截面的几何性质截面的几何性质

截面的几何性质 • 平面图形的静矩和形心 • 平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径 • 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 • 惯性矩和惯性积的转轴公式 • 主惯性轴和主惯性矩
2
平面图形的静矩
如图所示为一具有任意形状的截面图形，设其面 积为A。选图示坐标系Oyz 。
• 定义
S z = ∫A ydA
S y = ∫ A zd A
• 惯性积可正，可负，可为零； • 惯性积的单位为 m4或 mm4。 • 若两个坐标轴中有一根轴为截面的对称轴，
则截面对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。
18
组合图形的惯性矩和惯性积 • 组合图形对某一轴的惯性矩等于各组合图形对
该轴惯性矩之和。
I z = ∑ ( I z )i I y = ∑ ( I y )i
zC =
8
∑ Ai zC i ∑ Ai
截面的几何性质 • 平面图形的静矩和形心 • 平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径 • 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 • 惯性矩和惯性积的转轴公式 • 主惯性轴和主惯性矩
9
平面图形的极惯性矩和惯性矩 • 定义
I z = ∫A y 2dA
I y = ∫ A z 2 dA
iz =
Iz h = A 2 3
同理可求得
Iy = hb 3 12
iy =
Iy A
=
b 2 3
14
平面图形的惯性矩和惯性半径
【例】求直径为D的圆形截面对圆心O的极惯性 矩及对过圆心的正交坐标轴y和z的惯性矩和惯性 半径 。
15
平面图形的惯性矩和惯性半径
如图示取环形微面积
dA = 2π rdr I P = ∫ A r 2 dA
20
1 π D4 IP = (1 − α 4 ) 2 64
截面的几何性质 • 平面图形的静矩和形心 • 平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径 • 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 • 惯性矩和惯性积的转轴公式 • 主惯性轴和主惯性矩
21
惯性矩和惯性积的平行移轴公式
2 I y1 = ∫A z1 d A = ∫ A ( z + b ) 2 dA
h 1 h * = b − y1 + y1 S z = A* yC 2 2 2 b 2 = ( h2 − 4 y1 ) 8
7
h 2

组合图形的静矩和形心位置 • 组合图形 — 由几个简单图形（如矩形、圆形
或三角形等规则图形）组成的图形。
分别为图形对于z 轴和y 轴的静矩。
3
平面图形的静矩
S z = ∫A ydA
S y = ∫ A zd A
• 静矩与截面面积大小及坐标设置有关； • 静矩可正、可负、可为零； • 静矩的单位为m3或 mm3。
4
平面图形的形心 • 平面图形的形心 — 平面图形几何形状的中心。 • 通过截面形心的坐标轴称为形心轴 。
• 组合图形对某一对正交轴的惯性积等于各组成
部分对同一对正交轴的惯性积之和。
I yz = ∑ ( I yz ) i
19
组合图形的惯性矩
α=
d D
bh3 bh′ 3 Iz = − 12 12
= b 3 ( h − h′ 3 ) 12
IP =
π D4
32
−
π d4
32
=
π D4
32
(1 − α 4 )
I y = Iz =
• 组合图形的静矩 — 整个图形对某一轴的静矩
等于各组成部分对该轴静矩的代数和。
S z = ∑ Ai yC i S y = ∑ Ai zC i
Ai − 第i 个简单图形的面积；
( yC i , zC i ) − 第i 个简单图形的形心坐标。
• 组合图形形心位置的计算式
yC =
∑ Ai yC i ∑ Ai
设图形的形心C坐标为(zC , yC)， 由均质等厚薄片重心坐标公式： A yC = ∫A ydA = S z
A z C = ∫ A zd A = S y Sy S yC = z , z C = A A
• 截面对形心轴的静矩必为零；反之，若截面对
某轴的静矩等于零，则该轴必为形心轴。
5
平面图形的静矩和形心
= ∫ 2π r dr =
3 0
D/2
πD 4
32
对于圆形截面，
I y = Iz = 1 πD 4 IP = 2 64
16
i y = iz =
Iy A
=
D 4
平面图形的惯性积 • 定义
I yz = ∫A yzdA
为图形对通过点O 的一对坐标轴（y, z)的 惯性积。
17
平面图形的惯性积
I yz = ∫A yzdA
• 惯性半径恒为正； • 惯性半径的单位为 m或 mm。
12
平面图形的惯性矩和惯性半径
【例】求图示矩形截面对其对称轴y 和z 的惯性矩 和惯性半径 。
13
平面图形的惯性矩和惯性半径
取一微面积
d A = bd y
h/2
2 I z = ∫ A y 2 d A = ∫ y bd y = −h / 2
bh 3 12
截面的几何性质 • 截面图形的几何性质：
截面的面积、形心、静矩、惯性矩、惯性积、 惯性半径、形心主惯性轴和形心主惯性矩等与 材料的力学性质无关的几何量。
• 杆件内力与杆件截面图形的几何性质无关。 • 杆件应力、变形与外力及杆件截面图形的几何
性质有关。
σ=
FN A
1
τ=
T ρ IP
（轴向拉、压）
（圆轴扭转）
分别为图形对于 z轴和 y轴 的惯性矩。
• 定义
I P = ∫A r 2dA
为图形对点O 的极惯性矩。 显然
I P = ∫A ( y 2 + z 2 )dA = I z + I y
10
平面图形的极惯性矩和惯性矩
I z = ∫ A y 2 dA
I y = ∫A z 2dA
Байду номын сангаас
I P = ∫ A r 2 dA
【例】一矩形截面如图示，已知 b, h, y1，试求有 阴影线部分的面积对于对称轴z 的静矩。
6
平面图形的静矩和形心
* S z = A* yC
阴影线部分面积 A* = b − y1 其形心坐标
1h 1h * yC = y1 + − y1 = + y1 2 2 2 2
• 惯性矩及极惯性矩与截面面积有关； • 惯性矩及极惯性矩与坐标设置有关； • 惯性矩及极惯性矩恒为正值； • 惯性矩及极惯性矩的单位为m4或mm4。
11
平面图形的惯性半径 • 定义
iz = Iz A iy = Iy A
分别为图形对于z 轴和y 轴的惯性半径。
I z = i z2 A I y = i2 yA