(完整版)小学奥数同余问题

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人教版五年级下册数学奥数试题 余数和同余 (含答案)

人教版五年级下册数学奥数试题 余数和同余  (含答案)

余数和同余一、走进来:在中国数学史上,广泛流传着一个“韩信点兵”的故事:韩信是汉高祖刘邦手下的大将,他英勇善战,智谋超群,为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。

据说韩信的数学水平也非常高超,他在点兵的时候,为了不让敌人知道自己部队的实力,先令士兵从1至3报数,然后从1至5报数,最后令士兵从1至7 报数,分别记下每次最后一个士兵所报之数。

这样,他很快就算出了自己部队士兵的总人数,而敌人始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。

这个故事中所说的韩信点兵的计算方法,最早提出并记叙这个数学问题的,是南北朝时期的数学著作《孙子算经》。

算经中载有此题之算法,后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝。

七子团圆正半月,除百零五便得知。

”这道题就是利用余数的性质来求解。

这一章我们来共同探讨这样的问题。

二、一起做:【例1】2100除以一个两位数得到的余数是56,求这个两位数。

提示:如何使2100能被这个两位数整除?【例2】用一个自然数分别去除69、90、125,所得的余数都是6,求这个自然数。

提示:把“有余数”转化成“没有余数”,就能解决了。

【例3】60,90和125分别除以某个自然数时,余数相同,这个自然数最大是多少?提示:余数相同,可以通过“不同的两数相减”的方式去掉余数,进而求解。

【例4】有一个整数,用它去除91、119、155得到的三个余数之和是20,求这个数。

提示:先根据已知条件,确定这个数的大致范围。

然后通过“三个数的和减去余数的和”去掉余数,再分解质因数来求解。

【例5】一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求满足条件的最小自然数。

提示:写出除以3余2的数,从中找出除以5余3的最小自然数,再写出满足前两个条件的数,从中找出除以7余2的最小数。

【例6】求71427×1379×5781的积除以7的余数。

提示:你可以利用这三个数分别除以7的余数,去研究71427×1379×5781除以7的余数。

同余法解题完整版

同余法解题完整版

同余法解题集团标准化办公室:[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。

同余的定义是这样的:两个整数,a,b,如果他们同时除以一个自然数m,所得的余数相同,则称a,b对于模m同余。

记作a≡b(mod.m)。

读作:a同余于b模m。

同余的性质也比较多,主要有以下一些:1..对于同一个除数,两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

例如201×95的乘积对于除数7,与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。

2..对于同一个除数,如果有两个整数同余,那么它们的差就一定能被这个除数整除。

例如519和399对于一个除数同余,那么这个除数一定是519与399的差的因数,即519与399的差一定能被这个除数整除。

3..对于同一个除数,如果两个数同余,那么他们的乘方仍然同余。

例如20和29对于一个除数同余,那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余,当然余数大小随次方变化。

4.对于同一个除数,若三个数a≡b(mod m),b≡c(mod m),那么a,b,c三个数对于除数m都同余(传递性)例如60和76同余于模8,76和204同余于模8,那么60,76,204都同余于模8。

5. 对于同一个除数,若四个数a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么a±c≡c±d (mod m),(可加减性)6. 对于同一个除数,若四个数a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么ac≡cd(mod m),(可乘性)二、中国剩余定理解法一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?解法:求3个数:第一个:能同时被3和4整除,但除以5余4,即12X2=24第二个:能同时被4和5整除,但除以3余1,即20X2=40第三个:能同时被3和5整除,但除以4余2,即15x2=30这3个数的最小公倍数为60,所以满足条件的最小数字为24+40+30-60=3412X2=24 20X2=40 15x2=30中2的来历。

小学奥数-巧解整除中的同余问题

小学奥数-巧解整除中的同余问题

小学奥数-巧解整除中的同余问题1.整数a除以整数b(b≠0),商是整数而没有余数,我们就说a 能被b整除,b能整除a。

2.a与b的和除以c的余数,等于a、b分别除以c的余数之和除以c的余数。

3.a与b的乘积除以c的余数,等于a、b分别除以c的余数的积除以c的余数。

4.若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同,则a、b的差一定能被m整除。

5所谓同余问题,就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数,反求这个数,称做同余问题。

精讲1:甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数得商11余32,求甲、乙两数。

分析:解答这样的问题,首先要根据除法的意义,理顺被除数、除数、商和余数之间的关系,即被除数=商×除数+余数。

因为甲=乙×11+32,所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088。

解:乙=(1088-32)÷(11+1)=88 甲=1088-88=1000精讲2:求478×296×351除以17的余数。

分析:先求出乘积再求余数,计算量较大,可以根据同余定理“a 与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积除以c的余数”,先分别计算出各因数除以17的余数,再求出余数之积除以17的余数。

解:478÷17=28 (2)296÷17=17 (7)351÷17=20 (11)2×7×11÷17=9 (1)精讲3:有一个大于1的整数,除45、59、101所得的余数相同,求这个数。

分析:根据同余定理“若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同,则a、b的差一定能被m整除”,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数。

解:101-45=56 59-45=14 (56,14)=1414的约数有1、2、7、14,所以这个数可能为2、7、14。

小学奥数之 同余问题(含详细解析)

小学奥数之 同余问题(含详细解析)

1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义:若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数,那么称a 、b 对于模m 同余,用式子表示为:a ≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式。

同余式读作:a 同余于b ,模m 。

2、重要性质及推论:(1)若两个数a ,b 除以同一个数m 得到的余数相同,则a ,b 的差一定能被m 整除例如:17与11除以3的余数都是2,所以1711 ()能被3整除. (2)用式子表示为:如果有a ≡b ( mod m ),那么一定有a -b =mk ,k 是整数,即m |(a -b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的.建立余数判别法的基本思想是:为了求出“N 被m 除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R ,使得:N 与R 对于除数m 同余.由于R 是一个较简单的数,所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数.⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数;⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数;⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数;⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数;知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数;(不够减的话先适当加11的倍数再减);⑹整数N被7,11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数就是原数被7,11或13除的余数.例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=,51-3=48,1473144-=,(36,144)12=,12的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数为3要小于除数,这个数是4,6,12;(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.513912-=,(12,108)12-=,14739108=,所以这个数是4,6,12.【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中,分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1,同理这个两位数除以4、5都余1,这样,这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。

小学奥数同余定理单选题100道及答案

小学奥数同余定理单选题100道及答案

小学奥数同余定理单选题100道及答案1. 下列算式中,余数相同的是()A. 24÷5 35÷6B. 39÷5 27÷4C. 48÷7 45÷6答案:B解析:39÷5 = 7......4,27÷4 = 6......3,余数都是4。

2. 一个数除以8 余5,除以9 余6,这个数最小是()A. 69B. 72C. 77答案:C解析:这个数加上3 就能被8 和9 整除,8 和9 的最小公倍数是72,所以这个数是72 - 3 = 69。

3. 11÷4 = 2......3,如果被除数和除数都扩大10 倍,那么余数是()A. 3B. 30C. 0.3答案:B解析:被除数和除数都扩大10 倍,商不变,余数扩大10 倍,3×10 = 30。

4. 有一个数,除以5 余数是2,除以7 余数是3,这个数最小是()A. 22B. 23C. 27答案:B解析:通过列举,可得23 除以5 余数是2,除以7 余数是3。

5. 47 除以一个数,余数是7,这个数最小是()A. 8B. 9C. 10答案:B解析:除数要大于余数,所以这个数最小是9。

6. 一个数除以6 余4,除以8 余6,这个数最小是()A. 22B. 20C. 26答案:A解析:这个数加上2 就能被 6 和8 整除,6 和8 的最小公倍数是24,所以这个数是24 - 2 = 22。

7. 35÷()= 4......3,括号里应填()A. 8B. 7C. 9答案:A解析:(35 - 3)÷4 = 8。

8. 下列算式中,余数最大的是()A. 38÷5B. 47÷8C. 59÷9答案:C解析:38÷5 = 7......3,47÷8 = 5......7,59÷9 = 6......5,5 < 7 < 9。

(完整版)小学奥数同余问题

(完整版)小学奥数同余问题

同余问题(一)在平时解题中,我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。

如:现在时刻是7时30分,再过52小时是几时几分?我们知道一天是24小时,,也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时,这样就在7时30分的基础上加上4小时,就是11时30分。

很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”,37、44对于模7同余。

记作:(mod7)“”读作同余。

一般地,两个整数a和b,除以大于1的自然数m所得的余数相同,就称a、b对于模m同余,记作:2. 同余的性质(1)(每个整数都与自身同余,称为同余的反身性。

)(2)若,那么(这称作同余的对称性)(3)若,,则(这称为同余的传递性)(4)若,,则()(这称为同余的可加性、可减性)(称为同余的可乘性)(5)若,则,n为正整数,同余还有一个非常有趣的现象:如果那么(的差一定能被k整除)这是为什么呢?k也就是的公约数,所以有下面我们应用同余的这些性质解题。

【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数,所得的余数相同,这个自然数最大是几?分析与解答:假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同,所以,,说明a是以上三个数中任意两数差的约数,要求最大是几,就是求这三个差的最大公约数。

所以a最大是31。

例2. 除以19,余数是几?分析与解答:如果把三个数相乘的积求出来再除以19,就太麻烦了,利用同余思想解决就容易了。

所以此题应用了同余的可乘性,同余的传递性。

例3. 有一个1997位数,它的每个数位都是2,这个数除以13,商的第100位是几?最后余数是几?分析与解答:这个数除以13,商是有规律的。

商是170940六个数循环,那么,即,我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”,所以商的第100位是9。

余数是几呢?则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个,商应是9,相应的余数是5。

小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

小学奥数  同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义:若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数,那么称a 、b 对于模m 同余,用式子表示为:a ≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式。

同余式读作:a 同余于b ,模m 。

2、重要性质及推论:(1)若两个数a ,b 除以同一个数m 得到的余数相同,则a ,b 的差一定能被m 整除例如:17与11除以3的余数都是2,所以1711 ()能被3整除. (2)用式子表示为:如果有a ≡b ( mod m ),那么一定有a -b =mk ,k 是整数,即m |(a -b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的.建立余数判别法的基本思想是:为了求出“N 被m 除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R ,使得:N 与R 对于除数m 同余.由于R 是一个较简单的数,所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数.⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数;⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数;⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数;⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数;知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数;(不够减的话先适当加11的倍数再减);⑹整数N被7,11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数就是原数被7,11或13除的余数.例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=,51-3=48,1473144-=,(36,144)12=,12的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数为3要小于除数,这个数是4,6,12;(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.513912-=,14739108-=,(12,108)12=,所以这个数是4,6,12.【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中,分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1,同理这个两位数除以4、5都余1,这样,这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。

六年级奥数习题精选——同余

六年级奥数习题精选——同余

六年级奥数习题精选——同余六年级奥数习题精选——同余[学法点拨]同余,从字面上理解,就是余数相同.解答好此类题的前提是要很好地理解和掌握整除、公约数的一些知识,这样运用起来才能得心应手.1.求2008除以7的余数.(你们知道2008年是什么日子吗?)解:同学们也许会问,同余、同余,怎么求一个数除以另一个数的余数呢,它们两个数相除余数只有一个,谈不上"相同",你不要着急.因为只有你明白了这道题的来龙去脉,那么后面的题你也就会迎刃而解了.可以先去掉7的倍数1400余608,再去掉560还余下48,再去掉42最后余下6.这个过程可简单地记成:2008→608→48→6.从这几个数我们可以看出,它们除以7都余6.答:2008除以7的余数是6.因为2008、608、48、6除以7的余数相同,所以2008-608、608-48、2008-6、608-6这几个算式的结果能被7整除.由此不难得出这样十分有用的结论:如果若干的数被同一个数除余数相同,那么这若干个数两两之差(大减小)必能被这个数整除.1.试一试:求2008除以13的余数2.有一个大于1的整数,它除1000,2001,967得到相同的余数(不为0),那么这个整数是多少?解:由上面的结论,所求整数应能整除967,1000,2001的两两之差,即2001-1000=1001=7×11×131000-967=33=3×112001-967=1034=2×11×47这个整数是这三个差的公约数11.答:这个整数是11.你们想一想,只求出两个差行不行呢?2.试一试:有一个整数,用它去除300、262、205,得到的余数相同.这个数是多少?3. 数2001,2232除以整数n,得到相同的余数,而且这个余数是合数,求n.解:根据余数相同,所求的数应能整除2001与2232的差,即2232-2001=231=3×7×11由此我们知道n可能是3或7或11,究竟哪个符全合条件呢,这我们得认真对待,千万不能手懒.只要试一试即可,得7和11、21、33、77都符合条件.答:n是7或11或21或33或77.3.试一试:有141、206、271分别除以m,余数相同并且都是奇数.m最大是几?4.用一个自然数去除715和903所得余数相同,且商相差4.求这个数.解:根据两个数除以同一个数余数相同的特点,我们可以得到903 -715的差能被这个数整除,又因为所得的商相差4,也就是903 -715的差除以这个数应该得4,要求这个数,即可用(903-715)÷4=47,即所求的数为47.答:这个数是47.此类题可以归结为:甲乙两个数除以一个相同的数,余数相同,且商相差n(n>1),则这个相同的数为(甲-乙)÷n.4.试一试:某个大于1的整数,除1975,2008所得的余数相同,且商相差11.求这个数.5.若2836,4582,5146,6522四个自然数被一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为多少?解:根据若干个自然数除以同一个自然数所得余数相同,那么它们两两的差定能被这个自然数整除.于是得:4582-2836=17465164-4582=5826522-5164=1358因为(1746,582,1358)=194,所以除数是194的大于10的约数.符合条件的只有97和194.如果除数=194,5164÷194=26……120(此处可以用原题中四个自然数中的任意一个都可,为什么?)余数不是两位数,与题意不符.如果除数是97,经检验,余数都是23,除数+余数=97+23=120.答:除数与余数的和是120.5.试一试:有一个整数,除1200,1314,1048所得的余数相同且大于5.问:这个数与余数的和是多少?6.有三个不同的三位数,它们分别除以a ,得到的余数相同而且是最大二位偶数,当a 为两位数时,这三个数最小的和是多少?解:这道题看似很难,但我们不妨换个角度去考虑.我们先从相同的余数入手,因为余数是最大的两位偶数,我们马上意识到余数是98,既然余数为98,a只能得99.这样此题便可很轻松的完成.最小的三位数是1×99+98=197,另外的两个三位数分别为296和395.(仔细看这三个数,有什么规律吗?对!相邻的两个数相差99)于是得到此题结果为197+396+395=1188.答:三个数的最小和是1188.如果给的不是三个三位数而是其它的任意情况,同样可以采取这种方法去解题.6.试一试:已知四个四位数分别去除以y,所得的余数相同并且是三位奇数,当y最小时这四个数的和最大是多少?7.将一批货物共375千克装入纸箱,每箱装10千克,最后余多少千克?解:此题我们不可能将求出来,然后去除以10,求出余数.但我们可以借助同余的办法来求,我们首先看下面一组说明:3 除以10的余数是3;32除以10的余数是9;33除以10的余数是7;34除以10的余数是1;35除以10的余数是3;36除以10的余数是9;37除以10的余数是7;38除以10的余数是1;……这就说明每隔4个数除以10的余数就相同.又因为75÷4=18 (3)即375除以10的余数与33除以10所得余数相同,得7.答:每箱装10千克最后余下7千克.7.试一试:粮库有771千克大米,用每袋50千克的袋子装,最后余下多少千克?8.在1~500的自然数中,除以16,40余数(0除外)相同的数有多少个?解:因为16与40的最小公倍数是80,1~500的自然数除以16与40相同的余数情况有:1,2,3,4……15,共15种,也就是在连续的80个数中有15个数符合条件,500个自然中有的个数为:500÷80=6……20,在余下的20个数中有15个余数相同.这证明有7个15,所以在1~500中除以16与40余数相同的数有15×7=105个.列式:[16,40]=80500÷80=6 (20)(6+1)×15=105答:在1~500的自然数中,除以16,40余数相同的数共有105个.8.试一试:在小于1000的自然数中,除以15及33而余数(0除外)相同的数有多少个?9.希望小学六年级和五年级去春游,每辆车可乘36人.六年级先坐满几车,剩下的16人与五年级坐满一车,五年级又坐满若干车.到达目的地后,每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张,每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕,最后一个胶卷还剩几张未拍?解:解答此题的关键是求出最后一个胶卷归了几张,即以全影张数为被除数,36为除数,求余数.假如将五、六年级合乘一车的16名学生和20(36-16=20)人去掉,那么其余五、六年级的学生合影正好可以用掉整数卷胶卷.这样一来我们只考虑五年级那16人与六年级那么20人即可.因为每人都要与不同年级的人合影,所以这16人与20人要合影320(根据乘法原理16×20=320)张.所有人都拍完后的总张数除以36所得的余数与320除以36余数相同,为32,所以最后一个胶卷照了32张.于是有36-32=4张,即最后一个胶卷还剩4张.列式:36-16=20(人)16×20=320(张)320÷36=8 (32)36 - 32 = 4(张)答:最后一个胶卷还剩4张.9.试一试:甲、乙两个旅游团乘车参观,每辆车可乘35人,两团成员坐满若干辆车后,甲团余下的15人与乙团余下的成员正好又坐满一辆车.为了纪念这次参观,甲乙两团的每个成员都与不同团的每人合拍一张照片留念.如果每个胶卷可拍35张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片?10.甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组,并使每组的人数尽可能多,以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后,所剩的人数相同,问丁校分组后还剩下几个人?分析:从表面上看,这道题目问的是"剩余"人数,但我们知道"剩余"是因为不能被整除而产生的,所以,解答这道题目的关键是求"每组有几人"(即求除数)这个除数在何处找呢?其实呀,它远在天边,近在眼前,这个除数就藏在它的"差"里.这是为什么呢?我们可以这样想:既然甲、乙、丙三个学校人数被某数除的余数相同,那么这三个数的两两之差一定能被这个数整除(因为它们相减时,余数恰好相互"抵消"了).懂得了以上这个道理之后,再来解答这个问题就不困难了.甲、乙、丙三校人数的差分别是:93-69=2485-69=1693-85=8不难看出,它们的最大公约数是8.这也正是我们所要寻找的"除数".验证如下:69÷8=8……5(分成8组,剩下5人)85÷8=10……5(分成10组,剩下5人)93÷8=11……5(分成11组,乘下5人)最后来推算丁校分组情况:97÷8=12 (1)答:丁校分组后剩下1人.10.试一试:乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球,每只盒子里装的小球同样多.真巧!剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个?[方法归纳]如果若干个自然数除以同一个自然数,余数相同,那么这些自然数两两之差必能被这个自然数整除.参考答案1. 6.2. 1或19.3. 65.4. 3.仿例4.5. 60.提示:这个整数为38,余数为22.6. 39368.提示:y为102,余数为101.这四个数分别是9995,9893,9791,9689.7. 43千克.提示:7的1次方开始除以50的余数分别是7,49,43,1,7,49,43,……8. 93.仿例89. 15张.仿例910. 19个。

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同余问题(一)在平时解题中,我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。

如:现在时刻是7时30分,再过52小时是几时几分?我们知道一天是24小时,,也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时,这样就在7时30分的基础上加上4小时,就是11时30分。

很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”,37、44对于模7同余。

记作:(mod7)“”读作同余。

一般地,两个整数a和b,除以大于1的自然数m所得的余数相同,就称a、b对于模m同余,记作:2. 同余的性质(1)(每个整数都与自身同余,称为同余的反身性。

)(2)若,那么(这称作同余的对称性)(3)若,,则(这称为同余的传递性)(4)若,,则()(这称为同余的可加性、可减性)(称为同余的可乘性)(5)若,则,n为正整数,同余还有一个非常有趣的现象:如果那么(的差一定能被k整除)这是为什么呢?k也就是的公约数,所以有下面我们应用同余的这些性质解题。

【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数,所得的余数相同,这个自然数最大是几?分析与解答:假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同,所以,,说明a是以上三个数中任意两数差的约数,要求最大是几,就是求这三个差的最大公约数。

所以a最大是31。

例2. 除以19,余数是几?分析与解答:如果把三个数相乘的积求出来再除以19,就太麻烦了,利用同余思想解决就容易了。

所以此题应用了同余的可乘性,同余的传递性。

例3. 有一个1997位数,它的每个数位都是2,这个数除以13,商的第100位是几?最后余数是几?分析与解答:这个数除以13,商是有规律的。

商是170940六个数循环,那么,即,我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”,所以商的第100位是9。

余数是几呢?则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个,商应是9,相应的余数是5。

【模拟试题】(答题时间:20分钟)1. 求下列算式中的余数。

(1)(2)(3)(4)2. 6254与37的积除以7,余数是几?3. 如果某数除482,992,1094都余74,这个数是几?同余问题(二)【例题分析】例1. 除以7,余数是几?分析与解答:例2. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余1,这个自然数最小是几?分析:假设这个自然数为a那么这道题考虑的困难是它们的余数不相同。

如果把这道题改一下,使它们的余数相同,利用整除的知识,便容易考虑了,先看下面一道题:一个自然数除以3余2,除以5余2,除以7余2,那么,这个自然数若减去2,便同时是3,5,7的倍数,这样的自然数有:105,210,315,……分别被3,5,7除余2的数是2,107,212,317,……最小的自然数是2。

回过头来看刚才的题,能不能把它也变为余数相同的数呢?稍加变式,可以写成:这样同时是3,5,7倍数的数有105,210,315,……那么同时被3,5,7余8的数有:8,113,218,323,……其中最小的自然数为8。

例3.在求51173526被7除的余数时,小明这样做:所以余数是5刘老师说,小明的算法不仅正确,而且巧妙迅速,你知道其中的道理吗?分析与解答:看了下面的算式,你就会明白的。

小明用的这种方法,有比较广泛的应用,常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时,常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分,对于这部分,简直可以“置之不理”,这样可以使解答过程简化。

例4. 除以3的余数是几?为什么?分析与解答:在上式的加项中,显然可以被3整除,因此只须计算被3除余数是几。

由于因此由此可知,只须计算被3除的余数,它又等于被3除的余数。

由于,所以所以余数是1【模拟试题】1. 今天是星期日,再过天又是星期几?2. 求除以3所得的余数。

3. 某数除680,970和1521,余数相同,这个数最大是几?4. 有一列数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是7,从第三个数开始,每个数恰好是前两个数的和,那么,第1997个数被3除,余数是几?5. 若将一批货物共千克装入纸箱,每箱装10千克,最后余多少千克?若每箱装17千克,最后还余多少千克?6、1309被一个质数相除,余数是21,求这个质数。

7、1796被一个质数相除,余数是24,求这个质数。

8、求2001×2000除以7的余数。

9、求123×345+234×456除以11的余数。

10、有一个大于1的整数,它除1000、1975、2001都得到相同的余数,那么这个整数是多少?11、有三个数1989、901和306被同一个自然数除,得到相同的余数,求这个自然数。

12、两个自然数相除,商15,余3,被除数、除数、商、余数的和是853,求被除数。

8、两数相除商40余7,被除数、除数、余数和商的和是710,求被除数。

13、有一个数除以3余1,除以4余2,问这个数除以12,余数是几?14、一个数除以5余1,除以6余3,除以7余4,这个数最小是几?15、3867×4253=1644□351,求□里的数。

4937×6845=3379□765,求□里的数。

16、两个自然数相除,商8余16,被除数、除数、商与余数的和为265,求除数是多少?17、写出除以8所得的商和余数(不为0)相同的所有的数。

18、2002×2002-2001除以9的余数是多少?19、当2002和1781除以某一个自然数,余数分别是2和1,那么这个数最大是多少?20、一个数除以17的余数是5,被除数扩大2倍,余数是多少?21、有一个数,除以3余数是1,除以4余数是3 。

这个数除以12,余数是多少。

22、570被一个两位数除,余数是15,这个两位数是多少?23、有一个数加上22的和被9除余3,这个数加上35的和被9被余几?B组24、有一个整数,用它去除45,53,143得到的3个伤痕的和是20,这个数是多少?25、有一个数用它去除100,余数是1,用它去除50,余数是6,求这个数。

26、把几十个苹果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个每份4个余3个。

这堆苹果共有多少个?27、有一个数被5和11整除均余4,被3正好整除,这个数最小是几?28、求被4除余2,被6除余2,被9除余5的两位数。

29、一个数能被3、5、7整除,若用11去除则余7,这个数最小是几?30、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组6.3元,第二组7.7元,第三组6.3元,第四组9.1元,又知道每本练习本价格都超过1角,求数学学习小组共有多少人?(提示:练习本单价是总价的公约数。

)31、五年级两个班的学生一起排队出操,如果8人排一行,多出一个人;如果11人排一行,同样多出一个人。

这两个班最小共有多少人?(提示:如果减去一人那么人数就能被8和11整除了。

)32、一个数被4除余3,被5除余4,被6除余5,这样的数中最小的是几?(提示:余数与除数有什么关系?)33、一筐苹果,如果按5个一堆放,最后多出3个;如果按6个一堆放,最后多出4个;如果按7个一堆放,还多出1个;这筐苹果至少有多少个?(提示:先满足被7除余1,再从中找出被6除余4……)竞赛题精选1、若2836,4582,5164,6522四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为()。

(2001小学数学奥林匹克试题决赛B卷)2、一个自然数除以3余2,除以5余2,除以7余5,除以9余5,除以11余4,则满足这些条件的最小自然数是()。

(1996年我爱数学少年冬令营试题)3、某数除以11余8,除以13余10,除以17余12,那么这个数的最小可能值是()。

(1998年小学数学奥林匹克试题预赛A卷)4、一个小于200的数,它除以11余8,除以13余10,那么这个数是()。

(1998年小学数学奥林匹克试题预赛B卷)5、在一道有余数的除法算式中,被除数、除数,商和余数的和是599,已知商是15,余数是12,请问,题目中的除数是多少?(厦门实小2000-2001学年第二学期数学科竞赛卷B 组)同余问题——提高训练1、求437×309×1993被7除的余数。

2、求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位数.3、分别求满足下列条件的最小自然数(1)用3除余1,用5除余1,用7除余1。

(2)用3除余2,用5除余1,用7除余1。

(3)用3除余1,用5除余2,用7除余2。

4、有一个整数,除300、262、205得到相同的余数.这个整数是几?5、今天是星期四,过14389天后是星期几?7千克大米,用每袋50千克的袋子装,最后余下多少千克?6.试一试:粮库有717、数2001,2232除以整数n,得到相同的余数,而且这个余数是合数,求n.8、用一个自然数去除715和903所得余数相同,且商相差4.求这个数.9、若2836,4582,5146,6522四个自然数被一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为多少?10、有三个不同的三位数,它们分别除以 a ,得到的余数相同而且是最大二位偶数,当a为两位数时,这三个数最小的和是多少?11、某年级有将近400名学生。

有一次演出节目排队时出现:如果每8人站成一列则多余1人;如果改为每9人站成一列则仍多余1人;结果发现现成每10人结成一列,结果还是多余1人;聪名的你知道该年级共有学生多少名吗?12、希望小学六年级和五年级去春游,每辆车可乘36人.六年级先坐满几车,剩下的16人与五年级坐满一车,五年级又坐满若干车.到达目的地后,每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张,每个胶卷可拍36张.全部学生照相完毕,最后一个胶卷还剩几张未拍?13、甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组,并使每组的人数尽可能多,以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后,所剩的人数相同,问丁校分组后还剩下几个人?14、试一试:乐乐玩具店有大小相同的红、蓝、黄、绿四种颜色的小球各344个、277个、411个和555个.现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球,每只盒子里装的小球同样多.真巧!剩下的红、蓝、黄三色小球也恰好同样多.小剩下的绿球有多少个?15、计算机录入员平均每分钟可以输入72个汉字,输入一篇有X679Y个汉字的文章所用的分钟数恰好是整数,求五位数X679Y。

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