2020高考数学第二轮专题复习：专题三
2020新课标高考数学(理)二轮总复习课件：1-3-2 锥体中的线面关系与计算
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
(2)求二面角 D－PC－B 的余弦值． 解析：(2)以 O 为原点，OC，OD，OP 为坐标轴，建立如图所示坐标系，可知 C(1,0,0)， D(0,1,0)，P(0，0， 3)，B(1，－1,0)，对于平面 PDC，设其法向量 m＝(x，y，z)， ∴D→P＝(0，－1， 3)，D→C＝(1，－1,0)． ∴x－－yy＋＝03，z＝0， 取 z＝1，y＝ 3，x＝ 3. 则 m＝( 3， 3，1)．
3＝ 6
26，
在
Rt△ADG
中，sin∠ADG＝AAGD＝
6 4.
故
BC
与平面
PCD
所成角的正弦值为
6 4.
(12 分)
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
【知规则·规范解答】
——采点得分说明
直接由 EC∥FB，得出 CE∥平面 PAB，即无“BF⊂平面 PAB，EC⊄平面 PAB”
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M－PA－C 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成角的 正弦值． 解析：(2)如图，以 O 为坐标原点，O→B的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 O－xyz.
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所以 2
3a2－34|a2＋－34a| 2＋a2＝ 23，解得 a＝－4(舍去)，a＝43，
所以 n＝－83 3，433，－43.又P→C＝(0,2，－2 3)， 所以 cos〈P→C，n〉＝ 43，
2020版高考数学二轮复习分层设计学案：第二层提升篇 专题三 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法
第3讲 立体几何中的向量方法[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019二面角的正弦值的求解·T 18二面角的正弦值的求解·T 17二面角的大小的求解·T 19 2018线面角的正弦值的求解·T 18(2)二面角、线面角的正弦值的求解·T 20(2) 二面角的正弦值的求解·T 19(2)2017二面角的余弦值的求解·T 18(2)二面角的余弦值的求解·T 19(2)二面角的余弦值的求解·T 19(2)置，考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面角或二面角，难度中等偏上．考点一 利用空间向量证明空间位置关系[例1] 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．证明：(1)BE ⊥DC ； (2)BE ∥平面PAD ； (3)平面PCD ⊥平面PAD .[证明] 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．(1)向量BE ―→＝(0，1，1)，DC ―→＝(2，0，0)，故BE ―→·DC ―→＝0.所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PA ，PA ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面PAD ，所以向量AB ―→＝(1，0，0)为平面PAD 的一个法向量． 而BE ―→·AB ―→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE ⊥AB ，又BE ⊄平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(3)由(2)知平面PAD 的一个法向量AB ―→＝(1，0，0)，向量PD ―→＝(0，2，－2)，DC ―→＝(2，0，0)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD ―→＝0，n ·DC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＝0，不妨令y ＝1，可得n ＝(0，1，1)为平面PCD 的一个法向量．且n ·AB ―→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n ⊥AB ―→.所以平面PCD ⊥平面PAD . [解题方略]利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系； (4)根据运算结果解释相关问题．[多练强化]在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .证明：(1)依题意，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0，0，0)，D (0，2，2)，B 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，设BA ＝a ，则A (a ，0，0)，所以BA ―→＝(a ，0，0)，BD ―→＝(0，2，2)， B 1D ―→＝(0，2，－2)，B 1D ―→·BA ―→＝0，B 1D ―→·BD ―→＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，BA ，BD ⊂平面ABD ， 因此B 1D ⊥平面ABD .(2)由(1)知，E (0，0，3)，G ⎝⎛⎭⎫a2，1，4，F (0，1，4)， 则EG ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，1， EF ―→＝(0，1，1)， B 1D ―→·EG ―→＝0＋2－2＝0，B 1D ―→·EF ―→＝0＋2－2＝0， 即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，EG ，EF ⊂平面EGF ，因此B 1D ⊥平面EGF .结合(1)可知B 1D ―→是平面ABD 的一个法向量， 所以平面EGF ∥平面ABD . 考点二 利用空间向量求空间角题型一 求直线与直线所成的角[例2] (1)已知△ABC 与△BCD 均为正三角形，且AB ＝4.若平面ABC ⊥平面BCD ，且异面直线AB 和CD 所成的角为θ，则cos θ＝( )A ．－154B ．154C ．－14D ．14(2)(2017·全国卷Ⅲ)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)[解析] (1)取BC 的中点O ，连接OA ，OD ，所以OA ⊥OC ，OD ⊥OC ，因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，所以OA ⊥平面BCD ，所以OA ，OD ，OC 两两垂直，以O 为坐标原点，OD ，OC ，OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB ＝4，所以B (0，－2，0)，D (23，0，0)，C (0，2，0)，A (0，0，23)，所以AB ―→＝(0，－2，－23)，CD ―→＝(23，－2，0)，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB ―→·CD ―→| AB ―→ |·|CD ―→|＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪0×23＋（－2）×（－2）＋（－23）×002＋（－2）2＋（－23）2×（23）2＋（－2）2＋02＝416＝14. (2)法一：依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC 的直角边长为1.由题意知点B 在平面xOy 中形成的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．设直线a 的方向向量为a ＝(0，1，0)，直线b 的方向向量为b ＝(1，0，0)，CB ―→以Ox 轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0，2π)，则B (cos θ，sin θ，0)，又A (0，∴AB ―→＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB ―→|＝ 2. 设直线AB 与a 所成夹角为α，则cos α＝|AB ―→·a ||a ||AB ―→|＝22|sin θ|∈⎣⎡⎦⎤0，22， ∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误． 设直线AB 与b 所成夹角为β， 则cos β＝|AB ―→·b ||b ||AB ―→|＝22|cos θ|.当直线AB 与a 的夹角为60°，即α＝60°时， 则|sin θ|＝2cos α＝2cos 60°＝22， ∴|cos θ|＝22.∴cos β＝22|cos θ|＝12. ∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB 与b 的夹角为60°. ∴②正确，①错误．∴正确的说法为②③.法二：由题意，AB 是以AC 为轴，BC 为底面半径的圆锥的母线，又AC ⊥a ，AC ⊥b ，AC ⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B ，作BD ∥a ，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，∴DE ∥b ，连接AD ，设BC ＝1，在等腰△ABD 中，AB ＝AD ＝2，当直线AB 与a 成60°角时，∠ABD ＝60°，故BD ＝2，又在Rt △BDE 中，BE ＝2，∴DE ＝2，过点B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，EF ， ∴BF ＝DE ＝2， ∴△ABF 为等边三角形，∴∠ABF ＝60°，即AB 与b 成60°角，故②正确，①错误． 由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，∴直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误． ∴正确的说法为②③. [答案] (1)D (2)②③[解题方略] 向量法求异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |，其中，a ，b 分别是直线a ，b 的方此方法解题的关键在于找出两异面直线的方向向量，求两个向量的数量积，而要求两向量的数量积，可以求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示．两个向量的夹角范围是[0，π]，而两异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，应注意加以区分．[注意] 两条异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2.当所作或所求的角为钝角时，应取其补角作为两条异面直线所成的角．题型二 求直线与平面所成的角[例3] (2019·浙江高考)如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值． [解] 法一：(1)证明：如图①，连接A 1E . 因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点， 所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，所以A 1E ⊥平面ABC ， 则A 1E ⊥BC .又因为A 1F ∥AB ，∠ABC ＝90°，故BC ⊥A 1F . 所以BC ⊥平面A 1EF .因此EF ⊥BC .(2)如图①，取BC 的中点G ，连接EG ，GF ，则四边形EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ， 所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由(1)得BC ⊥平面EGFA 1， 则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上． 连接A 1G 交EF 于点O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角(或其补角)． 不妨设AC ＝4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ＝23，EG ＝ 3. 由于O 为A 1G 的中点，故EO ＝OG ＝A 1G 2＝152，所以cos ∠EOG ＝EO 2＋OG 2－EG 22EO ·OG＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35.法二：(1)证明：连接A 1E .因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，所以A 1E ⊥平面ABC .如图②，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E xyz .不妨设AC ＝4，则A 1(0，0，23)，B (3，1，0)，B 1(3，3，23)，F ⎝⎛⎭⎫32，32，23，C (0，2，0)．因此，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫32，32，23，BC ―→＝(－3，1，0)．由EF ―→·BC ―→＝0，得EF ⊥BC .(2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可得BC ―→＝(－3，1，0)， A 1C ―→＝(0，2，－23)． 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧BC ―→·n ＝0，A 1C ―→·n ＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0.取n ＝(1, 3，1)，故sin θ＝|cos 〈EF ―→，n 〉|＝|EF ―→·n ||EF ―→|·|n |＝45，所以cos θ＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35.[解题方略]向量法求直线和平面所成的角设θ为直线l 与平面α所成的角，φ为直线l 的方向向量m 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有φ＝π2－θ(如图(1))或φ＝π2＋θ(如图(2))，所以有sin θ＝|cos φ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |.特别地，φ＝0时，θ＝π2，l ⊥α；φ＝π2时，θ＝0，l ⊂α或l ∥α.题型三 求二面角[例4] (2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A -MA 1N 的正弦值． [解] (1)证明：如图，连接B 1C ，ME . 因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点， 所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D .由题设知A 1B 1綊DC ，可得B 1C 綊A 1D ，故ME 綊ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形， 所以MN ∥ED . 又MN ⊄平面C 1DE ， 所以MN ∥平面C 1DE .(2)由已知可得DE ⊥DA ，以D 为坐标原点， DA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (2，0，0)，A 1(2，0，4)，M (1，3，2)，N (1，0，2)， A 1A ―→＝(0，0，－4)， A 1M ―→＝(－1，3，－2)， A 1N ―→＝(－1，0，－2)，MN ―→＝(0，－3，0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M ―→＝0，m ·A 1A ―→＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0.可取m ＝(3，1，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面A 1MN 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN ―→＝0，n ·A 1N ―→＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0.可取n ＝(2，0，－1)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝232×5＝155，所以二面角A -MA 1N 的正弦值为105. [解题方略] 向量法求二面角设二面角α-l -β的平面角为θ(0≤θ≤π)，n 1，n 2分别为平面α，β的法向量，向量n 1，n 2的夹角为ω，则有θ＋ω＝π(如图(1))或θ＝ω(如图(2))，其中cos ω＝n 1·n 2|n 1||n 2|.[多练强化]1.(2019·江西省五校协作体试题)如图，圆锥的底面直径AB ＝4，高OC ＝22，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD ＝2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A.π6B.π3C.5π12D.π2解析：选B 如图，过点O 作OE ⊥AB 交底面圆于E ，分别以OE ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为∠AOD ＝23π，所以∠BOD ＝π3，则D (3，1，0)，A (0，－2，0)，B (0，2，0)，C (0，0，22)， AD ―→＝(3，3，0)，BC ―→＝(0，－2，22)，所以cos AD ―→，BC ―→＝－612＝－12，则直线AD 与BC 所成的角为π3，故选B. 2．(2019·天津高考)如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2.(1)求证：BF ∥平面ADE ；(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； (3)若二面角E -BD -F 的余弦值为13，求线段CF 的长．解：依题意，建立以A 为原点，分别以AB ―→，AD ―→， AE ―→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，1，0)，E (0，0，2)．设CF ＝h (h >0)，则F (1，2，h )．(1)证明：依题意，AB ―→＝(1，0，0)是平面ADE 的法向量，又BF ―→＝(0，2，h )，可得BF ―→·AB ―→＝0，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE .(2)依题意， BD ―→＝(－1，1，0)，BE ―→＝(－1，0，2)， CE ―→＝(－1，－2，2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD ―→＝0，n ·BE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得n ＝(2，2，1)．因此有cos 〈CE ―→，n 〉＝CE ―→·n |CE ―→||n |＝－49.所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49.(3)设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BDF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD ―→＝0，m ·BF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＝0，2y 1＋hz 1＝0，不妨令y ＝1，可得m ＝⎝⎛⎭⎫1，1，－2h . 由题意，有|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪4－2h 32＋4h2＝13， 解得h ＝87.经检验，符合题意．所以，线段CF 的长为87.考点三 利用空间向量解决探索性问题[例5] 如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 是棱PD 的中点，点F 是PC 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)若四边形ABCD 为正方形，探究在什么条件下，二面角C -AF -D 大小为60°？[解] (1)证明：连接BD ，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ， 因为四边形ABCD 为矩形， 所以点O 是BD 的中点， 因为点E 是棱PD 的中点， 所以PB ∥EO ，又因为PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)由题意知AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝AD ＝2a ，AP ＝2c ，则A (0，0，0)，C (2a ，2a ，0)，D (0，2a ，0)，P (0，0，2c )，F (a ，a ，c )． 因为z 轴⊂平面CAF ，所以设平面CAF 的一个法向量为n ＝(x ，1，0)， 而AC ―→＝(2a ，2a ，0)，所以AC ―→·n ＝2ax ＋2a ＝0，得x ＝－1， 所以n ＝(－1，1，0)．因为y 轴⊂平面DAF ，所以设平面DAF 的一个法向量为m ＝(1，0，z )，而AF ―→＝(a ，a ，c )，所以AF ―→·m ＝a ＋cz ＝0，得z ＝－a c， 所以m ＝⎝⎛⎭⎫1，0，－a c ， 所以cos 60°＝|n ·m ||n |·|m |＝12·1＋a 2c2＝12，得a ＝c . 即当AP 等于正方形ABCD 的边长时，二面角C -AF -D 的大小为60°.[解题方略]利用空间向量求解探索性问题的策略(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论．(2)在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等．若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．[多练强化](2019·湖南省湘东六校联考)如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形．(1)证明：直线BC ∥平面OEF ；(2)在线段DF 上是否存在一点M ，使得二面角M -OE -D 的余弦值是31313？若不存在，请说明理由； 若存在，请求出M 点所在的位置．解：(1)证明：依题意，在平面ADFC 中，∠CAO ＝∠FOD ＝60°，∴AC ∥OF ，又OF ⊂平面OEF ，∴AC ∥平面OEF .在平面ABED 中，∠BAO ＝∠EOD ＝60°，∴AB ∥OE ，又OE ⊂平面OEF ，∴AB ∥平面OEF .∵AB ∩AC ＝A ，AB ⊄平面OEF ，AC ⊄平面OEF ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ∥平面OEF .又BC ⊂平面ABC ，∴直线BC ∥平面OEF .(2)设OD 的中点为G ，如图，连接GE ，GF ，由题意可得GE ，GD ，GF 两两垂直，以G 为坐标原点，GE ，GD ，GF 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，易知，O (0，－1，0)，E (3，0，0)，F (0，0，3)，D (0，1，0)．假设在线段DF 上存在一点M ，使得二面角M -OE -D 的余弦值是31313.设DM ―→＝λDF ―→，λ∈[0，1]，则M (0，1－λ，3λ)， OM ―→＝(0，2－λ，3λ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面MOE 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·OM ―→＝0，n ·OE ―→＝0得⎩⎨⎧（2－λ）·y ＋3λ·z ＝0，3x ＋y ＝0，可取x ＝－λ，则y ＝3λ，z ＝λ－2，n ＝(－λ，3λ，λ－2)．又平面OED 的一个法向量m ＝(0，0，1)，∴31313＝|cos m ，n |＝|λ－2|4λ2＋（λ－2）2， ∴(2λ－1)(λ＋1)＝0，又λ∈[0，1]，∴λ＝12. ∴存在满足条件的点M ，M 为DF 的中点．数学抽象——向量法解决空间立体几何问题[典例] 如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC＝90°.点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD的中点，PA ＝AC ＝4，AB ＝2.(1)求证：MN ∥平面BDE ；(2)求二面角C -EM -N 的正弦值；(3)已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长． [解] 由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为坐标原点，分别以AB ―→，AC ―→， AP―→方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，4，0)，P (0，0，4)，D (0，0，2)，E (0，2，2)，M (0，0，1)，N (1，2，0)．(1)证明： DE ―→＝(0，2，0)，DB ―→＝(2，0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0. 不妨取z ＝1，可得n ＝(1，0，1)．又MN ―→＝(1，2，－1)，可得MN ―→·n ＝0.因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE .(2)易知n 1＝(1，0，0)为平面CEM 的一个法向量．设n 2＝(x 1，y 1，z 1)为平面EMN 的法向量，又EM ―→＝(0，－2，－1)，MN ―→＝(1，2，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EM ―→＝0，n 2·MN ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y 1－z 1＝0，x 1＋2y 1－z 1＝0. 不妨取y 1＝1，可得n 2＝(－4，1，－2)．因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－421， 于是sin 〈n 1，n 2〉＝10521. 所以二面角C -EM -N 的正弦值为10521. (3)依题意，设AH ＝h (0≤h ≤4)，则H (0，0，h )，进而可得NH ―→＝(－1，－2，h )， BE ―→＝(－2，2，2)．由已知，得|cos 〈NH ―→，BE ―→〉|＝|NH ―→·BE ―→||NH ―→||BE ―→|＝|2h －2|h 2＋5×23＝721， 整理得10h 2－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝12. 所以线段AH 的长为85或12. [素养通路]本题考查了线面平行、二面角及已知线面角求线段的长，以学习过的空间向量的相关知识为工具，通过数学抽象将几何问题：证明线面平行、求二面角及求线段的长抽象成直线方向向量与平面法向量垂直、两平面法向量的夹角及向量的模长问题，进而进行求解，考查了数学抽象这一核心素养．。
2020届高考数学(理)课标版二轮课件：重难考点专题三第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
为 7 ,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5 15,则该圆锥的侧面积
8
为
.
答案 40 2 π
解析 因为母线SA与圆锥底面所成的角为45°,所以圆锥的轴截面为等腰直
角三角形.设底面圆的半径为r,则母线长l= 2 r.在△SAB中,cos∠ASB= 7 ,所以
8
sin∠ASB= 15 .因为△SAB的面积为5 15,即 1 SA·SBsin∠ASB=1 · 2 r·2 r×
A.20π C.28π
B.24π D.32π
答案 C 由三视图知圆锥的高为2 3,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所
以圆锥的侧面积为 1 ×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π,圆柱的侧面积为4×4π=
2
16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C.
2.(2018课标全国Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值
BC=3,AA1=5.设△ABC内切圆半径为r,则S△ABC=
1 2
×3×4=
1 2
×(3+4+5)r,解得r=1,
所以内切球最大半径为1,直径为2,由AA1=5得,最多可加工出2个球.
2.(2019洛阳联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切,则球O的体积 为( A )
A.8 2 π
3
B.8 3 π
在△ACD中,AD⊥CD,S△ACD= 5 ;
2
在△BCD中,BD⊥CD,S△BCD=1 ,
2
所以表面积为 3 + 2 + 5 .故选A.
2
2
命题角度二 空间几何体的体积
1.(2018课标全国Ⅱ文,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与
2020届高考数学(理)课标版二轮课件：重难考点专题三第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.(2019课标全国Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角 形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则 ( B )
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
考点二 空间平行、垂直关系
命题角度一 平行、垂直关系的证明
(2019天津节选,17,9分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形, △PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3. (1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD; (2)求证:PA⊥平面PCD.
2.(2019天津河西三模)已知平行四边形ABCD中,∠A=60°,AB=2AD=2,平面 AED⊥平面ABCD,三角形AED为等边三角形,EF∥AB,EF=1,M、N分别为线 段AD、AB的中点. (1)求证:平面EMN∥平面BDF; (2)求证:平面BDF⊥平面ABCD; (3)求直线FC与平面BDF所成角的正切值.
所以AF⊂平面AGH,AF∥平面CDE, 即直线HG上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行.
(2)设点B到平面ACE的距离为h,由(1)及已知得,EO∥平面ABC,
所以点E到平面ABC的距离h1等于点O到平面ABC的距离,等于点D到平面
ABC的距离的 1 ,
2
又平面ABC⊥平面BCD,△BCD是边长为2的等边三角形,
3.(2019福建福州3月质检,6)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下 列说法正确的是 ( C ) A.若c⊂平面α,则a⊥α B.若c⊥平面α,则a∥α,b∥α C.存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥α D.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α
(名师讲坛)2020版高考数学二轮复习专题三不等式微切口9动态二次函数问题—动轴定区间、定轴动区间课件
求二次函数在给定区间上最值的方法： 二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值为： (1) 当－2ba∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时，f (x)的最小值在对称轴处取得， 其最小值是f －2ba＝4ac4－a b2；若－2ba≤m＋2 n，f (x)的最大值为f (n)；若－2ba≥m＋2 n， f (x)的最大值为f (m)．
(2019·泗洪中学)已知a为实数，函数f (x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R. (1) 求f (x)的最小值； 【思维引导】
【解答】 f (x)＝xx22＋ －xx－ ＋aa＋ ＋11， ，xx≥ ＜aa， . ①当a≤－12时，f (x)在－∞，－12上单调递减，在－12，＋∞上单调递增， 所以f (x)min＝f －12＝34－a；
③当a＜0时， (i) 当a3≤－1，即a≤－3时，f (x)在[－1,0]上单调递增， 所以f (x)min＝f (－1)＝3＋2a＋a2； (ii) 当a3＞－1，即－3＜a＜0时，f (x)min＝f a3＝23a2.
1－2a－a2，a≥1， －2a2，0≤a＜1， 综上，f (x)min＝23a2，－3＜a＜0， 3＋2a＋a2，a≤－3.
②当－12＜a＜12时，f (x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增， 所以f (x)min＝f (a)＝a2＋1；
③当a≥12时，f (x)在－∞，12上单调递减，在12，＋∞上单调递增，
所以f (x)min＝f 12＝34＋a；
34＋a，a≥12， 综上，f (x)min＝a2＋1，－12＜a＜12，
所以g(a)＝a9＋ a＋1a－ 1a－2， 6，a∈ a∈1312，，121，.
2020新课标高考数学(文)二轮总复习课件：1-3-2 锥体中的线面关系及计算
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所以 BC⊥AH， 又 BC∩BP＝B， 故 AH⊥平面 PBC. 在 Rt△PAB 中，由勾股定理可得 PB＝ 213， 所以 AH＝PAP·BAB＝31313， 所以 A 到平面 PBC 的距离为31313.
新课标高考第二轮总复习•文科数学
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
B.2 2 D.2 3
[答案] B
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
[解析] 通性通法：求锥体中的距离问题一般转为解直角三角形，通过连接截面圆 圆心和球心构造直角三角形． 取 AB 的中点 O1，连接 OO1，如图．在△ABC 中，AB＝2 2，∠ACB＝90°，所以 △ABC 所在截面圆是以 AB 为直径的圆⊙O1，所以 O1A＝ 2，且 OO1⊥AO1，又球 O 的直径 PA＝4，所以 OA＝2，所以 OO1＝ OA2－O1A2＝ 2，且 OO1⊥底面 ABC， 所以点 P 到平面 ABC 的距离为 2OO1＝2 2.
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
1．如图①在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝12AD＝a，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将△ABE 沿 BE 折起到图②中△A1BE 的位 置，得到四棱锥 A1－BCDE.
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
类型二 锥体中线面关系及点到面距离 突破线面垂直关系及直角三角形求解 [例 2] 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点．
2020届高考数学(文)二轮复习全程方略课件：专题三 数列(2)数列的求和及综合应用
命题视角 1 函数的基本性质
[例 3] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n， Sn)(n∈N*)均在函数 f(x)＝3x2－2x 的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式； (2) 设 bn＝ana3n＋1，Tn 是数列{bn}的前 n 项和，求使 得 2Tn≤λ －2 015 对任意 n∈N*都成立的实数 λ 的取值范 围．
(2)bn＝－1－log2|an|＝2n－1，数列{bn}的前 n 项和 Tn ＝n2，
cn＝TbnTn＋n＋1 1＝n2（2nn＋＋11）2＝n12－（n＋1 1）2， 所以 An＝1－（n＋1 1）2＝（nn2＋＋12）n 2.
因此{An}是单调递增数列， 所以当 n＝1 时，An 有最小值 A1＝1－14＝34；An 没有 最大值．
命题视角 2 裂项相消法求和 [例 1－2] (2015·全国卷Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项 和．已知 an＞0，a2n＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝ana1n＋1，求数列{bn}的前 n 项和．
解：(1)由 a2n＋2an＝4Sn＋3 可知， a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
[规律方法] 1．给出 Sn 与 an 的关系求 an，常用思路是：一是利 用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为 an 的递推关系，再求其通项 公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的 关系，再求 an. 2．形如 an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的 等比数列．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记 cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前 2n 项和 S2n.
解：(1)设等差数列{bn}的公差为 d，
高考数学二轮复习专题
高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。
此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。
每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。
2专题二：数列、推理与证明。
数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。
3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。
平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。
近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。
平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。
4专题四：立体几何。
注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。
5专题五：解析几何。
直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。
近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。
我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。
6专题六：概率与统计、算法与复数。
要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。
高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。
高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。
2019-2020年高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.4分离常数参数法测理
2019-2020年高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.4分离常数参数法测理（一）选择题（12*5=60分）1.【xx届海南省高三二模】已知为锐角，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C2.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．(－∞,3] B．[3,+∞) C．[,+∞)D．(－∞, ]【答案】D【解析】因为当时，不等式恒成立，所以有，记，设，则在上是增函数，所以得，故选D．3. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是奇函数，单调递增，所以，得，所以，所以，故选D。
4.若不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，0) B．(－∞，4]C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)【答案】B.5.若存在正数使成立，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B【解析】因为，故，，记，则单调递增，所以，若存在正数使成立，则的取值范围是． 6. 已知等比数列的前项和为，且，若对任意的， 恒成立，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意知21122133221399,27,2ta S a S S a S S a a a +===-==-==，，解得， ，故恒成立，令，则， 当时， 当时， .故当时， 取得最大值为. 故选A.7.【xx 届陕西省榆林市高考模拟第一次测试】已知，若当时， 恒成 立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数， 是奇函数，且在R 上是增函数； 所以不等式可化为， 即，即对任意恒成立； 时，不等式恒成立； 时，等价于对任意恒成立, 因为时， , ,所以,所以恒成立等价于的最小值，则,故选B.8.【xx 届高三训练题】若不等式对恒成立，则实数的取值范围是( ) A. B.C. D.【答案】B【解析】不等式对恒成立，即不等式对恒成立, 只需在内的图象在图象的下方即可，当时，显然不成立；当时，在同一坐标系中作出函数和函数的图象（如图所示），则，即，所以；故选B. 9.【xx 届高三山西省大同市调研】已知函数是定义在上的奇函数，当时， )3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若 ，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B10. 设函数，对于满足的一切值都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】满足的一切值，都有恒成立，可知()22211110,242x a a x x ⎡⎤-⎛⎫≠∴>=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，满足的一切值恒成立， ， 2111120,422x ⎡⎤⎛⎫⎛⎤∴--∈⎢⎥ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦⎢⎥⎣⎦，实数的取值范围是，实数的取值范围为，故选D.11.定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当时，的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】设，则．由，知，即，所以函数为减函数．因为函数的图象关于成中心对称，所以为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以，即．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件下，易求得，所以，所以33[,6]21t s ∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即，故选D ． 12.现有两个命题：（1）若，且不等式恒成立，则的取值范围是集合；（2）若函数，的图像与函数的图像没有交点，则的取值范围是集合；则以下集合关系正确的是（ ） A ． B. C. D. 【答案】C【解析】对（1）：由得即.不等式恒成立，等价于恒成立.这只需即可.(1)111222212(1)331111x x x y x x x x x x x x -++=+=+=++=-++≥----（当时，取等号）.的取值范围是.（1）填空题（4*5=20分）13. 已知函数，若在区间上是增函数，则实数的取值范围______. 【答案】. 【解析】∵在恒成立，即在恒成立， ∵，∴，即.14.【xx 届福建省仙游金石中学高三上学期期中】 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】【解析】当时，不等式恒成立 等价于：当时， 恒成立 又 ∴故答案为：15.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】.【解析】∵是定义在上的奇函数，且当 时，， ∴当，有，，∴，即，∴，∴在上是单调递增函数，且满足，∵不等式)2()(2)(x f x f t x f =≥+在恒成立，∴在恒成立， 解得在恒成立，∴，解得：，则实数的取值范围是．16.【xx 届上海市长宁、嘉定区高三第一次质量调研（一模）】若不等式对任意满足的实数， 恒成立，则实数的最大值为__________． 【答案】【解析】∵不等式x 2−2y 2⩽cx(y −x)对任意满足x>y>0的实数x 、y 恒成立，∴2222222x y x y c xy x x x y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭…，令=t>1， ∴， ()()(()222222242't t t t f t t t t t --+-+==--，当时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增; 当时,f′(t)<0,函数f(t)单调递减。
高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理
高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理第一讲 等差数列与等比数列1．等差数列的定义．数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝d (其中n∈N *，d 为与n 值无关的常数)⇔{a n }是等差数列． 2．等差数列的通项公式．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． 3．等差中项．若x ，A ，y 成等差数列，则A ＝x ＋y2，其中A 为x ，y 的等差中项．4．等差数列的前n 项和公式．若等差数列首项为a 1，公差为d ，则其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2．1．等比数列的定义． 数列{a n }满足a n ＋1a n＝q (其中a n ≠0，q 是与n 值无关且不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．2．等比数列的通项公式．若等比数列的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1·q n －1＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．3．等比中项．若x ，G ，y 成等比数列，则G 2＝xy ，其中G 为x ，y 的等比中项，G 值有两个． 4．等比数列的前n 项和公式．设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×) (4)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．(×) (5)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .(×) (6)1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝1－b51－b.(×)1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则数列{a n }的前5项和S 5＝(B ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25解析：2d ＝a 4－a 2＝5－1＝4⇒d ＝2，a 1＝a 2－d ＝1－2＝－1，a 5＝a 2＋3d ＝1＋6＝7，故S 5＝（a 1＋a 5）×52＝6×52＝15.2. (2015·北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是(C ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析：设等差数列{a n}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a22－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2＞0，∴a2＞a1a3，故选项C正确；若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错．3．(2015·新课标Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(B)A．21 B．42C．63 D．84解析：∵ a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴ 3＋3q2＋3q4＝21.∴ 1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.4．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(B)A．90 B．100C．145 D．190解析：设公差为d，则(1＋d)2＝1·(1＋4d)．∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100.一、选择题1．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a3＋a9＝6，则S11＝(B)A．12 B．33 C．66 D．99解析：∵{a n}为等差数列且a3＋a9＝6，∴a 6＋a 6＝a 3＋a 9＝6. ∴a 6＝3. ∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 6＋a 62×11＝11a 6＝11×3＝33.2．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则数列{a n }的前6项和S 6＝(B ) A ．120 B ．140 C ．160 D ．180 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6为等比数列． ∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)． 即a 5＋a 6＝（a 3＋a 4）2a 1＋a 2＝40220＝80.∴S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝20＋40＋80＝140.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则a 3＋a 17＝(C ) A ．15 B ．17 C ．34 D ．398 解析：∵S n ＝n 2－2n －1， ∴a 1＝S 1＝12－2－1＝－2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－2n －1－[(n －1)2－2(n －1)－1] ＝n 2－(n －1)2＋2(n －1)－2n －1＋1 ＝n 2－n 2＋2n －1＋2n －2－2n ＝2n －3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，2n －3，n ≥2.∴a 3＋a 17＝(2×3－3)＋(2×17－3)＝3＋31＝34. 4．(2014·陕西卷)原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(A )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 解析：由a n ＋a n ＋12＜a n ⇒a n ＋1＜a n ⇒{a n }为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若{a n }为递减数列，则a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋；若{a n }为递减数列，则a n ＋1＜a n ，即a n ＋a n ＋12＜a n ，所以逆命题为真；否命题：若a n ＋a n ＋12≥a n ，n ∈N ＋，则{a n }不为递减数列；由a n ＋a n ＋12≥a n ⇒a n ≤a n ＋1⇒{a n }不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题． 故选A.5．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为(C )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入m ＝9，因此选C.二、填空题6．(2015·安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.7．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝32． 解析：将S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2两个式子全部转化成用a 1，q 表示的式子，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q 3＋2，两式作差得：a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q (q 2－1)，即：2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去)．8．(2014·广东卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝5．解析：由题意知a 1a 5＝a 23＝4，且数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2， ∴a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25，∴log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5. 三、解答题9．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2 ＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解析：(1)b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．10．(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n－1.又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.。
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专题三 高考易错点分类例析——最后的查缺补漏集合、逻辑用语、函数与导数易错点1 遗忘空集致误例1 已知A ＝{x ∈R |x <－1或x >4}，B ＝{x ∈R |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是________．错解 由A ∪B ＝A 知，B ⊆A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋32a >4或a ＋3<－1， 解得a <－4或2<a ≤3.∴实数a 的取值范围是a <－4或2<a ≤3.错因分析 由并集定义容易知道，对于任何一个集合A ，都有A ∪∅＝A ，所以错解忽视了B ＝∅时的情况．正解 由A ∪B ＝A 知，B ⊆A .①当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋32a >4或a ＋3<－1，解得a <－4或2<a ≤3；②当B ＝∅时，由2a >a ＋3，解得a >3. 综上可知，实数a 的取值范围是a <－4或a >2.易错突破 造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 时，注意对A 进行分类讨论，即分为A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．补偿练习1 (1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则所有实数m 组成的集合是 ( )A ．{0，－1,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1C ．{－1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12 答案 A解析 当m ＝0时，B ＝∅，符合题意；当m ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1m ，若B ⊆A ，则1m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，∴m ＝－1或m ＝2.故m ＝0，或m ＝－1，或m ＝2.(2)已知集合A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，p ∈R }，若A ∩R *＝∅，则实数p 的取值范围为____________． 答案 (－4，＋∞)解析 由于A ∩R *＝∅，先求A ∩R *≠∅的情况有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(p ＋2)2－4≥0，－p ＋22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≥0或p ≤－4，p <－2，解得p ≤－4. 故当A ∩R *＝∅时，p 的取值范围是(－4，＋∞)． 易错点2 忽视元素互异性致误例2 已知集合A ＝{1，x,2}，B ＝{1，x 2}，若A ∪B ＝A ，则x 的不同取值有________种情况．( )A ．1B ．2C ．3D ．4错解 由x 2＝2，解得x 1＝2，x 2＝－ 2. 由x 2＝x ，解得x 3＝0，x 4＝1. ∴选D.错因分析 当x ＝1时，集合A 、B 中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的互异性，导致错误．正解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∴x 2＝2或x 2＝x .由x 2＝2，解得x ＝±2，由x 2＝x ，解得x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，x 2＝1，集合A 、B 中元素不满足互异性，所以符合题意的x 为2或－2或0，共3种情况，选C.易错突破 由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证．补偿练习2 若A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2，1}，且A ∪B ＝{1,3，x }，则这样的x 为________．答案 ±3或0解析 由已知得B ⊆A ，∴x 2∈A 且x 2≠1. ①x 2＝3，得x ＝±3，都符合．②x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，而x ≠1，∴x ＝0. 综合①②，共有3个值．易错点3 忽视区间的端点致误 例3 记f (x )＝ 2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg [(x －a －1)(2a －x )] (a <1)的定义域为B .若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________．错解 由2－x ＋3x ＋1≥0，得x <－1或x ≥1.∴A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．由(x －a －1)(2a －x )>0得(x －a －1)(x －2a )<0. 且a <1，∴2a <x <a ＋1.∴B ＝(2a ，a ＋1)，∵B ⊆A ，∴2a >1或a ＋1<－1，∴a >12或a <－2.∴a ∈⎝⎛⎭⎫12，1∪(－∞，－2)．错因分析 从B ⊆A 求字母a 的范围时，没有注意临界点，区间的端点搞错．正解 ∵2－x ＋3x ＋1≥0，得x －1x ＋1≥0，∴x <－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． ∵(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0. ∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)． ∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1， 即a ≥12或a ≤－2，而a <1，∴12≤a <1或a ≤－2. 故所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1.补偿练习3 设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >a }，若A B ，则a 的取值范围是__________．答案 (－∞，1]解析 因为A ⊆B 且A ≠B ，利用数轴可知：a ≤1. 易错点4 对命题否定不当致误例4 命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 是奇数B ．若x ，y 都不是奇数，则x ＋y 不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 都不是奇数D ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数 错解 C错因分析 “x ，y 都是奇数”的否定中包含三种情况：“x 是奇数，y 不是奇数”，“x 不是奇数，y 是奇数”，“x ，y 都不是奇数”，误把“x ，y 都不是奇数”作为“x ，y 都是奇数”的否定而错选C.正解 “都是”的否定是“不都是”，答案选D.易错突破 对条件进行否定时，要搞清条件包含的各种情况，全面考虑；对于和参数范围有关的问题，可以先化简再否定．补偿练习4 已知集合M ＝{x |a 2x ＋2x －3ax －1<0}，若2∈，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥12解析 若2∈M ，则2a 2＋12a －1<0，即(2a －1)(2a 2＋1)<0，∴a <12，∴当2∈M 时，a 的取值范围为a ≥12.易错点5 充分条件、必要条件颠倒致误例5 若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件错解 B错因分析 由p ⇒q 应得p 是q 的充分条件，错解颠倒了充分条件、必要条件． 正解 将两条件化简可得p ：－1<a <1，q ：a <2， 易知p ⇒q ，且q ⇒p ，故p 是q 的充分不必要条件，选A.易错突破 在解题时熟练运用以下几种方法即可减少失误： (1)定义法：直接利用定义进行判断；(2)逆否法(等价法)：“p ⇔q ”表示p 等价于q .要证p ⇒q ，只需证它的逆否命题綈q ⇒綈p 即可，同理要证p ⇐q ，只需证綈q ⇐綈p 即可，所以p ⇔q ，只需綈q ⇔綈p .(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 都是集合，那么若p ⊆q ，则p 是q 的充分不必要条件；若p ⊇q ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ＝q ，则p 是q 的充要条件，尤其对于数的集合，可以利用小范围的数一定在大范围中，即小⇒大，会给我们的解答带来意想不到的惊喜．(4)举反例：要说明p 是q 的不充分条件，只要找到x 0∈{x |p }，但x 0∉{x |q }即可． 补偿练习5 已知条件p ：|x ＋1|＞4，条件q ：x ＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，－3]答案 B解析 由题意知，条件p ：x ＜－5或x ＞3，条件q ：x ＞a ，所以綈p ：－5≤x ≤3，綈q ：x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以a ≥3. 易错点6 忽视函数定义域致误例6 函数y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为____________．12错解 ⎝⎛⎭⎫－∞，52 错解分析 忽视了函数定义域，应加上条件x 2－5x ＋6>0. 正解 由x 2－5x ＋6>0知{x |x >3或x <2}． 令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为(－∞，2)．易错突破 在研究函数问题时，不论什么情况，首先要考虑函数的定义域，这是研究函数的最基本原则．补偿练习6 若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(12，32)B ．(1，32)C ．(12，32]D ．[1，32)答案 D解析 由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0，解得x ＝12.所以函数f (x )在(0，12]上单调递减，在[12，＋∞)上单调递增．故有⎩⎨⎧0≤k －1＜12，k ＋1＞12，解得1≤k ＜32.易错点7 忽视二次项系数为0致误例7 函数f (x )＝(k －1)x 2＋2(k ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数k 的取值集合是__________．错解 由题意知Δ＝4(k ＋1)2＋4(k －1)＝0. 即k 2＋3k ＝0，解得k ＝0或k ＝－3. ∴k 的取值集合是{－3,0}．错因分析 未考虑k －1＝0的情况而直接令Δ＝0求解导致失解．正解 当k ＝1时，f (x )＝4x －1，其图象与x 轴只有一个交点⎝⎛⎭⎫14，0. 当k ≠1时，由题意得Δ＝4(k ＋1)2＋4(k －1)＝0， 即k 2＋3k ＝0，解得k ＝0或k ＝－3. ∴k 的取值集合是{－3,0,1}．易错突破 对多项式函数或方程、不等式，如果含有参数，一定首先考虑最高次项系数为0的情况．补偿练习7 函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是( )12A ．(－∞，1]B ．(－∞，0]∪{1}C ．(－∞，0)∪{1}D ．(－∞，1)答案 B解析 当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1＝0有一个正根一个负根，即mf (0)＜0，即m ＜0.故选B. 易错点8 分段函数意义不明致误例8 已知：x ∈N *，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)，求f (3)．错解 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)，∴f (x ＋2)＝(x ＋2)－5＝x －3， 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)x －3 (x <6)，∴f (3)＝3－3＝0.错因分析 没有理解分段函数的意义，f (x )＝x －5在x ≥6的前提下才成立，f (3)应代入x <6化为f (5)，进而化成f (7)．正解 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.补偿练习8 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 013)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 B解析 f (2 013)＝f (2 012)－f (2 011)＝f (2 011)－f (2 010)－f (2 011)＝－f (2 010)＝f (2 007)＝f (3) ＝－f (0)＝0.易错点9 函数单调性考虑不周致误例9 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，(a 2－1)e ax，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________． 错解 (－∞，1)∪(1，＋∞)错因分析 忽视了函数在定义域分界点上函数值的大小． 正解 若函数在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≥1，解之得a ≤－2；若函数在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－1>0，(a 2－1)e 0≤1，解得1<a ≤2，故a 的取值范围是(－∞，－2]∪(1，2]．易错突破 分段函数的单调性不仅要使函数在各个段上具有单调性，还要考虑分界点上函数值大小．补偿练习9 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23答案 A解析 f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称， 又f (x )在[0，＋∞)上递增，∴f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔|2x －1|<13⇔13<x <23. 易错点10 混淆“过点”与“切点”致误例10 求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．错解 ∵y ′＝3x 2－2， ∴k ＝y ′|x ＝1＝3×12－2＝1，∴切线方程为：y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.错因分析 混淆“过某一点”的切线和“在某一点处”的切线，错把(1，－1)当做切点． 正解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为 y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)， 即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1，或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)(x ＋12)，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.易错突破 过曲线上的点(1，－1)的切线与曲线的切点可能是(1，－1)，也可能不是(1，－1)．本题错误的根本原因就是把(1，－1)当成了切点．解决这类题目时，一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同．虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．补偿练习10 已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P (0,0)，则过点P 的曲线S 的切线方程为____________． 答案 y ＝4x 或y ＝358x解析 设过点P 的切线与曲线S 切于点Q (x 0，y 0)，则过点P 的曲线S 的切线斜率 y ′|x ＝x 0＝－2x 20＋2x 0＋4，又k PQ ＝y 0x 0，所以－2x 20＋2x 0＋4＝y 0x 0， ① 点Q 在曲线S 上，y 0＝－23x 30＋x 20＋4x 0，②将②代入①得－2x 20＋2x 0＋4＝－23x 20＋x 0＋4， 化简得43x 20－x 0＝0，所以x 0＝0或x 0＝34， 若x 0＝0，则y 0＝0，k ＝4，过点P 的切线方程为y ＝4x ；若x 0＝34，则y 0＝10532，k ＝358，过点P 的切线方程为y ＝358x .所以过点P 的曲线S 的切线方程为y ＝4x 或y ＝358x .易错点11 函数极值点概念不清致误例11 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.错解 －7或0错因分析 忽视了条件的等价性，“f ′(1)＝0”是“x ＝1为f (x )的极值点”的必要不充分条件．正解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7.易错突破 对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是在x 0点两侧导数异号，即f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0的左右的符号：“左正右负”⇔f (x )在x 0处取极大值；“左负右正”⇔f (x )在x 0处取极小值，而不仅是f ′(x 0)＝0.f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f ′(x 0)＝0，又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根．补偿练习11 已知函数f (x )＝x 44＋b 3x 3－2＋a 2x 2＋2ax 在点x ＝1处取极值，且函数g (x )＝x 44＋b 3x3－a －12x 2－ax 在区间(a －6,2a －3)上是减函数，求实数a 的取值范围．解 f ′(x )＝x 3＋bx 2－(2＋a )x ＋2a ， 由f ′(1)＝0，得b ＝1－a ，当b ＝1－a 时，f ′(x )＝x 3＋(1－a )x 2－(2＋a )x ＋2a ＝(x －1)(x ＋2)(x －a )，如果a ＝1，那么x ＝1就只是导函数值为0的点而非极值点，故b ＝1－a 且a ≠1. g ′(x )＝x 3＋bx 2－(a －1)x －a ＝x 3＋(1－a )x 2－(a －1)x －a ＝(x －a )(x 2＋x ＋1)． 当x <a 时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，a )上单调递减， ∴(a －6,2a －3)⊆(－∞，a )， ∴a －6<2a －3≤a ， 故所求a 的范围为－3<a ≤3.综上可知a 的取值范围应为－3<a ≤3且a ≠1. 易错点12 导数与函数单调性关系不准致误例12 函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．错解 (－∞，94)错因分析 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f (x )的导数在区间[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2，＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性． 正解 由题意，知f ′(x )＝3x 2－2ax －3，令f ′(x )≥0(x ≥2)，得a ≤32(x －1x )．记t (x )＝32(x －1x)，当x ≥2时，t (x )是增函数，所以t (x )min ＝32×(2－12)＝94，所以a ∈(－∞，94]．经检验，当a ＝94时，函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数．补偿练习12 已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为__________．答案 [12，＋∞)解析 f ′(x )＝2mx ＋1x －2≥0在(0，＋∞)上恒成立，m ≥－12x 2＋1x，所以m ≥⎝⎛⎭⎫－12x 2＋1x max ，所以m ≥12. 三角函数与平面向量易错点13 忽视角的范围致误例13 已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，则α＋β＝________.错解 ∵α、β为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 又0<α＋β<π.∴α＋β＝π4或α＋β＝34π.错因分析 错解中没有注意到sin α＝55，sin β＝1010本身对角的范围的限制，造成错解． 正解 因为α，β为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22，又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝π4.易错突破 对三角函数的求值问题，不仅要看已知条件中角的范围，还要挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0，π)中的角和余弦值一一对应，最好在求角时选择计算cos(α＋β)来避免增解．补偿练习13 已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0 (a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值是________． 答案 －2解析 因为a >1，tan α＋tan β＝－4a <0， tan α·tan β＝3a ＋1>0，所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＋β∈(－π，0)， 则α＋β2∈⎝⎛⎭⎫－π2，0.又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－4a 1－(3a ＋1)＝43，又tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2＝43，整理，得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，解得tan α＋β2＝－2或tan α＋β2＝12(舍去)．易错点14 图象变换混乱致误例14 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)．错解 右 π4或右 π12错因分析 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )． 右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可， 因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位．易错突破 函数图象的左右平移是自变量x 发生变化，如ωx →ωx ±φ(φ>0)这个变化的实质是x →x ±φω，所以平移的距离并不是φ.补偿练习14 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 答案 C解析 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10.故选C. 易错点15 解三角形多解、漏解致误例15 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且a ＝1，c ＝ 3.(1)若C ＝π3，求A ；(2)若A ＝π6，求b ，c .错解 (1)在△ABC 中，a sin A ＝c sin C， ∴sin A ＝a sin C c ＝12，∴A ＝π6或5π6.(2)由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝32，∴C ＝π3，由C ＝π3知B ＝π2，∴b ＝a 2＋c 2＝2.错因分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中又因为没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2.这样就出现漏解的错误． 正解 (1)由正弦定理得a sin A ＝csin C， 即sin A ＝a sin C c ＝12.又a <c ，∴A <C ，∴0<A <π3，∴A ＝π6.(2)由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin Aa ＝3·sin π61＝32， ∴C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝π2，∴b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，∴b ＝1.综上所述，b ＝2或b ＝1.易错突破 已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．补偿练习15 在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．解 由正弦定理得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32.又因为AB >AC ，所以C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°，于是S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×1＝2 3.当C ＝120°时，A ＝30°，于是 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×12＝ 3.故△ABC 的面积是23或 3. 易错点16 向量夹角定义不明致误例16 已知等边△ABC 的边长为1，则BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝________.错解 ∵△ABC 为等边三角形，∴|BC →|＝|CA →|＝|AB →|＝1，向量AB →、BC →、CA →间的夹角均为60°.∴BC →·CA →＝CA →·AB →＝AB →·BC →＝12.∴BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝32.错因分析 数量积的定义a·b ＝|a|·|b |·cos θ，这里θ是a 与b 的夹角，本题中BC →与CA →夹角不是∠C .两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角，如图BC →与CA →的夹角应是∠ACD .正解 如图BC →与CA →的夹角应是∠ACB 的补角∠ACD ， 即180°－∠ACB ＝120°. 又|BC →|＝|CA →|＝|AB →|＝1，所以BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos 120°＝－12.同理得CA →·AB →＝AB →·BC →＝－12.故BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝－32.易错突破 在判断两向量的夹角时，要注意把两向量平移到共起点，这样才不至于判断错误．平面向量与三角函数的结合，主要是指题设条件设置在向量背景下，一旦脱去向量的“外衣”，实质上就变成纯三角问题．补偿练习16 在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.答案 152解析 方法一 在△ABD 中，由余弦定理得 AD 2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，∴AD ＝7，cos ∠BAD ＝32＋(7)2－122×3×7＝5714，∴AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos ∠BAD＝3×7×5714＝152.方法二 ∵AD →＝AB →＋BD →，∴AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝|AB →|2＋|AB →||BD →|·cos 120°＝9＋3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝152. 易错点17 忽视向量共线致误例17 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0，∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 错因分析 当向量a ，b 同向时，θ＝0，cos θ＝1满足cos θ>0，但不是锐角． 正解 ∵θ为锐角，∴0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1且2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.易错突破 在解决两向量夹角问题时，一般地，向量a ，b 为非零向量，a 与b 的夹角为θ，则①θ为锐角⇔a·b >0且a ，b 不同向；②θ为直角⇔a·b ＝0；③θ为钝角⇔a·b <0且a ，b 不反向．补偿练习17 设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3.若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的范围． 解 ∵2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0且2t e 1＋7e 2≠λ(e 1＋t e 2)(λ<0)． 由(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0得2t 2＋15t ＋7<0，∴－7<t <－12.若2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)， ∴(2t －λ)e 1＋(7－tλ)e 2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2t －λ＝07－tλ＝0，即t ＝－142，∴t 的取值范围为－7<t <－12且t ≠－142.数列与不等式易错点18 运用公式“a n ＝S n －S n －1”不当致误例18 已知数列{a n }对任意的n ∈N *都满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ，则数列{a n }的通项公式为________．错解 ∵a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ， ∴a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8－5(n －1)， 两式相减，得2n －1a n ＝－5，∴a n ＝－52n －1.错因分析 当n ＝1时，由题中条件可得a 1＝3，而代入错解中所得的通项公式可得a 1＝－5，显然是错误的．其原因是：两式相减时，所适用的条件是n ≥2，并不包含n ＝1的情况．只有所求的通项公式对n ＝1时也成立，才可以这样写，否则要分开写． 正解 当n ≥2时，由于a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ， 那么a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8－5(n －1)， 两式对应相减可得2n －1a n ＝8－5n －[8－5(n －1)]＝－5，所以a n ＝－52n －1.而当n ＝1时，a 1＝3≠－521－1＝－5，所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，－52n －1， n ≥2. 易错突破 本题实质上已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n 与S n 的关系中，a n ＝S n －S n －1，成立的条件是n ≥2，求出的a n 中不一定包括a 1，而a 1应由a 1＝S 1求出，然后再检验a 1是否在a n 中，这是一个典型的易错点．补偿练习18 已知数列{a n }的前n 项之和为S n ＝n 2＋n ＋1，则数列{a n }的通项公式为__________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝n 2＋n ＋1－(n －1)2－(n －1)－1＝2n ， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.易错点19 忽视等比数列公比的条件致误例19 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40等于( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50错解 C错因分析 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30， b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列． ∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70， ∴r 2＋r －6＝0，∴r ＝2，r ＝－3(舍去)，∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝10(1－24)1－2＝150.易错突破 在等比数列中，公比的条件在使用中要注意隐含条件，S n 中q ≠1；构造新数列要注意新数列的公比和原公比的关系，如等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比为q 10>0.补偿练习19 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q ＝________.答案 1或－1解析 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立．②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9， 得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 易错点20 数列最值意义不清致误例20 已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．错解 233－1错因分析 忽视了n 为正整数，直接利用基本不等式求最值，要注意和函数最值的区别． 正解 a n ＝n 2－n ＋33， ∴a n n ＝n ＋33n－1. 又f (x )＝x ＋33x－1(x >0)在[33，＋∞)上为增函数，在(0，33]上为减函数．又n ∈N *，f (5)＝535，f (6)＝212，∴⎝⎛⎭⎫a n n min ＝f (6)＝212. 易错突破 研究数列的最值问题时，往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性来解决．关于正整数n 的对勾函数，使其取最值的点就是在离单调区间分界点距离最近的那两个点中取得，代入检验，便可确定最值．补偿练习20 若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则数列{na n }中数值最小的项是第________项． 答案 3解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －(n －1)2＋10(n －1)＝2n －11. 可以统一为a n ＝2n －11(n ∈N *) 故na n ＝2n 2－11n ，该关于n 的二次函数的对称轴是n ＝114，考虑到n 为正整数，且对称轴离n ＝3较近，故数列{na n }中数值最小的项是第3项． 易错点21 数列递推关系转化不当致误例21 已知函数f (x )＝2x x ＋1，数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝f (a n )，b n ＝a n1－a n，n ∈N *，求数列{b n }的通项公式．错解 ∵f (x )＝2x x ＋1，∴a n ＋1＝f (a n )＝2a na n ＋1，∴a n ＋1a n ＋a n ＋1－2a n ＝0，a n (a n ＋1－2)＋a n ＋1＝0. 错因分析 递推关系转化不当，无法求出b n . 正解 ∵f (x )＝2x x ＋1，∴a n ＋1＝f (a n )＝2a na n ＋1，∴1a n ＋1＝12＋12a n . ∴1a n ＋1－1＝12(1a n －1)，又b n ＝a n 1－a n，∴1b n ＝1a n －1，∴1b n ＋1＝12·1b n， ∴b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 11－a 1＝2，∴{b n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴b n ＝2n .易错突破 解决递推数列问题的基本原则是根据递推数列的特征进行转化．掌握以下几类递推关系的转化，可极大地提高解题效率．①a n ＋1＝qa n ＋k 形式可用待定系数法：a n ＋1＋λ＝q (a n ＋λ)；②a n ＋1＝ma na n ＋n形式可用取倒数法；③观察法，如a n ＋1＝2(1＋1n )2a n ⇒a n ＋1(n ＋1)2＝2·a nn 2. 补偿练习21 已知数列{a n }满足a 1＝13，a n ＋1a n ＝2a n ＋1－a n ，S n 表示数列{a n }前n 项和．求证：S n <1.证明 由a 1＝13≠0，易知对于任意的n ，a n ≠0.a n ＋1a n ＝2a n ＋1－a n 可化为2a n －1a n ＋1＝1，1a n ＋1－1＝2⎝⎛⎭⎫1a n －1. 令b n ＝1a n －1，则b 1＝2，b n ＋1＝2b n .所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列．b n ＝1a n －1＝2n ，所以a n ＝12n ＋1，则S n ＝121＋1＋122＋1＋123＋1＋…＋12n ＋1<121＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.易错点22 忽视基本不等式的应用条件致误例22 函数y ＝x ＋2x －1的值域是________．错解 [22＋1，＋∞)错因分析 错解中直接使用基本不等式，而忽视了应用条件x －1>0时的情况被忽视．正解 当x >1时，y ＝x ＋2x －1＝x －1＋2x －1＋1≥2 (x －1)·2x －1＋1＝22＋1，当且仅当x －1＝2x －1，即x ＝1＋2时等号成立；当x <1时，－y ＝－x ＋21－x ＝1－x ＋21－x －1≥2 (1－x )·21－x －1＝22－1，∴y ≤1－22；当且仅当1－x ＝21－x ，即x ＝1－2时等号成立．∴原函数的值域为(－∞，1－22]∪[1＋22，＋∞)．易错突破 利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正，二定，三相等”的条件．本例由于忽视了x －1的正、负问题，导致结果错误．在应用基本不等式a ＋b2≥ab时，首先应考虑a ，b 是否为正值．补偿练习22 函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析 因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)， 由题意，知点A 在直线mx ＋ny －2＝0上， 所以，m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12(1m ＋1n )×(m ＋n ) ＝12(2＋n m ＋m n)，因为mn ＞0，所以n m ＞0，mn ＞0.由基本不等式，可得n m ＋m n ≥2 n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)，所以1m ＋1n ＝12×(2＋n m ＋m n )≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2. 易错点23 解含参数不等式讨论不当致误 例23 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.错解 原不等式化为a (x －1a)(x －1)<0.∴当a >1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，1.当a <1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，1a . 错因分析 解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式，忽视了对a ＝0时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数a 时，若a <0，忘记改变不等号的方向；(3)忽视了对根的大小的讨论，特别是等根的讨论；(4)分类讨论后，最后对结论不进行整合． 正解 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}． 当a ≠0时，不等式化为a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 当a <0时，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0，不等式的解集为{x |x >1或x <1a}； 当0<a <1时，1<1a ，不等式的解集为{x |1<x <1a }；当a >1时，1a <1，不等式的解集为{x |1a <x <1}；当a ＝1时，不等式的解集为∅.综上所述，当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，1a ∪(1，＋∞)； 当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)； 当0<a <1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a >1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，1.易错突破 解形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式，应对系数a 分a >0，a ＝0，a <0进行讨论，还要讨论各根的大小，最后根据不同情况分别写出不等式的解集．补偿练习23 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围．解 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)． ①当Δ<0，即－1<a <2时，M ＝∅，∅⊆[1,4]； ②当Δ＝0，即a ＝－1或2时，若a ＝－1，则M ＝{－1}⃘[1,4]，若a ＝2，则M ＝{2}⊆[1,4]；③当Δ>0，即a <－1或a >2时，设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 那么M ＝[x 1，x 2]，则M ⊆[1,4]⇔1≤x 1<x 2≤4 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≥0，f (4)≥0，1<a <4，Δ>0，解得2<a ≤187.综上，可得M ⊆[1,4]时，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，187. 易错点24 线性规划问题最值意义不明致误 例24 设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22围成的三角形区域(包含边界)为D ，点P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________．错解 322错因分析 没有理解线性规划中目标函数的几何意义，认为目标函数一定在最高点处取到最大值，最低点时取到最小值．正解 －22易错突破 对于线性规划问题中的目标函数z ＝ax ＋by ，可以化成y ＝－a b x ＋z b 的形式，zb 是直线的纵截距，当b <0时，z 的最小值在直线最高时取得．补偿练习25 已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是______． 答案 (3,8)解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <42<x －y <3表示的可行域(如图)，在可行域内平移直线z ＝2x －3y ，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的 交点A (3,1)时，有z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝ －1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，有z max ＝2×1＋3×2＝8， 故z 的取值范围为(3,8)．立体几何易错点25 三视图识图不准确致误例25 已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是________．错解4 0003错因分析 没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系．正解 如图所示，作几何体S －ABCD 且知平面SCD ⊥平面ABCD ， 四边形ABCD 为正方形，作SE ⊥CD 于点E ，得SE ⊥平面ABCD 且SE ＝20.∴V S －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·SE ＝8 0003；∴这个几何体的体积是8 0003.易错突破 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑．补偿练习25 (2013·浙江)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________ cm 3.答案 24解析 由三视图可知，其直观图为： AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝5.作AH ⊥BC 于H ，AH ＝AB ·AC BC ＝125.作A 1M ⊥BB 1于M ，A 1N ⊥CC 1于N .连接MN . V ＝13×(5×3)×125＋(3×4)×12×2＝24.易错点26 线面关系定理条件把握不准致误例26 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C . 错解 (1)连接BD 1，∵E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．∴EF ∥D 1B ， ∴EF ∥平面ABC 1D 1. (2)AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ， ∴AC ⊥平面BDD 1，∴EF ⊥AC .错因分析 推理论证不严谨，思路不清晰． 正解 (1)连接BD 1，如图所示，在△DD 1B 中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点，则EF ∥D 1B .⎭⎪⎬⎪⎫EF ∥D 1BD 1B ⊂平面ABC 1D 1EF ⊄平面ABC 1D 1 ⇒EF ∥平面ABC 1D 1.(2)ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体⇒AB ⊥面BCC 1B 1⎭⎪⎬⎪⎫⇒B 1C ⊥ABB 1C ⊥BC1AB ，BC 1⊂平面ABC 1D 1AB ∩BC 1＝B⎭⎪⎬⎪⎫⇒B 1C ⊥平面ABC 1D 1 BD 1⊂平面ABC 1D 1⎭⎪⎬⎪⎫⇒B 1C ⊥BD 1 EF ∥BD 1⇒EF ⊥B 1C . 易错突破 证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．补偿练习26 如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明 (1)方法一 因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD . 在△ABD 中，由余弦定理，得 BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠BAD .又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，所以BD 2＝3AD 2. 所以AD 2＋BD 2＝AB 2，所以AD ⊥BD . 又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .方法二 因为DD 1⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥D 1D .如图，取AB 的中点G ，连接DG . 在△ABD 中，由AB ＝2AD ， 得AG ＝AD .又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形， 所以GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB . 又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，所以∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°， 所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD . (2)如图，连接AC 、A 1C 1. 设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC .由棱台的定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1 知，A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1. 又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ， 所以CC 1∥平面A 1BD .解析几何易错点27 忽视倾斜角的范围致误例27 经过点(－2,3)，倾斜角是直线3x ＋4y －5＝0倾斜角一半的直线的方程是________．错解 设所求直线的倾斜角为α，则tan 2α＝－34，∴tan α＝－13或tan α＝3.故所求直线的方程为x ＋3y －7＝0或3x －y ＋9＝0.错因分析 错解中只注意了直线倾斜角的关系，而忽视了直线倾斜角的范围，导致增解．正解 由tan 2α＝－34，可得π2<2α<π，∴π4<α<π2，故tan α＝－13(舍去)或tan α＝3， 因此所求直线的方程为3x －y ＋9＝0.易错突破 在求直线倾斜角的过程中，如果遇到一些不确定的变量(如斜率、字母、角度等)时，要根据倾斜角的范围进行合理的分类，确定出相应的倾斜角．补偿练习27 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________．答案 3π4≤α<π解析 设曲线在点P 处的切线斜率为k ，则k ＝y ′＝－4e x (1＋e x )2＝－4e x ＋1ex ＋2，因为e x >0，所以由基本不等式得k ≥－42e x ·1ex ＋2＝－1.又k <0，所以－1≤k <0，即－1≤tanα<0，所以3π4≤α<π.易错点28 忽视直线斜率的特殊情况致误例28 a 为何值时，(1)直线l 1：x ＋2ay －1＝0与直线l 2：(3a －1)x －ay －1＝0平行？(2)直线l 3：2x ＋ay ＝2与直线l 4：ax ＋2y ＝1垂直？错解 (1)直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0的方程可变形为y ＝－12a x ＋12a与y ＝3a －1a x －1a，∴当－12a ＝3a －1a 且12a ≠－1a ，即a ＝16时，两直线平行．(2)当－2a ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1时，两直线垂直，此方程无解，故无论a 为何值时，两直线都不垂直． 错因分析 (1)没考虑斜率不存在即a ＝0的情况；(2)没有考虑l 3的斜率不存在且l 4的斜率为0也符合要求这种情况．。