线性代数矩阵式总结论文
线性代数小论文
(学院杏林学院班级国贸102 姓名李霞学号1004123046 ）线性代数小论文-----用矩阵解决经济管理学中的问题一、提要：线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。
随着科学的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域。
虽然我们在学习线性代数这门课，可不免有同学要问这门课究竟要应用于生活哪一方面？由于我们是属于经济管理类的专业，因此我们学线性代数是为日后学习运筹、管理以及经济类课程打基础。
本文将举出一个矩阵在经济管理中的应用例子来解释线性代数的应用。
二、提出问题：风险型决策方法例1、某企业打算生产某产品。
根据市场预测分析，产品销路有三种可能性：销路好、一般和差，这三种情况出现的概率分别为0、3,0、45,0、25. 生产该产品有三种方案：改进生产线、新建生产线、外包生产。
各种方案的收益值在表5-4给出。
项目（1）改进生产线（2）新建生产线（3）外包生产销路好180 240 100销路一般120 100 70销路差-40 -80 16表5-4 各生产方案在不同市场情况下的收益/万元1、专业课中如何解决的最大效用值收益准则：解决风险决策常用的一个目标是使期望收益最大化。
学过概率统计之后，不难求出三种方案对应的期望收益分别为：（1）180*0.3+120*0.45+（-40）*0.25=98（2）240*0.3+100*0.45+（-80）*0.25=97（3）100*0.3+70*0.45+16*0.25=65.5因为第一种方案对应的期望效用值最大，所以选择改进生产线的方案。
2、线代课中如何解决的矩阵M=(0.3 0.45 0.25)矩阵N=(180 240 100120 100 70-40 -80 16)则：最大效用收益组成的矩阵=M*N=（98 97 65.5）因为第一种方案对应的期望效用值最大，所以选择改进生产线的方案。
线性代数小论文
摘要：分析了若矩阵A 经过行初等变换化为矩阵B ，则A 与B 的列向量组具有完全相同的线性关系，以及此性质在线性代数的主要应用。
关键词：初等变换；线性相关；线性无关；线性表示线性代数主要研究的是线性问题。
一般而言，凡是线性问题常可以用向量空间的观点和方法加以讨论，因此向量空间成了线性代数的基本概念和中心内容。
向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系。
其基本概念有向量的线性表示、向量组线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关组，以及向量空间的基与维数等。
这些问题通常转化为解线性方程组或解齐次线性方程组。
1 线性相关性证明设A =(α1,α2,··· ,αn )，αi ∈P m，若矩阵A 经过行初等变换化为矩阵B ，则A 与B 的列向量组具有完全相同的线性关系。
证明：设A m ×n ，A 经过行初等变换化为B ，将A ，B 分别按列分块为A =(α1,α2,…,αn )，B=(β1, β2,···,βn )。
由于对A 只进行有限次行初等变换，故可知有满秩矩阵P ，使PA =B ，即P(α1,α2, ···,αn )=(β1, β2, ···,βn )，于是有i 1βj = P αj (j=1,2,3, ···,n) （1） 设A 和B 对应的列向量组为αi 1,αi 2, ···,αi r 和βi 1, βi 2,···,βi r (1≤i 1＜i 2＜···＜i r ≤n)，由(1)式得βik = P αik (k=1,2,3, ···,r)因此，如果αi 1,αi 2, ···,αi r 有线性关系式k 1αi 1+k 2αi 2+ ···+k r αi r =0(k r 为实数)，则k 1,k 2…k r 也必使得k 1βi 1+k 2 βi 2+···+k r βi r =k 1(P αi 1)+ k 2(P αi 2)+ ···+ k r (P αi r )=P (k 1αi 1+k 2αi 2+ ···+k r αi r )=P 0=0 反之，如果βi 1, βi 2,···,βi r 有线性关系式，得λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r =0则由P 的满秩性可知αj =P -1βj (j=1,2,3, ···,n)，于是有λ1αi 1+λ2αi 2+ ···+λr αi r =λ1P -1βi 1 +λ2P -1βi 2 + ···+λr P -1βi r= P -1(λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r )= P -10=0这表明向量组αi 1,αi 2, ···,αi r 与向量组βi 1, βi 2,···,βi r 有相同的线性相关性，证毕。
线性代数论文
关于矩阵和行列式线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是：行列式 矩阵 空间向量和线性方程组。
矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。
利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。
矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。
行列式与矩阵的本质区别在于它们的定义。
行列式是一种特殊的算式,它是根据求解方程组个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的，经计算能算出其数值，而矩阵只是一个数表，无法通过计算求得其值；而且两者的表示方法也不同。
如下例：4321表示的是一个2阶行列式；而⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321则表示是一个2×2的矩阵。
而且4321可以通过计算求得其值为-2；而⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321只能表示一个数表，不能求出值。
行列式的行数和列数必须是相等的；而矩阵的行数和列数可以相等也可以不相等。
由n 2个数组成的n 行n 列行列式为n 阶行列式；由m 行n 列组成的数表为m ×n 矩阵。
只有行数和列数相等的矩阵即方阵才能计算其行列式。
如：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛620816732531 是一个3×4的矩阵；而620816732531这样的行列式是不存在的，因此⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛620816732531无法求其行列式。
而且行列式和矩阵的性质和运算法则也不同。
如下：（1）记D=nnn n nn a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212222111211，D T =nnn nn n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212221212111，则称D T 为D 的转置行列式，并有D= D T ，行列式中行与列具有同等的地位，因此，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立；同样的矩阵A 的转置矩阵A T 是指把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，即记A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，则A T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n a a a a a a a a a 2n 12221212111，但有（A T ）T=A 。
线性代数 论文
线性代数考试题一、 简述行列式和矩阵的区别1.本质不同: 数域P 中, n 阶行列式D= 是 n 2 个数 aij ( i = 1, 2…n ; j = 1, 2…n ) 按一定顺序排列的n 行n 列元素（数）, 按照某一个特定的规则确定的 n ！ 项的代数和, 归根结底是一个数。
数域 P 中, Am ×n 矩阵是 m × n 个数 aij ( i = 1, 2, ..n ; j = 1, 2, …, n) 按一定的方式排列的m 行n 列数表, 归根结底是一个数表。
2、相等方面不同：行列式是有它的定义最后所确定的数来判断它是否相等, 因此两个表面上看完全不同的行列式有可能是相等。
3.行列式计算的结果是一个数,而矩阵的结果仅仅是一个数表4、行列式的转置与原行列式相等。
即D=DT 。
这里转置行列式是指, 把行列式D 的行与列互换, 不改变它们前后的顺序得到的新行列式称为 D 的转置行列式。
矩阵中, 只有对称矩阵才等于它的转置。
一般地矩阵就等于它的转置的转置A ′是它的转置, 则 A = ( A ′)′, 如果A 是一般地矩阵, 则A=(A ′)′。
二、 总结线性方程组的解法,并针对每种解法举一个实例用克莱姆法则解线性方程123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解: 法一: 计算系数行列式21422131r -2233-34215127517-5-17-5-1130610001(-1)2-1-2--1290021202127-7-25-6014761772-129-(-1)(-1)=2705-6r c c c c r r D -+-----−−−−−→−−−→=⨯←−−−−−←−−−------−−−−−→≠←−−−−−按第行展开按第列展开及181********52120476D ---==---,22851190610805121076D --==----,32181139********46D --==-- 4215813092702151470D --==--- 由克莱姆法则得方程组的唯一解为312412343,4,1,1D D D Dx x x x D D D D====-==-== 补充：定理若齐次方程组的系数行列式0ijnD a ≠,则此齐次线性方程组只有零解.推论 如果齐次线性方程组有非零解, 则系数行列式0ij nD a =法二: 高斯消元法例（1）解线性方程组1234124123412342352432328529521x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-=-⎪⎨+--=-⎪⎪+--=-⎩解 对方程组的增广矩阵进行初等变换21323142411231512315123152240130063130063132123280063130000012952100662600000r r r r A r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪---------⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪-------- ⎪⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭还原成方程组的形式,1234342356313x x x x x x +++=⎧⎨--=-⎩我们把最后一个方程组中每一个方程的第一个系数不为零的未知量保留在方程的左端,其余未知量移到右端,得124341322211326x x x x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩例（2）解方程组123123121323234248529x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解 对方程组的增广矩阵做初等变换2132313442411123112311231123223420584058405844410805840000000255029058400020000r r r r A r r r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭还原成方程组的形式,得123232358402x x x x x -+=⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩这里略去了最后一个方程0=0.显然,这里矛盾方程组,因此原方程组无解。
矩阵分析结课论文
矩阵分析在电路中的应用本人主要通简单的实例,进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。
在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。
一、 矩阵在相容方程求解中的应用已知n 元线性方程组如下表示：11112211211222221122...............n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 其矩阵的表达形式如下：111112*********2n n n n nn n n x b a a a a a a x b a a a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 矩阵A 可记为111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦如果矩阵A 满秩,且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。
见如下示例：例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为321I I I 、、，如图2所示:图2已知14,1,2,1,1,254321======E R R R R R ，计算流过中央支路AB 的电流AB I 。
解：由基尔霍夫第二定律(电压定律）得如下方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-+=-+-+EI I R I I R I I R I I R I R I I R I I R I R )()(0)()(0)()(2341321253242331221511即⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--143202404321321321I I I I I I I I I同样计算如下几个行列式21321241114=------=A843214241101=----=D12631412011042=----=D 21014210410143=----=D 所以10,6,4332211======AD I A DI A D I从而，流过中央支路AB 的电流为221-=-=I I I AB 。
线性代数论文设计(矩阵在自己专业中地应用及举例)
矩阵在自己专业中的应用及举例摘要：I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。
II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等容。
III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。
关键词：矩阵可逆矩阵图形学图形变换正文：第一部分引言在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的容，而这些容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。
因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。
在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。
在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。
在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。
在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，与行列式、方程、向量、二次型等容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。
尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。
图形变换是计算机图形学领域的主要容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。
这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。
第二部分 研究问题及成果1. 矩阵的概念定义：由n m ⨯个数排列成的m 行n 列的矩阵数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a ΛM ΛM M KΛ212222111211 称为一个n m ⨯矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。
矩阵的分解毕业论文.
矩阵的分解毕业论文.学士学位论文矩阵的分解学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向代数学学生姓名林意学号************指导教师姓名周末指导教师职称教授2014年4 月 16日矩阵的分解摘要众所周知，矩阵是代数学中的一个重要概念，它的出现促进了代数学的快速发展．矩阵分解作为矩阵理论中非常重要的一部分，是指将一个矩阵分解成一些特殊类型矩阵的乘积（或和）的形式．矩阵分解的内容丰富，形式多样，是解决某些线性代数问题的重要工具．本文主要从矩阵的QR分解、满秩分解、三角分解和奇异值分解等方面对矩阵的分解作了论述，首先给出了这几种分解形式的定义以及相关性质，然后给出了它们各自的具体的分解方法，最后通过例题的形式将各分解方法呈现出来.关键词：矩阵；分解；QR分解；三角分解；满秩分解The Decomposition of the MatrixABSTRACTAs everyone knows，matrix is one of the most important concepts in algebra，whose appearance promotes the development of algebra．While as a significant part of the theory of matrix，the decomposition of matrix aims at decomposing a matrix into the product(or sum) of several specific kinds of matrices．The decomposition of matrix not only concludes rich contents and forms，but also works as one of the significant methods in dealing with some linear algebra problems．In this paper，the decomposition of matrix is mainly introduced from the aspects mentioned below，such as QR decomposition，full rank decomposition，LU decomposition and so on．Firstly，the definitions and related properties of these forms of decomposition are given．And then，specific decomposition ways of theirs are illustrated．Finally，these decomposition methodsare clearly presented by the forms of some examples．Keywords：Matrix；Decomposition；QR Decomposition；LU Matrix Decomposition；Full Rank Decomposition目录摘要...................................................................... ABSTRACT. (II)目录 (IV)一、引言 0二、矩阵的QR分解 0（一）矩阵QR分解的基本概念及定理 0（二）矩阵QR分解的常用方法及应用举例 (1)三、矩阵的三角分解 (10)（一）矩阵三角分解的基本概念及定理 (10)（二）矩阵三角分解的常用方法及应用举例 (12)四、矩阵的满秩分解 (18)（一）矩阵满秩分解的基本概念及定理 (18)（二）矩阵满秩分解的常用方法及应用举例 (19)五、矩阵的奇异值分解 (22)（一）矩阵奇异值分解的基本概念及定理 (22)（二）矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例 (23)六、结论 (25)参考文献 (26)致谢...................................................... 错误!未定义书签。
浅谈矩阵的一些形式论文定稿版
定义2.1由m n个数aq•K（i =1,2,…，m,j =1,2,…，n）排成
的m行、n列的长方形表
a11a12…ain
a21a22a2n
ia+a
am1am2■amn
称为数域K上的一个m n矩阵.其中的ay称为这个矩阵的元•两个矩阵相等就是它们 对应位置的元全相等.
定义2.2设A=aij是一个m n矩阵.定义A的转置矩阵A为一个n m矩阵，它的
证明a2?????????????312625311?????????????312625311?????????????311933000且a3a2?a?????????????311933000?????????????3126253110故得证
JISHOU UNIVERSITY
本科生毕业论文
题 目：浅谈矩阵的一些形式
作 者：武敏
学 号：20084041013
所属学院：数学与统计学院
专业年级：2008级数学与应用数学
指导教师：莫宏敏职称：副教授
完成时间：2012年5月14日
吉首大学教务处制
独创性声明
本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的
研究成果•除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明•本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担•
Key words：A square matrix；Inverse matrix；Transpose；Symmetric；Conjugate;Straight and
1
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形 阵列区别于行列式而发明的这个术语•而现在矩阵已由一种工具发展成为 了一门数学分支一一矩阵论•而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和 广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.实际生活中制作表格、魔方和工业控制系 统等当中无处不充实着矩阵的力量和魅力•本文主要总结了矩阵的几类主 要形式，单位方阵，特殊方阵，逆矩阵，矩阵的转置，对称矩阵，共轭矩 阵，直和，以及矩阵的现实应用价值以促进对矩阵相关知识的提高掌握.
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《线性代数》课程论文题目：矩阵及其应用
矩阵及其应用
摘要：本文主要介绍了矩阵的概念，运算方法两方面内容，在大量的文献基础上，给出了矩阵的运算及其逆矩阵的求解方法。
最后通过具体的例子说明其应用，使其在计算时更加的简便，快捷。
关键词：矩阵矩阵的运算逆矩阵
1.矩阵的概念
1.1 矩阵的定义
由m ×n 个数a ij (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)排成m 行n 列的数表
mn
m m n n a a a a a a a a a
21
2222111211
称为m ×n 矩阵，记作
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 简记为()
()a a A
ij
n
m ij n
m A =
=
=
⨯⨯。
这m ×n 个数称为A 的元素，简称为元。
元素是
实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵为复矩阵。
1.2 几种特殊矩阵
（1）行数与列数都等于n 的矩阵A ，称为n 阶方阵。
也可记作A n 。
例如：
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛397622213765432221613是一个4阶方阵。
（2）只有一行的矩阵()n a a a A ,...,,21=，称为行矩阵（或行向量）。
只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=n a a a B 21，称为列矩阵（或列向量）。
（3）如⎪⎪⎭⎫
⎝⎛2100λλ的方阵，称为对角矩阵（或对角阵）。
（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作n m O ⨯. （5）元素全为1的方阵称为单位矩阵（或单位阵）。
1.3 同型矩阵与矩阵相等
（1） 同型矩阵：两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵。
如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛397622213765432221613与
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛3976
6229
7658
4964
为同型矩阵。
（2）两个矩阵()ij a A =与()ij b B =为同型矩阵,并且对应元素相等,即
b a ij
ij
=()n j m i ,,2,1;,,2,1 ==,则称矩阵A 与B 相等，记作A=B 。
2.矩阵的运算
2.1 矩阵的加法
设有两个m ×n 矩阵()ij a A = ,()ij b B = ,那矩阵A 与B 的和，记作A +B ，规定为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+++
++++++=+b b b b b b b b b mn mn m m m m n n n n a a a a a a a a a B A
221122222221211112121111。
（1）A B B A +=+; （2）)()(C B A C B A ++=++;
（3）)(,0)(B A B A A A -+=-=-+. 2.2 数与矩阵相乘
数λ与矩阵A 的乘积记作A λ,规定为⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a a a a
a a a A λλλλλλλλλλ
212222111211，设B A 、为n m ⨯矩阵，μλ、为实数：
（1）()()A A μλλμ=; （2）
()A A A μλμλ+=+; （3）B A B A λλλ+=+)(. 2.3 矩阵与矩阵相乘
设()ij a A =是一个s m ⨯矩阵,()ij b B =是一个n s ⨯矩阵，规定矩阵A 与矩阵B 的
乘
积
是
一
个
n
m ⨯矩阵
()
ij c C =，其中
∑==+++=s
k kj ik sj is j
i j
i ij
b a b a b
a b a c 1
22
11
()n j m i ,,2,1;,,2,1 ==，并把此乘积
记作AB C =。
（1）)()(BC A C AB =; （2）AC AB C B A +=+)(; (3) B A AB )()(λλ= （4）A EA AE == 2.4 矩阵的转置
把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作T A ,
例如：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=41A ,)41(=T
B 。
（1）A T T
A =)（; （2）()T T T
B A B A +=+;
（2）()T T
A A λλ=; (4)()T T T
A B AB = .
2.5 方阵的行列式
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式，记作A A det 或。
例如：286328632-==⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=A A ，则。
运算性质： （1）A A T =; (2)A A n λλ=; （3）B A AB = 2.6 对称矩阵
设A 为n 阶方阵，如果满足),,2,1,(,n j i a a A A ji ij T ===即，那么A 称为对
称矩阵。
如：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=6010861612A 为对称阵。
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应
相等.如果A A T -=, 则称 A 为反对称矩阵. 2.7 共轭矩阵
当()ij a A =为复矩阵时，用ij a 表示ij a 的共轭复数，记()
ij a A =，A 称为A 的共轭矩阵。
（设A 、B 为复矩阵，λ为复数,且运算都是可行的）: （1）B A B A +=+; (2)A A λλ=; （3）B A AB =
在进行矩阵的运算时，我们还应注意：
（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。
（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律。
（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。
3. 逆矩阵
3.1 逆矩阵的定义
对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B,使AB=BA=E,则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。
A 的逆矩阵记作1-A 。
例如：
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2/12/12/12/11111B A ，,B 是A 的一个逆矩阵。
逆矩阵的性质： （1）若A 可逆，则()
A A =--1
1
;
（2）若A 可逆，数λ≠0，则A λ可逆，且()11
1
--=
A A λ
λ；
（3）若A 、B 为同阶方阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111
---=A B AB . （4）若A 可逆，则T A 亦可逆，且()()T
T A A 11
--=.
（5）若A 可逆，则有1
1--=A A
在求解过程中，要注意：（1）若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的. （2）矩阵A 可逆的充要条件是 0≠A ,且*-=
A A
A 11,其中A *
为矩阵A 的伴随矩阵。
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=*nn n n n n A A A A A A
A A A A 2122212
12111。
3.2 逆矩阵的求解 （1）待定系数法
设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0112A ,求A 的矩逆阵。
解：设的逆矩阵为A d c b a B ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10012210010112b a d b c a d c b a AB ⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=-=-=+=+⇒,
1,0,02,
12b a d b c a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧==-==⇒2110,
2,1,
1,0B d c b a ,又因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101-12211-0211-001-12， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-21101A .
（2）伴随矩阵法
求方阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=343122321A 的逆矩阵。
解：因为存在。
，所以，1023
431223
21-≠==A A 3
331
2;2341
21211-====A A ,同理得，2
;5;
4;2;6;6;233323123222113-==-==-===A A A A A A A , 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=*222563462A ,故，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==*-1112/532/32312225634622111
A A A .
总结
本文通过对矩阵性质、逆矩阵及相关结论的研究，给出了部分矩阵计算行列式的方法．从上文的一些结论和给出的例子可以看出，矩阵在行列式计算中的应用很多，而且利用矩阵、逆矩阵计算行列式，可以有效的简化计算．在实际运用的过程中，要根据行列式的结构特点，选择合适的方法，将使该方法得到更广泛的应用．。