解析几何考试试卷及答案-西南大学

解析几何考试试卷及答案-西南大学
西南大学 数学与统计学院
2012级
一、填空题（共7题，2分/空，共20分）
1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___1
6___. 2.已知向量(1,1,1)a →
=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→
→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____.
3.点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离是66
4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是3
147
___________. 5.曲线C:220
1
x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,
对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.
6.曲线C:220
x y
z ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线
C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.
7.椭球面125
492
22=++z y x 的体积是_____40π____________.
二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）
1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里
,,a b c 是3个非零实数.
解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-，
13(0,,)M M b c =-
于是1M ，12M M ，13M M 所确定的平面方程是000x a
y b z a
c b
c
---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .
2.已知空间两条直线:1l 010x y z +=⎧⎨+=⎩,:2l 0
10x y z -=⎧⎨-=⎩
.
(1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是
1
110
x y z +==
-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是
2
110
x y z -==
，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是
1212003
(,,)1106110M M v v =-=0≠，所以1l 和2l 是异面直线。

(2) 由于12(0,0,2)v v ⨯=，122v v ⨯=
1l 和2l 间的距离121212
(,,)
6
32
M M v v d v v =
=
=⨯ (3)公垂线方程是1110000
221100002x y z x y z ⎧+⎪
-=⎪⎪⎪⎨-⎪⎪=⎪
⎪⎩，即
0x y x y +=⎧⎨
-=⎩。

3.求曲线221x y
z ⎧=⎨=⎩
绕x 轴旋转产生的曲面方面.
解：设1111(,,)M x y z 是母线221
x y
z ⎧=⎨=⎩上任意一点,则过1111(,,)M x y z 的纬圆方程是
222222
11110x y z x y z x x ⎧++=++⎨
-=⎩
，（1） 又211
121
x y z ⎧=⎨=⎩ ，（2） 由（1）（2）消去111,,x y z 得到2222220x y z --+=.
4.已知单叶双曲面22214925
x y z +-=,)0,0,2(P 为腰椭圆上的点,
(1)求经过点P 两条直母线方程及其夹角;
(2)求这两条直母线所在的平面π的方程及平面π与腰椭圆所在平面的夹角.
解：(1)设单叶双曲面两直母线方程是()(1)253
()(1)253x z
y w u x z y u w ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩与
()(1)253
()(1)25
3x z
y t v x z y v t ⎧+=-⎪⎪⎨
⎪-=+⎪⎩ 把点)0,0,2(P 分别代入上面两方程组，求得,w u t v ==代入直母线方程，
得到过点)0,0,2(P 的两条直母线12531253x z y x z y ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩与1253
125
3x z
y x z y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，即
15106300
15106300x y z x y z -+-=⎧⎨
+--=⎩
与 15106300
15106300
x y z x y z ++-=⎧⎨
---=⎩ 两直母线的方向向量可分别取1(0,3,5)v =和2(0,3,5)v =-，设两直母线的夹角是θ，则有12128cos 17v v v v θ⋅-=
=，8
arccos 17
θπ=-.
（2）两直母线所在平面π的方程是
2
03
50035
x y z
-=-，即2x = 显然平面π与腰椭圆所在的平面的夹角是0.
四、证明题(共2题,第一题10分,第二题15分,共25分)
1.求证:曲线23
222
()(,,)111t t t r t t t t t t t →
=++++++在一个球面上,这里的
(,)t ∈-∞∞.
证明:设()(,,)r t x y z =，则有222x y z y ++=，即22211
()24x y z +-+=
所以曲线23222()(,,)111t t t r t t t t t t t →
=++++++在球心为1(0,,0)
2,半径为1
2
的球面上。

2.证明:(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面:
(2)双曲抛物面的同族的两条直母线异面.
证明: (1) 双曲抛物面的u 族直母线中任一条直母线都平行于平面0=+b
y
a x , v 族直母线中任一条直母线都平行于平面0=-b
y
a x ,
因而结论成立.---------5分
(2)不妨取u 族直母线来证明，任取u 族直母线中两条直母线
1l ：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+z b y a x u u b y a x )(211①和 2l ：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+z b y a x u u b y
a x )(222
②
其中21u u ≠.由于①的第一个方程表示的平面平行于②的第一个方程表示的平面,即1l 和2l 在两个平行平面上,因而1l 和2l 不会相交.
又由于直线1l 的方向向量为)2,1,1()1,,()0,1,1(1111ab u a b b u a u b a v --=--⨯=
直线2l 的方向向量为)2,1,1()1,,()0,1,1(2222ab
u
a b b u a u b a v --=--⨯=
由于21u u ,因此1l 和2l 不会平行,从而证明了双曲抛物面的同族的两条直母线异面.。