2.3 夫琅禾费单缝衍射

b
屏幕
观测屏
x2 x1 Δx Δ x0
λ
1
0
0
I
f
其他各级明纹的宽度：相邻暗纹间距
k 对K级暗纹有 sin b
角宽度 k 1 k sin k 1 sin k b
线宽度 x xk 1 xk f sin k 1 f sin k f
S
L1
P
x
O

当很小时,
x
f
sin tan
次明纹位置： 暗条纹位置：
故 x f sin f xk ( 2k 1) ( k 1,2,) 2b f xk k ( k 1,2,) b
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
六、条纹宽度
中央明纹角宽度:中央亮纹对透镜中心的张角。 由暗纹条件： b sin k 当θ很小，有 k k 中央明纹角宽度：2 0 2
A b


B
x P
θ =0 的衍射光： L1 B S
x

L2
P
b
B
P0 f
将狭缝分成一系列平行于缝长的宽度为dx的窄带，每个 窄带是发射子波的波源。 显然，对于θ=0的这束平行光，其波面与缝平面BB'重合， BB'上各个点光源的相位相同，设初相均为0。其中从BB'发出的 每条光线到达P0的光程都相等，因而在P0叠加，振动相互加强， P0点处为中央亮纹。

b
可见中央明纹约为其他各级明纹宽度的两倍。
衍射屏 透镜

观测屏 x2 x1 Δx Δ x0
屏幕
λ
1
0
0
I
f
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？
若缝宽比波长大 很多（ b ） ，衍射图样压缩 成一亮线，也就 是线光源通过透 镜后所成的象。 此时光可看作直 线传播。
衍射屏 透镜

观测屏
x2 x1 Δx Δ x0
λ
1
0
0
I
f
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
解：(1)单缝衍射最小值位置公式 令 k = 1，得
1 sin1 0.03rad 1o 42
衍射屏 透镜

观测屏
x2 x1 Δx Δ x0
λ
1
0
0
I
f
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
单缝位置对光强分布的影响
单缝上下移动，条纹位置如何？ 条纹位置不变。 因为衍射角相同的光线，会 聚在接收屏的相同位置屏为平行等宽双狭 缝，每一个缝的衍射图样、位置 一样吗？衍射合光强如何？

b
O
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
例题1. 波长为 = 632.8 nm 的He-Ne激光垂直地投射到缝宽 b = 0.0209 mm 的狭缝上。现有一焦距 f ' = 50 cm 的凸透镜 置于狭缝后面，试求： (1) 由中央亮条纹的中心到第一级暗纹的角距离为多少？ (2) 在透镜的焦平面上所观察到的中央亮条纹的线宽度是 多少？
平行衍射光
平行衍射光 光线系1，光线系2，光线系 3…构成无穷多束平行衍射光。
A
3 ３ ３
2
２
1
１
O
K
２ θ １ O/ ３ ２ １ L ３ ２ １
B
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
平行衍射光的方向
衍射角 每一束平行光与单缝 法线方向之间的夹角 θ 称为衍射角，变化 范围0→±π /2 （向 上为正，向下为负）。
衍射屏 透镜


b
（θ：衍射角）

b
x2 x1
（∆θ：半角宽度）
λ
Δx Δ x0
1
0
0
I
f
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
中央明纹线宽度：正负第一暗纹的间距。 中央明纹(主极大)宽度:
x0 x1 x1 2 f tg1 2 f sin1 2 f
衍射屏 透镜


x P
复振幅：
B
f
A0 dx ik xsin r' ） dE e（ b
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
A0 dx ik xsin r' ） 复振幅： dE e（ b
P点处的合振幅：
bsin sin( ) bsin 2 i( r' ) b A0 ikr' ikxsin EP dE e e dx A0e 0 bsin b （ ）
sin 0
为主极大（零级）
b sin u
得
3 u1 1.43 2 5 u2 2.46 2 7 u 3 3.47
2
A12 0.0472 A02
2 A2 0.0165 A02
A32 0.0083 A02
1 uk k , 2 次明纹(中心) ：
(3)波长 越大，条纹越宽。 白光：中央特亮，其余呈彩色分布。
如何解释这些实验规律？
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
三、惠更斯－菲涅耳原理分析衍射过程
平行衍射光
衍射光 如图中A点的1，2，3…光线 都是衍射光线。
A
3 ３ ３
2
２
1
１
O
K
２ θ １ O/ ３ ２ １ L ３ ２ １
B
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
I P E P E P * A0 2
令
P点处的光强：
sin 2 (
b sin u
b sin ) b sin 2 ( )
I P I0
sin 2 u u2
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
sin2 u I P I0 u2
四、光强分布
b sin u
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
一、实验装置
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
二、光路图和衍射图样
衍射屏 透镜L 透镜L A S b f 像屏 p · 0
*
B f
S: 波长单色光源
b :缝宽
中央 明纹
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
单缝衍射图样的主要规律：
(1)中央亮纹最亮； 中央亮纹宽度是其他亮纹宽度的2倍； 其他亮纹的宽度相同； 亮度逐级下降。 (2)缝 b 越小，条纹越宽。 （即衍射越厉害）
dI d sin 2u 2sinu(ucosu sinu ) I0 ( 2 ) I0 0 3 du du u u
极值
sin u 0
u tgu
(1) 主极大（中央明纹中心）位置： 由
sin u 0
得
u=0 时，
sin 0 0
这时 I p I 0 I max
sin
总结：衍射图样的明、暗纹公式 中央明纹(中心):
2 暗条纹(中心) ： b sin 2k ，k 1,2,3… 2 五、条纹位置 b R L2
b sin 0
即 θ =0
次明纹(中心)： b sin ( 2k 1) ， k 1,2,3…
(k 0) (k 0)
(2)1 很小，第一级暗纹到中央明纹中心的距离为
x1 f 1 f sin1 50 0.03 1.5cm tg
中央亮条纹的宽度为
2 x1 2 1.5 3cm
衍射屏 透镜

观测屏
x2 x1 Δx Δ x0
λ
1
0
0
I
f
宽度dx窄带所发次波的振幅
dE 取M点处宽度为dx窄带作为发射次波的波源，其振动方程： 0
次波沿MN方向经透镜到达P点的光程：r x sin x
r ' （r´是N到P的光程）
A0 dx cos t b
B'
M
次波传到P点所引起得振动：
D
θ N
b
x
A0 dx dE cos[ k ( x sin r ' ) t ] b
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
(2) 极小（暗纹）位置： 由
sin u 0
得
b u sin k 0 (k 1, 2 , )
, k 1, 2 , 3
得
bsin 2k

2
(k 0)
这时
IP 0
（3）次最大值位置：
由
u tgu 除（1） u 0
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
x
L1 B S

L2
P
b
B
P0 f
设P0点处的合振动振幅为A0， 所以宽为dx的窄带波源发出
的子波在P0点引起的振动振幅为 A0 dx 。
b
θ ≠0 的衍射光：
波前BB’分割成许多等宽窄带 dx 初位相 0 0
A0
A0 dx b
整个狭缝所发次波在θ=0的方向上P点的合振幅
k 1,2,3
b sin ( 2k 1) ，k 1, 2 , 3… 2
(k 0)
光学
§ 2.3 夫琅禾费单缝衍射
（4）各级亮纹强度分布是不均匀的
1
相对光强曲线
0.017 0.047 0.047 0.017
-2( /b) -( /b) 0 /b 2( /b)