曲率的计算公式
曲线的曲率曲率半径
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
几何练习计算曲线的曲率和曲率半径
几何练习计算曲线的曲率和曲率半径几何中的曲线是一种弯曲的线条，具有有趣的形状和特征。
曲线的曲率和曲率半径可以帮助我们了解曲线的形态和性质。
在本文中，我们将介绍如何计算曲线的曲率和曲率半径，并通过几个实例来加深理解。
1. 曲线的曲率曲线的曲率描述了曲线的弯曲程度。
在几何中，曲率可通过曲线上某一点处的切线和曲线方程来计算。
设曲线方程为y = f(x)，则该曲线在该点处的切线斜率为y'。
曲率k可通过以下公式计算：k = |y''| / (1 + (y')^2)^(3/2)其中，y''表示曲线方程的二阶导数。
2. 曲线的曲率半径曲率半径是曲线上某一点处曲线的弯曲程度的倒数。
它表示了曲线弯曲的速率。
曲率半径R可通过以下公式计算：R = 1 / k其中，k为曲线的曲率。
下面通过几个实例来演示如何计算曲线的曲率和曲率半径：实例一：计算函数y = x^2在点(1, 1)处的曲率和曲率半径。
解：首先，计算函数y = x^2的一阶导数、二阶导数：y' = 2xy'' = 2然后，代入公式计算曲率：k = |2| / (1 + (2)^2)^(3/2) = 2 / (1 + 4)^(3/2) ≈ 0.16最后，计算曲率半径：R = 1 / k = 1 / 0.16 ≈ 6.25所以，函数y = x^2在点(1, 1)处的曲率为0.16，曲率半径为6.25。
实例二：计算函数y = sin(x)在点(π/4, √2/2)处的曲率和曲率半径。
解：首先，计算函数y = sin(x)的一阶导数、二阶导数：y' = cos(x)y'' = -sin(x)然后，代入公式计算曲率：k = |-sin(π/4)| / (1 + (cos(π/4))^2)^(3/2) =√2/2 / (1 + (1/√2)^2)^(3/2) ≈ 0.71最后，计算曲率半径：R = 1 / k = 1 / 0.71 ≈ 1.41所以，函数y = sin(x)在点(π/4, √2/2)处的曲率为0.71，曲率半径为1.41。
曲率与半径的关系
曲率与半径的关系曲率和半径是微积分中的两个重要概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将介绍曲率和半径的概念以及它们之间的关系。
一、曲率的概念曲率是描述曲线弯曲程度的量。
在微积分中，曲率是对曲线在某一点的切线方向的弯曲程度的度量。
曲率越大，曲线就越弯曲。
曲率的计算方法是通过求曲线在某一点处的二阶导数来得到。
曲率的公式为：k = |dθ/ds|其中，k表示曲率，dθ表示弧长s上的切线方向与x轴正方向的夹角的导数，ds表示弧长的微小变化量。
曲率的单位是1/m，表示曲线在每米处弯曲的程度。
二、半径的概念半径是一个圆的中心到圆周上任意一点的距离。
在微积分中，半径是曲率的倒数。
半径越小，曲率就越大，曲线就越弯曲。
半径的计算方法是通过求曲线在某一点处的曲率的倒数来得到。
半径的公式为：r = 1/k其中，r表示半径，k表示曲率。
半径的单位是米（m），表示圆的大小。
三、曲率和半径的关系曲率和半径之间存在着密切的关系，它们是互相依存的。
当曲线的曲率增大时，半径就会变小。
反之，当曲线的曲率减小时，半径就会变大。
这是因为曲率和半径是倒数关系，曲率越大，半径就越小。
曲率和半径还有一个重要的关系是：曲线的弯曲程度越大，曲率就越大，半径就越小。
这是因为曲率是描述曲线弯曲程度的量，曲线弯曲程度越大，曲率就越大，半径就越小。
例如，在一个圆形的曲线上，曲率处处相等，而半径也处处相等。
这是因为圆形的曲线处处相同，弯曲程度也处处相同，所以曲率和半径都是恒定的。
四、曲率和半径的应用曲率和半径在数学和物理学中有广泛的应用，例如：1.在机器人技术中，曲率和半径可用于描述机器人的运动轨迹。
2.在地图制作中，曲率和半径可用于描述地图上的道路和河流等曲线的弯曲程度。
3.在物理学中，曲率和半径可用于描述光线在弯曲空间中的运动轨迹。
4.在航空航天领域中，曲率和半径可用于描述飞机的飞行轨迹和空间站的运动轨迹。
总之，曲率和半径是微积分中的两个重要概念，它们之间存在着密切的关系。
地球曲率计算公式 412
地球曲率计算公式 412
地球的曲率可以通过多种公式进行计算，其中最常用的是球面三角学中的曲率计算公式。
在这个公式中，曲率被定义为单位弧长所对应的弧度数。
首先，我们需要知道地球的半径。
地球的平均半径约为6371公里。
然后，我们可以使用以下公式来计算地球曲率：
曲率 = 1 / R.
其中，R是地球的半径。
根据这个公式，我们可以计算出地球的曲率为：
曲率= 1 / 6371 ≈ 0.0001569 弧度/km.
这意味着，当我们沿着地球表面行进1公里时，我们将经历大约0.0001569弧度的曲率。
此外，还有其他一些方法可以计算地球的曲率，如利用地球的
表面积和周长等信息进行计算。
但是，这些方法可能涉及到更复杂
的数学公式和近似计算，因此在此不进行详细介绍。
总结起来，地球的曲率可以通过球面三角学中的曲率计算公式
进行计算，其中曲率等于1除以地球的半径。
根据地球的平均半径，我们可以得出地球的曲率约为0.0001569弧度/km。
曲率及其计算公式
数．
y
y
M0 s>0
M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
A
x0
x
2
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
(
(
((
D D
s x
2
MM Dx
2 |
MM 2| MM|
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得 K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 [1(2a| 2xa|b)2]32
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ． 而 x b 对应的点为 2 a 2 a
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| ．
于是 d 1 y y 2 d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 从而，有
| y | K
( 1 y 2 ) 3 2
A
7
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K | y | ( 1 y 2 ) 3 2
解 由y 1 ，得
x
y 1 ， y 2 ．
§3．9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
A
1
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
道路曲率计算
道路曲率计算
道路曲率是描述道路曲线弯曲程度的参数，可以用来表示道路的平直程度或曲线的弯曲程度。
道路曲率可以通过以下公式计算：
曲率= (2 * sin(Δθ)) / L
其中，Δθ是道路两个相邻切线的夹角，L是两个切线之间的直线距离。
曲率的单位一般是每米（m⁻¹）。
可以通过以下步骤计算道路曲率：
1. 获取连续的道路点坐标，表示道路的中心线或边界线。
2. 根据相邻道路点的坐标计算两个切线的夹角Δθ。
3. 计算相邻道路点之间的直线距离L。
4. 根据公式计算曲率。
需要注意的是，曲率是一个标量，用来表示道路的曲率方向，正曲率表示向右弯，负曲率表示向左弯。
曲率及其曲率半径的计算
K|2a| ．
讨论： 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是 | y | K 0. 2 3 2 (1 y ) x j (t ) 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ y (t ) 提示：
有如下关系：
1 1 r ， K ． r K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y=0．4 x2
4 2
O
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8． 把它们代入曲率公式，得
y M0 O
C M Ds Da a+Da x
s
a
M
Da 为弧段 MM 的平均曲率． 我们称 K Ds 曲率： Da 为曲线C在点M处的曲率． 我们称 K lim Ds 0 Ds da Da da K lim 在 存在的条件下 ． Ds 0 Ds ds ds
）
平均曲率：
曲率的计算公式：
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
高等数学《曲率》
为零,并且当 l 很小 R
( l 1) 时，在终端 R A的曲率近似为 1 .
R
y
B
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
x
证 如图
y
B
x的负半轴表示直道，
OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
在缓冲段上,
y 1 x2 , y 1 x.
2Rl
Rl
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
o
C( x0 ,0)
x
l 1, R
略去二次项 l2 4R2
,
得
kA
1. R
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x) 在点 y
M( x, y) 处的曲率为k(k 0). 在点 M 处的曲线的法线上,
D 1
k
y f (x)
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
二、k cos x , sec x .
三、k 2 . 3a sin 2t0
五、( ,1)处曲率半径有最小值 1. 2
六. ( 1 ln 2, 1 ), 3 3 .
2
2
2
3、0.
的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和
弯道之间接入一段
缓冲段(如图),使曲 率连续地由零过渡
到 1 (R为圆弧轨道 R
的半径).
点击图片任意处播放\暂停
通常用三次抛物线
y
1 6Rl
x 3，x
[0,
x0
]．作为
缓冲段 OA，其中 l 为 OA的长度，验证缓冲段
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x2
x3
因此y|x11 y|x12. 曲线在点(1 1)处的曲率为
K
| (1
y| y2)3
2
2 (1(1)2)3 2
1 2
2. 2
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铃
曲率的计算公式： K
d
ds
| (1
y| y2)3
2
.
例2 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？
解 由yax2bxc 得
y2axb y2a 代入曲率公式 得
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径.
y0.8x y0.8
y|x00 y|x00.8. 把它们代入曲率公式 得
K
| y| (1 y2)3
2
0.8.
抛物线顶点处的曲率半径为
rK11.25.
因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径 不得超过2.50单位长.
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铃
|Dx|
Dx0
Dx
1 y2 . 由此得弧微分公式
ds 1 y2 dx .
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铃
二、曲率及其计算公式
观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样衡量
曲线的弯曲程度？ 提示：
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度.
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铃
❖曲率 设曲线C是光滑的 曲线上
Ds0 Ds ds
ds
曲率：
记 K lim D
Ds0 Ds
称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率.
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铃
❖曲率的计算公式
在 lim D d 存在的条件下 K d .
Ds0 Ds ds
ds
设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数.
因为tan y 所以
sec 2dydx
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铃
( (
一、弧微分
•有向弧段 M0M 的值 对曲线上任一点 M(x y) 规定有向弧段的值 s (简称
弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段M0M 的方向与曲线的正向一致时s>0 相反时s<0.
显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 ss(x).
s<0
s>0
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点M对应于弧s 在点M处切线的
倾角为 曲线上另外一点N对
应于弧sDs 在点N处切线的倾
角为D .
平均曲率：
记 K D
Ds
称 K 为弧段 MN 的平均曲率.
曲率：
记 K lim D
Ds0 Ds
称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率.
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铃
❖曲率的计算公式
在 lim D d 存在的条件下 K d .
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铃
❖弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x)
上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量 为Ds. 因为当Dx0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以
ds lim Ds lim (Dx)2 (Dy)2 lim 1(Dy)2
dx Dx0 Dx Dx0
§3.7 曲率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
曲线的弯曲线程度 与哪些因素有关. 怎样 度量曲线的弯曲程度？
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一、弧微分
•曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数. 在曲线yf(x)
上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增 大的方向作为曲线的正向.
设曲线在点M处的曲率为K(K0).
在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为
rK1的圆.
上述圆叫做曲线在点M 处的曲率圆 其圆心叫做曲
曲率半径
曲率中心
率中心 其半径r叫做曲率半
径.
❖曲率与曲率半径关系
曲率圆
r 1
K
K
1
r
.
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例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要用 砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？
K
| 2a |
.
[1(2axb)2]3 2
显然 当2axb0时曲率最大.
曲率最大时 x b 对应的点为抛物线的顶点. 2a
因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|.
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铃
讨论：
1. 直线yaxb上任一点的曲率是什么？
2. 若曲线的参数方程为xj(t) yy(t) 那么曲率如何
d
y
sec2
dx
1
y
tan2
dx
y 1 y2
dx
.
又知 ds 1 y2 dx 从而得曲率的计算公式
K
d
ds
| (1
y| y2)3
2
.
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曲率的计算公式： K
d
ds
| (1
y| y2)3
2
.
例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率.
解解
由
y
1 x
得
y 1 y 2 .
计算？
3. 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 提示：
1. 设直线方程为yaxb 则ya y 0. 于是K0.
2.
K
|j(t)y (t) j(t)y (t) | [j2(t)y 2(t)]3/2
.
3. 圆的参数方程为xR cos t yR sin t .
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铃
三、曲率圆与曲率半径
❖曲率圆与曲率半径