曲率定义以及计算
曲率公式和曲率半径
曲率公式和曲率半径曲率和曲率半径公式是什么?曲率半径是ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)/y'']|，K=1/ρ。
计算公式：K=lim|Δα/Δs|。
曲率K=|dα／ds|。
在数学上，曲率是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲率的公式可以表示为：K=|dα／ds|。
曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率。
曲率半径为曲率的倒数。
在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。
平面曲线的曲率定义为曲线上一点的切向角对弧长的微分旋转率，表示曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于靠近该点曲线的圆弧半径。
曲率半径求法：ρ＝｜｜，K=1/ρ。
或曲率和曲率半径公式是什么？曲率和曲率半径公式是R=1/K。
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。
对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
曲率的作用在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于最接该点处曲线的圆弧的半径。
对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。
所以说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。
如果对于某条曲线上的某个点可以找到一个与其曲率相等的圆形，那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径（注意，是这个点的曲率半径，其他点有其他的曲率半径)。
也可以这样理解：就是把那一段曲线尽可能地微分，直到最后近似为一个圆弧，此圆弧所对应的半径即为曲线上该点的曲率半径。
曲率和曲率半径1、弧微分公式上式ds是一段曲线上的微元弧。
2、曲率如图，从M点沿曲线C到M'点，点上的切线转动了Δα的角度，Δs是曲线的弧微元，|Δα/Δs|就是从M到M‘的曲线的平均曲率，对平均曲率取极限得到M处的曲率：如果导数存在，也可以写成：根据曲率的定义式，可以求出曲率的一般形式，设函数y=f(x)，从前面的曲率示意图可以看出，tanα=dy/dx，对式子两边再求一次导得到：将上式和前面给出的ds一起代入曲率公式得到：3、曲率圆和曲率半径如图所示，在某点可以按照该点曲率作一个圆，即曲率圆，D是圆心，ρ是曲率半径，曲率半径的得出很简单，对于圆来说，弧长比上半径即是对应的角度，即ds/ρ=dα，所以ρ=ds/dα=1/K。
曲率
1 (1 R 2 l 4R
3
o
x
(1 y ) 2
2
)2 2
l R
1 , 略去二次项
l
2 2
4R
, 得 kA
1 R
.
19
椭圆 x 2 cos t , y 3 sin t 上哪些点处 曲率最大？
dy
解
3 dt 3 cos t cot t , dx 2 sin t dx 2
曲率 K
(dx ) (dy )
2
2
y
3
,
K
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
3
.
2 ) 2 (1 y
[ ( t ) ( t )] 2
2 2
曲率半径
1 K
(1 y )
2
3 2
y
.
26
思考与练习
曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同.
dy
k
| y |
3
d y dx
k (1
2
2
dt dy
) 2 ]2 [1 ( y
3 4
dt dx dt
3
3
( csc t )
2
2 2 sin t
csc t ,
3
3 4 9 4
csc t
3
( 4 sin
2
6
3
6
3
cot t ) 2
2
t 9 cos
?
K
| y |
3
第七节曲率
（ | MN | ）2 [1 ( y )2]
| MN |
x
s
x
| MN |
| MN |
1 ( y )2 x
N T R
x x x
y
令 x 0 取极限，得
N
s lim x0 x
lim | MN | lim
x0 | MN | x0
o
(1)C : y f ( x),函数 y f ( x)二阶可导,
tan y arctan y,
d
1 1 y2
y' ' dx
y'' 1 y2
dx
又 ds 1 y2dx
d
1
y'' y'2
dx
ds
1 y2dx
y''
3
(1 y2 )2
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2
s2
M3
s1
M1
弧段弯曲程度越大 转角越大
s1
M
M
N
s2 N
转角相同
弧段越短 弯曲程度越大
设曲线C是光滑的，
y
M0 是基点. MM s ,
从M到M 的切线转角为
o
C
.M
M0
s
S
M
.)
x
定义 弧段 MM' 的平均曲率
第七节 曲 率
一、弧微分
y C : y f (x)
N
设函数f ( x)在区间(a,b) 内具有连续导数.
曲率定义以及计算
d s liD m s lim (D x )2 (D y )2 lim 1 (D y)2
dx D x 0D xD x 0 |D x |
D x 0 D x
1 y 2 由此得弧微分公式
三、曲率圆与曲率半径
❖曲率圆与曲率半径
设曲线在点M处的曲率为K(K0)
在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
rK1的圆
上述圆叫做曲线在点M
曲率中心
处的曲率圆 其圆心叫做曲
曲率半径
率中心 其半径r叫做曲率半
rr 径
❖曲率与曲率半径关系
曲率圆
1 K 1 K
例3 设工件表面的截线为抛物线y04x2 现在要用 砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？
例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率 解 解 由 y 1 x 得
y 1 y 2 x 2 x 3
因此y|x11 y|x12 曲线在点(1 1)处的曲率为
K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 ( 1 ( 2 1 ) 2 ) 3 2 1 2 2 2
d 1 y 2 d s x
二、曲率及其计算公式
观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关 怎样衡量
曲线的弯曲程度？ 提示：
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度
❖曲率 设曲线C是光滑的 曲线上
点M对应于弧s 在点M处切线的
倾角为 曲线上另外一点N对
应于弧sDs 在点N处切线的倾
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
曲线的曲率曲率半径
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
平面曲线的曲率
( b , b2 4ac)
曲率表征曲线局部性质〔弯曲程度〕的量 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
2a 4a
K 2a
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.4x2. 现在要用砂轮磨削其内外表.问用直径多大的砂轮 才比较适宜？
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.
y 2a 思考：直线任意点处的曲率是多少?
K 注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
现砂在轮要 的用曲砂率轮应磨不削小其于内抛外物表线顶. 点的曲率0.2
3 2
1y 1(2axb) 思考：直线任意点处的曲率是多少?
3 22
y
d
( 1
y2
)dx
0
故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
C:yf(x)
M
x
K d .
ds
例1 抛物线 yax2bxc在哪个点曲率最大？
1、引例：弯曲程度与哪些因素有关？
解: y2axb 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
y 2a
25单位长 即直径不得超过2.
C
弧段 M M 平均曲率
K s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M
s
M0 M
0
x
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
M s
R M
思考：直线任意点处的曲率是多少?
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
二、曲率的计算公式
设曲线弧 y f (x)
曲 率
下面来推导实际计算曲率的公式.
二、 曲率的概念及其计算
在直角坐标系下，不能直接得到α与s之间的关系，但可 以得到变量α，s与变量x的关系.
二、 曲率的概念及其计算
【例49】
二、 曲率的概念及其计算
【例50】
三、 曲率圆
前面讲过，圆周函数的任意点的曲率都是相同的，并且等于圆周半 径的倒数，这就启发人们对于一般的曲线，都可以定义它的任意一点的曲 率的倒数为曲线在这点的曲率半径.
三、 曲率圆
根据曲率半径的定义，曲线上某点处的曲率 半径ρ与曲线在该点处的曲率K
上述公式表明，曲线上某点处的曲率半径越 大，曲线在该点处的曲率越小，则曲线越平缓； 曲率半径越小，曲率越大，则曲线在该点处弯曲 得越厉害.
三、 曲率圆
下面求曲率中心的坐标. 如图4-22所示，设曲线的 方程为y=f(x)，其二阶导数y″ 在点x处不等于零，则曲线在点 M(x,y)处的曲率中心O′(a,b)的 坐标为
它表明直线 上任一点的曲率都等于零.这与人们的直 觉“直线不弯曲”是一致的.
又如，半径为R的圆，圆上点M， M′处的切线所夹的角Δα等于中心角 ∠MO′M′(见图4-21)，由于 所以
图 4-21
二、 曲率的概念及其计算
曲率的定义及计算公式
曲率的定义及计算公式哎呀，曲率这玩意儿，说起来可真是让人头大。
你知道的，就是那个数学上的东西，弯弯曲曲的，不是直的。
我得说，这玩意儿可真不是一般人能懂的，但咱们今天就来聊聊它，用点大白话，不整那些复杂的。
首先，曲率，简单来说，就是描述一个东西弯得有多厉害。
比如说，你拿根绳子，把它拉直了，那曲率就是零，因为直的嘛。
但你要是把绳子弯成个圈，那曲率就大了去了。
咱们数学上呢，就用一个公式来计算这个曲率，就是那个著名的“曲率半径”的倒数。
啥叫曲率半径？就是说，你把一个弯弯的东西想象成是一个圆，这个圆的半径就是曲率半径。
圆越小，曲率就越大，因为弯得更厉害嘛。
记得有一次，我去公园散步，看到那些老人家在打太极拳。
他们的手啊，就像在画圈一样，那动作，真是柔中带刚。
我看着他们的动作，突然就想到了曲率。
你看，他们的手在画圈的时候，那个圈的半径就在不停地变，曲率也就跟着变。
这就像是数学里的曲率公式，只不过这个公式是活的，是动态的。
我还注意到，公园里的那些小路，弯弯曲曲的，走起来特别有感觉。
那些小路的曲率，比直路要大得多。
你走在上面，感觉就像是在探险一样，因为你不知道下一个弯会带你去哪里。
这就像是曲率，它告诉我们，世界不是一成不变的，它有它的弯曲和变化。
说到曲率，我还得提一下那个著名的“曲率驱动”理论。
你知道的，就是科幻电影里的那种，飞船通过改变空间的曲率来实现超光速飞行。
虽然这只是科幻，但这个概念真的很酷。
它让我们想象，也许有一天，我们真的能够通过改变空间的曲率来实现一些不可思议的事情。
好了，说了这么多，咱们再回到曲率的定义和计算公式上来。
其实，说到底，曲率就是描述一个东西弯得有多厉害。
它的计算公式呢，就是曲率半径的倒数。
虽然听起来有点复杂，但只要你想想那些弯弯的绳子，或者公园里的小路，就能理解了。
总之，曲率这东西，虽然听起来挺高大上的，但其实它就在我们身边，无处不在。
它告诉我们，世界是丰富多彩的，有直有弯，有快有慢。
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曲率的计算公式： K d | y | ds (1 y2 )3 2
例2 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得
| 2a | K 2 ]3 2 [1 (2ax b) 显然 当2axb0时曲率最大 曲率最大时 x b 对应的点为抛物线的顶点 2a 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|
曲率 设曲线C是光滑的 曲线上 点M对应于弧s 在点M处切线的 倾角为 曲线上另外一点N对 应于弧sDs 在点N处切线的倾 角为D 平均曲率： 记 K D 称 K 为弧段 MN 的平均曲率 Ds 曲率： D 记 K lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 Ds 0 Ds
曲率的计算公式
lim D d 存在的条件下 K d 在 Ds 0 Ds ds ds
曲率：
记 K lim
D 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 Ds 0 Ds
曲率的计算公式
lim D d 存在的条件下 K d 在 Ds 0 Ds ds ds 设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数 因为tan y 所以 sec 2dydx
§3.7 曲率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲线的弯曲线程度 与哪些因素有关 怎样 度量曲线的弯曲程度？
一、弧微分
•曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线yf(x) 上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增 大的方向作为曲线的正向
讨论： 1 直线yax参数方程为xj(t) yy(t) 那么曲率如何 计算？
3 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 提示： 1 设直线方程为yaxb 则ya y 0 于是K0
|j (t)y (t) j (t)y (t) | 2 K 2 (t ) y 2 (t )]3/ 2 [j
一、弧微分
•有向弧段 M0M 的值 对曲线上任一点 M(x y) 规定有向弧段的值 s (简称 弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段M0M 的方向与曲线的正向一致时s>0 相反时s<0 (
显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 ss(x)
s<0
(
s>0
弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x) 上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量 为Ds 因为当Dx0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以
y y y d 2 dx dx dx 2 2 sec 1 tan 1 y
又知 ds 1 y2 dx 从而得曲率的计算公式
d | y | K ds (1 y2 )3 2
曲率的计算公式： K d | y | ds (1 y2 )3 2
ds lim Ds lim (Dx)2 (Dy)2 lim 1 ( Dy )2 Dx0 dx Dx0 Dx Dx0 | Dx | Dx
1 y2
由此得弧微分公式
ds 1 y2 dx
二、曲率及其计算公式
观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关 怎样衡量 曲线的弯曲程度？ 提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度
曲率中心
曲率半径
曲率圆
例3 设工件表面的截线为抛物线y04x2 现在要用 砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 y08x y08 y|x00 y|x008 把它们代入曲率公式 得
| y | 08 K (1 y2 )3 2 抛物线顶点处的曲率半径为 rK1125 因此, 选用砂轮的半径不得超过125单位长 即直径 不得超过250单位长
例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率 解 由 y 1 得 解 x 12 y 2 y x3 x 因此y|x11 y|x12 曲线在点(1 1)处的曲率为
| y | 2 1 2 K (1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
3 圆的参数方程为xR cos t yR sin t
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆与曲率半径 设曲线在点M处的曲率为K(K0) 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为 rK1的圆 上述圆叫做曲线在点M 处的曲率圆 其圆心叫做曲 率中心 其半径r叫做曲率半 径 曲率与曲率半径关系 r 1 K 1 K r