夫琅禾费衍射

[
e
a
+e a
]dx
−
2
2
=
− i~c a [ sin(
πa sin λ
θ
（3）
故：
d = f ′λ
（4）
∆y
把 f’=500、λ＝632.8nm、和 ∆y = 1.5 代入式（4）得：
d＝0.21mm
又根据缺级的已知条件，可知： b＝d/4=0.21/4=0.05mm
可见，我们可以借助于双缝衍射实验来做微小尺度的测量。
2、一发射波长为 600 nm 的激光平面波，投射于一双缝上，通过双缝后，在 距双缝 100cm 的屏上，观察到干涉图样如图所示．试求：
λ＝600 nm
3、波长为λ＝546nm 的单色光准直后垂直投射在缝宽 b＝0.10mm 的单缝上， 在缝后置一焦距为 50 cm、折射率为 1.54 的凸透镜．试求：
(1) 中央亮条纹的宽度； (2) 若将该装置浸入水中，中央亮条纹的宽度将变成多少？
解：(1) 置于空气中时．单缝衍射的中央亮纹的宽度为：
5、如题 5 图所示，宽度为 a 的单缝平面上覆盖着一块棱角为 α 的棱镜．波 长为 λ 的平行光垂直入射于棱镜的棱面 AB 上，棱镜材料对该光的折射率为 n，试
求单缝夫琅和费衍射图样中央衍射极大和各级衍射极小的衍射方向．
A a
αB
题5图
解：题 5 解图表示出一个被修饰了的夫琅和费单缝衍射装置．若单缝未被修 饰时，中央衍射极大出现在沿缝宽划分的各子波带等光程的方向上．各衍射极小 出现在边缘子带具有波长整数倍光程差的衍射方向上．这个结论仍可以用来确定 本题中经过修饰后的单缝．
所以为了观察夫琅和费衍射．光屏应置于透镜的焦平面处，即光屏由原来在 透镜后 50cm 处移至 171cm 处。这时．在水中的夫琅和费衍射中央亮条纹的宽度
相应发生了改变，其宽度为：
∆y = 2 λ
f
′
=
546 ×10－6 2
×1710＝14mm
n′ b
1.33 × 0.10
在计算中应注意两点，其一，由于透镜的焦距变化，观察屏相应做一移动；
缝将产生相同的衍射图样．即
I
=
I
0
[
sin β
β
]2
πbsinθ π y其中β=≈bλ λ f′
（2）
式中，b 为细丝的直径。
2、夫琅和费多缝衍射 1、在双缝的夫琅和费衍射实验中。所用的光波波长为λ＝632.8nm，透镜的
焦距为 f’＝50 cm，观察到两相邻亮条纹之间的距离为 ∆y = 1.5mm ，且第 4
故：
N－2＝2
即：
N＝4
π π b sinθ
当 u=
＝ 时，I＝0，对应图中的 y＝2cm 处，故：
λ
sin θ ≈ y = 2 ＝10－3 f ′ 20 ×102
则:
λ b=
sin θ
=
600 ×10－9 10－3
＝0.6
× 10－8
m
π 当 v = πd sin θ ＝ 时，出现第一主极大，对应图中 y＝0.4cm 处。故：
= a02[3 + 2(cos∆ϕ + cos 2∆ϕ + cos3∆ϕ )]
而：
πb sinθ
sin
a0 =
λ πb sinθ
λ
故：
Iθ
=
I
0
(
sin u
u
)
2[3
+
2(cos
∆ϕ
+
cos
2∆ϕ
+
cos
3∆ϕ)]
= I0 sin c2u[3 + 2(cos ∆ϕ + cos 2∆ϕ + cos 3∆ϕ)]
nasinα－asinθ＝kλ，k＝±1、±2、… 时，得到各衍射极小，若由上式解出的θ小于零，说明衍射方向位于计算题5 解图中单缝平面法线的下方，图中所示在法线上方的θ是正值．显然，θ值只能在 ±π之间．
A
D
θ
aθ
D′ αB
题5图
6、光学切趾法是改变系统的孔径函数、使衍射光强重新分布的方法．今有 缝宽为 a 的夫琅和费单缝衍射装置，在缝宽方向上，由 x=-a/2 到 x=+a/2 的缝平 面上覆盖着振幅透射率为 cos(πx/a)的膜片（题 6 图）．试求平行光垂直于狭缝 入射时，远方屏幕上衍射光强分布，并和无膜片修饰时衍射光强分布作比较．
(1) 缝的宽度 b， (2) 双缝的间距 d．
题2图 解：设缝宽为 b，缝间距为 d，缝到屏的距离为 r，则双缝干涉条纹间距为：
λ ∆y = r
d
由图可知：
∆y = 1cm
故： 由缺级公式：
d = λ r = 6 ×10－5 ×100 ＝6 ×10－3cm
∆y
1
d/b=4
故
b=d/4=1.5 ×10－3 cm
1、夫琅和费单缝衍射
3.夫琅和费衍射
1、钠光通过宽为 0.2mm 的狭缝后，投射到与缝相距 300 cm 的照相板上．所 得第一最小值和第二最小值间的距离为 0.885 cm．试求：
(1) 光的波长； (2) 若改由波长为 4nm 的软 x 射线作此实验，则上述两最小值的问距为多 少？ 解：(1) 若近似以夫琅和费单缝衍射处理，则单缝衍射的最小值的位置由下 式确定：
题4图
解： 由多缝衍射光强分布公式，得：
πb sinθ
πd sinθ
sin(
) sin N(
)
I = I0[
λ πb sinθ
]2[
λ
]2
sin(πd sinθ )
λ
λ
令
u = πbsinθ
v = πd sinθ
λ
λ
则：
I
=
I
0
(s
in
c
2
u)(
sin Nv sin v
)
2
这里θ为衍射角。由图可知，由于相邻两个主最大之间有 N－2 个次最大，
为单缝衍射的振幅， A0 为三缝衍射的合振幅．则：
A0x = a0 (1 + cos∆ϕ + cos3∆ϕ) A0y = a0 (0 + sin ∆ϕ + sin 3∆ϕ)
故三缝衍射强度分布为：
Iθ
=
A2 θx
+
A2 θy
= a02 [(1+ cos∆ϕ + cos3∆ϕ)2 + (0 + sin ∆ϕ + sin 3∆ϕ)2 ]
b sinθ = kλ
由于衍射角很小，故
sin θ ≈ tgθ = y f′
故第二最小值与第一最小值之间的距离近似为：
∆y
=
y2
−
y1
=
2f
′λ b
−
f
′
λ b
=
f
′λ b
将 ∆y = 0.02，b＝0.885，f ′＝300代入上式，得：
λ＝ ∆y ⋅ b = 0.02 × 0.885＝590nm
(πb sin θ ) 2
λ
λ
将上式中的θ以θ + θ0 = θ + (n − 1) A 替代，即得附有劈形的单缝衍射光强分
布为：
sin 2 { π b sin[ θ + ( n − 1) A ]}
I∞
λ
π b sin[ {
θ
+
(n
− 1) A ]} 2
λ
s in
2 { kb sin[
θ
+ ( n − 1) A ] }
并以 A、θ、k 和 n 表示 c 值。
解：劈形厚度为：
t＝Ay
式中，A 为劈形的顶角、若 A 很小，则侧向角满足下列关系式：
θ0 = (n − 1) A
显然，强度分布的解析式仍然和单缝衍射时一致，仅是中心向着劈形底边方
向偏折了一个角度 A。
单缝衍射的强度分布为：
sin 2 πb sin θ
I∞
λ
= sin c 2 πb sin θ
x
0 a
题6图 解：由惠更斯—菲涅耳原理屏幕上的复振幅为
∫ A~
=
~c
a
2 a − 2
cos(πx ) a
e⋅ ikx sinθ
dx
∫ ∫ =
~c
a
2 a −
1
(
e
πx i
a
2
+
πx −i
ea
)eikxsinθ dx
=
~c
2
a
π ix( + k sinθ )
π ix( − + k sinθ )
2 a
3、如图(a)所示的三条平行狭缝．宽度均为 b，缝距分别为 d 利 2d．试用振 幅矢量迭加法证明：当正入射时，夫琅和费衍射强度分布公式为：
Iθ
=
I
0
(
sin u
u
)
2[3
+
2(cos
2v
+
cos
4v
+
cos
6v
)]
其中：
u = πbsinθ λ
v = πd sinθ λ
题3图
解：考虑三束衍射光之间的光程差，参看图 (b)，并做振幅矢量图 (c)， aθ
=
2
kb sin[ {
θ
+
(n
−
1)
A
] }
2
2
1
故：
β = k sin[θ + (n −1) A]