高考热点专题——有关弹簧问题的分析与计算

高考热点专题——有关弹簧问题的分析与计算弹簧类问题在高中物理中占有相当重要的地位，且涉及到的物理问题多是一些综合性较强、物理过程又比较复杂的问题，从受力的角度看，弹簧上的弹力是变力；从能量的角度看，弹簧是个储能元件；因此，关于弹簧的问题，能很好的考察学生的分析综合能力，备受高考命题专家的青睐。

解决这些问题除了一般要用动量守恒定律和能量守恒定律这些基本规律之外，搞清物体的运动情景，特别是弹簧所具有的一些特点，也是正确解决这类问题的重要方法。

在有关弹簧类问题中，要特别注意使用如下特点和规律：1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。

当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应。

在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化。

2. 弹簧的弹力不能突变，它的变化要经历一个过程，这是由弹簧形变的改变要逐渐进行决定的。

在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。

3、弹簧上的弹力是变力，弹力的大小随弹簧的形变量发生变化，求弹力的冲量和弹力做功时，不能直接用冲量和功的定义式，一般要用动量定理和动能定理计算。

弹簧的弹力与形变量成正比例变化，故它引起的物体的加速度、速度、动量、动能等变化不是简单的单调关系，往往有临界值。

如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。

4、对于只有一端有关联物体，另一端固定的弹簧，其运动过程可结合弹簧振子的运动规律去认识，突出过程的周期性、对称性及特殊点的应用。

如当弹簧伸长到最长或压缩到最短时，物体的速度最小（为零），弹簧的弹性势能最大，此时，也是关联物的速度方向发生改变的时刻。

若关联物与接触面间光滑，当弹簧恢复原长时，物体速度最大，弹性势能为零。

若关联物与接触面间粗糙，物体速度最大时弹力与摩擦力平衡，此时弹簧并没有恢复原长，弹性势能也不为零。

若关联物同时处在电磁场中，要注重过程分析。

5、两端均有关联物的弹簧，弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相同，弹簧具有最大的弹性势能；当弹簧恢复原长时，相关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。

若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。

针对此类问题，要立足运动和受力分析，在解题方法上以动量定理、动量守恒定律和动能定理等为首选。

下面我们结合例题来分析一下弹簧类问题的研究方法。

〖典型例题透析〗类型1：弹簧中的力学问题（一）平衡中的弹簧问题〖例1〗S1和S2表示劲度系数分别为k1和k2的两根弹簧，k1＞k2。

a和b表示质量分别为m a和m b的两个物块，m a＞m b，将弹簧与物块按如图所示方式悬挂起来。

现要求两根弹簧的总长度最大，则应使：（）A．S1在上，a在上B．S1在上，b在上C．S2在上，a在上D．S2在上，b在上[答案]D[解析]上面弹簧弹力是确定的，等于ab两物体的重力，要使上面的伸长量大，应使劲度系数小的在上，即S2在上面；要使下面伸长量大，应让质量大的物体在下面，即a物体在下面。

[点评]本题是根据胡克定律解题的，由F=kx知要使形变量x最大，则必有F最大或k最小。

〖例2〗如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不栓接），整个系统处于平衡状态。

现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为：（）A. B. C. D.[答案]C[解析]我们把看成一个系统，当整个系统处于平衡状态时，整个系统受重力和弹力，则下面弹簧被压缩x1，则有：当上面的木块刚离开上面的弹簧时，上面的弹簧显然为原长，此时对下面的木块m2则有：，因此下面的木块移动的距离为，[点评]该题涉及到整体法和隔离法的应用，解题时要看清问题的关键，根据整体法和隔离法的运用条件，选择适当的方法。

思考：此题若求m l移动的距离又当如何求解? 参考答案：（二）动力学的弹簧问题〖例3〗一条轻弹簧和一根细线共同拉住一个质量为m的小球，平衡时细线是水平的，弹簧与竖直方向的夹角是θ，如图所示。

若突然剪断细线，则在刚剪断细线的瞬时，弹簧拉力的大小是_______，小球加速度的大小是______，方向________。

[答案] mg/cosθ，gtanθ，水平向右[解析]在细线未断之前，小球受三个力作用：重力mg、弹簧的弹力F和细线的拉力T，如图所示：根据平衡条件，可知T=mgtanθ，F=mg/cosθ。

当细线突然剪断的瞬间，拉力消失了，但弹簧还没有恢复形变，此时，F大小、方向均不变，仍为F=mg/cosθ。

细绳剪断瞬间，小球受的重力与弹簧的弹力的合力必与细绳未剪断时对它的作用力等值反向，即mgtanθ=ma，所以a=gtanθ，方向水平向右。

[点评]（1）小球的加速度与小球受到的合外力具有瞬时对应关系。

分析时应按时间的先后顺序逐次分析物体的受力情况和合外力所产生的加速度，以及引起物体运动性质、运动状态的改变。

（2）注意不可伸长的绳和弹簧的区别：弹簧的形变需要时间，刚剪断的瞬间弹簧的形变可认为是不变的；不可伸长的柔绳发生形变过程所需时间极短，在极短时间内弹力可发生很大变化。

〖例4〗如图所示，物块B和C分别连接在轻弹簧的两端，将其静置于吊篮A的水平底板上，已知A、B、C三者质量相等且为m，则将挂吊篮的轻绳烧断的瞬间，吊篮A、物块B和C 的瞬时加速度分别为：（）A.g、g、gB.g、g、0C.1.5g、1.5g、0D.g、2g、0[答案] C[解析] 此问题应用到弹簧的弹力不能突变的性质。

未烧断绳子之前，C受到一个重力mg和弹簧的弹力F弹，两者平衡。

绳烧断瞬间，F弹不能突变，大小仍为mg，所以物块C在轻绳烧断的瞬间，瞬时加速度a C=0。

若物体A和B之间没弹力，则a A=g，而B的合外力则为mg+F弹=2mg，所以a B=2g，显然这种情况是不可能的。

当绳被烧断后，A和B的加速度应该相等，AB可看成一个整体来分析，绳子未断之前，它们受重力2mg，弹簧向下的弹力F′弹=mg，绳子向上的拉力T=3mg，处于平衡状态。

绳子断的瞬间，拉力T消失，而弹簧的弹力不能突变，所以它们受到的合力向下，大小为3mg，由牛顿第二定律可得：3mg=2ma AB，则a A=a B=1.5g。

因此本题的正确选项为C。

可以进一步分析，对A有：N+mg=ma A，则吊篮A和物块B之间的弹力N=0.5mg。

[点评] 要注意两物体“刚性接触” 和“弹性接触” 的区别。

对于吊篮A和物块B，由于它们是刚性接触，它们之间的相互作用力可发生突变，因此在轻绳烧断的瞬间A和B的加速度相等。

类型2：弹簧连接物体的分离〖例5〗如图所示，一劲度系数为k=800 N / m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12 kg 的物体A、和B，物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上。

现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4 s物体B刚要离开地面。

设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10 m / s2，求：（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。

（2）此过程中外力F所做的功。

[解析]（1）A原静止时，设弹簧压缩x1，由受力平衡和胡克定律有：kx1=mg------------①物体A向上做匀加速运动，开始时弹簧的压缩形变量最大，向上的弹力最大，则所需外力F 最小，设为F1。

由牛顿第二定律：F1+kx1—mg=ma-----------②当B刚要离地时，弹簧由缩短变为伸长，此时弹力变为向下拉A，则所需外力F最大，设为F2。

对B：kx2=mg------------③对A：F2-kx2-mg=ma -----------④由位移公式对A有：----------⑤又t=0.4s------⑥由①②③④⑤⑥可得：a=3.75m/s2F1=45NF2=285N（2）0.4 s末的速度：v=at=3.75×0.4 m / s=1.5 m / s对A全程由动能定理得：W F－mg (x1+x2)=mv2解得：W F=49.5 J也可用能量守恒求解：在力作用的0.4s内，在初末状态有x1=x2，所以弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其它形式的能转化为系统的重力势能和动能。

即：[点评]本题中考查到弹簧与物体A和B相连，在运动过程中弹簧的弹力是变力，为确保系统的加速度恒定，则外加力必须也要随之变化，解决本题的关键找出开始时弹簧的形变量最大，弹力最大，则外力F最小。

当B刚要离地时，弹簧由缩短变为伸长，此时弹力变为向下拉A，则外力F最大。

其次，求变力功时必须由动能定理或能量守恒定律求得。

〖例6〗A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A、B质量分别为0.42 kg 和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s2）（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J，求这一过程F对木块做的功。

[解析]（1）当F=0（即不加竖直向上F力时），设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x，有kx=（m A+m B）g，所以x=（m A+m B）g/k①对A施加F力，分析A、B受力如图：对A：F+N-m A g=m A a②对B：kx′-N-m B g=m B a′③可知，当N≠0时，AB有共同加速度a=a′，由②式知欲使A匀加速运动，随N减小F 增大，当N=0时，F取得了最大值F m，即F m=m A（g+a）=4.41 N（2）又当N=0时，A、B开始分离，由③式知，此时弹簧压缩量kx′=m B（a+g）即x′=m B（a+g）/k④AB共同速度v2=2a（x-x′）⑤由题知，此过程弹性势能减少了W P=E P=0.248 J设F做功W F，对这一过程应用动能定理或功能原理W F+E P-（m A+m B）g（x-x′）=（m A+m B）v2⑥联立①④⑤⑥，且注意到E P=0.248 J可知，W F=9.64×10-2 J[点评]此题命题意图是考查对物理过程、状态的综合分析能力。

难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力N=0时，恰好分离。

类型3：利用简谐运动的对称性〖例7〗如图所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中：（）A. 升降机的速度不断减小B. 升降机的加速度不断变大C. 先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功D. 到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值[答案]CD[解析]升降机从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动可以转化为熟悉的弹簧振子，其平衡位置是重力与弹力相平衡的时刻。