第三章 概率与概率分布
统计学第3章-概率、概率分布与抽样分布
互斥事件及其概率
(例题分析)
解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率 都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个 简单事件中每一事件发生的相对频数 (概率)将近 似等于 1/4 。因为仅当 H1T2 或 T1H2 发生时，才会 恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件 H1T2 或 T1H2 又为互斥事件，两个事件中一个事件发 生或者另一个事件发生的概率便是 1/2(1/4+1/4) 。 因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概 率等于 H1T2 或 T1H2 发生的概率，也就是两种事 件中每个事件发生的概率之和
解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50
P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375
3－31
独立事件与乘法公式
(例题分析)
【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率
3－17
互斥事件的加法规则
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有
6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得
P(1或2或3或4或5或6) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
合计
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率
概率与概率分布PPT课件
0
1
P
0.05
0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布] 某人投篮的命中率为0.7，现投篮20次，则投篮命中
的次数 是随机变量，可能取值为0，1，2，…，20，
其概率分布为
P( k) C2k0 (0.7)k (0.3)20k (k 1,2,,20)
二项分布
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率
分布为
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 1,2,, n) 则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球] 练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件
从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品 的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可 以用0，1，2，3这4个数字来表示．
案例3 [抛硬币] 抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面” 两种情况，若用数0表示出现正面，数1表示出现反 面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这2个数 字来表示．
二、 概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 取0或1来表示，那么称 服从两点（或0-1）分布． 设 取0时的概率为p，则 的概率分布见下表
0
1
P
p
1 p
三、进一步练习
练习[产品抽样]
某厂生产的产品合格率为0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 服从两点分布．
一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出
第3章 常用概率分布(田间试验与统计分析 四川农业大学)
P（“至少1粒种子出苗”） = P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=6) = C610.6710.335 C62 0.6720.334 C66 0.6760.330 = 0.0157＋0.0799＋0.2162 ＋0.3292＋0.2672＋0.0905 = 0.9987
二项分布的应用条件：
在统计学上，把小概率事件在一次试验中 看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件 实际不可能性原理，亦称为小概率原理(small probability principle)。
小概率事件实际不可能性原理是统计学上 进行假设检验（显著性检验）的基本依据。
第二节 概率分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的 可能性大小。
标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别 记作ψ(u)和Φ(u)。
(u)
1
u2
e2
2
(u) 1
u 1u2
e 2 du
2
u～N(0，1)
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随 机变量x，都可以通过标准化变换：
u x
将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。
一、正态分布的定义及其特征
（一） 正态分布的定义 若连续型随机变 量 x 的概率分布密度函数为
其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量 x 服从正 态分布(normal distribution) ， 记为x~N(μ, σ2)。
相应的概率分布函数为：
F(x) 1
e dx x
(
x) 2 2
对于样本是取自连续型随机变量的情况，这 条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和 测量的误差，完全反映了水稻行产量的变动规律。 这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概 率分布密度函数 。
第三章 常用概率分布之正态分布
图4.13 离均差的绝对值≤1 , 2 和3 的概率值
随机变量x在区间( μ – kσ, μ + kσ )外取值的概率P ( x<μ – kσ ) + P( x>μ + kσ )为两尾概率，记为α P ( x<μ – kσ ) + P( x>μ + kσ )=α P ( x<μ – kσ ) = P( x>μ + kσ )=α/2 两尾分位数Uα
=0.0227
0.020
fN (x)
0.020
fN (x)
0.016
0.016
0.012
0.012
0.008
P( y 40) 0.9773
P( y 26) 0.2119
0.008
0.004
0.004
0.000 10 15 20 25 30 35 40 45
0.000 10 15 20 25 30 35 40 45
第三章
常用概率分布
第一节 事件与概率 第二节 概率分布 第三节 二项式分布 第四节 正态分布 第五节 样本平均数抽样分布与标准误 第六节 t分布，x2分布和F分布
第三章
常用概率分布
第一节 事件与概率 第二节 概率分布 第三节 二项式分布 第四节 正态分布 第五节 样本平均数抽样分布与标准误 第六节 t分布，x2分布和F分布
首先计算：
查附表2，当u=－0.8时，FN(26)=0.2119，说明这 一分布从－∞到26范围内的变量数占全部变量数的 21.19%，或者说，y≤26概率为0.2119. 同理可得： FN(40)=0.9773
所以：P(26＜y≤40)=FN(40)－FN(26)=0.9773－0.2119
第三章 概率与概率分布
第三章主要内容一、概率的概念二、概率分布一、概率基本概念确定性现象自然现象非确定性现象概率论统计学事件及事件间的关系试验：随机试验基本事件事件确定性事件必然事件（U) (certain event)不可能事件（V) (impossible event)随机事件(random event)不确定事件(indefinite event)（一）事件的相互关系和事件积事件互斥事件对立事件1和并A∪BA∪B=A发生，或B发生，或A与B都发生。
A∪B8 ～15Kg2A∩B A∩B=A和B同时发生3A∪B=A+B频率（frequency）l/k概率的统计定义近似值概率的古典定义随机事件概率的古典定义（二）概率的一般运算两事件和的概率可由下式给出:P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A ∩B) 若A 和B 是互不相容事件,则: P(A ∪B)=P(A)+P(B)A 1∪A 2 ∪……∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+………+P(A n )事件A 的概率和它的对立事件(事件A 以外的全部基本事件的集合)的概率存在以下关系:P( )=1－P(A)A AP （A|B ）和存活（）死亡（A ）A ()(|)()=P AB P A B P BP(A)=160/200=0.8P(B)=120/200=0.696/200=0.480.48/0.8=0.63 概率乘法法则1()(|)(|)()(|)i i i kj jj P A P B A P A B P A P B A ==∑三、概率分布随机变量离散型随机变量连续型随机变量（一）离散型变量的概率分布例：年龄(x) 1 2 3 4 5 6 7频率(W) 0.4597 0.3335 0.1254 0.0507 0.0215 0.0080 0.0012例：性别(x) 0（男）1（女）概率(P) 0.517 0.483随机变量的分布律或概率函数。
变量(x) xx2x3x4 …….. x n 1p2 p3 p4 ……. p n 概率(P) p1离散型变量的概率分布的特点F（X0）=∑p(x i)=p(X≤x0)）的概率。
概率论第三章
若二维随机变量（ 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 ） 1 1 x − µ1 2 f (x, y) = exp{− ) 2 [( 2 2(1− ρ ) σ1 2πσ1σ2 1− ρ x − µ1 y − µ2 y − µ2 2 )( ) +( ) ]} − 2ρ( 其中
µ1, µ2,σ1,σ2, ρ
3.1.2、二维随机变量的联合分布函数 、 维随机变量的联合 联合分布函数
二维随机变量（ 二维随机变量（X,Y） ） ( X , Y )的联合分布函数 )的联合分布函数
一维随机变量X 一维随机变量 X的分布函数 的分布函数
F(x, y) = P(X≤ x,Y ≤ y) − ∞ < x, y < ∞
xi ≤3yj ≤2
求：F(3,2) = P(X≤ 3,Y ≤ 2) = ∑∑pij
1 1 1 1 = + 0+ 0+ + + 0 = 4 8 8 2
例２ 设随机变量 Y ~ E (1) ，随机变量
0 , 若Y ≤ k ( k = 1，） 2 Xk = 1 , 若Y > k 的联合概率分布列。 求 X 1 和 X 2 的联合概率分布列。
第三章 多维随机变量及其分布
到现在为止， 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量 及其分布. 及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来 描述还不够， 描述还不够，而需要用几个随机变量来描述 在打靶时, 在打靶时,命中点的位置是由一 对随机变量(两个坐标)来确定的. 对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空 中的位置是由三个随 机变量(三个坐标） 机变量(三个坐标）来 确定的等等. 确定的等等.
1/ 4 x 1 1 解: (3)P( X < ,Y < ) = ∫0 [∫0 3xdy]dx 4 2
第三章 概率分布
f(0)
0.0039
0.0039
f(1)
0.0469
0.0508
f(2)
0.2109
0.2617
f(3)
0.4219
0.6836
f(4) 总和
0.3164 1.0000
1.0000
NP(x) 0.39 4.69 21.09 42.19 31.64 100.00
精品课件
例2：某批鸡种蛋的孵化率是0.90，今从该 批种蛋中每次任选5个进行孵化，试求孵出 小鸡的各种可能概率。
（2）当p值趋于0.5时，分布趋于对称。
精品课件
图4—9 n值不同的二项分布比较
图4—10 p值不同的二项分布比 较
精品课件
2、二项分布的参数 • 总体平均数（次数）：
μx=np • 总体标准差（次数）：
σx= npq
如例1，n=4, p=0.75，可求红花出现的株数为 4×0.75=3株，σ=(4×0.75×0.25)1/2=0.866株
在一般情况下，随机事件的概率p是不可能准确 得到的。通常以试验次数n充分大时随机事件A的 频率作为该随机事件概率的近似值。
即
P（A）=p≈m/n （n充分大）
精品课件
概率有如下基本性质：
1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、必然事件的概率为1，即P（U）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（V）=0。
精品课件
三、概率计算
（一）事件的相互关系 1、和事件
事件A和事件B至少有一件发生而构成的新 事件称为事件A和事件B的和事件，以A＋ B表示。 2、积事件 事件A和事件B同时发生，以A·B表示
精品课件
3、互斥事件 事件A和事件B不能同时发生，A·B=V 如新生儿男为A，女为B
第三章 概率分布
第二节 概率分布
概率:一次试验某一个结果发生的可能性大小 概率分布:试验的全部可能结果及各种可能结果发生 的概率
一、随机变量 随机试验的所有可能结果中，若对于每一种可能结果 都有唯一的实数x与之对应，则称x为随机试验的随 机变量。
【例4.3】 对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能 结果是“0头治愈”、 “1头治愈”、“2头治愈”、 “…”、“100头治愈”。若用x表示治愈头数，则x的 取值为0、1、2、…、100。
【例4.4】 孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即“ 孵出小鸡”与“未孵出小鸡”。 若用变量x表示试验 的两种结果，则可令x=0表示“未孵出小鸡”，x=1表 示“孵出小鸡”。
【例4.5】 测定某品种猪初生重，表示测定结果的 变量x所取的值为一个特定范围(a,b)，如0.5―1.5kg，x 值可以是这个范围内的任何实数。
但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结
果却呈现出某种固有的特定的规律性——频率的稳定
性，通常称之为随机现象的统计规律性
概率
论与数理统计
（二）随机试验与随机事件
1、随机试验 通常我们把根据某一研究目的 ，在一定条件下对 自然现象所进行的观察或试验统称为随机试验。
随机试验满足下述三个特性
（1）可重复性：试验可以在相同条件下多次重复进行； （2）结果多样性：每次试验的可能结果不止一个，并且事先 知道会有哪些可能的结果； （3）未知性：每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
一类随机现象或不确定性现象：事前不可预言其 结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行观察， 其结果未必相同。即在个别试验中其结果呈现偶然性、 不确定性现象。例
随机现象特点：
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第三章概率与概率分布第一节：概率基础知识一、概率的概念二、概率的计算三、概率的分布四、大数定律（一）事件定义：在一定条件下，某种事物出现与否就称为是事件。
自然界和社会生活上发生的现象是各种各样的，常见的有两类。
在一定条件下必然出现某种结果或必然不出现某种结果。
确定性事件必然事件（U) (certain event)不可能事件（V) (impossible event)在一定条件下可能发生也可能不发生。
随机事件(random event)不确定事件(indefinite event)为了研究随机现象，需要进行大量重复的调查、实验、测试等，这些统称为试验。
随机事件事件（二）频率（frequency）若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)，记为W(A)=m/n。
0≤W(A) ≤1例：表3-1 玉米种子发芽试验结果种子总数(n) 10 20 50 100 200 500 1000发芽种子数(m) 9 19 47 91 186 458 920种子发芽率(m/n) 0.900 0.950 0.940 0.910 0.930 0.918 0.920种子发芽与否是不能事先确定的，但从表中可以看出，试验随着n值的不同，种子发芽率也不相同，当n充分大时，发芽率在0.92附近摆动。
频率表明了事件频繁出现的程度，因而其稳定性说明了随机事件发生的可能性大小，是其本身固有的客观属性，提示了隐藏在随机现象中的规律性。
概率（三）概率（probability,P)概率的统计定义：设在相同的条件下，进行大量重复试验，若事件A的频率稳定地在某一确定值p的附近摆动，则称p为事件A出现的概率。
P(A) = p统计概率(statistics probability)后验概率(posterior probability)统计概率一、概率基本概念抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录实验者投掷次数发生正面朝上的次数频率(m/n)蒲丰4040 2048 0.5069K 皮尔逊12000 6019 0.5016K 皮尔逊24000 12012 0.5005随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生的频率稳定接近0.5，我们称0.5作为这个事件的概率。
一、概率基本概念（三）概率（probability,P)P(A) = p=lim 在一般情况下，随机事件的概率P 是不可能准确得到的。
通常以试验次数n 充分大时，随机事件A 的频率作为该随机事件概率的近似值。
m n m n对于某些随机事件，不用进行多次重复试验来确定其概率，而是根据随机事件本身的特性直接计算其概率。
随机事件（1)试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个;（2)各个试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的;（3)试验的所有可能结果两两互不相容。
具有上述特征的随机试验，称为古典概型（classical model).设样本空间有n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即P(A)=m/n。
古典概率(classical probability)先验概率(prior probability)12345678910随机抽取一个球，求下列事件的概率;（1)事件A＝抽得一个编号< 4（2)事件B =抽得一个编号是2的倍数该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10，而事件A所包含的基本事件有3个，即抽得编号为1、2、3中的任何一个，事件A便发生。
P(A)=3/10=0.3P(B)=5/10=0.512345678910A＝“一次取一个球，取得红球的概率”10个球中取一个球，其可能结果有10个基本事件（即每个球被取到的可能性是相等的），即n=10事件A：取得红球，则A事件包含3个基本事件，即m=3P(A)=3/10=0.312345678910B＝“一次取5个球，其中有2个红球的概率”10个球中任意取5个，其可能结果有C105个基本事件，即n= C105事件B =5个球中有2个红球，则B包含的基本事件数m= C32 C73P(B) = C32 C73 /C105 = 0.417任何事件0≤P(A)≤1必然事件P(U)=1不可能事件P(V)＝0随机事件0<P(A)<1第二部分概率的计算二、概率的计算（一）事件的相互关系和事件积事件互斥事件对立事件独立事件完全事件系1和事件事件A和事件B中至少有一个发生而构成的新事件称为事件A和事件B的和事件，记作A+B。
n个事件的和，可表示为A1+A2+…+A n2积事件事件A和事件B中同时发生而构成的新事件称为事件A和事件B的积事件，记作A•B。
n个事件的积，可表示为A1 •A2 •… •A n3互斥事件（互不相容事件）事件A和事件B不能同时发生，则称这两个事件A和B互不相容或互斥。
n个事件两两互不相容，则称这n个事件互斥。
4对立事件事件A和事件B必有一个发生，但二者不能同时发生，且A和B的和事件组成整个样本空间。
即A+B=U，AB=V。
我们称事件B为事件A的对立事件。
B= A5独立事件事件A 和事件B 的发生无关，事件B 的发生与事件A 的发生无关，则事件A 和事件B 为独立事件。
如果多个事件A 1、A 2、A 3、…、A n 彼此独立，则称之为独立事件群。
6完全事件系如果多个事件A 1、A 2、A 3、…、A n 两两互斥，且每次试验结果必然发生其一，则称事件A 1、A 2、A 3、…、A n 为完全事件系。
完全事件系的和事件概率为１，任何一个事件发生的概率为1/n 。
即：P （A 1＋A 2＋…＋A n ）＝１（二）概率的计算法则1 互斥事件加法定理定理: 若事件A与B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)个试验的全部结果包含n个基本事件，事件A包含其中m1个基本事件。
由于A和B互斥，基本事件，事件B包含其中m2因而它们各包含的基本事件应该完全不同。
所以事件A＋B所+m2。
包含的基本事件数为m1P(A+B)=m1+m2/n=m1/n+m2/n=P(A)+P(B)1 互斥事件加法定理推理1 P(A+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)1推理2 P(A)=1-P(A)推理3 完全事件系的和事件的概率为1。
1 互斥事件加法定理例：玉米田中，一穗株(A)占67.2%，双穗株(B)占30.7%，空穗株(C)占2.1%，试计算一穗株和双穗株的概率。
P(A+B)=P(A)+P(B)=0.672+0.307=0.979因为P(A)+P(B)+P (C) =1P(A+B)=1-P(C)=1-0.021=0.9792 独立事件乘法定理定理: 事件A 和事件B 为独立事件，则事件A 与事件B 同时发生的概率为各自概率的乘积。
P(AB)=P(A)P(B)推理：A 1、A 2、…A n 彼此独立，则P(A 1A 2A 3…A n )=P(A 1)P(A 2)P(A 3)…P(A n )二、概率的计算2 独立事件乘法定理例:播种玉米，种子的发芽率为90%，每穴两粒，则：A:第一粒种子发芽，P (A) = 0.9，P(A) = 0.1B:第二粒种子发芽，P (B) = 0.9，P( B ) = 0.1求：C:两粒种子均发芽，C = AB，P（C) = P(A) P(B) = 0.81D:一粒种子发芽：D= AB + AB，P(D)＝0.9*0.1+ 0.1*0.9=0.18 E:两粒种子均不发芽：E= A B，P(E)＝P(A)P(B)=0.1*0.1=0.01第三部分概率分布（一）离散型变量的概率分布要了解离散型随机变量x 的统计规律，必须知道它的一切可能值x i 及取每种可能值的概率p i 。
对离散型变量x 的一切可能值x i (i=1,2,3…),及其对应的概率p iP (x=x i ) = p i , i=1,2,3…例：表3-2某鱼群的年龄组成年龄(x) 1 2 3 4 5 6 7频率(W) 0.4597 0.3335 0.1254 0.0507 0.0215 0.0080 0.0012此表给出了该鱼群年龄构成的全部，我们称之为该鱼群年龄的概率分布。
例：表婴儿的性别情况表性别(x) 0（男）1（女）概率(P) 0.517 0.483此表列出了性别变量的取值及相应值的概率，揭示了观察婴儿性别试验的统计规律。
用随机变量的可能取值及取相应值的概率来表示随机试验的规律称为随机变量的分布律或概率函数。
表3-3 离散型变量的概率分布x2x3x4 …….. x n变量(x) x1p2 p3 p4 ……. p n概率(P) p1P (x=x i) = p i, i=1,2,3…(i=1,2,3…),设离散型变量x的所有一切可能值xi，则P (x=x i)称为离散型随机变取相应值的概率为pi量x的概率函数。
离散型变量的概率分布的特点特点Pi ≥0 (i=1,2,…)∑∝=1i Pi = 1（二）连续型变量的概率分布当试验资料为连续型变量，一般通过分组整理成频率分布表。
如果从总体中抽取样本的容量n相当大，则频率分布就趋于稳定，我们将它近似地看成总体概率分布。
35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90图3.1 鲢鱼体长的频率分布图直方图中同一组内的频率是相等的。
三、概率分布直方图中每一矩形的面积就表示该组的频率。
当n无限大时，频率转化为概率，频率密度也转化为概率密度，阶梯形曲线也就转化为一条光滑的连续曲线，这时频率分布也就转化为概率分布了，此曲线为总体的概率密度曲线，曲线函数f(x)称为概率密度函数。
a b对于一个连续型随机变量x，取值于区间[a,b]内的概率为函数f(x)从a到b的积分，即：⎰=≤≤badx xfbxaP)()(连续型随机变量的概率由概率分布密度函数所确定。
-⎰∝∝-dx∝≤xfPx≤∝)1=()(=概率密度函数f(x)曲线与x轴所围成的面积为1。
第四部分大数定律大数定律：是概率论中用来阐述大量随机现象平均结果稳定性的一系列定律的总称。
主要内容：样本容量越大，样本统计数与总体参数之差越小。
贝努里大数定律辛钦大数定律（1)贝努里大数定律设m 是n 次独立试验中事件A 出现的次数，而p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对于任意小的正数ε，有如下关系：p n m -<ε｝=1{lim P →∝n（2)辛钦大数定律设x 1,x 2,x 3,…,x n 是来自同一总体的变量，对于任意小的正数ε，有如下关系：μ-x <ε｝=1{lim P →∝n几种常见的理论分布。