高三数学一轮复习教学案

高三数学一轮复习教学案——导数的应用
授课时间：______月_____日
教学目标：
1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2．结合函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．3．体会导数在解决实际问题中的作用． 教学重、难点：利用导数求函数的最值、极值。

建立函数关系，利用导数求生活中的最
优化问题。

考点知识回顾：
1.函数的单调性
(1)(函数单调性的充分条件)设函数 y =f (x )在某个区间内可导, 如果 f '(x )>0, 则 y =f (x )为增函数,如果 f '(x )<0, 则y =f (x )为减函数,
(2)(函数单调性的必要条件)设函数 y =f (x ) 在某个区间内可导, 如果 f (x ) 在该区间单调递增(或减), 则在该区间内 f '(x )≥0 (或 f '(x )≤0).
注：当 f ' (x ) 在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正(或负)时,f (x ) 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.
2.函数极值的定义
设函数 f (x ) 在点x 0及其附近有定义, 如果对x 0附近的所有点, 都有 f (x )<f (x 0),我们就说 f (x 0) 是函数 f (x ) 的一个极大值;如果对x 0附近的所有点, 都有 f (x )>f (x 0), 就说 f (x 0)是函数f (x )的一个极小值；极大值与极小值统称为极值.
3.判断 f (x 0) 是极值的方法
一般地, 当函数 f (x ) 在点 x 0 处连续时
(1)如果在 x 0附近的左侧 f '(x )>0, 右侧 f '(x )<0, 那么 f (x 0) 是极大值; (2)如果在x 0附近的左侧 f '(x )<0, 右侧 f '(x )>0, 那么 f (x 0) 是极小值。

4.求可导函数 f (x ) 的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域; (2)求导数 f '(x ); (3)求方程 f '(x )=0 的根; (4)检查 f '(x ) 在方程 f '(x )=0 的根左右的值的符号, 如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值.
5.函数的最大值与最小值
在闭区间 [a , b ] 上连续的函数 f (x ) 在 [a , b ] 上必有最大值与最小值. 但在开区间 (a , b ) 内连续的函数 f (x ) 不一定有最大值与最小值, 例如 f (x )=x , x ∈(-1, 1).
6.设函数 f (x ) 在 [a , b ] 上连续, 在 (a , b ) 内可导, 求 f (x ) 在 [a , b ]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f (x ) 在 (a , b ) 内的极值; (2)将 f (x ) 的各极值与 f (a ), f (b ) 比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.
教学过程：
一、预习自测：
1、函数x x y sin 2-=在()π2,0内的单调增区间为__________________。

2、函数51232)(2
3+--=x x x x f 在[]3,0上的最大值是_______________。

3、函数x x x f ln 2
1)(2-=的最小值为_____________________。

4、设[]b a x f ,)(在上连续，在()b a ,内可导，则下列结论正确的是__________。

①)(x f 的极值点一定是最值点；②)(x f 的最值点一点是极值点；③[]b a x f ,)(在内可能没有极值点；④[]b a x f ,)(在内可能没有最值点。

5、函数)(x f y =在定义域)3,2
3(-内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为______________________。

二、典型例题：
例一、设522)(2
3
+--=x x x x f ，（1）求函数的单调区间；（2）当[]2,1-∈x 时，m x f <)( 恒成立，求实数m 的取值范围。

例二、已知函数c bx ax x x f +++=2
3)(，曲线)(x f y =在点1=x 处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，若3
2=x 时，)(x f y =有极值。

（1）求c b a ,,的值；（2）求)(x f y =在[]1,3-上的最大值和最小值。

变式：已知函数32
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.
例三、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：
3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地
相距100千米.
（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
三、当堂检测：
1、已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是___________________________
2、已知函数2)7215()14(3
1)(223+--+--=x m m x m x x f 在（－∞，+∞）上是增函数， 则m 的取值范围是____________________
3、若函数f(x)=ax 3＋bx 2＋x ＋1在x=1与x=－1处有极值，则a= ；b= ．
4、用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
四、预习要求与预习训练：
1、理解任意角三角函数的概念，识记三角函数在各象限的符号和特殊值的三角函数值，能熟练运用同角三角函数的基本关系式。

2、已知角α终边经过点P （2，3-）.求α的正弦、余弦、正切值分别为
__________________________________.
3、确定下列三角函数值的符号.
（1）π127cos
（2）)465sin(0- （3）π3
11tan 4、已知αtan =5
12，①求αsin 、αcos 的值. ②求α
αααcos sin sin 5cos 3-+，αααα22cos 3cos sin 2sin -⋅+
高三数学一轮复习作业——导数的应用
班级： 姓名： 学号： 得分：
1、函数93)(2
3-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =__________
2、函数y=x 3－3x 的单调递增区间是_____________________________
3、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 时有极值10，则b a ,的值为______________
4、若函数a ax x y +-=33在()2,1内有极小值，则实数a 的取值范围________________
5、若函数2)(2
3-+-=m mx x x f 的单调减区间是()3,0，则m=__________________ 6．已知函数y= 3x 3＋2x 2－1在区间（m,0）上为减函数，则m 的取值范围是 ．
7、函数y=2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上的最大值与最小值分别是___________________.
8、已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2
若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.
9、已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－2
3
与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x∈[-1,2]，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。

10、某厂生产某种产品, 已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系
式为p=24200-x2, 且生产x吨的成本为R=50000+200x 元. 问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大? 最大利润是多少?(利润=收入-成本)。