配法
力矩分配法 ：主要用于计算连续梁和无结点线位移的刚架。
力矩迭代法 ：适用于有结点线位移的刚架。
无剪力分配法 ：适用于符合倍数关系的有结点线位移的刚架。
§1 力矩分配法的基本概念
一、力矩分配法依据
1. 理论基础：位移法 2. 解题方法：渐进法 3. 适用范围：连续梁、无结点线位移的刚架 4. 杆端弯矩及结点转角正负号规定同位移法
§3 力矩分配法中特殊问题的处理
一、刚结点集中力偶的处理
刚结点的集中力偶对杆端弯矩表达式没有影响，也就是不产生固端弯矩。 集中力偶的正负号规定以绕刚结点逆时针转为正，分配计算与固端弯矩等效。
二、支座移动和温度变化时的计算
（一）特点 把支座移动、温度变化看作广义荷载。 荷载引起的杆端弯矩
支座移动、温度变化引起的杆端弯矩
二、基本概念
（一）转动刚度
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。
数值上等于使杆端产生单位转角时在转动端需施加的力矩。
1. 转动刚度用SAB表示，施力端A称为近端，B端称为远端。 2. SAB与杆件的弯曲线刚度i=EI/l有关，还与远端的支承情况有关。 3. SAB是指施力端在没有线位移条件下的转动刚度。 4. A端可为固定铰或可动铰支座，也可为可转动（但不能移动）的刚结点。
（二）分配系数
M1 0
M12 M13 M14 M
Z1
M 12 4i1 S121 M 13 3i1 S131 M i S 1 14 1 14
1
M M S12 S13 S14 S
1 j
S
S1 j
S12 M 12 M M 12 S S13 M 13 M 13 M S S M 14 14 M 14 M S
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第六章 力矩分配法
一 判 断 题
1. 传递系数C 与杆件刚度和远端的支承情况有关.( √ )
2. 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比,它与外因无关.( √ )
3. 力矩分配法所得结果是否正确,仅需校核交于各结点的杆端弯矩是否平衡.( × )
4. 力矩分配法经一个循环计算后,分配过程中的不平衡力矩(约束力矩)是传递弯矩的代数和.( √ )
5. 用力矩分配法计算结构时,汇交与每一结点各杆端力矩分配系数总和为1,则表明力矩分配系数的计算绝对无错误.( × )
6. 在力矩分配法中,分配与同一结点的杆端弯矩之和与结点不平衡力矩大小相等,方向相同.( × )
7. 力矩分配法是以位移法为基础的渐进法,这种计算方法不但可以获得近似解,也可获得精确解.( √ )
8. 在任何情况下,力矩分配法的计算结构都是近似的.( × )
9. 力矩分配系数是杆件两端弯矩的比值.( × )
10. 图示刚架用力矩分配法,求得杆端弯矩M CB =-16/2
ql ( × )
题10图 题11图 题12图
11. 图示连续梁,用力矩分配法求得杆端弯矩M BC =—M/2.( × )
12. 图示刚架可利用力矩分配法求解.( √ )
13. 力矩分配法就是按分配系数分配结点不平衡力矩到各杆端的一种方法.(× )
14. 在力矩分配法中,同一刚性结点处各杆端的力矩分配系数之和等于1.( √ )
15. 转动刚度(杆端劲度)S 只与杆件线刚度和其远端的支承情况有关.( √ )
16. 单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的.( √ )
17. 力矩分配法仅适用于解无线位移结构.( √ )
18. 用力矩分配法计算图示结构时,杆端AC 的分配系数29/18=AC μ.(√ )
题18图 题19图 题21图
19. 图示杆AB 与CD 的EI,l 相等,但A 端的劲度系数(转动刚度)S AB 大于C 端的劲度系数(转
动刚度) S CD .( √ )
20. 力矩分配法计算荷载作用问题时,结点最初的不平衡力矩(约束力矩)仅是交于结点各杆
端固端弯矩的代数和.( × )
21. 若使图示刚架结点A 处三杆具有相同的力矩分配系数,应使三杆A 端的劲度系数(转动
刚度)之比为:1:1:1.( √ )
22. 有结点线位移的结构,一律不能用力矩分配法进行内力分析.( × )
23. 计算有侧移刚架时,在一定条件下也可采用力矩分配法.( √ )
24. 有结点线位移的结构,一律不能用力矩分配法进行内力分析.( × )
二 选 择 题
1. 图示结构汇交于A 的各杆件抗弯劲度系数之和为
∑A S ,则AB 杆A 端的分配系数为: ( B )
A.∑=S A AB AB i /4μ
B. ∑=S A AB AB i /3μ
C. ∑=S A AB AB i /2μ
D. ∑=S A AB AB
i /μ
题1图 题2图
2. 图示结构EI=常数,用力矩分配法计算时,分配系数
μ4A 为:( D )
A.
4/11 B.
1/2 C.
1/3 D. 4/9
3. 在图示连续梁中,对结点B进行力矩分配的物理意义表示( D )
A. 同时放松结点B和结点C
B. 同时固定结点B和结点C
C. 固定结点B,放松结点C
D. 固定结点C,放松结点B
题3图题4图
4.图示等截面杆件,B端为定向支座,A端发生单位角位移,其传递系数为( C )
A. C AB=1
B. C AB =1/2
C. C AB =-1
D. C AB =0
5. 等直杆件AB的转动刚度（劲度系数）S AB ：（A）
A 与B端支承条件及杆件刚度有关
B 只与B端的支承条件有关
C 与A、B两端的支承条件有关
D 只与A端支承条件有关
6. 等直杆件AB的弯矩传递系数C AB：（B）
A 与B端支承条件及杆件刚度有关
B 只与B端的支承条件有关
C 与A、B两端的支承条件有关
D 只与A端支承条件有关
7.当杆件刚度（劲度）系数S AB =3i时，杆的B端为：（C）
A 自由端
B 固定端
C 铰支承
D 定向支承
8.力矩分配法计算得出的结果（D）
A 一定是近似解
B 不是精确解
C 是精确解
D 可能为近似解，也可能是精确解。
9.力矩分配法中的传递弯矩等于（B）
A 固端弯矩
B 分配弯矩乘以传递系数
C 固端弯矩乘以传递系数
D 不平衡力矩乘以传递系数
10.力矩分配法中的分配弯矩等于（C）
A 固端弯矩。