曲率挠率Frenet公式与标架

dr d r d r ( dt , dt2 , dt3 ) ． τ= dr d2r 2 | dt × dt2 |
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或先确定参数与弧长参数的 关系，再利用复合求导以及 定义式计算； 或代入公式 (4.3) 计算．
这里采用第二种算法，按 上节例5接着计算．
二．Frenet公式
按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线 r ， 其Frenet标架关于曲线弧长 s 的运动公式 运动公式（作微小位 运动公式 移时的变换公式）现在已经可以确定为
r″(s) r″′(s) d 1 = (r′(s) , , + r″(s) ) ds |r″(s)| |r″(s)| |r″(s)| (r′(s) , r″(s) , r″′(s)) = |r″(s)|2 (r′(s) , r″(s) , r″′(s)) ． = 2 κ(s)
一．挠率
定理1 定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的充要 条件是其挠率函数恒等于零． 证明 由上节例4的结论可知，只要证明“从法向量恒等 于常向量”等价于“挠率函数恒等于零”， 而这由 B ′(s) = −τ N ，即可得证． □ 定理2 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠 率 τ(s) 与 τ*(s) 总相等． 证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应量 的记号总打星号表示，并设矩阵 A∈SO(3) 和位置向量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使
一．挠率
定理1 定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的 充要条件是其挠率函数恒等于零． 定理2 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠率 τ(s) 与 τ*(s) 总相等． 定理意义： 定理意义 挠率确实是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量， 因而又可称之为曲线的第二曲率 第二曲率； 第二曲率 又由于挠率体现了密切平面的扭转状况，通常说它表 示了曲线的扭曲 扭曲程度． 扭曲
一．挠率
定理2 定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠率 τ(s) 与 τ*(s) 总相等． 证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应 量的记号总打星号表示，并设矩阵 A∈SO(3) 和位置向 量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使 r = OP + r*A ，T = T*A ，T ′ = T*′A ，κ =κ* ． 将曲率向量用主法向量表示出来，则进一步有 N = N*A ，N ′ = N*′A ． 故由 (4.2) 式便知有 τ = (T , N , N ′) = (T*A , N*A , N*′A) = (T* , N* , N*′) |A| = (T* , N* , N*′) =τ* ． □
一．挠率
B ′∥N ． 对于无逗留点的曲线 C ，称 τ = − B ′•N 为曲线的挠率 挠率 函数，其中 B′ 为从法向量对弧长的导数． 计算：按挠率定义和Frenet标架的单位正交右手性质， (4.1) B ′(s) = −τ N ， (4.2) τ = − (T×N)′•N = − (T×N ′ • = (T , N , N ′ × ′• × ′) •N ′)
法平面 C r(t) N(t) 密切平面 T(t)
从切平面 O 图 2-7
挠率的计算
例1 对常数 a > 0 和常数 在一般参数下，挠率的 b ，计算曲线 用位置向量表示的计算 公式可以利用复合求导 r(t) = (a cos t , a sin t , b t) 而由弧长参数下的计算 的挠率. 公式 (4.2) 式和 (3.9) 式 注意解法有多种： 推出（参见习题 4 ）， 可先作弧长参数化，再用定 也可以从 (3.8) 式和 (3.9) 义式计算； 式导出
Hale Waihona Puke 二．Frenet公式不仅仅局限在曲线几何上，从更为一般的角度讲，上述 步骤实际上是“翻译”和“推演”这两类过程在进行适 当的结合和互相提示；这种思维方式是重要的， 适用于一般场合下利用已知知识参与解决问题的过程， 特别适用于理性的数量关系问题的求解过程， 当然包括适用于对曲面几何问题的讨论． 具体的例子，读者可以回头总结前面的相关例题、定理 和公式的证明过程，直至理论框架． 典型的使用过程，也可以参阅第七章§6中球面曲线的局 部特征定理及其证明．本章§7中也经常使用这些步骤．
dr = T ds ； T 0 κ ds 0 T (4.4) d N = −κ ds 0 τ ds N ． B 0 −τ ds 0 B
这组公式称为曲线论基本方程 曲线论基本方程，它包含了曲线几何的 曲线论基本方程 最基本信息：弧长，曲率，挠率． ——在本章的后续内容中，可以进一步体会出这组公 式的重要含义．
二．Frenet公式
dr = T ds ； T 0 κ ds 0 T (4.4) d N = −κ ds 0 τ ds N ． B 0 −τ ds 0 B 曲线论基本方程包含了曲线几何的最基本信息：弧长， 曲线论基本方程 曲率，挠率． 鉴于其重要地位，称为Frenet-Serret公式 公式，或简称为 公式 Frenet公式 公式，并通常写为 公式 dr =T ； ds (4.5) T 0 κ 0 T d N = −κ 0 τ N ． ds B 0 −τ 0 B
曲率、挠率 Frenet 标架与Frenet 公式
一．挠率
分析从法向量 B(s) 对弧长 s 求导所得向量 B ′(s) 的行为
由于从法向量是单位向量场，易知 B ′(s)⊥B(s) ； 而由 B(s) = T(s)×N(s) 对弧长 s 求导得
B ′ = T ′×N + T×N ′ = T×N ′ ⊥ T ． 于是，B ′∥N ． 把 B ′(s) 在Frenet标架 {r(s); T(s) , N(s) , B(s)} 下的分量 抽象出来，将找到所需要的几何量． 定义1 定义1 对于无逗留点的曲线 C ，称 τ = − B ′•N 为曲线的 挠率函数 函数，其中 B ′ 为从法向量对弧长的导数；当挠率非 挠率函数 零时，称其倒数为挠率半径 挠率半径． 挠率半径 可证（习题2.4.1）挠率在容许参数变换下不变．
二．Frenet 标架
在曲线上与自身几何属性密切相关的标架场． 当曲率向量非零之时，利用曲率向量的单位化向量建立 符合需要的单位正交右手标架场．
二．Frenet 标架
B(t)
在曲线上与自身几何属性 密切相关的标架场． 当曲率向量非零之时，利 用曲率向量的单位化向量 建立符合需要的单位正交 右手标架场．
三. 曲线的曲率和 Frenet 标架
一．曲率
考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率． 曲率向量；曲率 曲率半径． 曲率；曲率半径 定义1 曲率向量 曲率 曲率半径 定义 曲率和曲率向量的定义不依赖于正则参数的选取． 定理2 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 定理 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的曲率 κ(s) 与 κ*(s) 总相等．
二．Frenet公式
在明确了Frenet公式之后，Frenet标架关于弧长的各阶导 向量在Frenet标架下的分量就都可以用曲率、挠率以及它 们的各阶导数等几何量具体表示出来． 因此，利用Frenet公式和微积分学的一般知识，就有求解 曲线几何问题的常用一般步骤： ① 将几何条件表示成解析表达式； ② 分析条件，合理进行求导（或积分等等）运算 和代数运算若干次， 寻找 所求几何 结论 所对应的解 析表达式； ③ 从解析式表述几何结论． 在学习过程中，特别需要注意培养和提高恰当地使用这 种步骤的能力．