北京大学平新乔《微观经济学十八讲》答案
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(策略性博弈与纳什均衡)
第10讲 策略性博弈与纳什均衡1．假设厂商A 与厂商B 的平均成本与边际成本都是常数，10A MC =，8B MC =，对厂商产出的需求函数是50020D Q p =-（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托有效吗？解：（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，纳什均衡下的市场价格是10B p ε=-，10A p =，其中ε是一个极小的正数。
理由如下：假设均衡时厂商A 和B 对产品的定价分别为A p 和B p ，那么必有10A p ≥，8B p ≥，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。
其次，达到均衡时，A p 和B p 都不会严格大于10。
否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。
所以均衡价格一定满足10A p ≤，10B p ≤。
但是由于A p 的下限也是10，所以均衡时10A p =。
给定10A p =，厂商B 的最优选择是令10B p ε=-，这里ε是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B 可以获得整个市场的消费者。
综上可知，均衡时的价格为10A p =，10B p ε=-。
（2）由于厂商A 的价格严格高于厂商B 的价格，所以厂商A 的销售量为零，从而利润也是零。
下面来确定厂商B 的销售量，此时厂商B 是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：max pq cq ε>- ①其中10p ε=-，()5002010q ε=-⨯-，把这两个式子代入①式中，得到：()()0max 1085002010εεε>----⎡⎤⎣⎦解得0ε=，由于ε必须严格大于零，这就意味着ε可以取一个任意小的正数，所以厂商B 的利润为：()()500201010εε-⨯--⎡⎤⎣⎦。
（3）这个结果不是帕累托有效的。
因为厂商B 的产品的价格高于它的边际成本，所以如果厂商B 和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10ε-之间的价格，那么厂商B 的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A 的剩余（因为A 的利润还是零）。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(一般均衡与福利经济学的两个基本定理)
第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS = 从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈。
系统内存在I （I 为正整数）个消费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为ik e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：()10ni ik k k k i Ii Ip x e =∈∈-=∑∑∑当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：()()()11n i i i ik k k n k k k i Ii Ii Ii Ii i nkki Ii Ii i k ki Ii Ip x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。
微观经济学十八讲答案
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1．一家厂商的短期收益由r?10e?e2x给出，其中e为一个典型工人（所有工人都假设为是完全一样的）的努力水平。
工人选择他减去努力以后的净工资w?e（努力的边际成本假设为1）最大化的努力水平。
根据下列每种工资安排，确定努力水平和利润水平（收入减去支付的工资）。
解释为什么这些不同的委托—代理关系产生不同的结果。
（1）对于e?1，w?2；否则w?0。
（2）w?r/2。
（3）w?r?12.5。
解：（1）对于e?1，w?2；否则w?0，此时工人的净工资为：?2?ee?1w?e???ee?1?所以e*?1时，工人的净工资最大。
雇主利润为：?*?r?w?10e?e2x?2?10?x?2?8?x工人的净工资线如图13-1所示。
图13-1 代理人的净工资最大化（2）当w?r/2时，工人的净工资函数为：11w?e?5e?e2x?e??e2x?4e22净工资最大化的一阶条件为：d?w?e?de??ex?4?0解得：e??4。
x?2111?4?4??12雇主利润??r?r?r??10?????x??。
222?x?x????xborn to win经济学考研交流群点击加入（3）当w?r?12.5时，工人的净工资函数为：w?e?10e?e2x?12.5?e??e2x?9e?12.5净工资最大化的一阶条件为：d?w?e?de??2ex?9?0解得：e??4.5。
平新乔十八讲答案第三讲
7.1求反需求函数
解： ．
7.2计算需求的价格弹性
解： ．
7.3 的值为多少时，称需求是无弹性的？
答：当 时，称需求是无弹性的．
7.4证明边际收入函数对反需求函数的比， ，独立于产出 ．
证明： ，因此
；
，与 无关．
8判断下述论断是否正确，并给出理由：
8.1如果需求曲线是一条直线，则直线上各点的需求价格弹性是一样的．
3.3请算出价格变化的收入效应．
解由3.1与3.2得，收入效应为 ．
4某个消费者的效用函数为 ．令 ， 与 分别表示商品1的价格、商品2的价格和收入．
4.1如果 ， ， ，现在 上升为2，求此消费者关于商品1的斯拉茨基替代效应和收入效应．
解：令 为商品1价格变化前的消费量， 为变化后的消费量．有：
， ．
判断：并不是所有直线上的弹性都是一样的．
理由：一类线性需求曲线可以由 ， ， 来表示，它的弹性
即，弹性 是价格 的函数，也就是说，这样的直线上需求价格弹性是随价格变化，不是一样的．
但考虑与 轴垂直的需求曲线 ，它的弹性就是不变的．
最后考虑与 轴水平的需求曲线，它们的弹性均为无穷大，无法比较．
[注]无穷大“之间”无法比较．
答：符合．如果要符合显示性偏好弱公理，因为
所以必然应当预测到
而后一个等式确实是成立的（ ），符合预测．因此他的行为符合显示性偏好的弱公理．
15设消费者的反需求函数为 ，这里 ， ．假定政府开征消费税（从价税），因此消费者支付的价格会从 上升到 （这里， 为税率）．证明：消费者剩余的损失总是超过政府通过征税而获得的收入．
令 为调整收入以保持购买力条件下，对商品1的消费量． 为为保持购买力对收入进行调整后得到的收入．有：
平新乔微观经济学十八讲02
5
代 5 入 4 式,得 x 2 的需求函数:
x2 =
y 3 p2
2
6
代 5,6 两式入效用函数中,得到当效用最大化时有间接效用函数:
2y y v( p, y ) = u ( x1 , x 2 ) = x x 2 = 3p 3p 2 1
2 1
2
第二讲 间接效用……
又消费者效用最大化意味着
(x1 , x2 ) ∈ R+2 . 已 知 北 京 的 物 价 为 ( p1a , p 2a ) , 上 海 的 物 价 为 ( p1b , p 2b ) , 并 且
a b p1a p 2 = p1b p 2 , 但 a b p1a ≠ p1b , p 2 ≠ p 2
. 又 知 广 州 的 物 价 为
u = x1 x2 u′ ln u u ′ = ln u 2 p1 p2 e = 2 p1 p2 e = 2 p1 p2u u ′ = ln x1 + ln x2 e′( p1 , p 2 , u ′) = e( p1 , p 2 , u )
根据 5.1 与 5.2 的结果,得到
6
设某消费者的间接效用函数为 v( p1 , p2 , m ) =
y = e( p, v( p, y ))
即可得到支出函数:
e( p, u ) = e( p, v( p, y )) = y = 108 p12 p 2 u
3 考虑下列间接效用函数
(
)
1 3
=
3 2 p12 p 2 u 2
(
)
1 3
v( p1 , p 2 , m ) =
这里 m 表示收入,问:
m p1 + p 2
由 1 式,2 式,得 e( p1 , p2 , u )
平新乔《微观经济十八讲》第四讲 答案
由 ，得到 ，因此该效用函数不显示出递减的风险规避行为．
6一个具有VNM效用函数的人拥有160000单位的初始财产，但他面临火灾风险：一种发生概率为5%的火灾会使其损失70000；另一种发生概率为5%的火灾会使其损失120000．他的效用函数形式是 ．若他购买保险，保险公司要求他自己承担前7620单位的损失（若火灾发生）．什么是这个投保人愿支付的最高保险金？（需要补充的条件为：两种火灾的发生是相斥事件）
证明：直接运用绝对风险规避系数的定义：
当 时，
， ；
即，绝对风险规避系数在 上是财富的严格增函数．
注意： ， ．
[注] 在 出现从负无穷到正无穷的跳跃，与 时，效用是财富的减函数，而 时是财富的增函数有关．不过，也许正是为了避免很不符合实际又麻烦的情况，一般研究不确定情况下的选择时，效用函数被认定为财富的增函数；而下面的所有类似题目中，我均假设效用函数为财富的增函数．
10.1计算该户居民的效用期望值．
解： ．
10.2如何根据效用函数判断该户居民是愿意避免风险，还是爱好风险？
解：利用绝对风险规避系数来计算，具体地，由 ，（ ）
可以得到该户居民是愿意避免风险的．
10.3如果居民支付一定数额的保险费则可以在摩托车被盗时从保险公司得到与摩托车价值相等的赔偿．试计算该户居民最多愿意支付多少元的保险费．
说明：设此人的效用函数为 ．令 ， ， ，其中 ．
计算出赌局 所对应的期望效用， ． ， ， ， ．
根据已知条件可以得到 ， ．
由于 ，所以我们不能断定他的选择不是一致的．
[注]此前我对这道题的解答依赖于对风险的偏好是否一致，不好．现在的解法中，判断依据仅仅是关于不确定性下选择的几个公理，具有更广的一般性．
平新乔 微观十八讲习题答案
第八讲 完全竞争与垄断
5
Max
π = pQ C
π = (100 qa )qa + (120 2qb )qb 8 20(qa + qb )
一阶条件:
π = 100 2qa 20 = 0 qa π = 120 4qb 20 = 0 qb
q a , qb
s.t.
构造拉氏方程: 一阶条件:
Q = qa + qb
L(q, λ ) = Ca (qa ) + Cb (qb ) + λ (Q qb qa )
L = 8qa λ = 0 qa L = 4qb λ = 0 q2 L = Q qa qb = 0 λ
(1)
(2)
(3)
8-19-5 12/20/2005 11:00:15 PM
一阶条件:
π = 100 4qa 4qb 8qa = 0 qa π = 100 4qa 4qb 4qa = 0 qa
(1)
(2)
qa = 5 ; qb = 10 ; Q = qa + qb = 15 ; p = 70 ; π = 735
另一种解法,先求出成本函数:
min Ca (qa ) + Cb (qb )
Il =
3(1)由霍特林引理 S ( p ) =
1 dp Q 15 9 = = 3 = ∈ dQ p 175 35
π p, k π p, k 1 可得厂商的供给函数: S p, k = = kp p 8 p
( )
( )
( )
(2)由长期均衡可知,企业的长期利润为零, π ( p ) =
p2 1 = 0 ;得 p = 4 16
平新乔十八讲答案第六讲
12假定 ， ， ，
12.1证明 ， ．
证明： ；
同理，得 ．
12.2证明 ， ； ，
证明： ，其中 ， ， 均大于零，因此 ．而 ，因为 ．
12.3证明MRTS只取决于 而不依赖于生产规模，而且MRTS（ 对 ）随着 的增加而递减．
10.3证明落日湾的劳动边际产出为 ．
用图表示这一关系，并证明对于所有的 值， ．请解释它．
解： 对 求导，得 ．
边际产出用暗红色虚线（或者是灰色虚线，如果黑白打印的话）标出．在图中，任一点上代表该点上平均产出的斜线斜率均大于该点上边际产出的直线的斜率．因为在每一个劳动投入水平上，额外增加的一个劳动力，所多生产的产品比前面任何一个多增加的劳动力多生产的都少，所以，它自然也少于所有劳动力产出量的平均值．
但是，该村的劳动力于土地如果用产棉织布，也是有机会成本的．当织布的产量从零增加到32米这一阶段，粮食产量会从38担下降到30担；如果布的产量要从32米上升到38米，则粮食产量会从30担进一步下降到24担；如果布的产量从38米上升到50米，则粮食产量更会从24担下降到零．
作图：
3.1请以横轴表示粮食数量，纵轴表示以布的数量所代表的粮食的价格，作出该村粮食的供给曲线．
证明： ，即 只取决于 ，而随着 的增加而递减．
13我们已知，对于欧拉定理（见本讲第五节），它意味着规模报酬不变的生产函数 ，有
．
运用这一结论，证明对于这种生产函数，如果 ，则 必为负数．这意味着生产应该在何处进行呢？一个企业能够在 递增的点进行生产吗？
证明：在等式两边同除以 ，得
．
其中 ， ， ．因此有：