解三角形讲义(提高版)
高中数学 第一章 解三角形章末复习提升课件 新人教B版
第一章——
章末复习提升
系整突统合破盘要重点，提诠炼释升主疑能干点力
1
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章末复习提升
系整突统合破盘要重点，提诠炼释升主疑能干点力
1 知识网络 2 要点归纳 3 题型研修
系统盘点，提炼主干 整合要点，诠释疑点 突破重点，提升能力
章末复习提升
2
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由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，
120°cos
B－cos sin B
120°sin
B＝2tan3
B＋12，
从而tan B＝1 . 2
章末复习提升
10
跟知要题识点型踪网归研演络纳修练1 如图，在△ABC中，AB＝
AC＝2，BC＝2 3，点D在BC边上，∠ADC
＝45°，求AD的长度.
解 在△ABC中，
∵AB＝AC＝2，BC＝2 3，由余弦定理，
系整突统合破盘要重点，提诠炼释升主疑能干点力
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦
定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，
要注意解可能有多种情况.
(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
例1 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a， b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和 bc＝12＋ 3，求A和tan B的值.
章末复习提升
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系整突统合破盘要重点，提诠炼释升主疑能干点力
1.三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形
解三角形完整讲义
正余弦定理知识要点:1、正弦定理：或变形:2、余弦定理：或3、解斜三角形的常规思维方法是：（1 ）已知两角和一边（如A、B C）,由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = n求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = n求角C。
4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式•5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S = 1/2 * absinC7、三角学中的射影定理：在△ ABC中，，… &两内角与其正弦值：在△ ABC中,,…【例题】在锐角三角形ABC中，有（B ）A. cosA>sinB 且cosB>sinAB. cosA<sinB且cosB<sinAC. cosA>sinB 且cosB<sinAD. cosA<sinB且cosB>sinA9、三角形内切圆的半径：，特别地,正弦定理专题：公式的直接应用1、已知中，，，，那么角等于（）A. B. C. D.2、在厶AB（中, a=, b =, B= 45°贝U A 等于（C ）A. 30 °B. 60 °C. 60 或120 ° D 30 或1503、的内角的对边分别为，若，则等于（）A. B. 2 C. D.4、已知△ AB（中,,,则a等于（B ）A. B. C. D.5、在△ AB（中, = 10 , B=60° ,C=4则等于（B ）A. B. C. D.6、已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则等于.（）7、△ AB（中,,,,则最短边的边长等于（A ）A . B. C . D .& △ AB（中,,的平分线把三角形面积分成两部分，则（ C ）A .B .C .D .9、在△ AB（中，证明：。
八年级数学上册 12.1《全等三角形》知识讲解 全等三角形的概念和性质(提高)素材 (新版)新人教版
全等三角形的概念和性质〔提高〕【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确识别全等三角形的对应元素.2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如以下列图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法〔1〕全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；〔2〕全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；〔3〕有公共边的，公共边是对应边；〔4〕有公共角的，公共角是对应角；〔5〕有对顶角的，对顶角一定是对应角；〔6〕两个全等三角形中一对最长的边〔或最大的角〕是对应边〔或角〕，一对最短的边〔或最小的角〕是对应边〔或角〕，等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、请观察以下列图中的6组图案，其中是全等形的是__________.【答案】〔1〕〔4〕〔5〕〔6〕；【解析】〔1〕〔5〕是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，〔4〕是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，〔6〕是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，〔2〕〔3〕形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B 与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，假设运动方向相同，那么称它们是真正合同三角形(如图1)，假设运动方向相反，那么称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，那么必须将其中一个翻转180°，以下各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )【答案】B；提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，那么必须将其中一个翻转180°，B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，应选B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABD≌△CDB，假设AB∥CD，那么AB的对应边是〔〕A．DB B. BC C. CD D. AD【答案】C【解析】因为AB∥CD，所以∠CDB＝∠ABD，这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边，所以，BC和DA为对应边，所以AB的对应边为CD.【总结升华】公共边是对应边，对应角所对的边是对应边.类型三、全等三角形性质3、如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于〔〕．A.60°B.45°C.30°D.15°【思路点拨】△AFE是由△ADE折叠形成的，由全等三角形的性质，∠FAE＝∠DAE，再由∠BAD＝90°，∠BAF＝60°可以计算出结果.【答案】D；【解析】因为△AFE是由△ADE折叠形成的，所以△AFE≌△ADE，所以∠FAE＝∠DAE，又因为∠BAF＝60°，所以∠FAE＝∠DAE＝90602︒-︒＝15°.【总结升华】折叠所形成的三角形与原三角形是全等的关系，抓住全等三角形对应角相等来解题.举一反三：【变式】如图，在长方形ABCD中，将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，假设∠1＝35°，那么∠2＝________.【答案】35°；提示：将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，所以∠2＝∠CBD，又因为AD∥BC，所以∠1＝∠CBD，所以∠2＝35°.4、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，假设∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.【思路点拨】〔1〕由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；〔2〕由全等三角形的性质求∠EBC，∠BCD的度数；〔3〕运用外角求∠α的度数.【答案】∠α＝80°【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，∴28x＋5x＋3x＝36x＝180°，x＝5°即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，∴△ABE≌△ADC≌△ABC∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°【总结升华】此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例〞设未知数x是比较常用的解题思路.举一反三：【变式】如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，那么∠BCM：∠BCN等于〔〕A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4【答案】D；提示：设∠A＝3x，∠ABC＝5x，∠BCA＝10x，那么3x＋5x＋10x＝18x＝180°，x＝10°. 又因为△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠B＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.。
人教版四年级数学下第七讲 三角形(一)精讲精练 提升版
人教版四年级数学下第7讲三角形（一）提高篇知识点一：三角形的特性1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。
2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
三角形只有3条高。
重点：三角形高的画法：一落二移三画四标3、三角形具有稳定性。
如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
两边之差〈第三边〈两边之和。
判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。
5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。
知识点二：三角形的分类1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。
3、等边△的三边相等，每个角是60度。
（顶角、底角、腰、底的概念）4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。
8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。
10、等边三角形是特殊的等腰三角形考点1：三角形的特性【典例1】（2020春•桐梓县期末）下面每组中三条线段，不能围成三角形的是（）A．5m、7m、9m B．7dm、5dm、ldmC．4cm、8cm、5cm【典例2】（2020春•桐梓县期末）下面形状中具有稳定性的是（）A．B．C．【典例3】（2020春•峄城区期末）把一根13厘米的小棒截成3根整厘米的小棒围成一个三角形．最长的一根小棒不能超过（）厘米．【典例4】（2020春•浦城县期末）动物王国举行围篱笆比赛，（）围的比较牢固．A．小熊B．公鸡C．小狗【典例5】（2020春•鄄城县期末）爷爷要给一块地围上篱笆，（）形状的篱笆稳固不易变形．A．B．C．D．【典例6】（2020春•微山县期末）下面三种物品，利用了三角形稳定性的是（）A．三角形花坛B．红领巾C．自行车的三角形车架考点2：三角形的分类【典例1】（2020春•邛崃市期末）如图中是锐角三角形．【典例2】（2019春•梁子湖区期末）在图中，一共有个钝角三角形，6个直角三角形，个等腰三角形，个等边三角形．【典例3】（2020春•灌阳县期末）红领巾按角分类属于三角形，按边分类属于三角形．．【典例4】（2020春•洪山区期末）三角形如果有两个角是锐角，就一定是锐角三角形．．（判断对错）综合练习一．选择题1．（2020秋•宁化县期中）任意一个三角形中，（）有两个锐角。
解三角形章末综合提升课件苏教版必修第二册
cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122＝3x＋5x32． 同理 cos∠PAC＝723－x x． ∵cos∠PAB＝cos∠PAC， ∴3x＋5x32＝723－x x， 解得 x＝1372．
(2) 作 PD⊥a 于 D ， 在 Rt△PDA 中 ， PD ＝ PAcos∠APD ＝ PAcos∠PAB＝x·3x＋5x32＝3×17352＋32≈17.71(km)．
在 △ABD 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 AB2 ＝ BD2 ＋ DA2 － 2BD·DA·cos∠ADB，
即 4＝BD2＋1136－ 213BDcos∠ADB， 在 △BDC 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 BC2 ＝ BD2 ＋ DC2 － 2BD·DC·cos∠CDB， 即94＝BD2＋1136－ 213BDcos∠CDB．
＝13×79＋2 32×49 2＝2237．
[跟进训练] 4．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c．已知 m＝(a，c－2b)，n＝(cos C，cos A)，且 m⊥n． (1)求角 A 的大小； (2)若A→B－13A→C＝2，求△ABC 面积的最大值．
[解] (1)由 m⊥n 得 a·cos C＋(c－2b)·cos A＝0， 则 sin Acos C＋(sin C－2sin B)cos A＝0， 得 sin(A＋C)－2sin Bcos A＝0， 即 sin B－2sin Bcos A＝0． 由于 sin B≠0，得 cos A＝12． 又 A 为△ABC 的内角，因此 A＝60°．
[解]
(1)在△ABC
中，由正弦定理sina
A＝sinb B，及
bsin
A＝
高中数学解三角形复习提高课教案
六、在△ABC 中，a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的 个数一解两解一解一解【典型例题】考点1 求解斜三角形中的根本元素：是指两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等根本问题．【例1】〔1〕在∆ABC 中，︒=30A ，︒=75B ，42.9a cm =，解三角形；〔2〕在∆ABC 中，23=a ，62=+c ，060=B ，求b 及A ；【变式1】⑴在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . ⑵在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于__________.⑶在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6π=A ，1=a ，3=b ，则=B .【例2】 ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为〔 〕A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBC ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBD ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB⋅=．AB AC3】ABC 的三内角(p a =+(,q b a =-的大小为 〔 (B)πABCD2．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度,在C 点测得塔顶A 的仰角是45°,在D 点测得塔顶A 的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD =120°,CD =40m,则电视塔的高度为 〔 〕A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m3.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a , b ,c ，假设223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=〔 〕 〔A 〕030 〔B 〕060 〔C 〕0120 〔D 〕01504.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .5.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+21cos . 〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.6、如下图，在△ABC ，463AB =,6cos 6B =，AC 边上的中线5BD =, 求：〔1〕BC 的长度； 〔2〕sin A 的值。
人教版数学八上第8讲直角三角形全等判定(提高)知识讲解
直角三角形全等判定（提高）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一边上的高，AE＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AE 为第三边上的高，2、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.【思路点拨】从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF. 【答案与解析】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE 在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ） ∴∠DCE ＝∠BAF ∴AB ∥DC.【总结升华】我们分析已知能推证出什么，再看要证到这个结论，我们还需要哪些条件，这样从已知和结论向中间推进，从而证出题目.3、如图 AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F ．求证：AF 平分∠BAC ．【思路点拨】若能证得AD ＝AE ，由于∠ADB 、∠AEC 都是直角，可证得Rt △ADF ≌Rt △AEF ，而要证AD ＝AE ，就应先考虑Rt △ABD 与Rt △AEC ，由题意已知AB ＝AC ，∠BAC 是公共角，可证得Rt △ABD ≌Rt △ACE ． 【答案与解析】证明： 在Rt △ABD 与Rt △ACE 中∴Rt △ABD ≌Rt △ACE(AAS)∴AD ＝AE(全等三角形对应边相等) 在Rt △ADF 与Rt △AEF 中∴Rt △ADF ≌Rt △AEF(HL)∴∠DAF ＝∠EAF(全等三角形对应角相等) ∴AF 平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论. 举一反三：【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形 在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BABD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL) ∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS) ∴OD ＝OC ．4、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D. （1）求证：AE ＝CD ；（2）若AC ＝12cm ，求BD 的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB ＋∠D ＝∠DCB ＋∠AEC ＝90°． ∴∠D ＝∠AEC ．又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°， 且BC ＝CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）． ∴AE ＝CD ．（2）解：由（1）得AE ＝CD ，AC ＝BC ， ∴△CDB ≌△AEC （HL ） ∴BD ＝EC ＝12BC ＝12AC ，且AC ＝12． ∴BD ＝6cm ．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 【巩固练习】 一、选择题1.下列命题中，不正确的是（ ）A.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C.有一条边相等的两个等腰直角三角形全等D.有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等2. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对3. 如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（）A.1B.2C.3D.44. 在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A. △ABE≌△ACFB. 点D在∠BAC的平分线上C. △BDF≌△CDED. 点D是BE的中点5．如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）．A．相等 B．不相等C．互余或相等 D.互补或相等6. 已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A. 1B. 2C. 5D. 无法确定二、填空题7. 如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．8. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，则DB＝______.9. 判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.10. 如图，△ABC中，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是_________cm.11. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.12. 如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________.三、解答题13．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON （如图），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．14. 求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等．15. 如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，•若AB＝CD，试证明BD平分EF．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】C选项如果是一个等腰三角形的腰和另一个等腰三角形的底边对应相等，这是肯定不全等.2. 【答案】D；【解析】Rt△ABD≌Rt△ACE；Rt△BEO≌Rt△CDO；Rt△AEO≌Rt△ADO；Rt△ABF≌Rt△ACF；Rt△BEC≌Rt△CDB；Rt△BFO≌Rt△CFO.3. 【答案】A；【解析】本题可先根据AAS判定△AEH≌△CEB，可得出AE＝CE，从而得出CH＝CE－EH ＝4－3＝1.4. 【答案】D；【解析】A选项：∵AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A＝∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；B选项：∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴DF＝DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；C选项：∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确.5. 【答案】D；【解析】如果两个三角形都是锐角三角形或钝角三角形，那么相等；如果一个是锐角三角形一个是钝角三角形，那么互补.6. 【答案】A；【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D 作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可二.填空题7. 【答案】△DFE ，HL ；【解析】EB ＋BF ＝FC ＋BF ，即EF ＝BC ，斜边相等； 8. 【答案】6；【解析】DB ＝DC ＋CB ＝AB ＋ED ＝4＋2＝6； 9. 【答案】（1）（2） 10.【答案】20；【解析】过M 作MD ⊥AB 于D ，可证△ACM ≌△ADM ，所以DM ＝CM ＝20cm . 11.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形. 12.【答案】270°；【解析】∠1＋∠6＝∠2＋∠5＝∠3＋∠4＝90°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝270°.三.解答题 13.【解析】证明：在Rt △OPM 和Rt △OPN 中， OP OPOM ON=⎧⎨⎩＝∴Rt △OPM ≌Rt △OPN.∴∠POM ＝∠PON ，即OP 平分∠AOB.14.【解析】根据题意，画出图形，写出已知，求证．已知：如图，在△ABC 与△A B C '''中．AB ＝A B ''，BC ＝B C ''，AD ⊥BC 于D ，A D ''⊥B C '' 于D '且 AD ＝A D ''求证：△ABC ≌△A B C '''证明： 在Rt △ABD 与Rt △A B D '''中∵AB A B AD A D ''=⎧⎨''=⎩∴Rt △ABD ≌ Rt △A B D ''' (HL)∴∠B ＝∠B '(全等三角形对应角相等)在△ABC与△A B C'''中∵AB A BB B BC B C''=⎧⎪'∠=∠⎨⎪''=⎩∴△ABC≌△'''A B C (SAS)15.【解析】证明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF．即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，,, AB CD AF CE=⎧⎨=⎩∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中，,,,BFG DEGBGF DGE BF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG＝EG，即BD平分EF．。
知识讲解《解三角形》全章复习与巩固提高
《解三角形》全章知识复习与巩固 编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 通过对任意三角形边长和角度关系的度量，掌握正弦定理、余弦定理，并能解一些简单的三角形；2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的几何计算问题及相关的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】 要点一：正弦定理△ABC 中，各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b cA B C==要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆半径）. （2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角与一边，求其它；②已知两边与一边的对角，求其它. （3）在“已知两边与一边的对角，求其它”的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.要点二：余弦定理 在△ABC 中，2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.变形为：222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=， 222cos 2a b c C ab+-=. 要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角；②已知两边和一边的对角，求其它；③已知两边和夹角，求其它.（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别.（3）正、余弦定理可以结合使用. 要点三：三角形的面积公式(1) 111222a b c S ah bh ch ===，其中,,a b c h h h 分别为,,a b c 边上的高；(2) 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===；(3) S =2a b cp ++=. 要点四：三角形形状的判定方法设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ， 1. 解斜三角形的主要依据（1）角与角关系：由于A B C ++=π，由诱导公式可知， ()()()sin sin sin sin sin sin .A B C B C A A C B +=+=+=，， ()()()cos cos cos cos cos cos .A B C B C A A C B +=+=-+=-，， ； ()()()tan tan tan tan tan tan .A B C B C A A C B +=+=-+=-，，sincos ,cos sin 2222A B C A B C++==. （2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）边与角关系：正弦定理、余弦定理 2. 常用两种途径（1）由正余弦定理将边转化为角； （2）由正余弦定理将角转化为边. 3. 几种常见的判断方法（1）若sin sin A B =，则△ABC 为等腰三角形；（2）若sin 2sin 2A B =，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形； （3）若()sin 0A B -=，则△ABC 为等腰三角形；（4）若()sin 22=0A B -，则△ABC 为等腰三角形或钝角三角形. 要点诠释：（1）化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.（2）在△ABC 中，熟记并会证明：角A ，B ，C 成等差数列⇔B =60°；△ABC 是正三角形的⇔A ，B ，C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 要点五：解三角形应用举例的分类1. 距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；2. 高度问题（最后都转化为解直角三角形）；3. 角度问题；4. 面积问题. 【典型例题】类型一：求解斜三角形中的基本元素 例1. 在ABC ∆中，2545,10,cos B AC C ∠=︒==. （Ⅰ）求BC 的值；（Ⅱ）若点D 是AB 的中点，求中线CD 的长度.【思路点拨】灵活运用正弦定理和余弦定理：作出图形，先根据条件求出sin A 的值，再由正弦定理求出边BC 和AB 的长度，最后在ABD ∆中由余弦定理求出CD 的长度.【解析】（Ⅰ）如图，由cos C 25，得sin C 5∴sin A =()sin B C +)2cos sin C C +31010. 由正弦定理可得，sin sin ACBC A B =⋅10310232（Ⅱ）ABC ∆中， sin sin ACAB C B =⋅2=. 在BCD ∆中，112BD AB ==，BC=45B ∠=︒， 由余弦定理知CD【总结升华】在求解三角形的基本元素的过程中，注意正弦定理和余弦定理的应用条件，少走弯路. 举一反三：【变式1】在ABC ∆中，若 1 b c =，23C π∠=，则a = .【答案】由正弦定理1sin B =，解得1sin 2B =，又23C π∠=，所以6A ∠=π， 所以a = b = 1【变式2】在ABC ∆中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b =___________.【答案】在ABC ∆中，得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==，化简得8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得2,4,3a b c ===. 故答案为4. 类型二：判断三角形的形状（或求角）例2. 在ABC △中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos cos 2B bC a c=-+． （1）求角B 的度数；（2）若b +5a c ＝，求a 和c 的值．【思路点拨】本题第（2）题是三角形的求值问题，利用第（1）问的结果和余弦定理公式，可得a 和c 的一个方程，再加上条件+5a c ＝，易求出a 和c 的值. 所以本题的关键是解出第（1）题. 需要将题设cos cos 2B bC a c=-+中的边化为角的形式，利用三角的恒等变换求角B . 【解析】（1）因为cos cos 2B b C a c =-+，由正弦定理可知cos sin cos 2sin sin B bC a c=-+， 则sin cos 2cos sin cos sin B C B A B C ＝＋ ．即sin cos cos sin 2cos sin 0B C B C B A ＋＋＝， ∴sin()2cos sin 0B C B A ++＝，∴sin 2cos sin 0A B A +＝． ∵sin 0A >，∴1cos 2B ＝－，所以B ＝120o ．(2) ∵由（1）可知，B ＝120o，由余弦定理可得2222cos120a c ac ︒＝＋－，∴22+=19a c ac ＋．又∵+5a c ＝，可解得=3a ，=2c 或=2a 和=3c .【总结升华】本题中第（1）题也可以将题设转化为边的形式，再化为因式乘积的形式，最后求的角B . 举一反三：【变式1】已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（1）求边AB 的长； （2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．【答案】1；60（1）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（2）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C ⋅⋅=，得13BC AC ⋅=，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅ 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +-⋅-==⋅，所以60C =．【变式2】在ABC △中，若2222(+)sin()()sin(+)a b A B a b A B --＝，请判断ABC △的形状． 【答案】等腰或直角三角形∵2222sin()sin()a b A B a b A B ++--＝，∴2222sin cos sin cos sin sin a A B Ab A B B ＝＝，即cos sin cos sin B A A B ＝，所以sin2sin2A B ＝， ∴ABC △为等腰三角形或直角三角形【变式3】在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、．若(2) cos cos b c A a C －＝，则A ＝_______. 【答案】60︒类型三：解决与面积有关的问题例3. 在ABC △中，角A 、B 、C 分别是边a 、b 、c 的对角.已知,sin()sin()444A b C cB a =+-+=πππ.(1)求证:2B C -=π；(2)若a =ABC △的面积.【解析】(1)证明:由 sin()sin()44b Cc B a +-+=ππ及正弦定理得:sin sin()sin sin()sin 44B C C B A +-+=ππ，即sin )sin )B C C C B B +-整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=，所以sin()1B C -=，又30,4B C <<π 所以2B C -=π(2) 由(1)及34B C +=π可得5,88B C ==ππ，又,4A a ==π 所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8a B a Cbc A A ====ππ，所以三角形ABC 的面积为151sin sin cos 28888242bc A ===πππππ 【总结升华】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查. 【变式1】在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝________由2222cos a b c bc A =+-可得3AC =，故面积1==2S AB AC ⨯.【变式2】．在△ABC 中，已知8,5BC AC ==，三角形面积为12，则cos2C = . 【答案】725三角形面积S =1sin 2BC AC C ⨯⨯，可得3sin =5C ，故2cos212sin C C = =725.类型四：三角形的综合应用例4. 已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量()()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅=. （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B .【思路点拨】利用条件1m n ⋅=及三角恒等变换求角A ；运用倍角公式，将221sin 2cos sin BB B+-用tan B 表示，从而得到关于tan B 的方程，求解即可..【解析】（Ⅰ）m n ⋅=cos 1A A -=，即12sin cos 12A A ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π.∵50,666A A <<-<-<ππππ， ∴66A -=ππ，∴3A =π. （Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B BB B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=， ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=， ∴tan 2B =或tan 1B =-，而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去， ∴tan 2B =，∴()tan tan C A B =-+⎡⎤⎣⎦π()tan A B =-+tan tan 1tan tan A BA B +=--==. 【总结升华】“以向量为背景，考查解三角形”的综合问题是现在考试的趋势和走向，而正确运用向量的有关公式与性质，使之正确的转化为解三角形问题是此类问题的关键. 在这类问题中，经常用到的向量知识有：已知两个非零向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，（1）1122//(0)(,)(,)a b a b b x y x y λλ→→→→→→⇔=≠⇔=； （2）121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=； （3）1212||||cos a b a b a b x x y y ⋅=<>=+，. 举一反三：【变式1】在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =. (1)求证:tan 3tan B A =；(2)若cos C =求A 的值. 【答案】 (1)∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B .由正弦定理，得=sin sin AC BCB A，∴sin cos =3sin cos B A A B . 又∵0<A B <+π，∴cos 0 cos 0A>B>，.∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =.(2)∵ cos 0C <C <=π，∴sin C =.∴tan 2C =. ∴()tan 2A B -+=⎡⎤⎣⎦π，即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=--.由 (1) ，得24tan 213tan A A =--，解得1tan =1 tan =3A A -，.∵cos 0A>，∴tan =1A .∴=4A π.类型五：利用正、余弦定理解决实际问题例5. 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．【思路点拨】首先根据题意利用已知条件确定相关的角度，将问题转化到三角形中，利用余弦定理求出BC 的长度之后，注意到所求角与∠ABC 是互余的关系，将所求cos θ转化为求sin ∠ABC.【解析】如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得：BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos120°＝402＋202－2×40×20×1()2-＝2 800，所以BC ＝7. 由正弦定理得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠， 2020721,sin sin sin12014ABC ABC ∴=∴∠=∠ 故21cos sin 14ABC =∠=θ 【总结升华】本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏西”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式进行求解．举一反三：【高清课堂：解三角形应用举例377493 变式演练3】【变式】如图所示，海中小岛A 的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东030，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东045，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小.于是，只要先算出AC(或AB)，再算出A 到BC 所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解.在ABC ∆中，30BC =，030ABC ∠=，00018045135ACB ∠=-=， ∴015A ∠=，由正弦定理知：sin sin BC AC A B =，∴30sin15sin30AC=︒︒∴30sin3060cos1515(62)sin15AC ︒==︒=︒于是A 到BC 所在直线的距离为sin 4531)40.98AC ⋅︒=≈(海里) 它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.。
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解三角形讲义(提高版) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
必修5
第一章 解三角形
1、正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin .a b c A B C ⇔= 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；
⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。
2、余弦定理：
⎪⎩⎪⎨⎧⋅-+=⋅-+=⋅-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222⇔⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c
b a C a
c b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222
22 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；
⑵已知三角形三边，求其它元素。
3、三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆
4、三角形内角和定理： ()A B C C A B ππ++=⇔=-+
基础巩固:
1. 在ABC ∆中，3,5==b a ，则sinA ：sinB=_____________.
2. 在ABC ∆中，0060,75,3===B A c ,则b=_____________.
3. 在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B=___________.
5. 在ABC ∆中，060,22,2===C b a ,则c=__________ ,A=____________.
6. 在ABC ∆中，5,3,7===c b a ,则最大角为____________.
7. 在ABC ∆中,若ab c b a =-+222，则cosC=_____________.
8. 在ABC ∆中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝_________.
9.在ABC ∆中，060=A ，AB=2，且ABC ∆的面积为23，则BC=_____________. 10.在ABC ∆中,已知2,32,1200===AC AB A 则ABC ∆的面积为__________.
能力提升:
例1 在ABC ∆中，若bcosA=acosB,试判断ABC ∆的形状.
变式训练：
设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,判断△ABC 的形状.
例2 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
变式训练：
如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC＝
75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山
高MN＝________m.
例3已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.
(1)若a=b,求cos B;
(2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.
变式训练：
在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的的边分别为c b a ,,.已知A b A c C a cos 2cos cos =+.
(1)求角A 的值； （2）若1=a ，求c b +的取值范围.
课后作业:
1.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,a=4,b=4,A=30°,则B 等于________
2.在△ABC 中,已知2sin Acos B=sin C,那么△ABC 一定是( )
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形
D.正三角形
3.设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b 等于( )
D. 4.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为,则BC 的长为( ) A. B.
5.在△ABC 中,B=,AB=,BC=3,则sin A=__________.
6.在△ABC 中,设角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知角C=120°,c=4,三角形的面积S=
,则a+b= .
7.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.
(1)求B; (2)若b=2,求△ABC 面积的最大值.
8.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的的边分别为c b a ,,.已知2)4tan(=+A π
.
（1）求A
A A 2cos 2sin 2sin +的值； （2）若4π=
B ，AB
C ∆的面积为9，求边长a 的值.。