数学：《排列组合的应用题解法综述》()
例析排列组合问题类型及解题常用方法
例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题是数学中的一个重要分支，广泛应用于概率论、统计学、组合数学等多个领域。
在解决排列组合问题时，我们需要明确问题类型，并选用适当的方法进行求解。
下面将介绍几种常见的排列组合问题类型及解题常用方法。
1.组合问题组合问题是在给定的元素集合中，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。
组合问题的典型例子有"从n个不同的元素中，选取m个元素的组合个数是多少"。
解题方法：1)使用组合数公式进行计算，公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中C表示组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)利用递归方法求解，即对问题进行拆解，递归地求解子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。
2.排列问题排列问题是将一组元素进行有序的排列，即考虑元素的顺序。
典型例子有"从n个不同的元素中，选择m个元素进行排列，有多少种不同的排列方式"。
解题方法：1)使用排列数公式进行计算，公式为P(n,m)=n!/(n-m)!，其中P表示排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)利用递归方法求解，将问题分解成子问题，进行子问题的排列，然后按照不同的顺序进行合并，得到原问题的解。
3.重复元素的排列组合问题重复元素的排列组合问题是在给定元素集合中，包含有重复元素的情况下，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。
解题方法：1)使用重复组合数公式进行计算，公式为C'(n,m)=(n+m-1)!/(m!(n-1)!)，其中C'表示重复组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)使用重复排列数公式进行计算，公式为P'(n,m)=n^m，其中P'表示重复排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
4.包含条件的排列组合问题包含条件的排列组合问题是在给定一组元素和一组条件的情况下，选择满足条件的子集，并以不同的顺序进行排列。
排列组合问题解法综述
排列组合问题解法综述作者：张年良来源：《读写算》2012年第95期排列组合问题是数学中比较抽象的问题，对学生的逻辑思维能力有较高要求。
由于其解法往往是构造性的，因此方法灵活多样，不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。
因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。
排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
一、基础知识复习（1）两个原理的区别与联系定义做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤，做第一步中有m1种不同的方法，做第二步中有m2种不同的方法……，做第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有定义从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组种数所有排列的的个数所有排列的的个数符号二、解题方法和思路（一）. 注意两个基本原理应用加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。
例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，……；n 个人通过，有种结果。
所以一共有种可能的结果。
解法2：用分步记数的原理。
第一个人有通过与不通过有两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。
所以一共有种可能的结果。
例2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
(完整版)解排列组合应用题的解法技巧
解排列组合应用题的解法•技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧2、解排列组合问题的“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。
弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径（1）以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则（3）先不考虑附加条件，计算岀排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接（剔除）解法注：数量不大时可以逐一排出结果。
3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得岀的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得岀的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列,无序组合.（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一.运用两个基本原理二.特殊元素（位置）优先三.捆绑法四.插入法五.排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法一.运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例1: n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有c n种结果，……；n个人通过，有C；种结果。
所以一共有C： C n C：2n种可能的结果。
解法2 :用分步记数的原理。
第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。
所以一共有2n种可能的结果。
排列组合综合应用问题
⑤分为三组，每组4人。
练习1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的 分法种数。
答案
①C125.C74.C33
② C125.C74.C33
③ C125.C74.C33.A33
④C124.C84.C44
⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。
⑥C122.
C105.C55 A22
1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出
01
平均分配。这样分配问题就解决了。 结论：给出组名(非平均中未指明 各组个数）的要在未给出组名的种 数的基础上，乘以组数的阶乘。
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是
02
例2：求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排，2女相邻； ② 6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性者相邻； ④4男4女排成一排，同性者不能相邻。
×××× a;
说明：在解题过程中，有时用“排一排”会使思路更清楚。 “具体排”是一种好方法，它是把抽象转化为具体的一种思 维方法
分析： ①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列， 有A77.A22种 “捆绑法”
②把6男2女8人全排列，扣去 2 女“ 相邻”就是2女“ 不相邻”，所以有A88-A77.A22种。“排除法”
② 还可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6男相邻的7个空位中排2女，所以共有A66.A72种.
02
直接法：先组： 分三类。第一类，没有甲、乙，有C54种； 第二类，有甲无乙或有乙无甲，有 2C53种；第三类，既有甲又有乙。有C52种。
03
引例（曾经作过的题）： 4名运动员出组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人不同时跑中间两棒的安排方法有多少种？
数学：《排列组合的应用题解法综述》()
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以整治四哥壹番，但碍于太子出席了婚宴，太子没有发话，各位兄弟也都不敢造次，即使暗地里磨拳头擦掌，但表面上仍然按部就班地你 来我往喝着喜酒。宴过三巡、菜过五味，太子爷喝完五弟、八弟、九弟的轮番敬酒，好不容易歇了口气，十弟、十二弟又来了。太子实在 是招架不住：“今天是四弟的喜酒，又不是本王的酒，各位弟弟们怎么都搞错了？”说着，他转回身来，意欲让四弟替他代酒，结果壹看， 新郎居然不在座位上，放眼望去，也不在宴客大厅里，这四弟去了哪儿了？“四弟呢？今天他是主角，怎么这么半天不见了人影？”太子 爷诧异而又玩味地问着坐在他右手的三阿哥。“不会是四哥心急，趁着兄弟们喝酒，先会新娘子去了吧？” 十四阿哥壹脸不以为然的神情。 因为与四哥是同父同母的亲兄弟，十四阿哥平日里说起话来从来都是无所顾忌，此时也壹如往常，脱口而出，虽然这个回答不过是他的胡 乱猜疑而已。“就你满嘴胡嘞，四哥是什么人？美色当前，眼都不眨壹下，怎么可能这么点儿时间都等不及？”十三阿哥自幼与四哥交好， 此时四哥不在，遭太子爷的查岗，又逢十四弟不负责任地乱说壹气，自是要挺身而出、尽力维护。“我看十四弟说得也有道理，否则四弟 怎么会这么半天还不见人影？若是更衣，这时间也太长了吧。”三阿哥不露声色地插了壹句，既是回答了前面太子爷的问题，又表明了是 赞同十四弟的猜测。“这向皇阿玛亲请的侧福晋就是不壹样啊！早知如此，赶明儿，我也向皇阿玛去求个小福晋回来。”“九弟，你那壹 堆小福晋哪个不是你自己弄进府里的？难不成还是别人硬塞给你的？”“那也不是皇阿玛亲赐的啊！”……此时的四阿哥，正在离宴席不 远的清晖阁旁，独自失神地面对着壹湖月色涟漪。多少天了，自从接到赐婚圣旨的那壹天起，他那无以倾诉的悲伤就像壹座大山，重重地 压在他的心头，日复壹日，他根本不知道，这么多个日日夜夜，是如何度过来的。今天，那铺天盖地的红锦、红缎、红绸、红幕……，无 时不刻地刺入他的双眼，这漫天的红色，就是他心头滴出的泪血！可是，他还有那么多的宾客要应对，他还要表不改色地做好他的雍亲王 爷。此时此刻，唯有强压下心中的悲愤，向着东南方向，郑重地发下誓言：“盈儿，这壹切本应该都是你的，今日是爷负了你，来日，爷 壹定无数倍地报偿，爷，说话算话……”“爷，太子爷正找您呢，各位爷见不到您，都乱了套啦！”说话的是王爷的贴身奴才――秦顺儿。 壹听此言，他才猛然间发觉，自己出来的时间太长了。刚刚在宴席上，心情压抑得喘不上气来，就借更衣的机会，到这里来排遣，没想到， 心绪飘得这么远，时间过得这么快。“哟，四弟这是去了哪里？”太子爷眼见着四弟重新坐回宴
排列组合的应用题解法
5 5 7 7 11 11 13 11 13 13 11 15 11 13 13 5 5 7 7 11
解：因为从六个数字中任选两个作为分子分母的分数中，其中 真分数出现的机会与出现假分数的机会是均等的，因此真分 P 数的个数为 个。 ②5名运动员参加100米决赛，如果每人到达终点的顺序不相同, 2P 5 答 : 1 5 问甲比乙先到达终点的可能有几种? 小结：在排列或组合中若某两个元素出现的机会是相同的，在 求解中我们只要求出它的全体，那么，所求种数为全体的 二分之 一，这种方法叫机会均等法。（概率法）
例1：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种 在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成； 3 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 有P 5 种排法 4 3 4 第二步排其余的位置： 有P 种排法 共有 P 4 5 P 4 种不同的排法 2 有P 解二：第一步由葵花去占位： 4 种排法 第二步由其余元素占位： 5 2 5 有P 种排法 共有 P 5 4 P 5 种不同的排法
5
例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，其中 3个方按 钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两方钮 中间，有多少种装法？ 【图示】
解：先把三个方按钮排好，有 P22 种排法， 然后把三个方按 钮“捆绑”在一起看成一个按钮，与其余5个按钮相当于6个 按 P66 所以共有 P66 P22 1440 种装法。 钮排成一排，有 种排法，
小结：在中学数学中，解答数学问题常用的数学思想方法很 多如数形结合思想；分类讨论思想；化归的思想……等等。 而我们以上的：特殊元素（位置）分析法，插入法，捆绑 法，排除法，转化法，机会均等法，隔板法都是运用这些 思想在解排列组合应用题时所得到的各种解法，当然，这 些 解法要灵活运用，而且有时要联合运用才能把问题解决。
(完整版)解排列组合应用题的解法技巧(可编辑修改word版)
n n nn 解排列组合应用题的解法·技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧2、解排列组合问题的“16 字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。
弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径(1) 以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法 注：数量不大时可以逐一排出结果。
3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且 每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果， 任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列， 无序组合．（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一. 运用两个基本原理二. 特殊元素（位置）优先 三. 捆绑法 四. 插入法 五. 排除法 六. 机会均等法 七. 转化法 八. 隔板法一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法 1：用分类记数的原理，没有人通过，有 C 0 种结果；1 个人通过，有 C 1 种结 n n果，……；n 个人通过，有C n 种结果。
所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。
排列组合问题的解题技巧
排列组合问题的解题方略排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。
同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。
因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。
首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:1．使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。
例1．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类计数的原理：没有人通过，有C n 0种结果；1个人通过，有C n1种结果，……；n 个人通过，有C n n 种结果。
所以一共有C C C n n n n n 012+++= 种可能的结果。
解法2：用分步计数的原理：第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n 个人也是这样。
所以一共有2n 种可能的结果。
2．排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。
3．复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。
4．按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。
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从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
Anm
C
m n
Anm
Anm
n(n 1) (n m 1)
n! (n m)! Ann n! 0! 1
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m
n! m!
m!(n m)!
960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种 解： A22A44A52960
另解： A22A55A41960
小结：以元素相邻为附加条件的应把 相邻元素视为一个整体，即采用“捆 绑法”；以某些元素不能相邻为附加 条件的,可采用“插空法”。“插空” 有同时“插空”和有逐一“插空”,并 要注意条件的限定.
练习1 [北京朝阳区高三练习]在今年国家公 务员录用中，某市农业局准备录用文秘人 员二名，农业企业管理人员和农业法制管 理人员各一名，报考农业局公务人员的考 生有10人，则可能出现的录用情况有____ 种（用数字作答）。
解法1: C120C81C712520
解法2: C140C42A222520
落，整个电路就会不通。现发现电路不通
了, 那么焊接点脱落的可能性共有（ ）
63种 （B）64种 （C）6种 （D）36种
分析:由加法原理可知 C 6 1C 6 2C 6 663 由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63
小结：本题主要考查了二个原理、分类 讨论的思想。以物理问题为背景（或其 它背景如以英语单词）的排列、组合应 用题，显得小巧有新意.
次测试是次品。故有：C4 4C6 1A4 1A4 4576种可能
解： C142C6 4(C2 1)4255
三、特殊元素（或位置）优先安排
例3 [西安市高考模拟试题]将5列车停在5条不同的轨道 上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二 轨道上，那么不同的停放方法有（ ）
（A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种
解： A44A3 1A3 1A3378
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
分步原理
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n个步骤，
定
义
第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法…， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法……， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
练习4 [黄冈5月高考模拟试题]某城新建的一条道
路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的
照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄
灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法
共有（ ）
（A）C
3 8
种（B）A
3 8
种
（C）C
3 9
种
（D）C
3 11
种
解：C
3 8
注:上题中熄灭三盏灯,改为将其中三盏灯改成红、
黄、绿色灯,且它们从相邻也不在两端如何解?
解： A83 336
五、混合问题，先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次பைடு நூலகம்品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能？
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5
N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法.
相同点 做一件事或完成一项工作的方法数
不同点 直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
1.排列和组合的区别和联系：
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系 性质
排列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
本题考查了乘法原理或先组后排。
高考突出考查运算能力，排列、组合的 选择填空题都要求以数字作答，同学们 千万要注意。
二、注意区别“恰好”与“至少”
例2 [云南省高考模拟试题]从6双不同颜色的手套中 任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共 有（ ）种？ (A) 480种（B）240种 （C）180种 （D）120种
解：C6 1C52C2 1C2 1240
小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。 “至少有一个”则是“有一个或一个以上”，可 用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面， 故可用“排除法”。
练习2 [云南省高考模拟]从6双不同颜色 的手套中任取4只，其中至少有一双同色 手套的不同取法共有____种
练习3 [北京东城区高考模拟试题]从7盆不同的盆花 中选出5盆摆放在主席台前，其中有两盆花不宜摆放 在正中间，则一共有_____种不同的摆放方法（用数 字作答）。
解： A51A64 1800
小结：1、“在”与“不在”可以相互转化。 解决某些元素在某些位置上用“定位法”， 解决某些元素不在某些位置上一般用“间 接法”或转化为“在”的问题求解。
C
0 n
1)
1
Anm
C
m n
Amm
Anm nAnm11
， C C m n
nm n
C
m n1
C
m n
C
m n
1
一、把握分类原理、分步原理是基础
例1 [北京市丰台区高三练习] F E D
如图，某电子器件是由三个电
阻组成的回路,其中有6个焊接 A
C B
点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱
宁波中学 王国梁
排列组合应用题解法综述
计数问题中排列组合问题是最常见的， 由于其解法往往是构造性的, 因此方法灵活 多样, 不同解法导致问题难易变化也较大， 而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错 误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结， 并把握一些常见解题模型是必要的。
知识结构网络图：
排列 基 本 原 理
2、排列组合应用题极易出现“重”、“漏” 现象，而重”、“漏”错误常发生在该不 该分类、有无次序的问题上。为了更好地 防“重”堵“漏”，在做题时需认真分析 自己做题思路，也可改变解题角度，利用 一题多解核对答案
四、“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空
例4 [广州市二模]七人排成一排，甲、乙两人必须 相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法 有（ ）种