方程的根与函数的零点(区级公开课)精品PPT课件
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方程的根与函数的零点说课课件ppt
设计意图:为 “用二分法求方程的近似解”的学习做准 备.
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
3板书设计
§3.1 方程的根与函数的零点
1、零点概念：
练习：
…………………………
…………………………
2、方程的根与函数零点的关系 …………………………
函数的图象与x 两个交点 轴的交点 (-1,0)，(3,0)
一个交点 (1,0)
没有交点
上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
意图：引起认知冲突；了解本课主旨； 通过熟悉情境，形成初步结论．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
正反例证，熟悉定理
5、零点存在性定理的辨析与应用.
函数零点存在性定理：
y
ac O
y
y
ac
O
bx
bx
c Oa
y
c Oa
b x
b x
例1如判果断函正数误y=，f(若x)不在正区确间，[a,请b]上使的用图函象数是图连象续举不出断反的例一条曲线， 并 （且 1）有已f(知a)函·f(数b)<y=0f，(x那)在么区，间函[数a,by]=上f(连x)在续区，间且(fa(,ab)) ·内f(b有) <零0点，．则
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
—— 说课过程 ——
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3板书设计
§3.1 方程的根与函数的零点
1、零点概念：
练习：
…………………………
…………………………
2、方程的根与函数零点的关系 …………………………
函数的图象与x 两个交点 轴的交点 (-1,0)，(3,0)
一个交点 (1,0)
没有交点
上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
意图：引起认知冲突；了解本课主旨； 通过熟悉情境，形成初步结论．
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正反例证，熟悉定理
5、零点存在性定理的辨析与应用.
函数零点存在性定理：
y
ac O
y
y
ac
O
bx
bx
c Oa
y
c Oa
b x
b x
例1如判果断函正数误y=，f(若x)不在正区确间，[a,请b]上使的用图函象数是图连象续举不出断反的例一条曲线， 并 （且 1）有已f(知a)函·f(数b)<y=0f，(x那)在么区，间函[数a,by]=上f(连x)在续区，间且(fa(,ab)) ·内f(b有) <零0点，．则
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函数的零点与方程的根.ppt
例 6 （ 上 海 02 高 考 ）、 已 知 函 数
f
(x)
ax
x2 x 1
a
1。
(1)求 f(x)单调区间。
(2)若 a=3,求证方程 f(x)=0 有且仅有一个正根。
解:(1)定义证明.(2)因在 (1,) 为增函数,
故在 (0,) 为增,又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 以在(0,1)有且只有一个正根.下用二分法 约为 0.28(列表,区间,中点,中点函数值)
求函数F( x) f ( x) g( x)的零点可转化为 求函数y f ( x)与y g( x)图像交点的横坐标
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳：1、一元二次函数、不等式、方程的关系
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a 0 ）的 图象
一元二次方程
ax2 bx c 0
a 0的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1 x2 )
x1
x2
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
x
x
b 2a
无实根 R
ax2 bx c 0
例7 已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m
－1，g(x)＝x＋ex2(x>0)． (1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范
围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)
＝0有两个相异实根．
y f (x) 有零点（即横坐标）。
若函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相切，则零点 x0为不变号零点若函数f(x)的图像在x=x0处与x 轴相交，则零点x0为变号零点
方程的根与函数的零点(公开课)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
又因为函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数， 所以它仅有一种零点。
课堂练习3
1．函数 f (x) x3 3x 5的零点所在的大致区间为（ ）
A．（-2,0） B．（1,2） C．（0,1） D．（0,0.5）
小结
函数旳零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0旳实数x 叫做函数 y=f(x)旳零点。
概念反思
问题1:函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）f（b）＜0，那么函数f（x）
在区间（a，b）上是否一定存在零点，请举例阐明。
问题2:函数f（x）在区间(a，b）上有f（a）f(b）＜0，且有零点，那么一
定只有一种吗？请举例阐明。
问题3:函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？
引例1:判断下列方程是否有跟，有几种实数根？
（1） x2 2x 3 0
（2） x2 2x 1 0
（3） x2 2x 3 0
知识探究（一）：方程旳根与函数旳零点
方程 函数
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
函
数
y
.
.
旳
2
图
.1 .
－1 0 1 2 3 x
象
－1 －2
－3
. －4
方程旳实数根 x1=－1,x2=3
函数旳 图象
(-1,0)、(3,0)
y
.2
.
1. .
. －1 0 1 2
x
x1=x2=1 (1,0)
y
.5 4
.
课堂练习3
1．函数 f (x) x3 3x 5的零点所在的大致区间为（ ）
A．（-2,0） B．（1,2） C．（0,1） D．（0,0.5）
小结
函数旳零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0旳实数x 叫做函数 y=f(x)旳零点。
概念反思
问题1:函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）f（b）＜0，那么函数f（x）
在区间（a，b）上是否一定存在零点，请举例阐明。
问题2:函数f（x）在区间(a，b）上有f（a）f(b）＜0，且有零点，那么一
定只有一种吗？请举例阐明。
问题3:函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？
引例1:判断下列方程是否有跟，有几种实数根？
（1） x2 2x 3 0
（2） x2 2x 1 0
（3） x2 2x 3 0
知识探究（一）：方程旳根与函数旳零点
方程 函数
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
函
数
y
.
.
旳
2
图
.1 .
－1 0 1 2 3 x
象
－1 －2
－3
. －4
方程旳实数根 x1=－1,x2=3
函数旳 图象
(-1,0)、(3,0)
y
.2
.
1. .
. －1 0 1 2
x
x1=x2=1 (1,0)
y
.5 4
.
方程的根与函数的零点课件26张
零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在 区间(a,b) 内有零点. 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0， 这个c也就是方程f(x)=0的根．
练一练
1.已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：
A.(-3,-2) B.(0,1) C.(1,2)
D.(2,3)
【当堂检测】
课堂小结，感悟收获
知识内容 函函 数数 零零 点点 的存 概在 念性
条 件
课堂小结
思想与方法
数 形 结 合 思 想
函 数 与 方 程 的 思
想
布置作业 留有余味
必做题： P88 练习1 P92 习题3.1 Ａ组 第2题 拓展题： 求方程㏑x = - x2 + 3 实数根的个数
x 1 23456 7 f(x) 23 9 –7 – 1 – 5 – 12 – 26
该函数在下面的哪个区间上一定存在零点: ( B )
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)
理解定理 升华认知
y
y
y
a O
bx Oa
a bx O
bx
观察上面的图像，判断下列命题：
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则
学以致用
例1:求函数 f (x) 3x 3的零点
解一：由f x 3x 3 0得x 1,
故函数的零点为1
解二： y
1.（代数法）求零点 的步骤：
2 1
(1)令f(x)=0;
-1 O -11 2 3 4 x
191方程的根与函数的零点PPT课件
y
2 1
12
x
3.1方程的根与函数的零点
中外历史上的方程求解
约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方 程和正系数三次方程的求根方法.
中外历史上的方程求解
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.
中外历史上的方程求解
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。
三 探索研究
思考:二次函数f(x)=x2－2x－2是否存在零点？ 如果存在，存在几个？零点在什么区间上呢？
y
2 1 －2 －1 0 1 2 3 4 x －1 －2 －3 －4
发现：零点存在性定理
如果函数y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点．
函数y=f(x)的零点
函数y=f(x) 的图象 与x轴交点的横坐标
形
方程f(x)=0 的实数根
数
练习1：求下列函数的零点
（1） y x3 x2
（2） （3）
y 2 x1 3
.
y ln x 1
（4） y ln x 2x 6
中外历史上的方程求解
国外数学家对方程求解亦有很多研究。先后发现了一次、二 次、三次、四次方程的求根方法；人们曾经希望得到一般的五次 以上代数方程的根式解，但最后被19世纪挪威数学家阿贝尔证明 了五次及五次以上一般方程没有根式解。
同样，指数方程、对数方程等超越方程也是没有求根公式的。
函数零点的定义：
3.在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在 唯一零点？
2 1
12
x
3.1方程的根与函数的零点
中外历史上的方程求解
约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方 程和正系数三次方程的求根方法.
中外历史上的方程求解
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.
中外历史上的方程求解
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。
三 探索研究
思考:二次函数f(x)=x2－2x－2是否存在零点？ 如果存在，存在几个？零点在什么区间上呢？
y
2 1 －2 －1 0 1 2 3 4 x －1 －2 －3 －4
发现：零点存在性定理
如果函数y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点．
函数y=f(x)的零点
函数y=f(x) 的图象 与x轴交点的横坐标
形
方程f(x)=0 的实数根
数
练习1：求下列函数的零点
（1） y x3 x2
（2） （3）
y 2 x1 3
.
y ln x 1
（4） y ln x 2x 6
中外历史上的方程求解
国外数学家对方程求解亦有很多研究。先后发现了一次、二 次、三次、四次方程的求根方法；人们曾经希望得到一般的五次 以上代数方程的根式解，但最后被19世纪挪威数学家阿贝尔证明 了五次及五次以上一般方程没有根式解。
同样，指数方程、对数方程等超越方程也是没有求根公式的。
函数零点的定义：
3.在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在 唯一零点？
方程的根与函数的零点省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
（2）利用原理．
教材分析
教法学法
教学过程
讨论探究，揭示定理
问问(a)题题·f76(：b：)观已<察0知，另函则三数f个(yx=函)在f 数(区x)图在间象区(a你,间b有)[内a什,b存么]在满发零足觉点f？吗？
假如不y存在，你能举出一种y 反例吗？
a 0b x
图象连续是必要旳
y
Ob a
零点旳个数不唯一
教材分析
y
aO
bx
a
原理不可逆
0 by x
a
x
O bx
单调仅有一种零点
教法学法
设计意图： 经过小组 讨论，拓 展原理旳 内涵，培 养学生旳 概括归纳 能力。
教学过程
巩固深化，发展思维
用一用
例2.求函数f (x) ln x 2x 6的零点的个数.
分析一：能否拟定零点区间； 分析二：该函数有几教学过程
讨论探究，揭示定理
原
理 零点旳存在性原理：假如函数y=f(x)
在区间[a,b]上旳图象是连续不断旳一条曲线，而 且有f(a)•f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0 旳根.
阐明：鉴定零点存在性旳措施:（1）利用图象;
教材分析 构造分析 学情分析
教学目的
知识与技能目的 过程与措施目的 情感与价值观目的
了解函数零点旳概念 了解函数零点与方程根旳联络 掌握零点存在旳鉴定措施
经历“探究—归纳—应用”旳过程 感悟由详细到抽象旳研究措施 提升由特殊到一般旳归纳思维能力
体验自主探究，合作交流旳乐趣 激发学生旳学习爱好 培养学生严谨旳科学态度
教材分析
教法学法
教学过程
讨论探究，揭示定理
问问(a)题题·f76(：b：)观已<察0知，另函则三数f个(yx=函)在f 数(区x)图在间象区(a你,间b有)[内a什,b存么]在满发零足觉点f？吗？
假如不y存在，你能举出一种y 反例吗？
a 0b x
图象连续是必要旳
y
Ob a
零点旳个数不唯一
教材分析
y
aO
bx
a
原理不可逆
0 by x
a
x
O bx
单调仅有一种零点
教法学法
设计意图： 经过小组 讨论，拓 展原理旳 内涵，培 养学生旳 概括归纳 能力。
教学过程
巩固深化，发展思维
用一用
例2.求函数f (x) ln x 2x 6的零点的个数.
分析一：能否拟定零点区间； 分析二：该函数有几教学过程
讨论探究，揭示定理
原
理 零点旳存在性原理：假如函数y=f(x)
在区间[a,b]上旳图象是连续不断旳一条曲线，而 且有f(a)•f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0 旳根.
阐明：鉴定零点存在性旳措施:（1）利用图象;
教材分析 构造分析 学情分析
教学目的
知识与技能目的 过程与措施目的 情感与价值观目的
了解函数零点旳概念 了解函数零点与方程根旳联络 掌握零点存在旳鉴定措施
经历“探究—归纳—应用”旳过程 感悟由详细到抽象旳研究措施 提升由特殊到一般旳归纳思维能力
体验自主探究，合作交流旳乐趣 激发学生旳学习爱好 培养学生严谨旳科学态度
(公开课)方程的根与函数的零点ppt课件
x0是 y f (x) 的图象 与 x 轴的交点的横坐标
4
问题一: 零点是一个点吗?
函数零点的定义：一般地，对于函数 y f (x) 我们把使 f (x) 0 的实数 x叫做函数 y f (x) 的零点. 注意一: 零点不是点,是实数.
5
问题二: 如何求函数 y f (x) 的零点？ 求方程
17
课堂练习:
1.已知函数 f (x) 的图像是连续不断的，且有如下表对应值：
x
1
2
3
4
5
6
f (x) 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064
那么函数在哪几个区间内有零点？为什么？ (2,3), (3,4)(4,5) C 2. 函数 f (x) x(x2 4) 的零点为（ ）
C80h源自-47探究二： 零点的存在性定理
一般地，如果函数 y f (x) 在区间[a,b] 上的图像 是一条连续不断的曲线，并且有f (a) f (b) 0，那 么函数 y f (x)在区间 (a,b)内有零点，即存在实 数 c 使 f (c) 0 ，其中 c 就是方程 f (x) 0 的根.
问题四：若满足定理条件，且函数 y f (x) 在区
间 (a,b) 内单调，则零点有几个？
y
a
b
x
O
唯一 一个
12
试一试：下列函数能用零点的存在性定理判定有零点 的是（ ）
Y Y
O
X
①
Y
O
X
②
Y
O
X
O
X
③
④
13
例题解析:
例 1.完成下表，判断函数 f (x) 3x5 5x 1在定义域内是否有零点？
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0 12 3 4 x
-1
x0
-2
故函数f ( x) ln x 2x 6有一个零点
练习2:方程ln x 2x 6 0 在下列哪个区间 上有零点( C )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解法二:
ln x 2x 6
f x ln x gx 2x 6
y 2
>0
0
<0
y=ax2+bx+c 的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
y
0
x
ax2+bx+c=0 的根
两个不相等的 实数根x1 、x2
有两个相等的 实数根x1 = x2
没有实数根
函数的图象与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)即
b 2a
,0
没有交点
一、函数零点的定义：
对于函数 y f (x),把使 f (x) 0的实数 x
例1：求函数 f ( x) ln x 2x 6 的零点个数？
例 1：求函数 f (x) ln x 2x 6 的零点个数．
解：用计算器作出 x、f(x)的对应值表．
x
12345
f(x)
由 表 格 可 知 f(2)<0,f(3)>0 ， 即
f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内有零点．由
§3.1.1 方程的根与函数的零点
预备练习：求以下三个方程的根
(1)x2 2x 3 0 (2)x2 2x 1 0 (3)x2 2x 3 0
-1，3 1 无实数根
方程 函数y=0
函 数 的 图 象
x2－2x－3=0
y= x2－2x－3
y
.
.
2
.1Βιβλιοθήκη .－1 0 1 2 3 x
－1
－2 －3
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间
(a,b) 内有零点。 即存在 c∈(a,b) ，使得 f(c) =0，
这个c也就是方程 f(x)=0 的根。
定理理解：判断正误 （1） f(a)·f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。错
（2） 函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，则f(a)·f(b)<0。 错
（3） f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。错
y
y
y
2
a
a
0
0b
-5
x
a 0 x1 b x
0
x
b
函数零点存在定理的三个注意-2 点：
1 函数是连续的。
-4
2 定理不可逆。
3 至少存在一个零点。
叫做函数 y f (x)的零点.
思考:零点是不是点？零点指的是一个实数. 函数y f (x)的零点
方程f (x) 0的实数根
函数y f (x)图象与x轴交点的横坐标
求下列函数的零点:
1 f ( x) x 1 2 f ( x) x2 4x 3
3 f ( x) 2x 4 4 f ( x) log2 x 1
这里，方程的实数根就是函 数图象与x轴交点的横坐标.
思考：一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的根与二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像有什么关系？
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系：
判别式
-6
函数f ( x) ln x 2x 6在下列哪个区间
上有零点( C )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析: f 1 4 f 2 ln 2 2 0
f 3 ln 3 0 f 4 ln 4 2 0 f 2• f 3 0
变式2: 函数 f ( x) ln x 2x 6 在(2,3)上有多少个零点？
练习4:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有
零点( B )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
y
f(a)·f(b) ____ 0<（填＜或＞）．
0
x 2 .在区间(b,c)上__有__(有/无)零点； f(b)· f(c)____ 0<（填＜或＞）．
猜想： 若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有f(a)·f成(b)立< 0， 那么函数在区间(a,b)上有零点。
二、函数零点存在性定理：
. －4
x2－2x+1=0 y= x2－2x+1
.y
.
2
1. . . －1 0 1 2 x
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根
函数的图象 与x轴的交点
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
无实数根 无交点
1
0 12 3 4 x
-1
x0
-2
三、求函数零点或零点个数的方法：
(1)定义法：解方程 f(x)=0， 得出函数的零点。
(2)图象法：画出y= f(x)的图象，其图象 与x轴交点的横坐标。 (3)定理法：函数零点存在性定理。
练习3:下列函数在区间（1，2）上有零
点的是( D )
(A) f(x)=3x2-4x+5 (B) f(x)=x³-5x-5 (C) f(x)=lnx-3x+6 (D) f(x)=ex+3x-6
答案：(1)x 1
(3)x 2
(2)x 1，x 3
(4)x 2
变式1: 函数f(x)=Lnx+2x-6在［2，6]上是否有零点 ？
观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象
1. f(-2)= 5 ，f(1) = -4
y
2
f(-2) f(1) < 0 (填“>”或“<”)－2 1
发现在区间(-2，1)上有零点
-1
－1 0 1 2 －1 －2
－3
2. f(2)= -3 ，f(4) = 5
－4
34x
f(2) f(4) < 0 (填“>”或“<”)
发现在区间(2，4)上有零点 3
思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与
函数零点是否存在某种关系？
观察函数f(x)的图像
1. 在区间(a,b)上___有_(有/无)零点；
于函数 f(x)在定义域(0,+∞)内是增函
数，所以它仅有一个零点．
例1:求函数 f ( x) ln x 2 x 6 的零点个数.
解法2：
函数y f ( x)的零点个数等于方程
ln x 2x 6 0的根个数 y
2
则ln x 2x 6
该方程的解个数等于函 数 1
y ln x与y 2x 6 的交点个数，如图