余弦定理公式

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形一、明确复习目标掌握正弦、余弦定理，能初步运用它们解斜三角形。

二．建构知识网络1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外 证明：由三角形面积111s i n s i n s i n 222S a b C b c A a c B=== 得sin sin sin a b cA B C== 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C=== 3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc+-=；证明：如图ΔABC 中，s i n ,c o s ,C H b A AH b A B Hc b===-2222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。

B正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况： bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。

5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力三、双基题目练练手1．(2006山东)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,13A a b π===，则c = （ ）A.1B.212．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A.223 B.233 C.23 D.333．（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )A. 2B. 2mC. 2D. 220cm5.（2006全国Ⅱ）已知ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为_________.6.(2006春上海)在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .◆答案:1-4.BBCB; 3.由2cos B sin A =sin C 得acb c a 222-+×a =c ，∴a =b .4.组成边长6,7,7时面积最大;5.257 四、经典例题做一做【例1】(2006天津)如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，43cos =C ． （1）求AB 的值； （2）求()C A +2sin 的值. 解（Ⅰ）： 由余弦定理，2222..cos AB AC BC AC BC C=+-341221 2.4=+-⨯⨯⨯=∴AB =（Ⅱ）解：由3cos 4C =，且0,C π<<得sin 4C ==由正弦定理:,sin sin AB BCC A=解得sin sin 8BC C A AB ==。

所以，cos 8A =。

由倍角公式sin 2sin 2cos A A A =⋅=，()sin 2sin 2cos cos 2sin 8A C A C A C +=+=. ◆提炼方法：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.【例2】在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．解：由正弦定理得：sinA=23245sin 3sin =⋅= b B a ,因为B=45°<90°且b<a, 所以有两解A=60°或A=120°(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=22645sin 75sin 2sin sin +=⋅=B Cb ,(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=22645sin 15sin 2sin sin -=⋅=B Cb ◆提炼方法：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1︒）？[解] 连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700于是∵710120sin 20sin ︒=ACB , ∴sin ∠ACB=73, ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援思路点拨:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；【例4】已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有 ()()B b aC A R s i n 2s i n s i n 222-=-成立，求△ABC 面积S 的最大值．解：由已知条件得 ()()()b a B R B A R -=-2s i n 2s i n s i n 2222．即有 2222b ab c a -=-，又 222cos 222=-+=ab c b a C ∴ 4π=c ．34A B π+=∴ B A R ab C ab S sin sin 44242sin 212⋅===22223s i n s i n()4sin)22(sin21cos2)2)1]24A AA A ARA ARAππ=-=+=+-=-+当32,()428A A Bπππ-===即时, 2max212RS+=．◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。

2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．【研讨.欣赏】（2006江西）如图,已知△ABC是边长为1的正三角形, M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G.设2()33MGAππαα∠=≤≤.(1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为1S与2S)表示为α的函数;(2)求221211yS S=+的最大值与最小值.解:(1)因为G为边长为1的正三角形ABC的中心,所以2.3236AG MAGπ=⨯=∠=由正弦定理,sin sin()66GM GAπππα=--6sin()6GMα=+得11s i ns i n ().2)12s i n ()6S G M G A ααπα=⋅⋅=+则或,sinsin()6sin()666GN GA GN ππαα==--又得21s i n s i n ()).2t)12s i n (6S G N G A απαπα=⋅⋅-==-则或 2222221211144(2)sin ()sin ()72(3cot ).sin 66y S S ππαααα⎡⎤=+=++-=+⎢⎥⎣⎦ 因为233ππα≤≤,所以当233ππαα==或时,y 的最大值max 240y =; 当2πα=时, y 的最小值min 216y =.五．提炼总结以为师1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理； 2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

4．边角互化是解三角形的重要手段．同步练习4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形【选择题】1.（2004浙江）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.（2004全国Ⅳ）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于 ( ) A.231+B.1+3C.232+ D.2+3 3..下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 ( )A.sin A +cos A =51 B.AB ·BC ＞0 C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30°4.(2006全国Ⅰ)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = ( )A .14 B. 34 C. 4 D. 3【填空题】5.（2004春上海）在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。

若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________6.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.练习简答：1-4.BBCB; 1.在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°答案：B 2. 2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .由S=21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.得cos B =ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b =1+3.答案：B3.由tan A +tan B +tan C=tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.答案：C5.2;6.若c 最大，由cos C ＞0.得c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5.【解答题】7.（2004春北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cBb sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac .又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc . 在△ABC 中，由余弦定理得cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aAb sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴ac b c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A =21ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴cBb sin =sin A =23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.8.（2005春北京）在△ABC 中，sin A +cos A =22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积.解法一：∵sin A +cos A =2cos （A －45°）=22， ∴cos （A －45°）=21. 又0°＜A ＜180°，∴A －45°=60°，A =105°. ∴tan A =tan （45°+60°）=3131-+=－2－3.∴sin A =sin105°=sin （45°+60°） =sin45°cos60°+cos45°sin60°=462+. ∴S △ABC =21AC ·AB sin A =21·2·3·462+=43（2+6）. 解法二：∵sin A +cos A =22，①∴（sin A +cos A ）2=21.∴2sin A cos A =－21. ∵0°＜A ＜180°，∴sin A ＞0，cos A ＜0. ∴90°＜A ＜180°. ∵（sin A －cos A ）2=1－2sin A cos A =23， ∴sin A －cos A =26.②①+②得sin A =462+. ①－②得cos A =462-. ∴tan A =A Acos sin =462+·624-=－2－3.（以下同解法一）9. （2004全国Ⅱ）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ；（2）设AB =3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B AB A B A B A t a n t a n 51s i n c o s 52c o s s i n ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2.∴tan A =2tan B .（2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ） ∴tan （A +B ）=－43， 即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CD tan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.10. 在△ABC 中，sin A =CB C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状. 分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”. 解：应用正弦定理、余弦定理，可得a =abc b a ca b a c c b 22222222-++-++，所以 22222222c a b a b c b c c b+-+-+=+, 化简得a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.【探索题】已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +）（C B A A -+cos cos sin 2. （1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y 的最小值.解：（1）∵y =cot A +[][]）（）（）（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2 =cot A +）（）（）（C B C B C B -++-+cos cos sin 2 =cot A +C B C B C B sin sin sin cos cos sin +=cot A +cot B +cot C ，∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化.（2）∵cos （B －C ）≤1，∴y ≥cot A +A A cos 1sin 2+=2tan 22tan 12A A -+2tan 2A =21（cot 2A +3tan 2A ）≥2c o t 2t a n 3A A ⋅=3. 故当A =B =C =3π时，y min =3. 评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cot B +cot C ≥3. 可由三数的均值不等式结合cot A +cot B +cot C =cot A cot B cot C 来证.。