中考数学复习：九年级圆与三角函数

圆与三角函数的有关计算和证明
【学习目标】
1、熟练掌握圆中有关的证明与计算；
2、能熟练运用三角函数；
3、能从复杂图形中识别常用的基本图形。

【典例分析】
一、以等腰三角形的腰为直径作圆，过底边中点作另一腰的垂线构切线
例1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交CA 的延长线于F ，DE
⊥AC 于E.
（1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若AB ＝5，AF ＝3，求tanC 的值.
练习1、如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D 点，DE ⊥AC 于点E.
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）连接OE 交⊙O 于F ，连接DF ，若tan ∠EDF=2
1，求cos ∠DEF 的值.
练习2、在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的O ⊙与边AC
相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ．
（1）求证：BD BF =；（2）若64BC AD ==，，求sin ∠CEF ．
练习3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF=
1
2
∠CAB. （1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若AB=5，sin ∠5BF 的长.
O
A
B
D E
F
E D
O
A B C
A E D O
B C
变式1、如图, AB 为⊙O 的直径, AC 为⊙O 的弦, ∠BAC 的平分线交⊙O 于点D, DE ⊥AC 于点E.
（1）求证: DE 为⊙O 的切线;
（2）连接OE 交AD 于点F, 连接BD, 若cos ∠BAC=
54, 求BD
OF 的值.
变式2、如图1，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，点E 是弧BD 上一点，EF ⊥AD 于点F ，且EF 是⊙O 的切线.
（1）求证：弧DE=弧BE ；（2）连接BE ，若tan ∠DAB=
12
5
，求tan ∠B 的值. 二、（圆中的三个二分之一）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，点E 是半圆O 上一动点（不与A 、B 重合），点C 是弧BE 的中点，连接BE 、AC 交于点G ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，交BE 于F 点。

求证：(1)CD=½BE ；(2)CF=½BG ；(3)DF=½EG 。

例2、如图，Rt △ABCK ，∠ACD=90°，以AB 为直径作⊙O ，F 是⊙O 上一点，⌒
⌒
FC ＝AC ，CD ⊥AB 于点D ，连AF 分别交CD 、BC 于E 、G 两点，连接CF 。

（1）求证：△ACE ∽△AFC ；（2）若sin ∠DAE=31，求BG
CG 。

练习1、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD 交CE 于点F ． （1）求证：CF=BF ；（2）若cos ∠BAD=31,，⊙O 的半径为3，求BC 的长．
C
B
E
F
A
D
O
练习2、如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是AD 的中点，连结
BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q 。

（1）求证：P 是ACQ ∆的外心；（2）若3
tan ,84
ABC CF ∠=
=,求CQ 的长。

三、切割线型：从圆外一点同时引圆的切线和过圆心的割线
例3、如图，AC 为⊙O 的直径, PA ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DO
DC
DP DB =.
（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝CD ＝2, 求cos ∠BCA 的值.
练习1、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，AB ＝BD ，BD 交AC 于P ，过B 作BE ∥AD 交AC 和延长线于E. （1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝8，PC ＝1，求tan ∠CBD 的值.
练习2、已知：如图,在矩形ABCD 中,点O 在对角线BD 上,以OD 的长为半径的⊙O 与AD ,BD 分别交于点E 、点F ,且∠ABE =∠DBC .
（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论； （2）若3
3
sin =∠ABE ,2=CD ,求⊙O 的半径.
E
P
D C O
B A E O F
D
B
F O
E A
G
C
F
B O E
练习3、如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB=AD=AO 。

（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，△BEF 的面积为8，且3
2cos =
∠BFA ，求△ACF 的面积。

四、角平分线型：过圆周角的角平分线与圆的交点或弧的中点引圆的切线
例4、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，点O 在AB 上，经过A 、D 两点的⊙O 交AB 于E.
⑴求证：BC 是⊙O 的切线；⑵若4
3tan =B ，求ADC ∠cos .
练习1、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上任意一点，点D 是弧BC 的中点，DE ⊥AC ，交
AC 的延长线于点E ，I 是△ABD 的内心，连结DI 并延长交⊙O 于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若2
1tan =∠BAD ，CE ＝2，求DF 的长．
练习2、如图，在△ABC 中，∠C 为直角，BD 平分∠ABC 交AC 于D.在AB 上取一点D.在AB 上取一点O ，以点O 为圆心作经过B 、D 的圆，⊙O 分别交AB 、BC 于E 、F ，连DE 、EF ，EF 交BD 于G.
⑴求证：AC 与⊙O 相切；⑵若DE=2，BG=3，求sin ∠A.
B
C
E
D
O I
B
D
O A
C
E
五、切线长型:从圆外一点引圆的两条切线，已知一条求证另一条
例5、如图，AB 是半圆（圆心为O ）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM 于C 。

（1）求证：CD 是半圆的切线；（2）若AB 长为4，点D 为弧AE 的中点 求sin ∠OCB 。

练习1、如图，AB 是⊙O 的直径，P 为AB 的延长线上的点，PD 与⊙O 相切于点D ，C 在⊙O 上，且PC=PD.
⑴证明PC 与⊙O 相切；
⑵过A 作AE ⊥PC 于E.连BC ，若sin ∠EPA=3
1，⊙O 的半径为3，求BC 的长.
练习2、已知：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为⊙O 直径，且PA ⊥AB 于点A ，
PO ⊥AC 于点M ．
(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)当OM =2
，B cos =4
2时，求PC 的长．
练习3、已知：如图，BE 是⊙O 的直径，CB 与⊙O 相切于点B ，OC ∥DE 交⊙O 于点D ，CD 的延长线与BE 的延长线交于A 点.
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若AD ＝4，CD ＝6，求tan ∠ADE 的值.
M
O
P
C O E D
C
B
A
O
P
B
G
D
C
F
O
A
六、以直角三角形的一直角边为直径做圆，连接另一直角边的中点与圆和斜边的交点构切线
例6、如图，以Rt △ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交AB 于D 点，OE ∥AB 交BC 于E 点。

（1）求证：DE 为⊙O 的切线．（2）若5
5
cos =
∠OED ，5BDE S ∆。

练习1、如图，Rt △ABE 中，AB ⊥AE 以AB 为直径作⊙O ，交BE 于C ，弦CD ⊥AB,F 为AE 上一点，连FC ，则FC = FE
（1）求证CF 是⊙O 的切线； （2）已知点P 为⊙O 上一点，且tan ∠APD = 2
1
, 连CP ，求sin ∠CPD 的值。

练习2、已知:如图,AB 是⊙O 的直径,BC 切O 于B ,AC 交于P ,D 为BC 边的⊙O
中点，连结DP ．
(1) DP 是⊙O 的切线；(2) 若3cos 5
A =，⊙O 的半径为5， 求DP 的长.
练习3、以Rt △ABC 的直角边AB 为直径的⊙O 交斜边AC 于点D ，点E 是BC 的中点，连DE.
⑴判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明；
⑵连AE ，过D 作DF ⊥AB 于点F ，交AE 于点G.若AC=10，tanC=3
4。

求DG 的长。

O •
E D
C
B
A。