解三角形高考真题汇总
完整版)高考解三角形大题(30道)
完整版)高考解三角形大题(30道)1.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有以下等式：frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a} = \frac{\cos B b}{\sin C}$$求该等式右侧的值，以及：2）若$\cos B=\frac{1}{4}$，$b=2$，求三角形ABC的面积S。
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin C+\cos C=1$，求：1）$\sin C$的值；2）若$a+b=4a-8$，求边c的值。
3.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
1）若$\sin(A+\frac{2}{3}\pi)=2\cos A$，求角A的值；2）若$\cos A=\frac{3}{c}$，求$\sin C$的值。
4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且$BD=\frac{3}{3}$，$\sin B=\frac{5}{3}$，$\cos\angleADC=\frac{\sqrt{3}}{5}$，求AD。
5.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$a=1$，$b=2$，$\cos C=-\frac{1}{4}$，求：1）三角形ABC的周长；2）$\cos(A-C)$的值。
6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。
1）求a,c的值；2）若角B为锐角，求p的取值范围，其中$p=\frac{1}{5}$，$b=1$。
7.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。
1）求角A的值；2）求$\sin B+\sin C$的最大值。
8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\cos 2C=-\frac{1}{4}$。
通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题15三角函数与解三角形综合含解析理
专题15 三角函数与解三角形综合【2024年】1.（2024·新课标Ⅱ）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关学问，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.2.（2024·北京卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：假如选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =. 【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 27a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin 816a b a A B ===（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解实力，属中档题.3.（2024·山东卷）在①ac sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________?注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】解法一：由sin 3sin AB 可得：ab=不妨设(),0a b m m =>，则：2222222cos 322c a b ab C m m m m =+-=+-⨯⨯=，即c m =. 选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==，此时：sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =，与条件=c 冲突，则问题中的三角形不存在.解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,()1?2sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==2=若选②，3csinA =,3=,c =;若选③,与条件=c 冲突.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采纳到正弦定理，出现边的二次式一般采纳到余弦定理．应用正、余弦定理时，留意公式变式的应用．解决三角形问题时，留意角的限制范围． 4.（2024·天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4C π；（Ⅱ）sin A =（Ⅲ）sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-===， 又因为(0,)C π∈，所以4C π；（Ⅱ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==sin sin a C A c===13； （Ⅲ）由a c <知角A为锐角，由sin 13A =，可得cos A=13，进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算实力，是一道简单题.5.（2024·浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =． （I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦ 【解析】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【2024年】1．【2024年高考全国Ⅰ卷】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）60A ︒=；（2）sin C =【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=． 2．【2024年高考全国Ⅲ卷】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）.【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c Aa CC︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭． 3．【2024年高考北京卷】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =.（2）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角， 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=. 4．【2024年高考天津卷】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）14-；（2）【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =．由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 5．【2024年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）5.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭6．【2024年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型马路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在马路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的全部点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）. 【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满意规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满意规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先探讨点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上随意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上全部点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再探讨点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上全部点到点O 的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满意规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满意规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先探讨点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上随意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上全部点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再探讨点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上全部点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 7．【2024年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[1,1]22-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对随意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因此，函数的值域是33[1,1]22-+． 【2024年】1. （2024年浙江卷）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满意sin （α+β）=，求cos β的值． 【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.2. （2024年天津卷）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，3. （2024年北京卷）在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】(1) ∠A=(2) AC边上的高为【解析】（Ⅰ）在△ABC中，∵cos B=–，∴B∈（，π），∴sin B=．由正弦定理得=，∴sin A=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．（Ⅱ）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，∴AC边上的高为．4. （2024年江苏卷）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．5. （2024年全国I卷理数）在平面四边形中，，，，. （1）求；（2）若，求.【答案】 (1) .(2).【解析】 （1）在中，由正弦定理得. 由题设知，，所以.由题设知，，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得，所以.【2024年】1.【2024课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】（1）23.（2）333【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得33b c +=故△ABC 的周长为333+.2.【2024课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。
专题08 解三角形(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)
专题08解三角形考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：正余弦定理综合应用2023年天津高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题2023年北京高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年天津高考数学真题2022年新高考天津数学高考真题高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主．考点2：实际应用2024年上海夏季高考数学真题2022年新高考浙江数学高考真题考点3：角平分线、中线、高问题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题考点4：解三角形范围与最值问题2022年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年新高考北京数学高考真题考点5：周长与面积问题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2022年新高考全国II卷数学真题考点6：解三角形中的几何应用2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题考点1：正余弦定理综合应用1．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知39,2,120a b A ==∠= ．(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -的值．【解析】（1）由正弦定理可得，sin sin a b A B =392sin120sin B = ，解得：13sin 13B =（2）由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即21394222c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得：5c =或7c =-（舍去）．（3）由正弦定理可得，sin sin a c A C =395sin120sin C =，解得：513sin 26C =，而120A =o，所以,B C 都为锐角，因此2539cos 15226C =-，139cos 11313B =-，()133********sin sin cos cos sin 1326132626B C B C B C -=-=⨯-⨯=-．2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+【解析】（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =．（2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a c b b c a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得：2222a b c =+，故原等式成立．3．（2023年北京高考数学真题）在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选：B.4．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A ．10πB ．5πC ．310πD ．25π【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+，整理可得sin cos 0B A =，由于()0,πB ∈，故sin 0B >，据此可得πcos 0,2A A ==，则ππ3πππ2510B AC =--=--=.故选：C.5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．23913B ．3913C ．72D ．31313【答案】C 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则7sin sin A C +=.故选：C.6．（2024年天津高考数学真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．【解析】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以22957sin 1cos 11616B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin 5716A =7sin 4A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则237sin 144A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知57sin 16B =，因为a b <，则A B <，所以273cos 144A ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，则7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯=，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()91573757cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=.法二：7337sin 22sin cos 2448A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以22957sin 1cos 116B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以()91573757cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯=7．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知16,2,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值；(2)求sin B 的值；(3)求sin(2)A B -的值.【解析】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162b c bc =++，而2b c =，代入得22264c c c =++，解得：1c =．（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<，所以215sin 1cos 4A A =-sin sin a b AB =，所以152sin 104sin 46b AB a==（3）因为1cos 4A =-，所以ππ2A <<，故π02B <<，又215sin 1cos A A =-所以11515sin 22sin cos 2448A A A ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，217cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-，而sin 104B =26cos 1sin 4B B =-，故15671010sin(2)sin 2cos cos 2sin 84848A B A B A B ⎛-=-=-+= ⎝⎭．考点2：实际应用8．（2024年上海夏季高考数学真题）已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠=(精确到0.1度)【答案】7.8︒【解析】设,90BCA ACD θθ∠=∠=- ，在DCA △中，由正弦定理得sin sin CA CDD CAD=∠，即()sin 37.0sin 1809037.0CACD θ-=⎡⎤-+⎣⎦’即()sin 37.0sin 9037.0CACDθ=-+①在BCA V 中，由正弦定理得sin sin CA CBB CAB=∠，即()sin16.5sin 18016.5CACB θ=⎡⎤+⎦-⎣，即()sin16.5sin 16.5CA CBθ=+ ，②因为CD CB =，②①得()()sin 9037.0sin 37.0sin16.5sin 16.5θθ-+=+，利用计算器即可得7.8θ≈ ，故答案为：7.8 .9．（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2a b c ===，则该三角形的面积S =．234【解析】因为222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以242312342442S ⎡⎤+-⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⨯234考点3：角平分线、中线、高问题10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．【解析】（1）3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，3310sin 1010A ∴==（2）由（1）知，10cos 1010A =，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin ()210105A C A C =+==由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255521022b =，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 210610h b A ∴=⋅==.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在ABC 中，60,2,6BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =．【答案】2【解析】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：13b =+由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：2313323312b AD b ==++．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：13b =62sin 60sin sin b B C ==，解得：62sin 4B =，2sin 2C =，因为1362+>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．考点4：解三角形范围与最值问题12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =．31/13-【解析】[方法一]：余弦定理设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-==-+++++()1244233211m m ≥--+⋅+当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m =.31.[方法二]：建系法令BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系.则C （2t,0），A （13，B （-t,0）()()()22222221344412443324131113,31t AC t t AB t t t t t t BD -+-+∴===-≥-++++++++==当且仅当即时等号成立。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
(完整版)高考解三角形大题(30道)
专题精选习题——--解三角形1.在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知bac B C A -=-2cos cos 2cos . （1）求ACsin sin 的值; （2）若2,41cos ==b B ,求ABC ∆的面积S 。
2.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin C C C -=+。
（1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.3.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,。
（1）若A A cos 2)6sin(=+π，求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.4。
ABC ∆中,D 为边BC 上的一点，53cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD 。
5。
在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知41cos ,2,1===C b a 。
（1）求ABC ∆的周长; （2）求)cos(C A -的值.6.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241b ac =. （1）当1,45==b p 时，求c a ,的值; （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围。
7.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,。
且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=。
（1）求A 的值;（2）求C B sin sin +的最大值。
8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知412cos -=C 。
（1）求C sin 的值；（2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长。
ABC ∆b c C a =+21cos 9.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足3,5522cos =⋅=AC AB A . （1）求ABC ∆的面积；（2）若6=+c b ，求a 的值.10.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,22)4cos()4cos(=-++ππC C . （1）求角C 的大小；（2）若32=c ,B A sin 2sin =，求b a ,.11.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且. （1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.12.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足0cos cos )2(=--C a A c b 。
近三年解三角形高考真题(带解析)
近三年解三角形高考真题（带解析）1．（2022·北京·统考高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．2．（2022·天津·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.3．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ． 4．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+5．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 6．（2022·浙江·统考高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．7．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．8．（2021·全国·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．9．（2021·全国·统考高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.10．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．11．（2020·全国·统考高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.12．（2020·全国·统考高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．参考答案：1．(1)6π (2)663【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABCS ab C a ===，解得a =由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC的周长为6a b c ++=.2．(1)1c =(2)sin B =(3)sin(2)A B -=【分析】（1）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-以及2b c =解方程组即可求出； （2）由（1）可求出2b =，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．【详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162b c bc =++，而2b c =，代入得22264c c c =++，解得：1c =．（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<，所以sin A =sin sin a b A B =，所以2sin sin b A B a===．（3）因为1cos 4A =-，所以ππ2A <<，故π02B <<，又sin A ==所以1sin 22sin cos 24A A A ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，217cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-，而sin B =cos B ==故7sin(2)sin 2cos cos 2sin 8A B A B A B ⎛-=-=+= ⎝⎭． 3．(2)12【分析】（1）先表示出123,,S S S，再由123S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得22sin sin sin b ac B A C=，即可求解.【详解】（1）由题意得22221231,,2S a S S =⋅==，则222123S S S -+==即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos B1cos ac B ==1sin 2ABCS ac B ==（2）由正弦定理得：sin sin sin b a cB A C==，则229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.4．(1)5π8； (2)证明见解析．【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【详解】（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． （2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．5．(1)见解析 (2)14【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. 【详解】（1）证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-， 所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅，即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； （2）解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=. 6．(2)22．【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．【详解】（1）由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin A C ==（2）因为4a =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．7．(1)π6；(2)5．【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出．【详解】（1）因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；（2）由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-== ()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5．8．（1（2）存在，且2a =. 【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值. 【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c Cab，所以，C 为锐角，则sin C ==因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△ （2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++， 解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈，故2a =. 9．（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得cos ABC ∠的值.【详解】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理， 得sin sin ,22b cR ABC C R==∠， 因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b cBD a R R⋅=⋅，即BD b ac ⋅=． 又因为2b ac =，所以BD b =．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2AD DC =，如图，在ABC 中，222cos 2a b c C ab+-=，①在BCD △中，222()3cos 23ba b b a C +-=⋅．② 由①②得2222223()3b a b c a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦，整理得22211203a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，解得3ca =或32c a =，当22,33c c a b ac ===时，33c ca b c +=<（舍去）． 当2233,22c c a b ac ===时，22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅-==⋅∠． 所以7cos 12ABC ∠=． [方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知2AD DC =，则23ABD ABC S S =△△， 即21221sin sin 2332b ac AD A B BC ⨯=⨯⨯∠∠，而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠， 故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠． 由2b ac =，即b ca b =，即CA BA CB BD=，即ACB ABD ∽， 故AD ABAB AC=，即23bc c b =，又2b ac =，所以23c a =， 则2227cos 212c a b ABC ac +-==∠． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BD b AC ==，再由2AD DC =得21,33AD b CD b ==．在ADB 中，由正弦定理得sin sin AD BDABD A=∠．又ABD C ∠=∠，所以s 3sin n 2i C b A b=，化简得2sin sin 3C A =． 在ABC 中，由正弦定理知23c a =，又由2b ac =，所以2223b a =． 在ABC 中，由余弦定理，得222222242793cos 221223a a a a c b ABC ac a +--⨯∠+===． 故7cos 12ABC ∠=． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE AB ∥，交BC 于点E ，则DEC ABC △∽△．由2AD DC =，得2,,333c a aDE EC BE ===．在BED 中，2222()()33cos 2323BED a c b a c -=⋅∠+⋅．在ABC 中222cos 2a a BC c A b c+-=∠．因为cos cos ABC BED ∠=-∠，所以2222222()()3322233a c ba cb ac ac +-+-=-⋅⋅，整理得22261130a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=， 即3ca =或32a c =． 下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理 因为2AD DC =，所以2AD DC =． 以向量,BA BC 为基底，有2133BD BC BA =+． 所以222441999BD BC BA BC BA =+⋅+， 即222441cos 999b ac c ABC a ∠=++， 又因为2b ac =，所以22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++．③ 由余弦定理得2222cos b a c ac ABC =+-∠， 所以222cos ac a c ac ABC =+-∠④ 联立③④，得2261130a ac c -+=．所以32a c =或13a c =． 下同解法1．[方法六]：建系求解以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0D A C -．由（1）知，3BD b AC ===，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．设()(),33B x y x -<<，则229x y +=．⑤由2b ac =知，2BA BC AC ⋅=， 2222(2)(1)9x y x y ++-+．⑥联立⑤⑥解得74x =-或732x =≥（舍去），29516y =， 代入⑥式得36||||6,3a BC c BA b =====， 由余弦定理得2227cos 212a cb ABC ac +-∠==． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.10．（I ）3B π=；（II ）32⎤⎥⎝⎦【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I ）[方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 4a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=. 结合余弦定222cos 2b c a A bc+-=， ∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭， 即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=，即444222222220a b c a c a b b c +++--=，即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=，即()()22222a c b ac +-=， ∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->，∴222a c b ac +-=， 所以2221cos 22a cb B ac +-==， 又B 为ABC 的一个内角，故3B π=.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ） [方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-. 结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤. 由临界状态（不妨取2A π=）可知a c b+=而ABC为锐角三角形，所以a c b+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++ 1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13sin 622A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦. 【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.11．（1）23π；（2）3+【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅， ()0,A π∈，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=. 22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]：正弦化角（通性通法） 设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知sin sin sin a b c A B C===以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC周长的最大值为3+[方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c．令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()b c +=所以ABC 周长的最大值为3+【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.12．（1）3A π=；（2）证明见解析【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭可化为251cos cos 4A A -+=，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc +-=，将b c -代入可找到,,a b c 关系， 再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=， 即251cos cos 4A A -+=， 解得1cos 2A =，又0A π<<， 所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①，又b c -②， 将②代入①得，()2223b c b c bc +--=， 即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC 是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．。
解三角形大题全国卷高考题汇总
解三角形大题全国卷高考题汇总(11-19)(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--解三角形全国高考题汇总一全国1卷(19年1卷）17.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ． 【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2）利用正弦定理可得sin 2sin A B C +=，利用()sin sinB AC =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈ 3A π∴=（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C ++=整理可得：3sin C C -=22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴-=-解得：sin C =因为6sin 2sin 2sin 2sin 02B C A C =-=->所以6sin 4C >，故62sin 4C +=. （2）法二：22a b c +=，由正弦定理得：2sin sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=3312cos sin 2sin 222C C C ∴⨯++= 整理可得：3sin 63cos C C -=，即3sin 3cos 23sin 66C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭2sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+ 62sin sin()464C ππ+=+=.（2018全国新课标Ⅰ理）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠； （2）若22DC =，求BC .（1）在ABD ∆中，由正弦定理得：52sin 45sin ADB =∠,∴2sin 5ADB ∠=, ∵90ADB ∠<,∴223cos 1sin ADB ADB ∠=-∠=（2）2ADB BDC π∠+∠=,∴cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠， ∴cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠,∴222cos 2DC BD BC BDC BD DC+-∠=⋅⋅, ∴2282552522BC +-=⋅⋅.∴5BC =.【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【解析】（1）面积．且，，，由正弦定理得，由得．（2）由（1）得，，，，又，，，，由余弦定理得①由正弦定理得，， ②由①②得，，即周长为．【2016，17】的内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．【解析】⑴，由正弦定理得：，∵，，∴∵，∴∴，，⑵由余弦定理得：，，∴，∴，，∴周长为【2013，17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求P A；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得P A2＝，故P A＝.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α，在△PBA中，由正弦定理得，化简得cos α＝4sin α，所以tan α＝，即tan∠PBA＝.【2012，17】已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求，．【解析】（1）根据正弦定理，得，，，因为，所以，即，（1）由三角形内角和定理，得，代入（1）式得，化简得，因为，所以，即，而，，从而，解得．（2）若，△ABC的面积为，又由（1）得，则，化简得，从而解得，．二．全国2卷（2017·17）的内角的对边分别为 ,已知．（1）求；（2）若 , 面积为2，求．（2015·17）在∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC 面积的2倍．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．（2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.（2012·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编8．三角函数与解三角形（逐题解析版）一、选择题（2016·7）B解析：平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，故选B．（2016·9）D解析：∵，，故选D．（2014·4）B解析：∵，即：，∴，即或．又∵，∴或5，又∵为钝角三角形，∴，即：.（2012·9）A解析：由得，，.（2011·5）B解析：由题知,，故选B.（2011·11）A解析：的最小正周期为π，所以，又，∴f (x)为偶函数，，，故选A.二、填空题（2017·14）【解析】∵，，∴，设，，∴，函数对称轴为，∴．（2016·13）解析：∵，，∴，，，由正弦定理得：，解得．（2014·14）1 解析：∵∵，∴的最大值为1.（2013·15）解析：由，得tan θ＝，即sin θ＝cos θ. 将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得. 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θ＝，sin θ＋cos θ＝.（2011·16）解析：,，，，，故最大值是.三、解答题（2017·17）的内角的对边分别为 ,已知．（1）求；（2）若 , 面积为2，求．解析：（Ⅰ）【解法1】由题设及，故，上式两边平方，整理得，解得.【解法2】由题设及，所以，又，所以，. （Ⅱ）由，故，又，由余弦定理及得，所以b=2．（2015·17）在∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC 面积的2倍．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．解析：（Ⅰ），，因为，，所以，由正弦定理可得.（Ⅱ）因为，，所以，在和中，由余弦定理知，，，故，由（Ⅰ）知，所以.（2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B ①，又A＝π-(B+C)，故sin A＝sin(B+C)＝sin B cos C+cos B sin C ②，由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以.（Ⅱ）△ABC的面积. 由已知及余弦定理得. 又a2＋c2≥2ac，故，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为.（2012·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c.解析：（Ⅰ）由及正弦定理可得，，，，，，，，，，.（Ⅱ），，，，，，解得.三．全国3卷（17年）17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 30A A =，27a =，2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 30A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵127,2,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,27,4AC BC AB ===， 由余弦定理22227cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形， 则cos AC CD C =⋅，得7CD =由勾股定理223AD CD AC -=又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABDS AD AB =⋅⋅=△。
2024年高考数学真题分类汇编05：三角函数与解三角形
解法二：令 h x f (x) g x , x 1,1 ，可知 h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可
知 h x 的零点只能为 0，即可得 a 2 ，并代入检验即可. 【解析】解法一：令 f (x) g x ，即 a(x 1)2 1 cos x 2ax ，可得 ax2 a 1 cos x ， 令 F x ax2 a 1,G x cos x ，
三角函数与解三角形
一、单选题
1．（2024·全国）已知 cos( ) m, tan tan 2 ，则 cos( ) （ ）
A． 3m
B． m 3
C．
m 3
D． 3m
2．（2024·全国）当
xÎ
[0, 2 ] 时，曲线
y
sin
x
与
y
2
sin
3x
6
的交点个数为（
）
A．3
B．4
C．6
的最小正周期为
π
．则函数在
π 12
,
π 6
的最小值是（ ）
A． 3
2
B． 3 2
C．0
D． 3 2
9．（2024·上海）下列函数 f x 的最小正周期是 2π 的是（ ）
A． sinx cosx C． sin2x cos2x
B． sinxcosx D． sin2x cos2x
二、多选题
y
f
x 在 0,1 处的切线与两坐标轴围
成的三角形的面积为（ ）
A． 1 6
B．
1 3
C．
1 2
D．
2 3
7．（2024·北京）已知fxFra biblioteksinx
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2017高考真题解三角形汇编
1.（2017北京高考题）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37
a . （Ⅰ）求sin C 的值；
（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.
2．（2017全国卷1理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△
ABC 的面积为23sin a A
（1）求sin B sin C ;
（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.
3．（2017全国卷1文科）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知
sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c
C =B
A ．π12
B ．π6
C ．π4
D ．π3
4.（2016全国卷2理科）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知
2
sin()8sin 2
B A
C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
5.（2017全国卷2文科16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=
6．（2017全国卷3理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
sin A
cos A =0，a
,b =2．
（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积．
7．（2017全国卷3文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
已知C =60°，b
，c =3，则A =_________。
8.（2017山东高考题理科）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若
C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，
则下列等式成立的是（ ）
（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 9.（2017山东高考题文科）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知
b =3,6AB AC ⋅=-u u u r u u u r
,S △ABC =3,求A 和a .
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10.（2017天津高考题理科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3
sin 5
B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求π
sin(2)4
A +
的值. 11.（2017天津高考题文科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =
，2
2
2
)ac a b c =--. （I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.
12.（2017浙江高考题）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2. 点D 为AB 延长线
上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是___________,
cos ∠BDC =__________.
13.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
).(R k k ∈=⋅=⋅
（Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若k c 求,2=的值.
14.设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且
22sin sin() sin() sin 33
A B B B ππ
=+-+。
(Ⅰ)求角A 的值； (Ⅱ)
若12,AB AC a ==u u u r u u u r g 求,b c （其中b c <）。
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15.在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===
（Ⅰ）求AB 的值。
（Ⅱ）求)4
2sin(π
-
A 的值。